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《2014届数学一轮高考核动力》(新课标)高考数学(文)一轮强化突破训练(30)


一、选择题 1.已知直线 m、n 和平面 α 、β 满足 m⊥n,m⊥α ,α ⊥β ,则( A.n⊥β C.n⊥α 【答案】D 【解析】 n 与 β 的位置关系各种可能性都有, ∵ ∴A、 都不对. n B 当 ∴l∥n,∴n∥α ;当 n?α 时,显然成立,故 C 不对,D 正确. 2. 已知 m、 为两条不同的直线, 、 为两个不同的平面, n α β 则下列命题中正确的是

( A.m?α ,n?α ,m∥ β ,n∥β ? α ∥β B.α ∥β ,m?α ,n?β ? m∥n C.m⊥α ,m⊥n? n∥α D.n∥m,n⊥α ? m⊥α 【答案】D 【解析】对于答案 A,条件少了直线 m、n 相交,故 A 不正确;对于答案 B,直线 m、n 也可能异面,故 B 不正确;对于答案 C,直线 n 也可能在平面 α 上,故 C 不正确,用排 除 法选 D. 3.设有直线 m、n 和平面 α 、β .下列四个命题中,正确的是( A.若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n B.若 m?α ,n?α ,m∥β ,n∥β ,则 α ∥β C.若 α ⊥β ,m?α ,则 m⊥β D.若 α ⊥β ,m⊥β ,m 【答案】D 【解析】若 α ∥β ,m?β ,n?β ,可知 m∥α ,n∥α ,但 m 与 n 可以相交,所以 A 不对;
[来源:学科网]

)

B.n∥β 或 n?β D.n∥α 或 n?α α 时, n′∥n, 作

且 n′∩m=O, n′与 m 确定平面 γ , α ∩γ =l, 则 设 则有 m⊥l, m⊥n′, 又 所以 l∥n′,

)

)

α ,则 m∥α

若 m∥n,即使有 m?α ,n?α ,m∥β ,n∥β ,α 与 β 也可以相交,所以 B 不对; 若 α ⊥β ,α 中仍有不与 β 垂直的直线,例如 α 与 β 的交线,故 C 不对; 若 α ⊥β , 则在 α 中可作与 β 垂直的直线 n, m⊥β , m∥n, m 又 则 又 故 D 正确. 4.已知球的半径为 2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长 为 2,则两圆的圆心距等于( A.1 C. 3 【答案】C 【解析】如图,设球的球心为 O,两截面圆的圆心分别为 A、B,相交弦为 CD,取 CD 的 中点 E, 则 BE⊥CD,AE⊥CD, ∴CD⊥平面 ABE. ) B. 2 D.2 α , 所以 m∥α ,

又 OA⊥⊙A,OB⊥⊙B, ∴OA⊥CD,OB⊥CD, ∴CD⊥平面 OAB. ∴O、A、E、B 四点共面,且四边形 OAEB 是矩形. ∴AB=OE. 连结 OC,OD,则 OC=OD,OE⊥CD. ∵OC=CD=2,∴OE= 3. 故选择 C. 5.关于直线 m、n 与平面 α 、β ,有下列四个命题:( ①若 m∥α ,n∥β 且 α ∥β ,则 m∥n; ②若 m⊥α ,n⊥β 且 α ⊥β ,则 m⊥n;
[来源:学科网 ZXXK]

)

③若 m⊥α ,n∥β ,且 α ∥β ,则 m⊥n; ④若 m∥α ,n⊥β ,且 α ⊥β ,则 m∥n. 其中真命题的序号是( A.①、② C.①、④ 【答案】D 【解析】m∥α ,n∥β 且 α ∥β ,则 m 与 n 可能相交或异面,故①不成立,排除 A、 C.若 m⊥α ,n⊥β 且 α ⊥β ,m⊥n 成立,故②正确,排除 B.故选择 D. 二、填空题 6.给出下列四个命题: ①垂直于同一直线的两条直线互相平行; ②垂直于同一个平面的两个平面互相平行; ③若直线 l1,l2 与同一平面所成的角相等,则 l1,l2 互相平行; ④若直线 l1,l2 是异面直线,则与 l1,l2 都相交的两条直线是异面直线. 其中假命题的序号是 【答案】①②③④ 【解析】①假命题:譬如正方体 ABCD-A′B′C′D′中 AB 和 A′D′都与 AA′垂直, 但它们是垂直关系; ②假命题:譬如正方体 ABCD-A′B′C′D′中平面 AB′和平面 AD′都与平面 AC 垂直, 但它们是相交关系; ③假命题:譬如正棱锥的侧棱与底面所成的角都相等,但它们都相交,不平行; ④假命题: 譬如正方体 ABCD-A′B′C′D′中 AB 和 A′D′是一对异面直线, 直线 AA′ 与直线 AD′分别与 AB 和 A′D′都相交,但它们是相交关系.
[来源:Zxxk.Com]

) B.③、④ D.②、③

.

7.设有四个条件: ①平面 γ 与平面 α 、β 所成的锐二面角相等; ②直线 a∥b,a⊥平面 α ,b⊥平面 β ; ③a、b 是异面直线,a?α ,b?β ,且 a∥β ,b∥α ; 其中能推出 α ∥β 的条件有 【答案】②③ 【解析】易知①不正确,因为 α 、β 可相交. ②正确.③正确. ④可以举书本张开时的例子得知不正确. 综上,②③符合条件. 8.设 α 、β 表示平面,a、b 表示不在 α 内也不在 β 内的两条直线.给出下列四个 论断:①a∥b;②a∥β ;③α ⊥β ;④b⊥α .若以其中三个作为条件,余下的一个作为结 论, 可以构造出一些命题. 写出你认为正确的一个命题 ( )? ( )”,只需在( )中填入论断的序号) 【答案】①②④? ③(或①③④? ②). 【解析】若①②④成立; 由 a∥b,b⊥α ? 三、解答题 9.在四面体 ABCD 中,CB=CD,AD⊥BD,且 E,F 分别是 AB,BD 的中点,求证: (1)直线 EF∥面 ACD; (2)面 EFC⊥面 BCD.
? a⊥α ? ?? α ⊥β ? ③.同理①③④? ②.
[来源:学,科,网]

④平面 α 内距离为 d 的两条直线在平面 β 内的射影仍为两条距离为 d 的平行线. .(填写所有正确条件的代号)

.(注 : 写法如“(

)、 )、 (

a∥β ? ?

【解析】(1)∵E,F 分别为 AB,BD 的中点, ∴EF 是△ABD 的中位线, ∴EF∥AD. ∵EF? 面 ACD,AD?面 ACD, ∴直线 EF∥面 ACD. (2)∵AD⊥BD,EF∥AD,∴EF⊥BD. ∵CB=CD,F 是 BD 的中点,∴CF⊥BD. 又 EF∩CF=F,∴BD⊥面 EFC. ∵BD?面 BCD,∴面 EFC⊥面 BCD. 10.(09 高考江苏卷)如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,E,F 分别是 A1B,A1C 的中 点, 点 D 在 B1C1 上,A1D⊥B1C.求证:

(1)EF∥平面 ABC; (2)平面 A1FD⊥平面 BB1C1C. 【解析】(1)由 E,F 分别是 A1B,A1C 的中点知 EF∥BC, 因为 EF 平面 ABC,BC?平面 ABC, 所以 EF∥平面 ABC.

(2)由三棱柱 ABC-A1B1C1 为直三棱柱知 CC1⊥平面 A1B1C1, 又 A1D?平面 A1B1C1,故 CC1⊥A1D. 又因为 A1D⊥B1C,CC1∩B1C=C,

CC1,B1C?平面 BB1C1C,故 A1D⊥平面 BB1C1C.
又 A1D?平面 A1FD, 所以平面 A1FD⊥平面 BB1C 1C. 11.(2009 高考海南卷·文)如图,在三棱锥 P—ABC 中,△PAB 是等边三角形,∠PAC =∠PBC=90°.

(1)证明:AB⊥PC;

[来源:Zxxk.Com]

(2)若 PC=4,且平面 PAC⊥平面 PBC,求三棱锥 P—ABC 的体积. 【解析】(1)因为△PAB 是等边三角形,∠PAC=∠PBC=90°, 所以 Rt△PBC≌Rt△PAC,可得 AC=BC. 如图,取 AB 的中点 D,连结 PD,CD, 则 PD⊥AB,CD⊥AB,所以 AB⊥平面 PD C, 所以 AB⊥PC.

(2 )作 BE⊥PC,垂足为 C,连结 AE. 因为 Rt△PBC≌Rt△PAC, 所以 AE⊥PC,AE=BE. 由已知,平面 PAC⊥平面 PBC,故∠AEB=90°. 因为 Rt△AEB≌Rt△PEB,所以△AEB,△PEB,△CEB 都是等腰直角三角形. 由已知 PC=4,得 AE=BE=2,△AEB 的面积 S=2. 因为 PC⊥平面 AEB, 所以三棱锥 P-ABC 的体积为 1 3 8 3

V= ×S×PC= .
12.如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是半径是 R 的圆的内接四边形,其中 BD 是圆的直径,∠ABD=60°,∠BDC=45°.PD 垂直底面 ABCD,PD=2 2R.E,F 分别是 PB,

PE DF CD 上的点,且 = ,过点 E 作 BC 的平行线交 PC 于 G. EB FC
(1)求 BD 与平面 ABP 所成角 θ 的正弦值; (2)证明:△EFG 是直角三角形;

PE 1 (3)当 = 时,求△EFG 的面积. EB 2

【解析】(1)在 Rt△BAD 中,∵∠ABD=60°, ∴AB=R,AD= 3R, 而 PD 垂直底面 ABCD,

PA= PD2+AD2
= ? 2 2R?
2 2

+?

3R?

2

= 11R,

PB= PD +BD
= ? 2 2R?

2

2

+?
2

2R?
2

2

=2 3R,
2

在△PAB 中,PA +AB =PB , 即△PAB 是以∠PAB 为直角的直角三角形. 设点 D 到面 PAB 的距离为 h, 由 VP-ABD=VD-PAB 有 PA·AB·h=AB·AD·PD,

即 h=

AD·PD 3R·2 2R 2 66 = = R, PA 11 11R h BD
66 . 11

sin θ = =

(2)∵EG∥BC,∴ = 而

PE PG , EB GC

PE DF PG DF = ,即 = ,∴GF∥PD, EB FC GC FC

∴GF⊥BC,而 BC∥EG, ∴GF⊥EG,∴△EFG 是直角三角形.

PE 1 EG PE 1 GF CF 2 (3)当 = 时, = = , = = , EB 2 BC PB 3 PD CD 3
1 1 2 即 EG= BC= ×2R×cos 45°= R, 3 3 3

GF= PD= ×2 2R=
∴△EFG 的面积

2 3

2 3

4 2 R, 3

S△EFG= EG ·GF= ×

1 2

1 2

2 4 2 4 2 R× R= R . 3 3 9


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