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2013年文科全国各省市高考真题——概率(解答题带答案)


2013 年全国各省市文科数学—概率
1、2013 大纲文 T20.(本小题满分 12 分) 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时, 负的一方在下一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均为 立,第 1局甲当裁判. (I)求第 4 局甲当裁判的概率; (II)求前 4 局中乙恰好当 1 次裁判概率.

1 , 各局比赛

的结果都相互独 2

2、2013 新课标 1 文 T18(本小题满分共 12 分) 为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为 A 药, B 药)的疗效,随机地选取 20 位患者 服用 A 药, 20 位患者服用 B 药,这 40 位患者服用一段时间后,记录他们日平均增加的 睡眠时间(单位: h ),试验的观测结果如下: 服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 0.6 2.5 1.2 2.6 2.7 1.2 1.5 2.7 2.8 1.5 1.8 2.9 2.2 3.0 2.3 3.1 3.2 2.3 3.5 2.4

服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 3.2 1.6 1.7 0.5 1.9 1.8 0.8 0.6 0.9 2.1 2.4 1.1 1.2 2.5 2.6 1.2 1.3 2.7 1.4 0.5

(1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好? (3)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?

3、2013 新课标Ⅱ文 T19.(本小题满分 12 分) 经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1 t 该产品获利润 500 元,未售出的 产品,每 1 t 亏损 300 元。根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方 图,如右图所示。经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品。以 X (单位: t ,

100 ? X ? 150 )表示下一个销售季度内的市场需求量, T
(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润。 (Ⅰ)将 T 表示为 X 的函数; (Ⅱ)根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概率;

4、2013 辽宁文 T19.(本小题满分 12 分) 现有 6 道题,其中 4 道甲类题,2 道乙类题,张同学从中任取 3 道题解答.试求: (I)所取的 2 道题都是甲类题的概率; (II)所取的 2 道题不是同一类题的概率.

5、2013 山东文 T17.(本小题满分 12 分) 某小组共有 A、B、C、D、E 五位同学,他们的身高(单位:米)以及体重指标(单位: 2 千克/米 ) 如下表所示: A 身高 1.69 B 1.73 C 1.75 D 1.79 E 1.82

体重指标

19.2

25.1

18.5

23.3

20.9

(Ⅰ)从该小组身高低于 1.80 的同学中任选 2 人,求选到的 2 人身高都在 1.78 以下的概率 (Ⅱ)从该小组同学中任选 2 人,求选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在 [18.5,23.9)中的概率

6、2013 北京文 T16.(本小题共 13 分) 下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于 100 表示空气质 量优良,空气质量指数大于 200 表示空气重度污染。某人随机选择 3 月 1 日至 14 日中的 某一天到达该市,并停留 2 天。

(1)求此人到达当日空气重度污染的概率。 (2)求此在在该市停留期间只有一天空气重度污染的概率。 (3)由图判断,从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)

7、2013 重庆文 T17.(本小题满分 13 分,(Ⅰ)小问 9 分,(Ⅱ)、(Ⅲ)小问各 2 分)

从某居民区随机抽取 10 个家庭,获得第 i 个家庭的月收入 xi (单位:千元)与月储蓄

yi (单位:千元)的数据资料,算得 ? xi ? 80 , ? yi ? 20 , ? xi yi ? 184 ,
i ?1

10

10

10

i ?1

i ?1

?x
i ?1

10

2 i

? 720 .

(Ⅰ)求家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程 y ? bx ? a ; (Ⅱ)判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关; (Ⅲ)若该居民区某家庭月收入为 7 千元,预测该家庭的月储蓄.

附:线性回归方程 y ? bx ? a 中, b ?

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

, a ? y ? bx ,

2 i

? nx

2

y ? ? 其中 x , y 为样本平均值,线性回归方程也可写为 ? ? bx ? a .

8、2013 四川文 T18.(本小题满分 12 分) 某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量 x 在 1, 2,3, ???, 24 这 24 个整数中等可能随 机产生。

(Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出 y 的值为 i 的概率

Pi (i ? 1, 2,3) ;

(Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重 复运行 n 次后,统计记录了输出 y 的值为 i(i ? 1, 2,3) 的频数。以下 是甲、乙所作频数统计表的部分数据。 甲的频数统计表(部分) 运行 输出 y 的值 输出 y 的值 输出 y 的值 乙的频数统计表(部分)

运行 次数 n

输出 y 的值 为 1 的频数

输出 y 的值 为 2 的频数

输出 y 的值 为 3 的频数

30
?

12
?

11
?

7
?

2100
次数 n 为 1 的频数 为 2 的频数 为 3 的频数

1051

696

353

30
?

14
?

6
?

10
?

2100

1027

376

697

当 n ? 2100 时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出 y 的值为

i(i ? 1, 2,3) 的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的
可能性较大。

9、2013 天津文 T15. (本小题满分 13 分) 某产品的三个质量指标分别为 x, y, z, 用综合指标 S = x + y + z 评价该产品的等级. 若 S≤4, 则该产品为一等品. 先从一批该产品中, 随机抽取 10 件产品作为样本, 其质 量指标列表如下: 产品编号 质量指标(x, y, z) 产品编号 质量指标(x, y, z)

A1
(1,1,2)

A2
(2,1,1)

A3
(2,2,2)

A4
(1,1,1)

A5
(1,2,1)

A6
(1,2,2)

A7
(2,1,1)

A8
(2,2,1)

A9
(1,1,1)

A10
(2,1,2)

(Ⅰ) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率; (Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取两件产品, (⒈) 用产品编号列出所有可能的结果;

(⒉) 设事件 B 为 “在取出的 2 件产品中, 每件产品的综合指标 S 都等于 4”, 求事 件 B 发生的概率.

10、2013 福建文 T19.(本小题满分 12 分) 某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁)工人 300 名,25 周岁以下工人 200 名.为研究工人 的日平均生产量是否与年龄有关.现采用分层抽样的方法,从中抽取了 100 名工人, 先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25 周岁以上(含 25 周 岁)”和“25 周岁以下”分为两组,在将两组工人的日平均生产件数分成 5 组: [50, 60) , [60, 70) , [70,80) , [80,90) , [90,100) 分别加以统计,得到如图所示的 频率分布直方图. (1)从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人,求至少抽到一名“25 周 岁以下组”工人的频率. (2)规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成 2 ? 2 的 列联表,并判断是否有 90% 的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?

附表:

11、2013 广东文 T17.(本小题满分 13 分)

从一批苹果中,随机抽取 50 个,其重量(单位:克)的频数分布表如下: 分组(重 量) 频数(个) 5 10 20 15

[80,85)

[85,90)

[90,95)

[95,100)

(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在 [90,95) 的频率; (2) 用分层抽样的方法从重量在 [80,85) 和 [95,100) 的苹果中共抽取 4 个,其中重量在

[80,85) 的有几个?
(3) 在(2)中抽出的 4 个苹果中,任取 2 个,求重量在 [80,85) 和 [95,100) 中各有 1 个的 概率.

12、2013 安徽文 T17.(本小题满分 12 分) 为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况,用简单随机抽样,从这两校中 各抽取 30 名高三年级学生,以他们的数学成绩(百分制)作为样本,样本数据的茎叶图如 下: 甲 乙

7 5 5 5 8 6 4 3 3 3 6 2 2 1 7 5 3 3 1 0 1 0 4 4 2 2 0 0 2 0

4 5 6 7 8 9

5 3 3 8 0 6 9 1 1 2 2 3 3 5 0 0 2 2 2 3 3 6 6 9 1 1 5 5 8 0

(Ⅰ)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为 0.05,求甲校高三年级学生总人数,并估 计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60 分及 60 分以上为及格); (Ⅱ)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为 x1 , x2 ,估计 x1 ? x2 的值.

13、2013 陕西文 T19. (本小题满分 12 分) 有 7 位歌手(1 至 7 号)参加一场歌唱比赛, 由 500 名大众评委现场投票决定歌手名次, 根 据年龄将大众评委分为 5 组, 各组的人数如下: 组别 人数

A
50

B
100

C
150

D
150

E
50

(Ⅰ) 为了调查评委对 7 位歌手的支持状况, 现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委, 其中从 B 组中抽取了 6 人. 请将其余各组抽取的人数填入下表. 组别 人数 抽取人数

A
50

B
100 6

C
150

D
150

E
50

(Ⅱ) 在(Ⅰ)中, 若 A, B 两组被抽到的评委中各有 2 人支持 1 号歌手, 现从这两组被抽 到的评委中分别任选 1 人, 求这 2 人都支持 1 号歌手的概率.

14、2013 湖南文 T18.(本小题满分 12 分) 某人在如图 3 所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以 及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验,一株该种作物的 年收货量 Y (单位:kg)与它的“相近”作物株数 X 之间的关系如下表所示:

这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米。

(Ⅰ)完成下表,并求所种作物的平均年收获量;

(Ⅱ)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为 48kg 的概率.

15、2013 江西文 T18.(本小题满分 12 分) 小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋。游戏规则为以 O 为起点,再从 A1,A2,A3,A4,A5,A6(如图)这 6 个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记住这两个向 量的数量积为 X,若 X>0 就去打球,若 X=0 就去唱歌,若 X<0 就去下棋 (1) 写出数量积 X 的所有可能取值 (2) 分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率 .

参考答案:

2、

4、 .将 4 道甲类题依次编号为 1,2,3,4:2 道乙类题依次编号为 5,6.任取 2 道 题,基本事件为: 共 15 个.而且这些基本事件的出现是等可 能的. 用 A 表示’’都是甲类题’’这一事件.则 A 包含的基本事件有 .共 6 个.所以 P . 基本事件同 件有 .

.用 B 表示’’不是同一类题’’这一事件,则 B 包含的基本事 共 8 个,所以 P

5、

6、解:(1)因为要停留 2 天,所以应该在 3 月 1 日至 13 日中的某天到达,共有 13 种选 择,其间重度污染的有两天, 所以概率为 P ? 1

2 13

(2)此人停留的两天共有 13 种选择,分别是: (1, 2) , (2,3) , (3, 4) , (4,5) ,

(5, 6) , (6, 7) , (7,8) , (8,9) , (9,10) , (10,11) , (11,12) , (12,13) , (13,14)
其中只有一天重度污染的为 (4,5) , (5, 6) , (7,8) , (8,9) ,共 4 种, 所以概率为 P2 ?

4 13

(3)因为第 5,6,7 三天的空气质量指数波动最大,所以方差最大。

7、

8、

1 6

1 2 1 1 ,输出y 的值为3 的概率为 3 6

9、

10、解:(Ⅰ)由已知得,样本中有 25 周岁以上组工人 60 名, 25 周岁以下组工人 40 名 所以,样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中, 25 周岁以上组工人有 60 ? 0.05 ? 3 (人), 记为 A1 , A2 , A3 ; 25 周岁以下组工人有 40 ? 0.05 ? 2 (人),记为 B1 , B2 从中随机抽取 2 名工人,所有可能的结果共有 10 种,他们是: ( A1 , A2 ) , ( A1 , A3 ) , ( A2 , A3 ) , ( A1 , B1 ) , ( A1 , B2 ) , ( A2 , B1 ) , ( A2 , B2 ) , ( A3 , B1 ) , ( A3 , B2 ) , ( B1 , B2 ) 其中,至少有名“ 25 周岁以下组”工人的可能结果共有 7 种,它们是: ( A1 , B1 ) ,

( A1 , B2 ) , ( A2 , B1 ) , ( A2 , B2 ) , ( A3 , B1 ) , ( A3 , B2 ) , ( B1 , B2 ) .故所求的概率: P ?

7 10

(Ⅱ)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 名工人中,“ 25 周岁以上组”中的生产能手 60 ? 0.25 ? 15 (人),“ 25 周岁以下组”中的生产能手 40 ? 0.375 ? 15 (人),据此可得 2 ? 2 列联表如下: 生产能手 非生产能手 合计

25 周岁以上组 25 周岁以下组
合计 所以得: K 2 ?

15 15 30

45 25 70

60 40 100

n(ad ? bc)2 100 ? (15 ? 25 ? 15 ? 45) 2 25 ? ? ? 1.79 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 60 ? 40 ? 30 ? 70 14

因为 1.79 ? 2.706 ,所以没有 90% 的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关” 11、【解析】(1)苹果的重量在 ?90,95? 的频率为

20 =0.4 ; 50

(2)重量在 ?80,85? 的有 4 ?

5 =1个; 5+15

(3)设这 4 个苹果中 ?80,85? 分段的为 1, ?95,100? 分段的为 2、3、4,从中任取两个, 可能的情况有: (1,2)(1,3)(1,4)(2,3)(2,4)(3,4)共 6 种;设任取 2 个,重量在

?80,85? 和 ?95,100? 中各有 1 个的事件为 A,则事件 A 包含有(1,2)(1,3)(1,4)共
3 种,所以 P (A) ?

3 1 ? . 6 2 30 30 ? 0.05 ? n ? ? 600 n 0.05

12、【解析】(1)

p?

25 5 ? 30 6

(2) x1 ?

7 ? 40 ? 13 ? 50 ? 4 ? 24 ? 60 ? 9 ? 26 ? 70 ? 9 ? 22 ? 80 ? 5 ? 2 ? 90 ? 2 30
2084 30

=

x2 ?
=

5 ? 40 ? 14 ? 50 ? 3 ? 17 ? 60 ?10 ? 33 ? 70 ?10 ? 20 ? 80 ? 5 ? 90 30
2069 30

x2 ? x1 ?

2084 2069 15 ? ? ? 0.5 30 30 30

13、【答案】 (Ⅰ). 组别 人数 抽取人数 A 50 3 B 100 6 C 150 9 D 150 9 E 50 3

(Ⅱ)

2 9

【解析】 (Ⅰ) 按相同的比例从不同的组中抽取人数。 从 B 组 100 人中抽取 6 人,即从 50 人中抽取 3 人,从 100 人中抽取 6 人,从 100 人中抽取 9 人。 (Ⅱ) A 组抽取的 3 人中有 2 人支持 1 号歌手,则从 3 人中任选 1 人,支持支持 1 号歌手 的概率为

2 · 3

B 组抽取的 6 人中有 2 人支持 1 号歌手,则从 6 人中任选 1 人,支持支持 1 号歌手的概率 为

2 · 6 2 2 2 ? ? . 3 6 9 2 . 9

现从抽样评委 A 组 3 人,B 组 6 人中各自任选一人,则这 2 人都支持 1 号歌手的概率

P?

所以,从 A,B 两组抽样评委中,各自任选一人,则这 2 人都支持 1 号歌手的概率为

14、 15、解: (1) x 的所有可能取值为-2 ,-1 ,0, 1。 (2)数量积为-2 的只有 OA2 ? OA5 一种 数量积为-1 的有 OA1 ? OA5 , OA1 ? OA6 , OA2 ? OA4 , OA2 ? OA6 , OA3 ? OA4 , OA3 ? OA5 六种 数量积为 0 的有 OA1 ? OA3 , OA1 ? OA4 , OA3 ? OA6 , OA4 ? OA6 四种 数量积为 1 的有 OA1 ? OA2 , OA2 ? OA3 , OA4 ? OA5 , OA5 ? OA6 四种 故所有可能的情况共有 15 种。 所以小波去下棋的概率为 p1 ?

7 15

因为去唱歌的概率为 p2 ?

4 4 11 ,所以小波不去唱歌的概率 p ? 1 ? p2 ? 1 ? ? 15 15 15


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