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江苏省响水中学高中数学 第二章《幂函数》导学案 苏教版必修1


江苏省响水中学高中数学 第二章《幂函数》导学案 苏教版必修 1

1.通过实例,了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式. 2.结合幂函数 y=x,y=x ,y=x ,y= 的图象,了解它们的变化情况.
2

-1

在初中,我们学过一些特殊图形或几何体的面积和体积公式,它们其实也是函数,如正方 形的面积 S 关于边长 a 的函数是 S=a ,正方形的边长 a 关于面积 S 的函数是 a= ,圆的面积 S 关于半径 R 的函数是 S=π R ,正方体的体积 V 关于棱长 a 的函数是 V=a .
2 3 2

问 题 1:(1) 把 上 面 的 函 数 的 自 变 量 和 函 数 换 成 字 母 x 和 y 表 示 后 分 别 是

y=x2,y=


,y=π x ,y=x

2

3

, 其 中 符 合 y=x 形 式 的 函 数 有

a

个,分别

, , . (2)一般地,形如 的函数称为幂函数,其中 x 是自变量,α 是常数. (3)幂函数的特点是底数是 ,指数是 ,系数是 . 问题 2:常见的幂函数 y=x,y=x ,y=x ,y=x ,y= 的图象和性质是怎样的?
-1
2 3

函 数性质 定义域 值域

y=x
(-∞, +∞) (-∞, +∞)

y=x2
(-∞, +∞) [0,+ ∞)

y=x3
(-∞, +∞) (-∞, +∞)

y=
[0,+ ∞) [0,+ ∞)

y=x-1
(-∞,0)∪ (0,+∞) (-∞,0) ∪(0,+ ∞)
1

奇偶性 单调性 定点

奇 增





(-∞, 0] 减 ,[0 增 ,+∞) 增 (0,0),(1,1)

非奇非 偶 增

奇 (-∞,0) 减 ,(0,+∞ )减 (1,1)

问题 3:幂函数的性质主要有哪些? (1)所有幂函数在(0,+∞)上都有意义,并且图象都过点 . (2) 当 α >0 时 , 则幂函数的图象都过点 , 并且在区间 [0,+∞) 上 为 ; 当 α 为奇数时,幂函数为 ;当 α 为偶数时,幂函数为 . (3)当 α <0 时,则幂函数图象都过点 ,在区间(0,+∞)上是 ,在第一象 限内,当 x 从右边趋于原点时,图象在 y 轴右方无限地逼近 轴,当 x 趋向+∞时,图象 在 x 轴上方无限地逼近 轴. 问题 4:如何比较两个幂的大小? 比较两个幂的大小,需观察两个幂的结构特征. (1)若两个幂的 指数相同,构造幂 函数,根据函数的 比较大小; (2)若两个幂的底数相同,构造指数函数,利用指数函数的 比较大小; (3)若两个幂的底数和指数均不同,找一个中间幂,使之与一个幂的 ,与另一个 幂的 ,分别将此幂与它们比大小.

1.下列函数①y=2x ;②y=x +1;③y= ;④y=2 ,其中是幂函数的是

2

2

x

.

2.设 α ∈{-1,1, ,3},则使函数 y=x 的定义域为 R 且为奇函数的所有 α 值为 3.幂函数 f(x)的图象过点(4,2),则 f(9)= 4.求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性. (1)y=x ;(2)y= .
-2

α

.

.

幂函数的概念 已知 y=(m +2m-2)·
2

+2n-3 是幂函数,求 m,n 的值.

幂函数单调性的应用 比较下列各组数中两个数的大小:
2

(1)( ) 与( ) ;

0.5

0.5

(2)(- ) 与(- ) ;

-1

-1

(3)(

与(

.

幂函数的定义域、值域问题 求下列函数的定义域和值域. (1)y= ;

(2)y= .

已知函数 f(x)=(m +2m)· 数;(3)二次函数;(4)幂函数.

2

,m 为何值时 ,f(x) 是 :(1) 正比例函数 ;(2) 反比例函

(1)(-

,(-

,(p-3

的大小关系为
*

.

(2) 已知幂函数 y=x (p∈N ) 的图象关于 y 轴对称 ,且在 (0,+∞)上是减函数 ,求满足 (a+1 <(3-2a 的 a 的取值范围.

求下列函数的定义域、值域.

①y=x6;②y= ;③y= ;④y=x-5.

3

1. 下 列 幂 函 数 ①y=x ;②y= 为

-1

;③y=x;④y=x ;⑤y=x , 其 中 在 定 义 域 内 为 增 函 数 的 个 数

2

3

.
4

2.下列幂函数①y= ;②y=x ;③y=x ;④y= , 其中图象过点(0,0),(1,1),且是偶函数的是 3.若幂函数 y=(m +3m-17)· 4.比较下列各组数的大小: (1)1. ,1. ,1;
2

-2

. .

的图象不过原点,则 m 的值为

(2)3.
1.4

,3. ,( -1.8 ;
1.5

(3)3 ,5 .

设 a=0.4 ,b=0.6 ,c=0.6 ,则 a,b,c 的大小关系是 考题变式(我来改编):

0.5

0.5

0.3

.

4

第 8 课时 幂 函 数 知识体系梳理 问题 1:(1)3 y=x 常数 1 问题 3:(1)(1,1) (2)(0,0),(1,1) 增函数 奇函数 偶函数 (3)(1,1) 减函数
2

y=

y=x3 (2)y=xα

(3)x

y x
问题 4:(1)单调性 (2)单调性 (3)底数相同 指数相同 基础学习交流 1.③ 义. 2.1,3 当 α =1,3 时,函数 y=x 的定义域为 R,且为奇函数. 当 α =-1 时,y= 的定义域是{x|x∈R 且 x≠0}.
α

根据幂函数的定义知,①②④均不是幂函数,③函数 y= 化为 y=x ,符合幂函数的定

-2

当 α = 时,y= =
α

的定义域是{x|x≥0}.
α

3.3 设 f(x)=x ,由图象过点(4,2),∴有 4 =2,

∴α = ,∴f(x)= ,则 f(9)= =3.

4.解:(1)y=x = ,定义域是{x|x≠0},是偶函数.

-2

(2)y= =

,定义域是 R,是偶函数.

重点难点探究 探究一:【解析】由题意得

解得

5

∴m=-3,n= 即为所求.
【小结】 幂函数的定义同指数函数、 对数函数一样,是一种形式定义,其表现形式非常严 格.判断一个函数是否为幂函数,关键是看它是否具有幂函数的三个特征:①指数为常数 α , 且 α 为任意实常数;②底数为自变量;③系数为 1. 探究二:【解析】(1)∵幂函数 y=x 在(0,+∞)上是单调递增的, 又 > ,∴( ) >( ) . (2)∵幂函数 y=x 在(-∞,0)上是单调递减的, 又- <- ,∴(- ) >(- ) .
-1 -1 -1
0.5 0.5 0.5

(3)∵函数 y1=( ) 为减函数,

x

又 > ,∴(

>(

,

又∵函数 y2= 在(0,+∞)上是增函数,且 > ,

∴(

>(

,∴(

>(

.

【小结】本题是比较大小的基本题,关键在于构造适当的函数,若指数相同而底数不同, 则考虑幂函数;若指数不同底数相同,则考虑指数函数;若底数不同,指数也不同,则需引入中 间量.利用幂函数与指数函数的单调性,也可以借助幂函数与指数函数的图象. 探究三:【解析】(1)y=

=

.定义域 为{x|x∈R 且 x≠0},值域为(0,+∞).

(2)y= =

定义域为(0,+∞),值域为(0,+∞).

【小结】 当幂函数的指数为分数形式时,需将其转化为根式,利用根式的有关要求求出自 变量的取值范围. 思维拓展应用 应用一:(1)若 f(x)为正比例函数,则 ? m=1.
6

(2)若 f(x)为反比例函数,则 ? m=-1. (3)若 f(x)为二次函数,则

? m=

.
2

(4)若 f(x)为幂函数,则 m +2m=1,解得 m=-1±

.

应 用 二 :(1)(-

>(<(
,(-

>(<( =-( .
,(-

(1)∵y=

, >0,∴y=

在 (0,+∞ ) 上 单 调 递

增.∵

<

<

,∴(

又∵(-

=-( >(-

=-(

,

∴(-

>(p-3

.
*

(2)∵幂函数 y=x 在(0,+∞) 上是减函数,∴p-3<0,∴p<3,又∵p∈N ,∴p=1 或 2.

∵幂函数 y=xp-3 图象关于 y 轴对称, ∴函数 y=xp-3 为偶函数,∴p=1. ∴(a+1 <(3-2a .

∵y= 在 R 上是增函数,∴a+1<3-2 a,∴a< .

即 a 的取值范围为(-∞, ). 应用三:①y=x 的定义域为 R,值域为[0,+∞).
6

②y= =

的定义域为 R,值域为 R.

③y= =

的定义域为[0,+∞),值域为[0,+∞).

④y=x-5= 的定义域为{x|x∈R 且 x≠0},值域为{y|y∈R 且 y≠0}.

7

基础智能检测 1.3 由幂函数性质知②③⑤在定义域内为增函数. 2.② 函数 y= ,y= 不是偶函数, 故排除①④;函数 y=x 是偶函数,但其图象不过点(0,0), 故排除③;函数 y=x 的图象过点(0,0),(1,1) 且是偶函数,故选②. 3.-6 由 ? m=-6.
4

-2

4.解:(1)比较幂 1. 、 1. 、 1 的大小就是比较 1. 、 1. 、 的大小,而函数 y= 在(0,+∞)

上单调递增,且 1.7>1.5>1,所以 1. >1. >1.

(2)利用幂函数和指数函数的单调性可以发现 0<3.

<1,3. >1,(-1.8 <0,从而可以比较出

它们的大小,即(-1.8 <

<3. .
1.5

(3)由于它们的底数和指数都不同且大于 1,故可插入一个中间数 3 ,利用幂函数和指数函数 的单调性可以发现 3 <3 <5 ,故 3 <5 . 全新视角拓展
1.4 1.5 1.5 1.4 1.5

a<b<c 因为 y=x0.5 在[0,+∞)上为增函数,
且 0.4<0.6,所以 0.4 <0.6 , 又 y=0.6 在 R 上为减函数, 且 0.5>0.3,所以 0.6 <0.6 ,所以 a<b<c.
0.5 0.3 0.5 0.5

x

8


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