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河南省郑州市登封一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析


河南省郑州市登封一中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. (5 分)数列 , , , ,…的第 10 项是() A. B. C. D.

2. (5 分)设△ ABC 的角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a

=2,c=4,B=60°,则 b 等于 () A.28 B. 2 C.12 D.2 3. (5 分)不等式 x﹣2y+6<0 表示的区域在直线 x﹣2y+6=0 的() A.右上方 B.左上方 C.右下方 D.左下方 4. (5 分)对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是() A.a1,a3,a9 成等比数列 B. a2,a3,a6 成等比数列 C. a2,a4,a8 成等比数列 D.a3,a6,a9 成等比数列 5. (5 分)已知 f(x)=x+ ﹣2(x<0) ,则 f(x)有() A.最大值为 0 B.最小值为 0 C.最大值为﹣4 D.最小值为﹣4

6. (5 分)数列{an}满足 a1=2,an= A. B. ﹣

,其前 n 项积为 Tn,则 T2014=() C. 6 D.﹣6

7. (5 分)推理过程 个数为() A.0

?

?ac>bd? > 共有三个推理步骤,其中错误步骤的

B. 1

C. 2

D.3
n

8. (5 分)在数列{an}中,an+1=can(c 为非零常数)且前 n 项和 Sn=3 +k,则 k 等于() A.﹣1 B. 1 C. 0 D.2 9. (5 分)△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 c=bcosA,则△ ABC 为()

A.钝角三角形 10. (5 分)已知 ①a<b ②a+b<ab ③|a|>|b|

B.直角三角形

C.锐角三角形

D.不确定

,给出下列四个结论:

④ab<b 其中正确结论的序号是() A.①② B.②④

2

C.②③

D.③④

11. (5 分)如图所示,为了测量某湖泊两侧 A,B 间的距离,李宁同学首先选定了与 A,B 不共线的一点 C,然后给出了三种测量方案: (△ ABC 的角 A,B,C 所对的边分别记为 a,b, c) :①测量 A,C,b;②测量 a,b,C;③测量 A,a,b 则一定能确定 A,B 间距离的所有 方案的序号为()

A.②③

B.①②

C.①③

D.①②③

12. (5 分)将正偶数 2,4,6,8,…按表的方式进行排列,记 aij 表示第 i 行第 j 列的数,若 aij=2014,则 i+j 的值为() 第 1 列第 2 列第 3 列 第 4 列第 5 列 第1行 2 4 6 8 第 2 行16 14 12 10 第3行 18 20 22 24 第 4 行32 30 28 26 第5行 34 36 38 40 … … … … … … A.257 B.256 C.254 D.253

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. (5 分)二次不等式 ax +bx+c<0 的解集为 R 的条件是. 14. (5 分)若等差数列{an}满足 a3+a4+a5>0,a3+a6<0,则当 n=时,{an}的前 n 项和最大. 15. (5 分) 在△ ABC 中, 内角 A, B, C 所对应的边分别是 a, b, c, 若c = (a﹣b) +6, C= 则△ ABC 的面积是 .
2 2 2



16. (5 分)已知实数 x,y 满足 xy+9=6x+2y,且 x>2,则 xy 的最小值为.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 2 17. (10 分)已知 f(x)=﹣3x +m(6﹣m)x+6 (Ⅰ)若关于 x 的不等式 f(x)>n 的解集为(﹣1,3) ,求实数 m,n 的值; (Ⅱ)解关于 m 的不等式 f(1)<0. 18. (12 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 b +c =a +bc. (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)如果 cosB= ,b=2,求 a 的值.
2 2 2

19. (12 分)已知等差数列{an}满足:a1=2,且 a1,a2,a5 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和,是否存在正整数 n,使得 Sn>60n+800?若存在,求 n 的 最小值;若不存在,说明理由. 20. (12 分)为了测量某峰顶一颗千年松树的高(底部不可到达) ,我们选择与峰底 E 同一水 平线的 A,B 为观测点,现测得 AB=20 米,点 A 对主梢 C 和主干底部 D 的仰角分别是 40°, 30°,点 B 对 D 的仰角是 45°.求这棵千年松树的高(即求 CD 的长,结果保留整数.参考数 据:sin10°=0.17,sin50°x,y,z)

21. (12 分)已知{an}是各项均为正数的等比数列,且 a1?a2=2,a3?a4=32. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; 2 * (Ⅱ)设数列{bn}的前 n 项为 Sn=n (n∈N ) ,求数列{an?bn}的前 n 项和. 22. (12 分)人们生活水平的提高,越来越注重科学饮食.营养学家指出,成人良好的日常饮 食应该至少提供 0.075kg 的碳水化合物, 0.06kg 的蛋白质, 0.06kg 的脂肪.1kg 食物 A 含有 0.105kg 碳水化合物,0.07kg 蛋白质,0.14kg 脂肪,花费 28 元;而 1kg 食物 B 含有 0.105kg 碳水化合 物,0.14kg 蛋白质,0.07kg 脂肪,花费 21 元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时 使花费最低,每天需要同时食用食物 A 和食物 B 多少 kg?最低花费是多少?

河南省郑州市登封一中 2014-2015 学年高二上学期期中数 学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. (5 分)数列 , , , ,…的第 10 项是() A. B. C. D.

考点: 数列的概念及简单表示法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由数列 , , , ,…可得其通项公式 an= 解答: 解:由数列 , , , ,…可得其通项公式 an= ∴ = . .即可得出. .

故选 C. 点评: 得出数列的通项公式是解题的关键. 2. (5 分)设△ ABC 的角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a=2,c=4,B=60°,则 b 等于 () A.28 B. 2 C.12 D.2 考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 利用余弦定理列出关系式,把 a,c 以及 cosB 的值代入计算即可求出 b 的值. 解答: 解:∵△ABC 中,a=2,c=4,B=60°, 2 2 2 ∴由余弦定理得:b =a +c ﹣2accosB=4+16﹣8=12, 则 b=2 . 点评: 此题考查了余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握余弦定理是解本题关键. 3. (5 分)不等式 x﹣2y+6<0 表示的区域在直线 x﹣2y+6=0 的() A.右上方 B.左上方 C.右下方 D.左下方 考点: 一元二次不等式的应用;二元一次不等式(组)与平面区域. 专题: 计算题. 分析: 过点(﹣6,0)和(0,3)作出直线 x﹣2y+6=0,把原点(0,0)代入 x﹣2y+6<0, 不成立,不等式 x﹣2y+6<0 表示的平面区域是不含原点的半平面. 解答: 解:过点(﹣6,0)和(0,3)作出直线 x﹣2y+6=0,

把原点(0,0)代入得 x﹣2y+6>0, ∴不等式 x﹣2y+6<0 表示的平面区域是不含原点的半平面, ∴不等式 x﹣2y+6<0 表示的平面区域在直线 x﹣2y+6=0 的左上方. 故选 B. 点评: 本题考查二无一次不等式的几何意义,解题时要作出半平面,然后结合图象数形结 合,事半功倍. 4. (5 分)对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是() A.a1,a3,a9 成等比数列 B. a2,a3,a6 成等比数列 C. a2,a4,a8 成等比数列 D.a3,a6,a9 成等比数列 考点: 等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用等比中项的性质,对四个选项中的数进行验证即可. 解答: 解:A 项中 a3=a1?q ,a1?a9= B 项中(a3) =(a1?q ) ≠a2?a6= C 项中(a4) =(a1?q ) ≠a2?a8= D 项中(a6) =(a1?q ) =a3?a9=
2 5 2 2 3 2 2 2 2 6 2

?q , (a3) ≠a1?a9,故 A 项说法错误,

8

2

?q ,故 B 项说法错误, ?q ,故 C 项说法错误, ?q ,故 D 项说法正确,
10 8

故选 D. 点评: 本题主要考查了是等比数列的性质.主要是利用了等比中项的性质对 等比数列进行 判断.

5. (5 分)已知 f(x)=x+ ﹣2(x<0) ,则 f(x)有() A.最大值为 0 B.最小值为 0 C.最大值为﹣4 D.最小值为﹣4

考点: 函数的最值及其几何意义. 分析: 因为 x<0,可得﹣x>0,然后利用不等式的基本性质进行放缩,从而求解. 解答: 解:∵x<0,∴﹣x>0, ∴x+ ﹣2=﹣(﹣x+ 等号成立的条件是﹣x= )﹣2≤﹣2 ﹣2=﹣4,

,即 x=﹣1.

故选 C. 点评: 此题考查函数的最值及其几何的意义,利用不等式的性质进行求解,是一道基础题, 主要是符号的变化.

6. (5 分)数列{an}满足 a1=2,an=

,其前 n 项积为 Tn,则 T2014=()

A.

B. ﹣

C. 6

D.﹣6

考点: 数列递推式. 专题: 计算题;点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 根据数列{an}满足 a1=2,an= a1a2a3a4=1,即可得出结论. 解答: 解:∵an= , ,可得数列{an}是周期为 4 的周期数列,且

∴an+1=



∵a1=2,∴a2=﹣3,a3=﹣ ,a4= ,a5=2,…, ∴数列{an}是周期为 4 的周期数列,且 a1a2a3a4=1, ∵2014=4×503+2, ∴T2014=﹣6. 故选:D. 点评: 本题考查数列递推式,考查学生分析解决问题的能力,确定数列{an}是周期为 4 的周 期数列,且 a1a2a3a4=1 是关键.

7. (5 分)推理过程 个数为() A.0

?

?ac>bd? > 共有三个推理步骤,其中错误步骤的

B. 1

C. 2

D.3

考点: 演绎推理的基本方法. 专题: 不等式的解法及应用;推理和证明. 分析: 本题根据不等式的基本性质进行严格推理,注意不等式的运用条件,不具备条件的 不能乱用法则,可得本题结论. 解答: 解:第一个推理: ? 是错误的.

不确定 b,c 的符号时,由

不能推导出



第二个推理是正确的. ∵ac>bc,bc>bd, ∴根据不等式的传递性,有 ac>bc>bd,即 ac>bd.

第三个推理 ac>bd? > 是错误的. ∵当 cd>0 时,ac>bd,? > , ∴当 cd<0 时,ac>bd,? < , 当 cd=0 时, > 无意义, ∴本题的错误推理有两个. 故选 C. 点评: 本题考查的是不等式的基本性质,注意不等式传递时的条件,不能乱用不等式.本 题有一定的思维量,属于中档题. 8. (5 分)在数列{an}中,an+1=can(c 为非零常数)且前 n 项和 Sn=3 +k,则 k 等于() A.﹣1 B. 1 C. 0 D.2 考点: 等比数列的通项公式;等比数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由递推式可知给出的数列是等比数列,写出等比数列的前 n 项和公式后,结合给出 的数列的前 n 项和即可得到结论. 解答: 解:由 an+1=can,得 ,所以数列{an}是等比数列,
n

因为当公比不等于 1 时等比数列的前 n 项和 Sn=
n



而 Sn=3 +k,由此可知 k=﹣1. 故选 A. n 点评: 本题考查了等比关系的确定,考查了等比数列前 n 项和公式中含 q 项的系数与常数 之间的关系,关键是把我其中的规律,是基础题. 9. (5 分)△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 c=bcosA,则△ ABC 为() A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不确定 考点: 三角形的形状判断. 专题: 解三角形. 分析: 利用正弦定理与两角和的正弦将 c=bcosA 转化为 sinC=sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB=sinBcosA,从而可得 sinAcosB=0,可得答案. 解答: 解:△ ABC 中,∵c=bcosA, ∴由正弦定理得:sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=sinBcosA, ∴sinAcosB=0,又 sinA≠0, ∴cosB=0, ∴B= ,

∴△ABC 为直角三角形, 故选:B. 点评: 本题考查三角形形状的判断,着重考查正弦定理的应用与两角和的正弦,属于中档 题.

10. (5 分)已知

,给出下列四个结论:

①a<b ②a+b<ab ③|a|>|b| 2 ④ab<b 其中正确结论的序号是() A.①② B.②④

C.②③

D.③④

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由条件可 b<a<0,然后根据不等式的性质分别进行判断即可. 解答: 解:∵ ,∴b<a<0.

①a<b,错误. ②∵b<a<0,∴a+b<0,ab>0,∴a+b<ab,正确. ③∵b<a<0,∴|a|>|b|不成立. ④ab﹣b =b(a﹣b) ,∵b<a<0, 2 ∴a﹣b>0,即 ab﹣b =b(a﹣b)<0, 2 ∴ab<b 成立. ∴正确的是②④. 故选:B. 点评: 本题主要考查不等式的性质, 利用条件先判断 b<a<0 是解决本题的关键, 要求熟练 掌握不等式的性质及应用. 11. (5 分)如图所示,为了测量某湖泊两侧 A,B 间的距离,李宁同学首先选定了与 A,B 不共线的一点 C,然后给出了三种测量方案: (△ ABC 的角 A,B,C 所对的边分别记为 a,b, c) :①测量 A,C,b;②测量 a,b,C;③测量 A,a,b 则一定能确定 A,B 间距离的所有 方案的序号为()
2

A.②③

B.①②

C.①③

D.①②③

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 应用题;解三角形. 分析: 根据图形,可以知道 a,b 可以测得,角 A、B、C 也可测得,利用测量的数据,求 解 A,B 两点间的距离唯一即可.

解答: 解:对于①③可以利用正弦定理确定唯一的 A,B 两点间的距离. 对于②直接利用余弦定理即可确定 A,B 两点间的距离. 故选 D. 点评: 本题以实际问题为素材,考查解三角形的实际应用,解题的关键是分析哪些可测量, 哪些不可直接测量,注意正弦定理的应用. 12. (5 分)将正偶数 2,4,6,8,…按表的方式进行排列,记 aij 表示第 i 行第 j 列的数,若 aij=2014,则 i+j 的值为() 第 1 列第 2 列第 3 列第 4 列第 5 列 第1行 2 4 6 8 第 2 行16 14 12 10 第3行 18 20 22 24 第 4 行32 30 28 26 第5行 34 36 38 40 … … … … … … A.257 B.256 C.254 D.253

考点: 归纳推理. 专题: 推理和证明. 分析: 观察各行各列的规律,首先分析两端的规律:第一列是偶数行,且数是 16 的 倍, 第五列是奇数行有,且数是 8 的 n 倍.因为 2014=16×125+2×7,2014=8×252﹣2.所以 2014 在第 252 行第 2 列. 解答: 解:∵2014=16×125+2×7,2014=8×252﹣2, ∴可以看作是 125×2 行, 再从 251 行数 7 个数, 也可以看作 252 行再去掉 2 个数, 也就是 2014 在第 252 行第 2 列. 即 i=252,j=2 所以 i+j=252+2=254 故选:C. 点评: 此题考查了规律型:图形的变化,首先注意分析两端中列的规律,然后分析出大概 在第几行,再进一步推算所在的列. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. (5 分)二次不等式 ax +bx+c<0 的解集为 R 的条件是
2



考点: 一元二次不等式的应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 首先利用一元二次不等式的解集为 R, 从而确定二次函数的图象开口方向向下, 并且 y 与 x 轴没有交点,进一步求出条件. 2 解答: 解:二次不等式 ax +bx+c<0 的解集为 R 则:二次函数的图象开口方向向下,并且 y 与 x 轴没有交点.

即:

故答案为: 点评: 本题考查的知识要点:一元二次不等式的解的情况,以及一元二次不等式与二次函 数的关系. 14. (5 分)若等差数列{an}满足 a3+a4+a5>0,a3+a6<0,则当 n=4 时,{an}的前 n 项和最大. 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意和等差数列的性质可得{an}的前 4 项为正数,从第 5 项开始为负,进而可得答 案. 解答: 解:由题意和等差数列的性质可得 a3+a4+a5=3a4>0, ∴a4>0,又 a3+a6=a4+a5<0,∴a5<0, ∴等差数列{a n}的前 4 项为正数,从第 5 项开始为负, ∴当 n=4 时,{an}的前 n 项和最大, 故答案为:4 点评: 本题考查等差数列的前 n 项和公式,涉及等差数列的性质,属基础题. 15. (5 分)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对应的边分别是 a,b,c,若 c =(a﹣b) +6, C= ,则△ ABC 的面积是 .
2 2

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 综合题;解三角形. 分析: 利用余弦定理,结合 c =(a﹣b) +6,C=
2 2

,求出 ab=6,利用 S△ ABC= absinC,求

出△ ABC 的面积 . 2 2 2 2 2 解答: 解:由 c =(a﹣b) +6,可得 c =a +b ﹣2ab+6, 2 2 2 2 2 2 2 由余弦定理:c =a +b ﹣2abcosC=a +b ﹣ab=a +b ﹣ab, 2 2 2 2 所以:a +b ﹣2ab+6=a +b ﹣ab, 所以 ab=6; 所以 S△ ABC= absinC= ×6× 故答案为: . = .

点评: 本题考查余弦定理,正弦定理的运用,考查学生的计算能力,确定 ab=6 是关键. 16. (5 分)已知实数 x,y 满足 xy+9=6x+2y,且 x>2,则 xy 的最小值为 27.

考点: 基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 计算题;不等式的解法及 应用. 分析: 由 x、y 为正实数,满足 xy+9=6x+2y,可得 y= (t+ )+15,利用基本不等式,即可得出结论. 解答: 解:∵x、y 为正实数,满足 xy+9=6x+2y, ∴y= , ,令 t=x﹣2(t>0) ,则 xy=6

令 t=x﹣2(t>0) ,则 xy=6(t+ )+15≥6×2+15=27 ∴xy 的最小值为 27. 故答案为:27 点评: 本题考查基本不等式在最值问题中的应用,考查学生分析解决问题的能力,确定 y= ,再换元是关键.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 2 17. (10 分)已知 f(x)=﹣3x +m(6﹣m)x+6 (Ⅰ)若关于 x 的不等式 f(x)>n 的解集为(﹣1,3) ,求实数 m,n 的值; (Ⅱ)解关于 m 的不等式 f(1)<0. 考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)根据二次函数和不等式的关系,得到方程组,解出即可; (2)由已知 f(1)= 2 2 ﹣m +6m+3,得不等式﹣m +6m+3<0,解出即可. 解答: 解: (Ⅰ)∵f(x)>n, 2 ∴3x ﹣m(6﹣m)x+n﹣6<0, 2 ∴﹣1,3 是方程 3x ﹣m(6﹣m)x+n﹣6=0 的两根,






2

(Ⅱ)由已知 f(1)=﹣m +6m+3, 2 ∴﹣m +6m+3<0, 2 ∴m ﹣6m﹣3>0, ∴ , ∴不等式 f(1)<0 的解集为: . 点评: 本题考查了二次函数的性质,考查了不等式和二次函数的关系,是一道基础题.

18. (12 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 b +c =a +bc. (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)如果 cosB= ,b=2,求 a 的值.

2

2

2

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 三角函数的求值. 分析: (Ⅰ)利用余弦定理表示出 cosA,将已知等式变形后代入求出 cosA 的值,即可确定 出 A 的大小; (Ⅱ)由 cosB 的值,利用同角三角函数间的基本关系求出 sinB 的值,再由 sinA,b 的值,利 用正弦定理即可求出 a 的值. 解答: 解: (Ⅰ)∵b +c =a +bc,即 b +c ﹣a =bc, ∴cosA= 又∵A∈(0,π) , ∴A= ; ,B∈(0,π) , = , = ,
2 2 2 2 2 2

(Ⅱ)∵cosB= ∴sinB=

由正弦定理

=

,得 a=

=

=3.

点评: 此题考查了正弦、余弦定理,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握定理是解 本题的关键. 19. (12 分)已知等差数列{an}满足:a1=2,且 a1,a2,a5 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an }的通项公式; (Ⅱ)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和,是否存在正整数 n,使得 Sn>60n+800?若存在,求 n 的 最小值;若不存在,说明理由. 考点: 等差数列的性质;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)设出数列的公差,利用等比中项的性质建立等式求得 d,则数列的通项公式可 得. (Ⅱ)利用(Ⅰ)中数列的通项公式,表示出 Sn 根据 Sn>60n+800,解不等式根据不等式的 解集来判断. 2 解答: 解: (Ⅰ)设数列{an}的公差为 d,依题意,2,2+d,2+4d 成比数列,故有(2+d) =2 (2+4d) , 2 化简得 d ﹣4d=0,解得 d=0 或 4, 当 d=0 时,an=2,

当 d=4 时,an=2+(n﹣1)?4=4n﹣ 2. (Ⅱ)当 an=2 时,Sn=2n,显然 2n<60n+800, 此时不存在正整数 n,使得 Sn>60n+800 成立, 当 an=4n﹣2 时,Sn=
2 2

=2n ,

2

令 2n >60n+800,即 n ﹣30n﹣400>0, 解得 n>40,或 n<﹣10(舍去) , 此时存在正整数 n,使得 Sn>60n+800 成立,n 的最小值为 41, 综上,当 an=2 时,不存在满足题意的正整数 n, 当 an=4n﹣2 时,存在满足题意的正整数 n,最小值为 41 点评: 本题主要考查了等差数列和等比数列的性质.要求学生对等差数列和等比数列的通 项公式,求和公式熟练记忆. 20. (12 分)为了测量某峰顶一颗千年松树的高(底部不可到达) ,我们选择与峰底 E 同一水 平线的 A,B 为观测点,现测得 AB=20 米,点 A 对主梢 C 和主干底部 D 的仰角分别是 40°, 30°,点 B 对 D 的仰角是 45°.求这棵千年松树的高(即求 CD 的长,结果保留整数.参考数 据:sin10°=0.17,sin50°x,y,z)

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 应用题;解三角形. 分析: 先利用正弦定理求出 AD,在△ ACD 中,由正弦定理求出 CD. 解答: 解:∵∠DAE=30°,∠DBE=45°, 0 ∴∠ADB=45°﹣30 , 0 0 ∴sin∠ADB=sin(45 ﹣30 )=sin45°cos30°﹣ cos45°sin30°= 在△ ABD 中,由正弦定理得 ∵AB=20, .…(4 分) ,



.…(8 分)

根据题意,得∠CAD=10°,∠ACD=50°,在△ ACD 中,由正弦定理得



(米) .…(11 分)

答:这棵千年松树高 12 米.…(12 分)

点评: 本题考查仰角的定义,考查学生的计算能力,要求学生能借助正弦定理解题. 21. (12 分)已知{an}是各项均为正数的等比数列,且 a1?a2=2,a3?a4=32. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; 2 * (Ⅱ)设数列{bn}的前 n 项为 Sn=n (n∈N ) ,求数列{an?bn}的前 n 项和. 考点: 数列的求和;等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由已知条件,利用等比数列的通项公式,列出方程组,求出首项和公比,由 此求出首项和公比,从而能求出 .
n﹣1

(Ⅱ)由已知条件推导出 bn=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1,从而得到 an?bn=(2n﹣1)?2 位相减法能求出 .

,由此利用错

解答: 解: (Ⅰ)设等比数列{an}的公比为 q, ∵a1?a2=2,a3?a4=32, ∴ ,

由 a1>0,q>0,解得 a1=1,q=2, ∴ (Ⅱ)由 . ,得 Sn﹣1=(n﹣1) ,
2

∴当 n≥2 时,bn=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1, ∴当 n=1 时,b1=1 符合上式, * ∴bn=2n﹣1,n∈N . n﹣1 ∴an?bn=(2n﹣1)?2 , 2 n﹣1 Tn=1+3?2+5?2 +…+(2n﹣1)?2 , 2 3 n﹣1 n 2Tn=1?2+3?2 +5?2 +…+(2n﹣3)?2 +(2n﹣1)?2 , 2 n﹣1 n 两式相减,得﹣Tn=1+2(2+2 +…+2 )﹣(2n﹣1)?2

=﹣(2n﹣3)?2 ﹣3, ∴ .

n

点评: 本题考查数列的通项公式的求法,考查数列的前 n 项和的求法,解题时要认真审题, 注意错位相减法的合理运用. 22. (12 分)人们生活水平的提高,越来越注重科学饮食.营养学家指出,成人良好的日常饮 食应该至少提供 0.075kg 的碳水化合物, 0.06kg 的蛋白质, 0.06kg 的脂肪.1kg 食物 A 含有 0.105kg 碳水化合物,0.07kg 蛋白质,0.14kg 脂肪,花费 28 元;而 1kg 食物 B 含有 0.105kg 碳水化合 物,0.14kg 蛋白质,0.07kg 脂肪,花费 21 元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时 使花费最低,每天需要同时食用食物 A 和食物 B 多少 kg?最低花费是多少? 考点: 简单线性规划的应用. 专题: 计算题;数形结合;不等式的解法及应用. 分析: 利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用.本题主要考 查找出约束条件与目标函数,准确地描画可行域,再利用图形直线求得满足题设的最优解. 解答: 解:设每天食用 xkg 食物 A,ykg 食物 B,总花费为 z 元,那么 则目标函数为 z=28x+21y,且 x,y 满足约束条件

,…(3 分)

整理

,…(5 分)

作出约束条件所表示的可行域, 如右图所示.…(7 分) 将目标函数 z=28x+21y 变形. .如图,作直线 28x+21y=0,当直线平移经过可行域,在过点 M 处时,y 轴上截距 最小,即此时 z 有最小值.…(9 分) 解方程组 ,得点 M 的坐标为 .…(11 分)

∴每天需要同时食用食物 A 约 kg,食物 B 约 kg.…(12 分) 能够满足日常饮食要求,且花费最低 16 元.…(13 分)

点评: 本题考查简单线性规划的应用,用图解法解决线性规划问题时,分析题目的已知条 件,找出约束条件和目标函数是关键,可先将题目中的量分类、列出表格,理清头绪,然后列 出不等式组(方程组)寻求约束条件,并就题目所述找出目标函数.然后将可行域各角点的值 一 一代入,最后比较,即可得到目标函数的最优解.


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