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二项式系数的性质的应用(2)


知识回顾:
二项式定理:
(a+b)n=

C a ? C a b ? C a b ? ? ? C b (n ? N )
0 n n n n n

1 n ?1 n

2 n?2 2 n

?

二项式系数:

C (r ? 0,

1,? , n) 称为各项的二项式系数.
r n

二项式系数的性质:
(1)对称性: C
m n

?C
n

n?m n

(2)每行两端都是1,除1以外的每个数都等于“肩” m m?1 m 上两数之和.即: C ?C ?C
n n?1

(3)增减性与最大值:
r n ?1 当r ? 时, Cn 2 ①当n为偶数时,

?C
C

②当n为奇数时,

C 、C

C

r n

n 2 最大; n n ?1 n ?1 2 2 最大; n n

r ?1 n ;当r

r n ?1 时, Cn ? 2

?C

r ?1 n ;

先增后减,在中间取得最大值.

(4)C ? C ? C ? ??? ? C ? 2
0 n 1 n 2 n n n

n

(5)奇数项二项式系数之和等于偶数项系数之和.

C ? C ? C ???? ? C ? C ? C ???? ? 2
0 n 2 n 4 n 1 n 3 n 5 n

n?1

C ? C ? C ? ? ? C ? 2 ?1
1 n 2 n 3 n n n n

二项式系数的性质:

函数角度:
可以看成以r为自变量的函数 f(r),其定义域是{0,1,· · · ,n}。
C
r n

(2)增减性与最大值

图象法解释
f(r) n为偶数; 如n=6

f(r) 35 30

n为奇数; 如n=7

20
15

20

10
6 1 O
n 2

n

O

r

3n 4
2

7

n

n 图象的对称轴: r ? 2 r=3时取得最大值

①关于r=n/2对称 ②r=3和r=4时取得最大值

赋值法

例4已知(1-2x)7=a0+ a1x + a2x2 + …+ a7x7 ,则
(1)a1+a2+a3+…+a7=_______

(2) a0-a1+a2-a3 +… -a7 =______
(3)a1+a3+a5+a7 =_________

(4)a0+a2+a4+a6 =_________
变式:若已知

(1+2x)200= a0+ a1(x-1) + a2(x-1)2 + …+ a200(x-1)200
求a1+a3+a5+a7+…+a199 的值.

练习:


(2 ? 3x)

100

? a0 ? a1 x ? a2 x ? ? ? a100 x
2

100

(1)求a0;

? a2 ? a3 ? ? ? a100 ; (3)求 a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a99 ; 2 2 (4)求 (a0 ? a2 ? a4 ? ? ? a100 ) ? (a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a99 )
(2)求 a1 (5)求 | a1 | ? | a2

| ? | a3 | ??? | a100 |

练习

?1 1.C ? C ? ? ? C ?2_____;
1 n 2 n n n

n

C ?C ?C ?C ?C ?C
1 11 3 11 5 11 7 11 9 11

11 11
2

?2 _____ .
3

10

2.设 2x ? 3
2

?

?

3

? a 0 ? a 1x ? a 2 x ? a 3 x .
2

求?a 0 ? a 2 ? ? ?a1 ? a 3 ? 的值.
3. 求证:
0 n 1 n 2 n n n

?1
n ?1

C ? 2C ? 3C ? ... ? ?n ? 1?C ? ?n ? 2 ? ? 2
[点拔]:倒序相加法.

? ? 1 x ? 4 3 ? 的展开式中只有第10项系数最大,求 4、已知 ? ? ? x ? ?
第五项。

n

n 为偶数,且 解:依题意,

n ? 1 ? 10,? n ? 18, 2
18 ? 4 ?

?T5 ? T4?1 ?

4 C18

? x?

?4 ? ?

1 ? ? ? 3060x 4 . x3 ? ?

4

变式:若将“只有第10项”改为“第10项”呢?

练习
1、(2x-y)5的展开式中各项系数和是________. 展开式中二项式系数和是_______. 2、(x-2)9的展开式中,各二项式系数的最大值是____, 它是展开式中的第_____项. 3、(2a-3b)n的展开式中,二项式系数最大的是第8项和第9 项,则它的第4项的系数是________.

4、已知(1-2x)n的展开式中,奇数项的二项式系数之和为32, 则该二项式展开式的中间项是_________.

5.在二项式(a-b)2n+1的展开式中,下列结论正确的是(
A.中间一项的二项式系数最大. B.中间两项的二项式系数相等且最小. C.中间两项的二项式系数相等且最大. D.中间两项的二项式系数是互为相数.

)

1 n 6.如果 ( x ? 3 ) 的展开式中,只有第6项的系数最大, x
3

那么常数项是( ) A.462 B.252

C.210

D.10

7. (x-2y)8的展开式中,各项的二项式系数和是____, 各项的系数和是_____, 第_____项的二项式系数最 大,第______项的系数最大.

8. 在( x ? 2)n?1 的展开式中,含x的整数次幂的各项系 数之和是__________.
x看成y, 包含 y的偶数次幂的式子之和记为A,包 含 y的奇数次幂的式子之和记为B,再令y=1得A+B=…, 令y= -1得AB=…计算A.

思路:把

9.设 f ( x) ? ( x ? 1)m ? ( x ? 1)n 的展开式中x的系数是 19.(m,n∈N+). (1)求f(x)的展开式中x2的系数的最小值;

(2)当f(x)的展开式中x2的系数的最小值时,求展开式中x7 的系数;

杨辉三角的部分性质:
第二斜行的规律 1

所有行的第二个 数构成等差数列

1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………

杨辉三角的部分性质:
第三斜行的规律 1

1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………

n(n ? 1) an ? 2

杨辉三角的部分性质:
1+1 2 1 + 2 +1 1 + 3 + 3 +1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………

2 2

1

2

3

y?2

n

杨辉三角第n行中n个数之和等于2的n次幂。

1.莱布尼茨三角如图所示:
第0行 ---------------------------1 2 1 12 1 60 1 1 1 6 1 30 1 2 1 12

第1行 ------------------------第2行 -----------------------第3行 -------------------1 5 1 4 1 30 1 3 1 20

1 3 1 20

1 4 1 30

第4行 ------------------第5行 -------------1 6

1 5 1 6

1 60

(1)观察各行中间一项(行数为偶数)或两项(行数为奇数)的分母, 你能得到什么性质? (2)观察相邻两行相邻的三个数之间的关系,你能得到什么性质?


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