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几何体的表面积和体积教学设计(许兴华)


注:本文已经发表于国家级核心期刊陕西师大《中学数学教学参考》2014 年 1-2 合期

几何体表面积与体积的教学设计
530021 广西南宁三中 许兴华

本文是高三数学复习专题课中的“柱体、锥体与球的表面积与体积”的教学设计,主 要是复习柱体、锥体与球的表面积及体积的计算及其简单应用.通过这一内容精选典型例题 的教学,使学生掌握解决空间几何体的表面积与体积计算的常用方法,同时使学生学会用 运动、变化的观点分析空间几何体的表面积公式与体积公式中各个量之间的内在关系.在教 学过程中注意培养化归与转化的意识,逐步提高空间想象能力. 研究表明,近年的高考中有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题,也有已知面积 或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题.在考查空间线面的位置关系时,也常以几 何体为载体.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学 会运用等价转化思想,灵活地把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题,学会等体 积转化求解问题,善于把立体问题转化为平面问题求解,巧妙运用“割补法”求解较为复 杂的几何题. 教学目标 1:理解并掌握斜三棱柱的体积的求法,学会如何求斜三棱柱的侧面积。

例1. 如图,三棱柱 ABC ? A AC ? CB, BC ? CA ? AA 1B 1C 1 中, 1 在底面 ABC 1 ? 2, 若 A
上的射影 O 恰好是 AC 的中点. (1)求该三棱柱的体积; (2)求该三棱柱的侧面积.

【解】 (1)连结 A 1C ,? A 1O ? AC, O 是 AC 中点, A 1 A ? AC ? 2,
2 2 1 ? 2 ? 2 3 ? 2 3. ?h ? A A 1O ? 1A ? AO ? 3, ?V三棱柱 ? Sh ? 2

(2)由题意易知 ?A 1 AC 是等边三角形,故过 C 作 CD ? AA 1 的中 1, D 为垂足,则 D 是 AA 点, 由 BC ? CC1, CC1 // AA 故平面 BCD 是棱柱的直截面.在 Rt ?ACD 中, 1 ? 平面 BCD, 1 得 AA

AC ? 2, ?DAC ? 60?,?CD ? 3 ? 2 ? 3, 在 Rt ?BCD 中, BD ? 22 ? 3 ? 22 ? 7, 故 4 2
S三棱柱侧 ? 1 (2 ? 3 ? 7) ? 22 ? 2(2 ? 3 ? 7). 2
教学建议: (1)本题的第一问属于基础题,关键是求出斜棱柱的高,主要考查空间点 线面位置关系的理解与掌握,教学过程中主要是启发引导学生如何求出斜三棱柱的高.
1

注:本文已经发表于国家级核心期刊陕西师大《中学数学教学参考》2014 年 1-2 合期

(2)第二问的设计意图是让学生学会用转化的思想求斜棱柱的侧面积,即斜棱柱的侧面积 等于直截面的周长乘以侧棱长,这是一种割补思想,即割补后可把斜棱柱转化为直棱柱. (3)教学过程中可启发引导学生讨论如何求斜棱柱的侧面积,如何将斜棱柱通过割补的方 法转化为直棱柱求侧面面积问题,体现数学教学中的等价转化思想. (4)本例可改编成同类型的变式题,把三棱柱改成一般的斜平行六面体,让学生学会用一 般的方法解决斜平行六面体有关的问题;另外,改编后的变式题也可以用空间向量方法来 解决,但是,斜平行六面体要建立空间直角坐标系是个难点,教学改编后要启发引导学生 通过研究、分析,从而在图中找出三条两两垂直的直线建立空间的直角坐标系。通过让学 生探索斜平行六面体空间坐标的建立方法,来培养学生的灵活应变能力. 教学目标 2:通过此例的教学,让学生理解并掌握不规则几何体求体积与表面积的基本 方法;并能运用运动变化的观点认识图形中的割补思想、等积变换思想,学会用适当的补 形与分割的方法求解非常规几何体的表面积与体积.

例 2. (原创)如图,在五面体 ABCDEF 中,四边形 ADEF 是正方形,FA⊥平面 ABCD,BC∥AD,
CD=1,AD= 2 2 ,∠BAD=∠CDA=45°. (1)求这个五面体的表面积 S; (2)求这个五面体的体积 V. [解]:(1)因为四边形 ADEF 是正方形,所以 FA//ED. 因为 FA ? 平面 ABCD, 所以 FA ? CD.故 ED ? CD. 在 Rt△CDE 中,CD=1,ED= 2 2 ,CE= CD2 ? ED2 =3, 过 C 作 CM ? AB 于 M,则易得:

BC ? 2, CM ? 2 , ? SABCD ? 1 ( 2 ? 2 2) ? 2 ? 3 . 过 C 作 CN ? EF 于 N,同理可得: 2 2 2 2

CN ? CE2 ? NE2 ? 32 ? ( 2)2 ? 34 , ? SBCEF ? 1 ( 2 ? 2 2) ? 34 ? 3 17 , 2 2 2 2 2 S ? 2S?CDE ? SBCEF ? SABCD ? 2 2 ? 3(1 ? 17) . 2
2 , 因此, 2

(2) 【解法一】可对几何体如图 1 进行分割:即把几何体分割成一个四棱锥和一个三 棱锥,再求它们的体积之和.由(1)知 CM ? 面DEF , CM ?

V ? VF ? ABCD ? VC?EFD

? 1 SABCD ? AF ? 1 S?EFD ? CM 3 3

? 1 (3 ? 2 2 ? 1 ? 2 2 ? 2 2) 3 2 2 1 ? (3 2 ? 4). 3
(2) 【解法二】可对几何体如图 2 进行分割:即把几何体分割成一个三棱 柱和一个三棱锥,再求它们的体积之和 (过程略).
2

注:本文已经发表于国家级核心期刊陕西师大《中学数学教学参考》2014 年 1-2 合期

教学建议:课堂上引导学生先独立思考、再充分讨论、研究解法。可逐步向学生提
出以下问题: (1) 这是怎么样的一个几何图形?是棱锥,棱柱或者棱台吗?你以前见过这样的 几何体吗? (2) 有可用的现成公式直接求出它的表面积与体积吗?由于这个几何体是课本上 没有学过的,因此它的体积与表面积的求解,需要适当地转化。 (3) 你们能用学过的知识把这个问题转化成我们熟知的几何图形来求解吗? (4) 请大家好好地思考一下,如何正确地实现转化? (5) 如何时间允许,可考虑让学生做变式 2,以加深学生对不规则几何体的体积求 法(主要是割补法)的理解与掌握。 (6)本题的第一问属中挡题,用不规则的几何体设计求几何体的表面积,主要考查空 间点线面位置关系的理解与简单运用. (7)第二问的设计意图是让学生学会用转化的思想求几何体的体积,即不规则的几何 体通过适当的转化,化归为我们熟悉的两个(或两个以上)几何体的体积问题,这是一种 割补思想在解题中的简单应用. (8)第二问的设计可用不同的分割方法,培养学生一题多解与发散思维能力. 教学目标 3: (1)通过该题的教学,培养学生综合运用相关知识去解决与球体综合的棱 锥或者球的表面积与体积问题,逐步培养空间想象能力和分析问题、解决问题的能力. (2)用等积法将问题适当转化,培养转化与化归思想与意识.

例 3. (原创)已知正三棱锥 P ? ABC 的高为 2,AB=4 6,其内部有一个球与它的四
个面都相切.求: (1)这个正三棱锥的表面积;
[来源:学科网 ZXXK]

(2)这个正三棱 锥内切球的表面积与体积.

[略解] (1)如图,底面三角形中心 O1 到 AC 距离为

DO1 ? ×

1 3

3 ×4 6=2 2, 2

则正棱锥侧面的斜高为 l ? 22 ? (2 2)2 ? 2 3, 1 ∴S 侧=3× ×4 6×2 3=36 2. 2 1 3 ∴S 全=S 侧+S 底=36 2+ × ×(4 6)2=36 2+24 3. 2 2 (2)设正三棱锥 P-ABC 的内切球球心为 O,连结 OP、OA、OB、OC,而 O 点到三棱锥的 四个面的距离都为球的半径 r. ∴VP-ABC=VO-PAB+VO-PBC+VO-PAC+VO-ABC

3

注:本文已经发表于国家级核心期刊陕西师大《中学数学教学参考》2014 年 1-2 合期

1 1 1 = S 侧· r+ S△AB C· r= S 全· r= 1 (36 2+24 3)r= (12 2 ? 8 3)r. . 3 3 3 3 1 1 3 又 VP-ABC= × × ×(4 6)2×2=16 3, 3 2 2 ∴(12 2+ 8 3)r=16 3, 得r ?

4 3 ? 2( 6 ? 2). 3 2 ?2 3

∴S 内切球=4π [2( 6 ? 2)]2 = 32(5-2 6)π. 4 V 内切球= π [2( 6 ? 2)]3 ? 64 (9 6 ? 2)? . 3 3 教学建议:课堂上引导学生先独立思考、再充分讨论、研究解法,可逐步向学生提出 下列问题:

(1) 要求正三棱 锥内切球的表面积与体积, 公式 S球 ? 4?R2,V球 ? 4 ?R3 中我们需要 3
求哪些数量?

(2) 既然只要求出球的半径 R 即可,那么半径 R 与三棱锥的各棱长或者各个面有
什么联系?这些互相联系的数量如何求出来?

(3) 学生用一种方法解决问题后, 教师可启发引导学生能否用其它的方法解?如果
用等体积方法求解,如何对三棱锥进行适当的分割?

(4) 本题可改编成: 棱长为 a 的正四面体内有一个内接球, 求该球的表面积与体积.
通过这个改编题的练习,让学生加深对本题解题方法的理解与掌握. 教学目标 4: (1)通过本题的教学让学生掌握“通解通法”: 直接法求出体积; (2)通过解法二与解法三的教学研讨,让学生理解与掌握如何进行适当的“分割”与 “补形” ,培养学生灵活应变的能力. (3)本题可以运用“一题多解” ,便于培养学生灵活应变与发散思维能力; 例 4.(原创)已知一个四面体的每个面都是以 3,3,2 为边长的锐角三角形,试求这个 四面体的体积 V.

[解法 1](直接法) (略解)如图 1, AE ? DB, CE ? DB, AO ? 面DBC, 在 ?AEC 中 过点 E 作 EM ? AC 于M, EC ? 32 ?1 ? 2 2, 则由等面积法得:

EM ? AC=EC ? AO, ? h ? AO= 14, 2
4

注:本文已经发表于国家级核心期刊陕西师大《中学数学教学参考》2014 年 1-2 合期

V ? 1 Sh ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 2 ? 14 ? 2 7 . 3 3 2 2 3
[解法 2](分割法) (略解)如图 1, AE ? DB, CE ? DB, AO ? 面DBC, 于是截面 AEC 将原三棱锥分割成两个三棱锥 D ? AEC 与三棱锥 B ? AEC , 且 DB ? 面AEC, 容易算出 S?AEC ? 1 ? 2 ? 7 ? 7, 故

2

V ? VD? AEC ? VB? AEC ? 1 S?AEC ? (ED ? EB) ? 1 S?AEC ? DB ? 1 ? 7 ? 2 ? 2 7 . 3 3 3 3
[解法 3](补形法) (略解)如图 2,将三棱锥补形成一个长方体,设长方体的长、宽、

x2 ? y2 ? 32 ?x ? 2 ? ? 2 2 ? 高分别为 x, y, z, 则 ? y ? z ? 32 ? ? y ? 7 2 2 2 ? ? ?z ? x ? 2 ?z ? 2
所求的体积 V ? V长方体 ? 4V三棱锥 ? xyz ? 4 xyz ? 1 xyz ? 2 7 .

6

3

3

教学建议:课堂上引导学生先独立思考、再充分讨论、研究解法,可逐步向学生提
出以下问题: (1)该三棱锥以什么作为底面?高是哪一条线段?如何把高找出来? (2)根据公式 V ? 1 Sh, 若以 ? BCD 为底面,如何求出该三棱锥的高 h? (3)过点 A 作 AO ? 面BDC ,垂足为 O,则 O 会落到平面 BDC 的何处? (4)能否将该三棱锥适当分割成两个容易求出体积的三棱锥?如何分割? (5)启发引导学生将本题推广为一般情形,让学生学会将特殊问题推广为更一般的有 代表性的问题,从而逐步提高学生进行归纳概括的能力. (6)实际上,上面的问题可以进一步推广为以下的变式题: 已知一个四面体的每个面都是以 a, b, c 为边长的锐角三角形,试求这个四面体 的体积. [解法提示]如图,

3

?x ? (b2 ? c2 ? a2) / 2 x2 ? y2 ? b2 ? ? 2 ? 2 2 2 2 2 ? y ? z ? a ? ? y ? (a ? b ? c ) / 2 2 2 2 ? ?z ? (c2 ? a2 ? b2) / 2 ?z ? x ? c ?
所求的体积 V=V长方体-4V三棱锥 ? xyz ? 4 xyz ? 1 xyz 6 3
? 1 2(a2 ? b2 ? c2)(a2 ? c2 ? b2)(c2 ? b2 ? a2) . 12
教学目标 5: (1)通过本题的教学让学生掌握运动变化的几何体体积最值的计算,理解 与掌握球的性质、异面直线的距离; (2)通过解法二与解法三的教学研讨,让学生理解与掌握如何进行适当的“分割”与 “补形” ,培养学生灵活应变的能力.
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注:本文已经发表于国家级核心期刊陕西师大《中学数学教学参考》2014 年 1-2 合期

(3)通过球这个载体求运动变化的四面体体积的最值,培养学生的空间想象能力及推 理运算能力. 例 5. (2010 全国高考题)已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点,若 AB=CD =2,则四面体 ABCD 的体积的最大值为( 2 A. 3 3 4 B. 3 3 C.2 3 ) 8 D. 3 3

[解法 1]设异面直线 AB 与 CD 间的距离为 h, 夹角为 ? ,则用上面例 4 中补形的方法, 将四面体 ABCD 补形为平行六面体,于是此六面体的底面积 S ? 1 AB ? CD sin ? , 高为 h ,此

2

六面体的体积 V1 ? Sh ? 1 h ? AB ? CD sin ? , 则四面体 ABCD 的体积为

2

V1 ? 1 V1 ? 1 h ? AB ? CD sin ? , 当异面直线 AB 与 CD 之间的距离最大, 3 6
即分别以 AB、CD 为直径的球的小圆所在的平面平行,从而异面直线 AB 与 CD 之间的距 离为 h ? 2 3 ,且异面直线 AB 与 CD 夹角 ? ? 90? 时,四面体 ABCD 的体积最大,

Vmax ? 1 ? 2 3 ? 2 ? 2 ? sin 90? ? 4 3 . 答案为 B. 6 3
[解法 2]设球心为 O,如图(用补形法) ,过 O、C、

D 三点作球的截面,交 AB 于点 M,由 条件知,△OAB、
△OC D 均为边长为 2 的等边三角形,设 M 到 CD 的距离为 h,A 到面 MCD 的距离为 h1,B 到面

MCD 的距离为 h2,则 VA-BCD=VA-MCD+VB-MCD
1 1 1 = S△MCD(h1+h2)= · ·CD· h·(h1+h2), 3 3 2 因此,当 AB⊥面 MCD 时,

VA-BCD= × ×2×2

1 3

1 2

3×(1+1)=

4 3

3

最大.答案为 B.

[解法 3]如图,分别取 AB 与 CD 的中点 E、F, 连结 EF,易知当异面直线 AB 与 CD 间的距 离最大且 AB ? CD 时, 四面体 ABCD 的体积最大,此时 球心 O 在线段 EF 上,且 EF ? 2 3,

(VABCD)max ? 1 AB ? S?CDE ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 3 ? 4 3 . 3 3 2 3
教学建议:由于本题的的四面体是变化的,学生不熟悉这样的题目,这给学生解决问 题带来了极大的困难。为此,笔者建议:先让学生画图,分析思考,然后教学过程中向学 生逐步提出以下问题: (1) 按照常规思路,求四面体的体积 V ? 1 Sh ,需要求底面面积 S 及高 h.

3

6

注:本文已经发表于国家级核心期刊陕西师大《中学数学教学参考》2014 年 1-2 合期

那么底面在哪里?高又在何处? (2)在底面面积 S 及高 h 中,哪个数量是固定不变的?哪个数量是运动变化的? (3)由于底面面积 S 及高 h 之中有些量是运动变化的,那么在什么情况下, 四面体的体积 V 可以达到最大值?为什么? (4)本题可以运用“一题多解” ,便于培养学生灵活应变与发散思维能力;因此教学过程 中要多引导学生进行探索与研究,以寻求运动变化的四面体体积最值求解的巧妙方法. (5)由于在例 4 中学生已经学会了用补形法求三棱锥的体积,在本例教学中,可提示学生: 可否用例 4 的方法来本题中的四面体的体积的最大值? 结语:本文作为高三专题复习课“几何体表面积与体积的教学设计” ,精心设置了五 个典型例题,并将某些例题适当地进行变形,从不同的角度与方法来研究与探讨“柱体、 锥体与球的表面积与体积”的求法,渗透了割补思想与意识,培养学生数学的转化思想、 类比思想,以期望学生可以举一反三、触类旁通,逐步提高学生的应变能力及分析问题和 解决问题的能力. 参考文献:M,王强芳, 《中国高考年鉴.数学》 ,2010,中国致公出版社

7


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