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北京市西城区2014届高三上学期期末考试数学文试题(WORD版)


北京市西城区 2013 — 2014 学年度第一学期期末试卷

高三数学(文科)
第Ⅰ卷(选择题
共 40 分)

2014.1

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项.

≥0} ,则集合 A ? B ?

( 1.设集合 A ? {x | 0 ? x ? 2} , B ? {x | x ? 1
(A) (0,1) (B) (0,1] (C) (1, 2)



(D) [1, 2)

2.已知命题 p :“ ?x ? R , x ? 2 ? 3 ”,那么 ?p 是( (A) ?x ? R , x ? 2 ? 3 , (C) ?x ? R , x ? 2 ? 3



(B) ?x ? R , x ? 2 ≥3 (D) ?x ? R , x ? 2 ≥3

3.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(1,3) , B(?2, k ) ,若向量 OA ? AB ,则实数 k ?( (A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1

??? ?

??? ?



4.若坐标原点在圆 ( x - m) + ( y + m) = 4 的内部,则实数 m 的取值范围是( (A) - 1 < m < 1 (C) (B) -

2

2



3< m<

3

2 < m<

2

(D) -

2 2 < m< 2 2

开始 i=1,S=0

5.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为(


S?S? 1 i (i ? 1)

3 (A) 4 4 (B) 5 5 (C) 6
(D) 1

i=i+1

i≥5
是 输出 S 结束



6. 若曲线 ax ? by ? 1 为焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 a , b 满足(
2 2



(A) a ? b
2

2

(B)

1 1 ? a b

(C) 0 ? a ? b

(D) 0 ? b ? a

7. 定义域为 R 的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? 2 f ( x) , 且当 x ? (0,1] 时,f ( x) ? x 2 ? x , 则当 x ?[?1,0] 时, f ( x) 的最小值为( (A) ?
1 8

) (B) ?
1 4

(C) 0

(D)

1 4

? x ? y≥0, ? 8. 在平面直角坐标系 xOy 中,记不等式组 ? x ? y≤0, 所表示的平面区域为 D . 在映射 ? y≤2 ?

?u ? x ? y , T :? 的作用下,区域 D 内的点 ( x, y ) 对应的象为点 (u, v) ,则由点 (u, v) 所形成的 ?v ? x ? y
平面区域的面积为( (A) 2 ) (B) 4 (C) 8 (D) 16

第Ⅱ卷(非选择题
2i ,那么 | z |? ______. 1? i

共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.已知复数 z 满足 z =

10.在等差数列 {an } 中, a1 ? 1 , a8 ? a10 ? 4 ,则公差 d ? ______;前 17 项的和 S17 ? ______.

11.已知一个正三棱柱的所有棱长均相等,其侧(左)视图如 示,那么此三棱柱正(主)视图的面积为______.
2 侧(左)视图

图 所

12.在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 若 a ? 3 , b ? 2 , cos( A ? B) ? 则 cos C ? ______; c ? ______.

1 , 3

13. 设函数 f ( x ) ? ?

?log 2 x, x ? 0,
x ?4 ,

x≤0,

则 f [ f (?1)] ? ______; 若函数 g ( x) ? f ( x) ? k 存在两个零点,

则实数 k 的取值范围是______.

14.设 M ? {( x, y) | F ( x, y) ? 0} 为平面直角坐标系 xOy 内的点集,若对于任意 ( x1 , y1 ) ? M ,存 在 ( x2 , y2 ) ? M ,使得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,则称点集 M 满足性质 P . 给出下列三个点集: 1 R ? {( x, y) | cos x ? y ? 0} ; ○ 2 S ? {( x, y) | ln x ? y ? 0} ; ○
2 2 3 T ? {( x, y ) | x ? y ? 1} . ○

其中所有满足性质 P 的点集的序号是______.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 3 cos ? x , g ( x) ? sin(? x ? )(? ? 0) ,且 g ( x) 的最小正周期为 π . (Ⅰ)若 f (? ) ?

π 3

6 , ? ? [? π, π] ,求 ? 的值; 2

(Ⅱ)求函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的单调增区间.

16.(本小题满分 13 分) 以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩.乙组记录中有一个数字模

糊,无法确认,假设这个数字具有随机性,并在图中以 a 表示. (Ⅰ)若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同,求 a 的值; (Ⅱ)求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率; (Ⅲ)当 a ? 2 时,分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学,求这两名同学的数学成绩之 差的绝对值不超过 2 分的概率. 甲组 8 2 2 8 9 0 1 a 乙组

17.(本小题满分 14 分) 如图,在多面体 ABCDEF 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,四边形 BDEF 是矩形,平面 BDEF⊥平面 ABCD,BF=3,G 和 H 分别是 CE 和 CF 的中点. (Ⅰ)求证:AC⊥平面 BDEF; (Ⅱ)求证:平面 BDGH//平面 AEF; (Ⅲ)求多面体 ABCDEF 的体积. F D G H C A B E

18.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? a)e ,其中 e 是自然对数的底数, a ? R .
x

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)当 x ? [0, 4] 时,求函数 f ( x) 的最小值.

19.(本小题满分 14 分) 已知 A, B 是抛物线 W : y ? x 上的两个点,点 A 的坐标为 (1,1) ,直线 AB 的斜率为 k (k ? 0) .
2

设抛物线 W 的焦点在直线 AB 的下方.

(Ⅰ)求 k 的取值范围; (Ⅱ)设 C 为 W 上一点,且 AB ? AC ,过 B, C 两点分别作 W 的切线,记两切线的交点为 D . 判断四边形 ABDC 是否为梯形,并说明理由.

20.(本小题满分 13 分) 设无穷等比数列 {an } 的公比为 q,且 an ? 0(n ? N ) , [an ] 表示不超过实数 an 的最大整数(如
*

[2.5] ? 2 ),记 bn ? [an ] ,数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn .
(Ⅰ)若 a1 = 14, q =

1 ,求 T3 ; 2
*

(Ⅱ)证明: S n = Tn ( n = 1, 2,3,L )的充分必要条件为 an ? N ;
1 2 2012 ? q ? 1. (Ⅲ)若对于任意不超过 2014 的正整数 n,都有 Tn = 2n + 1,证明: ( ) 3

北京市西城区 2013 — 2014 学年度第一学期期末

高三数学(文科)参考答案及评分标准
2014.1 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.D 5.B 2.D 6.C 3.A 7.A 4.C 8.C

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 2 10.

1 8

34

11. 2 3 13. ?2

12. ?

1 3

17

(0,1]

14.○ 1 ○ 3

注:第 10、12、13 题第一问 2 分,第二问 3 分. 第 14 题若有错选、多选不得分,少选得 2 分. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 其他正确解答过程,请参照评分标准给分. 15.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:因为 g ( x) ? sin(? x ? )(? ? 0) 的最小正周期为 π , 所以

π 3

2? ? ? ,解得 ω ? 2 . |ω|
6 6 ,得 3 cos 2? ? , 2 2 2 , 2

?????? 3 分

由 f (? ) ?

即 cos 2? ?

?????? 4 分

所以 2? ? 2kπ ?

π , k ?Z . 4

因为 ? ? [? π, π] , 所以 ? ?{?

7π π π 7π ,? , , }. 8 8 8 8 π 3 π π ? 3 cos 2 x ? sin 2 x cos ? cos 2 x sin 3 3

?????? 6 分

(Ⅱ)解:函数 y ? f ( x) ? g ( x) ? 3 cos 2 x ? sin(2 x ? )

?????? 8 分

1 3 ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2

π ? sin(2 x ? ) , 3 π π π 由 2kπ ? ≤2 x ? ≤2kπ ? , 2 3 2 5π π 解得 kπ ? ≤x≤kπ ? . 12 12
所以函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的单调增区间为 [kπ ?

??????10 分 ??????11 分 ??????12 分

5π π ,kπ ? ](k ? Z) .????13 分 12 12

16.(本小题满分 13 分)

(Ⅰ)解:依题意,得 解得 a ? 1 .

1 1 (88 ? 92 ? 92) ? [90 ? 91 ? (90 ? a)] , 3 3

?????? 3 分 ?????? 4 分 ?????? 5 分 ?????? 6 分

(Ⅱ)解:设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件 A , 依题意 a ? 0,1, 2,?,9 ,共有 10 种可能. 由(Ⅰ)可知,当 a ? 1 时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同,

所以当 a ? 2,3, 4,?,9 时,乙组平均成绩超过甲组平均成绩,共有 8 种可能.? 7 分 所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率 P( A) ?

8 4 ? . 10 5

?????? 8 分

(Ⅲ)解:设“这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过 2 分”为事件 B ,???? 9 分 当 a ? 2 时,分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学,所有可能的成绩结果有 3 ? 3 ? 9 种, 它们是: (88,90) , (88,91) , (88,92) , (92,90) , (92,91) , (92,92) , (92,90) , (92,91) ,

(92,92) ,

??????10 分

所以事件 B 的结果有 7 种,它们是: (88,90) , (92,90) , (92,91) , (92,92) , (92,90) ,

(92,91) , (92,92) .

?????? 11 分

因此这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过 2 分的概率 P( B) ?

7 . 9

??????13 分 17.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:因为四边形 ABCD 是正方形, 所以 AC ? BD . ?????? 1 分

又因为平面 BDEF ? 平面 ABCD ,平面 BDEF ? 平面 ABCD ? BD , 且 AC ? 平面 ABCD , 所以 AC ? 平面 BDEF . (Ⅱ)证明:在 ?CEF 中,因为 G, H 分别是 CE , CF 的中点, 所以 GH //EF , 又因为 GH ? 平面 AEF , EF ? 平面 AEF , 所以 GH // 平面 AEF . 设 AC ? BD ? O ,连接 OH , ?????? 6 分 F D O A B ?????? 4 分

E

G H C

在 ?ACF 中,因为 OA ? OC , CH ? HF , 所以 OH //AF , 又因为 OH ? 平面 AEF , AF ? 平面 AEF , 所以 OH // 平面 AEF . 又因为 OH ? GH ? H , OH , GH ? 平面 BDGH , 所以平面 BDGH // 平面 AEF . (Ⅲ)解:由(Ⅰ),得 AC ? 平面 BDEF , 又因为 AO ? ??????10 分 ?????? 8 分

2 ,四边形 BDEF 的面积 S? BDEF ? 3 ? 2 2 ? 6 2 ,?????11 分

所以四棱锥 A ? BDEF 的体积 V1

1 ? ? AO ? S? BDEF ? 4 . 3
? 4.

??????12 分

同理,四棱锥 C ? BDEF 的体积 V2 所以多面体 ABCDEF 的体积 V

? V1 ? V2 ? 8 .

??????14 分

18.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:因为 f ( x) ? ( x ? a)e , x ? R ,
x

所以 f ?( x) ? ( x ? a ? 1)e .
x

?????? 2 分 ?????? 3 分

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?a ?1. 当 x 变化时, f ( x) 和 f ?( x) 的变化情况如下:

x
f ?( x)

(??, ? a ? 1)
?


?a ? 1

(?a ? 1, ? ?)

0

?
↗ ?????? 5 分

f ( x)

故 f ( x) 的单调减区间为 (??, ? a ? 1) ;单调增区间为 (?a ? 1, ? ?) .???? 6 分 (Ⅱ)解:由(Ⅰ),得 f ( x) 的单调减区间为 (??, ? a ? 1) ;单调增区间为 (?a ? 1, ? ?) . 所以当 ?a ?1 ≤0 ,即 a≥ ?1 时, f ( x) 在 [0, 4] 上单调递增,

故 f ( x) 在 [0, 4] 上的最小值为 f ( x)min ? f (0) ? a ; 当 0 ? ?a ?1 ? 4 ,即 ?5 ? a ? ?1 时,

?????? 8 分

f ( x) 在 (0, ? a ? 1) 上单调递减, f ( x) 在 (?a ? 1, 4) 上单调递增,
故 f ( x) 在 [0, 4] 上的最小值为 f ( x) min ? f (?a ? 1) ? ?e 当 ?a ?1 ≥4 ,即 a≤ ? 5 时, f ( x) 在 [0, 4] 上单调递减, 故 f ( x) 在 [0, 4] 上的最小值为 f ( x) min ? f (4) ? (a ? 4)e .
4 ? a ?1

;??????10 分

??????12 分

所以函数 f ( x) 在 [0, 4] 上的最小值为 f ( x) min

a≥ ?1, ? a, ? ? a ?1 ? ??e , ? 5 ? a ? ?1, ?(a ? 4)e4 , a≤ ? 5. ?

??13 分

19.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:抛物线 y ? x 的焦点为 (0, ) .
2

1 4

?????? 1 分 ?????? 2 分 ?????? 3 分

由题意,得直线 AB 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 1) , 令 x ? 0 ,得 y ? 1 ? k ,即直线 AB 与 y 轴相交于点 (0,1 ? k ) . 因为抛物线 W 的焦点在直线 AB 的下方, 所以 1 ? k ? 解得 k ?

1 , 4

3 . 4 3 . 4

因为 k ? 0 , 所以 0 ? k ? ?????? 5 分 ?????? 6 分

(Ⅱ)解:结论:四边形 ABDC 不可能为梯形. 理由如下: 假设四边形 ABDC 为梯形. 由题意,设 B( x1 , x1 ) , C ( x2 , x2 ) , D( x3 , y3 ) , 联立方程 ?
2 2

?????? 7 分

? y ? 1 ? k ( x ? 1),
2 ?y ? x ,

消去 y,得 x ? kx ? k ? 1 ? 0 ,
2

由韦达定理,得 1 ? x1 ? k ,所以 x1 ? k ? 1 . 同理,得 x2 ? ?
2

?????? 8 分 ?????? 9 分

1 ? 1. k

对函数 y ? x 求导,得 y? ? 2 x , 所以抛物线 y ? x 在点 B 处的切线 BD 的斜率为 2 x1 ? 2k ? 2 , ?????? 10 分
2

抛物线 y ? x 在点 C 处的切线 CD 的斜率为 2 x2 ? ?
2

2 ? 2 . ??????11 分 k

由四边形 ABDC 为梯形,得 AB//CD 或 AC //BD . 若 AB//CD ,则 k ? ?
2

2 ? 2 ,即 k 2 ? 2k ? 2 ? 0 , k
??????12 分

因为方程 k ? 2k ? 2 ? 0 无解,所以 AB 与 CD 不平行. 若 AC //BD ,则 ?
2

1 ? 2k ? 2 ,即 2k 2 ? 2k ? 1 ? 0 , k
?????13 分

因为方程 2k ? 2k ? 1 ? 0 无解,所以 AC 与 BD 不平行. 所以四边形 ABDC 不是梯形,与假设矛盾. 因此四边形 ABDC 不可能为梯形.

?????14 分

20.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:因为等比数列 {an } 的 a1 = 14 , q = 所以 a1 = 14 , a2 = 7 , a3 = 3.5 . 所以 b1 = 14 , b2 = 7 , b3 = 3 . 则 T3 = b1 + b2 + b3 = 24 . (Ⅱ)证明:(充分性)因为 an ? N , 所以 bn = [an ] = an 对一切正整数 n 都成立. 因为 Sn = a1 + a2 + L + an , Tn = b1 + b2 + L + bn , 所以 S n = Tn .
* (必要性)因为对于任意的 n ? N , S n = Tn ,

1 , 2
?????? 1 分 ?????? 2 分 ?????? 3 分

*

?????? 5 分

当 n ? 1 时,由 a1 = S1 , b1 = T1 ,得 a1 = b1 ; 当 n≥2 时,由 an ? Sn ? Sn ?1 , bn ? Tn ? Tn ?1 ,得 an ? bn . 所以对一切正整数 n 都有 an ? bn . 因为 bn = [an ] Z , an > 0 , 所以对一切正整数 n 都有 an ? N . (Ⅲ)证明:因为 Tn ? 2n ? 1(n≤2014) , 所以 b1 = T1 = 3 , bn ? Tn ? Tn ?1 ? 2(2≤n≤2014) . 因为 bn = [an ] , 所以 a1 ? [3, 4) , an ? [2,3)(2≤n≤2014) . 由 q?
*

?????? 6 分

?????? 7 分

?????? 8 分

?????? 9 分

??????10 分

a2 ,得 q ? 1 . a1
2012

??????11 分

因为 a2014 ? a2 q 所以 q
2012

? [2,3) ,



2 2 ? , a2 3
??????13 分

所以

2 1 2 ? q 2012 ? 1 ,即 ( ) 2012 ? q ? 1 . 3 3


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