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数学(文)空间几何体的三视图及其表面积、体积和立体几何的三个难点问题


空间几何体的三视图及其表面积、体积和立体几何的三个难点问题

一、空间几何体的三视图及其表面积、体积 柱、锥、台、球及其简单组合体,三视图,直观图等内容是立体几何的基础,是研究空 间问题的基本载体, 也是高考对立体几何考查的一个重要方面, 其中几何体的结构特征和三 视图是高考的热点. (一)高考对三视图的三个考查角度 1.由几何体画三视图或考查对简单几何体的三

视图的识别 解答此类问题的关键是:一要掌握各种基本几何体的三视图,注意简单组合体的构成; 二要熟悉三视图“长对正、高平齐、宽相等”的法则. [例 1] 如图所示,已知三棱锥的底面是直角三角形,直角边长分别为 3 和 4,过直角顶点的侧棱长为 4,且垂直于底面,该三棱锥的主视图是( )

[解析] 结合三视图的画法规则可知 B 正确. [答案] B 2.由三视图还原几何体,考查对空间几何体的认识及空间想象能力.由几何体的三视 图还原几何体,一般如下处理: 首先通过俯视图确定几何体底面的大致形状, 然后利用正视图和侧视图确定几何体的侧 棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置,确定几何体的形状. [例 2] 三视图如图所示的几何体是( A.三棱锥 B.四棱锥 C.四棱台 D.三棱台 [解析] 由三视图知该几何体为一四棱锥,其中有一侧棱垂直于底面,底面为一直角梯 形. [答案] B 3.借助于三视图研究几何体的表面积、体积 解决此类问题关键是通过三视图确定空间几何体中的几何量的关系 其中,正视图、侧视图的高就是空间几何体的高,正视图、俯视图中的长就是空间几何 )

体的最大长度,侧视图、俯视图中的宽就是空间几何体的最大宽度. [例 3] 如图是某几何体的三视图,其中正视图是斜边长为 2a 的直角三角形,侧视图是 半径为 a 的半圆,则该几何体的体积是( )

A. C.

3 3 πa 6 3 3 πa 4

B. 3πa3 D.2 3πa3

[解析] 由侧视图为半圆可知,该几何体与圆柱、圆锥、球有 关,结合正视图是一个直角三角形知该几何体是沿中心轴线切开的 半个圆锥,将剖面放置在桌面上,如图,由条件知,半圆锥的母线 长为 2a,底面半径为 a,故半圆锥的高为 ?2a?2-a2= 3a,几何体 1 1 3 ×πa2× 3a?= πa3. 的体积 V= ×? ? 6 2 ?3 [答案] A (二)求体积的几种方法 空间几何体的体积是高考考查立体几何的考点之一, 求空间几何体的体积的常用方法主 要有:公式法、转化法、割补法. 1.公式法:直接根据相关的体积公式计算. [例 4] 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该球的体积为 4 3π,则该正方体 的表面积为________. [解析] 依题意知正方体的体对角线长等于球的直径,设球的半径为 R, 4 则 4 3π= πR3, 3 所以 R= 3,于是正方体的体对角线长为 2 3. 设正方体的棱长为 a, 则有 2 3= 3a, 于是 a=2,因此正方体的表面积为 6a2=24. [答案] 24 2.转化法:根据体积计算公式,通过转换空间几何体的底面和高,从而使得体积计算 更容易,或是可以求出一些体积比等.

[例 5] 如图所示, 在正六棱锥 P-ABCDEF 中, G 为 PB 的中点, 则三棱锥 D-GAC 与三棱锥 P-GAC 体积之比为( A.1∶1 B.1∶2 C.2∶1 D.3∶2 [解析] 根据三棱锥的特点,可以采用等体积转化的方法解决. 法一:如图所示,由于点 G 为 PB 的中点,故点 P,B 到平面 GAC 的距离相等,故三 棱锥 P-GAC 的体积等于三棱锥 B-AGC 的体积,根据三棱锥的特点,所要解决的两个三 棱锥的体积之比就等于三棱锥 G-ACD 与三棱锥 G-ABC 的体积之比,由于这两个三棱锥 的高相等,体积之比等于其底面积之比,即△ACD 与△ABC 的面积之比,这个面积之比是 2∶1. 法二:如图所示,连接 BD 交 AC 于 H,则点 D,B 到平面 GAC 的距离之比等于 DH∶ BH,因为△AHD∽△CHB,故 DH∶BH=AD∶BC=2∶1,三棱锥 D-GAC 与三棱锥 B- GAC 底面积相等,故其体积之比等于其高的比,即所求比值是 2∶1. [答案] C 3.割补法:把不能直接计算其体积的空间几何体进行适当的分割或补形,转化为可以 计算体积的空间几何体,通过这个空间几何体的体积计算所求的空间几何体的体积. [例 6] 如图所示,若正方体的棱长为 2,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面 体的体积为( ) )

A. C.

2 6 3 3

B.

2 3

2 D. 3

[解析] 如图所示,平面 ABCD 把该多面体分割成两个体积相等的正四棱锥. 以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是两个全等的正四棱锥, 该正四棱锥的高是正 1 1 1 × 2× 2?× × 2= 方体边长的一半, 底面面积是正方体一个面面积的一半, V=2× ×? ? 2 3 ?2 2 . 3 [答案] B 二、破解高考中立体几何的三个难点问题

破解难点一:探究与球有关的组合体问题 与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点 和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图.如球内切于正方体,切 点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点均 在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.球与旋转体的组合,通常作它们的轴截面解 题,球与多面体的组合,通过多面体的一条侧棱和球心、“切点”或“接点”作出截面图. [例 1] 四棱锥 S-ABCD 的底面边长和各侧棱长都为 2,点 S,A,B,C,D 都在同一 个球面上,则该球的体积为________. [解析] 如图所示,根据对称性,只要在四棱锥的高线 SE 上找到 一个点 O 使得 OA=OS,则四棱锥的五个顶点就在同一个球面上. 在 Rt△SEA 中,SA= 2,AE=1,故 SE=1.设球的半径为 r,则 OA=OS=r,OE=1-r.在 Rt△OAE 中,r2=(1-r)2+1,解得 r=1, 4π 即点 O 为球心,故这个球的体积是 . 3 [答案] 4π 3

破解难点二:平面图形翻折问题的求解 将平面图形沿其中一条或几条线段折起, 使其成为空间图形, 这类问题称之为平面图形 翻折问题.平面图形经过翻折成为空间图形后,原有的性质有的发生了变化,有的没有发生 变化,弄清它们是解决问题的关键.一般地,翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化, 不在同一个平面上的性质可能会发生变化, 解决这类问题就是要据此研究翻折以后的空间图 形中的线面关系和几何量的度量值,这是解决翻折问题的主要方法. [例 2] 如图边长为 a 的等边三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 交于点 G, 已知△A′DE 是△ADE 绕 DE 旋转过程中的一个图形, 则下 列命题中正确的是( )

①动点 A′在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上; ②BC∥平面 A′DE; ③三棱锥 A′FED 的体积有最大值. A.① C.①②③ B.①② D.②③

[解析] ①中由已知可得面 A′FG⊥面 ABC, 所以点 A′在面 ABC 上的射影在线段 AF 上. ②∵BC∥DE,且 BC?平面 A′DE,DE?平面 A′DE, ∴BC∥平面 A′DE. ③当面 A′DE⊥面 ABC 时,三棱锥 A′FED 的体积达到最大.

[答案] C 破解难点三:立体几何中的探索性问题 立体几何中的探索性问题的主要类型有:(1)探索条件,即探索能使结论成立的条件是 什么;(2)探索结论,即在给定的条件下,命题的结论是什么. 综合法 对命题条件的探索常采用以下三种方法: (1)先猜后证,即先观察与尝试给出条件再证明; (2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件,再证明其充分性; (3)把几何问题转化为代数问题,探索命题成立的条件. 对命题结论的探索常采用以下方法: 首先假设结论成立, 然后在这个假设下进行推理论证, 如果通过推理得到了合乎情理的 结论就肯定假设,如果得到了矛盾的结果就否定假设. [例 3] (2013· 东城模拟)如图,在△BCD 中,∠BCD=90° ,BC= CD=1,AB⊥平面 BCD,∠ADB=60° ,E,F 分别是 AC,AD 上的动 AE AF 点,且 = =λ(0<λ<1). AC AD (1)判断 EF 与平面 ABC 的位置关系并给予证明; (2)是否存在 λ,使得平面 BEF⊥平面 ACD,如果存在,求出 λ 的值;如果不存在,说 明理由. [解] (1)EF⊥平面 ABC. 因为 AB⊥平面 BCD,所以 AB⊥CD, 又在△BCD 中,∠BCD=90° ,所以 BC⊥CD, 又 AB∩BC=B,所以 CD⊥平面 ABC. 又在△ACD 中,E,F 分别是 AC,AD 上的动点, 且 AE AF = =λ(0<λ<1),∴EF∥CD. AC AD

∴EF⊥平面 ABC. (2)存在.∵CD⊥平面 ABC,BE?平面 ABC, ∴BE⊥CD, ∵∠BCD=90° ,BC=CD=1,∴BD= 2. 在 Rt△ABD 中,∠ADB=60° , ∴AB=BDtan 60° = 6, 则 AC= AB2+BC2= 7, AB×BC 6 当 BE⊥AC 时,BE= = , AC 7

AE= AB2-BE2= 6 7 7 AE 6 则 = = , AC 7 7

6 7 , 7

AE 6 则 λ= = 时,BE⊥AC, AC 7 又 BE⊥CD,AC∩CD=C, ∴BE⊥平面 ACD.∵BE?平面 BEF, ∴平面 BEF⊥平面 ACD. 6 所以存在 λ,且当 λ= 时,平面 BEF⊥平面 ACD. 7


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