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数列与极限1-5


第五节 极限存在准则与重要 极限
一、准则Ⅰ与lim
x ?0

sin x x

?1
x

1? ? 二、准则Ⅱ与 lim ? 1 ? ? ? e x ??? x?

一、准则Ⅰ与 lim
1.夹逼准则
准则Ⅰ

sin x x

x? 0

?1

如果数列 x n , y n 及z n 满足下列条件:

(1) yn ? x n ? z n ( 2) lim yn ? a ,
n? ?

( n ? 1,2,3?) lim z n ? a ,
n? ?
n? ?

那末数列 x n 的极限存在, 且lim x n ? a .

上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限

准则Ⅰ′ 如果当 x ? U ( x0 , ? )(或 x ? M )时,有

0

(1) g ( x ) ? f ( x ) ? h( x ), ( 2) lim g ( x ) ? A,
x ? x0 ( x ?? ) x ? x0 ( x ?? )

lim h( x ) ? A,

那末 lim f ( x )存在, 且等于 A.
x ? x0 ( x ?? )

准则 I和准则 I′称为夹逼准则.

注意: 利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn与 zn ,
并且 yn与 zn的极限是容易求的 .

例1 求 lim (
n? ?

1 n ?1
2

?

1 n ? 2
2

???
1

1 n ? n
2

).



?

n n ? n
2

?

1 n ?1
2

???

n ? n
2

?

n n ?1
2

,

又 lim

n n ? n
2

n? ?

? lim

1 1?
1

n? ?

1 n

? 1,

lim

n n ?1
2

n? ?

? lim

n? ?

1?

1 n
2

? 1,

由夹逼定理得
1 n ? n
2

lim (
n? ?

1 n ?1
2

?

1 n ? 2
2

???

) ? 1.

C
B

lim
x ?0

sin x x

?1
?
2

o

x

D

A

设单位圆

O , 圆心角 ? AOB ? x , ( 0 ? x ?

)

作单位圆的切线

,得 ? ACO .

扇形 OAB 的圆心角为
于是有 sin x ? BD ,

x,

? OAB 的高为 BD ,
tan x ? AC ,

x ? 弧 AB ,

? sin x ? x ? tan x ,
上式对于 ? π 2

即 cos x ?

sin x x

? 1,
π 2
2

? x ? 0 也成立 .

当 0? x ?

时,

0 ? cos x ? 1 ? 1 ? cos x ? 2 sin
x
2

2

? 2( ) ? , 2 2 2

x

x

x

2

? lim

x? 0

? 0,

? lim ( 1 ? cos x ) ? 0 ,
x? 0

2

? lim cos x ? 1 ,
x? 0

又 ? lim 1 ? 1 ,
x? 0

? lim
x ?0

sin x x

? 1.

例2

求 lim

1 ? cos x x
2

x? 0

.
sin lim
x? 0 2

2 sin

2

x 2

x 2



原式 ? lim

x? 0

x

2

?

1 2

( ) 2
?1 ?
2

x

2

?

1 2

sin lim (
x? 0

x 2 )2
? 1 2 1 2 .

x 2

二、准则Ⅱ与
如果数列 x n 满足条件

1? ? lim ? 1 ? ? ? e x? ?? x?

x

x 1 ? x 2 ? ? x n ? x n ? 1 ? ? , 单调增加 x 1 ? x 2 ? ? x n ? x n ? 1 ? ? , 单调减少
准则Ⅱ 单调有界数列必有极限.

单调数列

几何解释:
x1

x 2 x 3x n x n ? 1

A

M

x

例3

证明数列

xn ?

3?

3?

??

3

( n 重根

式 )的极限存在 .



显然 x n ? 1 ? x n ,

? ? x n ? 是单调递增的
x k ?1 ?

;
3 ? 3 ? 3,

又 ? x1 ?

3 ? 3 , 假定 x k ? 3 ,
n? ?

3 ? x k?

? ? x n ? 是有界的 ;
? x n?1 ?
2

? lim x n 存在 .

3 ? xn ,

x n?1 ? 3 ? x n ,
2

lim x n ? 1 ? lim ( 3 ? x n ),
2 n? ? n? ?

A ? 3 ? A,

解得 A ?

1? 2

13

, A?

1? 2

13

(舍去)

? lim x n ?
n? ?

1? 2

13

.

lim (1 ?
x ??

1 x

) ?e
x

定义

lim (1 ?
n? ?

1 n

) ?e
n

设 x n ? (1 ?

1 n

)

n

? 1?

n 1 n( n ? 1) 1 n ( n ? 1)? ( n ? n ? 1) 1 ? ? ? 2 ?? ? ? n 1! n 2! n n! n

? 1?1?

1 2!

(1 ?

1 n

)???

1 n!

(1 ?

1 n

)( 1 ?

2 n

) ? (1 ?

n?1 n

).

类似地,

x n?1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 n! (1 ? 1 ( n ? 1 )!

1 2! 1

(1 ?

1 n?1 2

)?? ) ? (1 ? 2 n?2 n?1 n?1 ) n n?1 ).

n?1 (1 ?

)( 1 ? 1 n?1

n?2 )( 1 ?

) ? (1 ?

显然 x n ? 1 ? x n ,

? ? x n ? 是单调递增的

;

xn ? 1 ? 1 ? ? 3? 2
n? ?

1 2!

???
? 3,

1 n!

?1?1?

1 2

??? 2

1
n?1

1
n?1

? ? x n ? 是有界的 ;
1 n
n? ?

? lim x n 存在 .

记为 lim (1 ?

) ? e (e ? 2.71828?)
n

当 x ? 1时,

有 [ x ] ? x ? [ x ] ? 1,
[x]

(1 ?

1 [x] ? 1

)

? (1 ?
[ x ]? 1

1 x

) ? (1 ?
x

1 [x] 1 )

)

[ x ]? 1

, 1 [x] ) ? e,

而 lim ( 1 ?
x ? ??

1 [x]

)

? lim ( 1 ?
x ? ??

[x]

? lim ( 1 ?
x ? ??

[x]

x ? ??

lim ( 1 ?

1 [x] ? 1 1

)

[x]

? lim ( 1 ?
x ? ??

[x] ? 1
1 x
x

)

[ x ]? 1

? lim ( 1 ?
x ? ??

1 [x] ? 1

)

?1

? e,

? lim (1 ?
x ? ??

) ? e.

令 t ? ? x,

? lim ( 1 ?
x ? ??

1

) ? lim ( 1 ? ) t ? ?? x t
x

1

?t

? lim ( 1 ?
t ? ??

1 t?1

)

t

? lim ( 1 ?
t ? ??

1 t?1

)

t ?1

(1 ?

1 t?1

) ? e.

?

lim (1 ?
x ??

1 x

) ?e
x

令 t ?

1 x

1

,

lim(1 ? x ) ? lim(1 ? ) ? e. x ?0 t ?? t
x t
1

1

lim (1 ? x ) x ? e
x ?0

例4 求 lim ( 1 ?
x? ?

1 x

) .
1 ? x )
?x

x



原式 ? lim [( 1 ?
x? ?

]

?1

? lim

1 (1 ? 1 ? x )
?x

x? ?

?

1 e

.

例5 求 lim (
x? ?

3? x 2? x

)

2x

.
1 )
x?2



原式 ? lim [( 1 ?
x? ?

x? 2

] (1 ?
2

1 x? 2

)

?4

?e .
2


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