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山西省原平市重点中学2014~2015学年高二数学上学期期末试题 理


2014~2015 学年度第一学期期末试题 高二数学(理)
第 I 卷(选择题) 一、选择题(本题共 12 道小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. 已知集合 A= A.(4,7]

?x | x

2

? 3x ? 4 ? 0?
B.[-7,-1)

,B=

r />?x | x ? 7, 或x ? ?1? ,则 A ? (CR B) 为(
? 1) ? (7, ? ?) C. (??,
D.[-1,7]



x tan
2.直线

?
3

? y?2?0

的倾斜角 ? 是(



? A. 3
A. ?x ? R,2
x ?1

? B. 6


2? C. 3
B. ?x ? N ? , ( x ? 1) ? 0
2

?
D.

?
3

3. 下列命题中是假命题的是(

?0

C. ?x ? R, lg x ? 1

D. ?x ? R, tan x ? 2

y2 x2 ? ?1 4. “ 2 ? m ? 6 ”是“方程 m ? 2 6 ? m 为椭圆方程”的(



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.从已有 3 个红球、2 个白球的袋中任取 3 个球,设 A={至少取到两个红球} ,B={恰好取到 一个白球} ,则事件 AB 的概率是( )

1 A. 10
6. 已知两条直线

3 B. 10

3 C. 5

9 D. 10


l1 : x ? y ? 2 ? 0, l2 : 3x ? ay ? 2 ? 0 ,且 l1 ? l2 ,则 a ? (
4 B. 3
C. ? 3
2

1 A. 3 ?
2

D. 3 )

y ? 0 相切,则圆 C 的圆心轨迹为( 7. 设圆 C 与圆 x ? ( y ? 3) ? 1 外切,与直线
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线

8. 设 A、 B、 C、 D 是球面上的四点, AB、 AC、 AD 两两互相垂直, 且 AB ? 5 , AC ? 4 , AD ? 23 , 则球的表面积为( A. 36? ) B. 64? C. 100? D. 144?
-1-

9.已知直线 l ? 平面 ? ,直线 m ? 平面 ? ,给出下列命题,其中正确的是( ① ? // ? ? l ? m ② ? ? ? ? l // m ③ l // m ? ? ? ?



④ l ? m ? ? // ? D.①②④

A.②④ B.①③ C.②③④ 10.某四棱锥的三视图如图所示,其中正(主)视图是等腰 直角三角形,侧(左)视图是等腰三角形,俯视图是正方形, 则该四棱锥的体积是( ) A. 8
2

8 B. 3
C. 4

1

1

1

1

正(主)视图

侧(左)视图

4 D. 3

x2 y 2 ? 2 ?1 2 2 2 b 11. 双曲线 a 的渐近线与圆 x ? ( y ? 2) ? 1
相切,则双曲线离心率为( A. 2 B. ) D.

俯视图

2
2

C. 3

3


12.抛物线 y ? x 上的点到直线 x ? y ? 2 ? 0 的最短距离为(

A.

2

7 2 B. 8

C. 2 2

D. 1

第 II 卷(非选择题) 二、填空题(本题共 4 道小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.圆心在 x 轴上,经过原点,并且与直线 y=4 相切的圆的方程是 14.

. .

S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和, a2 ? a6 ? 6 ,则 S7 ?

15. 如图,正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 4,M 为 BD1 的中点,N 在 A1C1 上,且|A1N|=3|NC1|,则 MN 的长为 . 16.给出下列三个命题: ①函数 y=tanx 在第一象限是增函数;②奇函数的图象一定过原点; ③函数 y=sin2x+cos2x 的最小正周期为 ? , ④函数

y ? x?

2 x 的最小值

-2-

为2 2 , 其中假命题的序号是________________. 三、解答题(本题共 6 道小题,共 70 分) 17.(本小题满分 10 分) 已知

p : x 2 ? 6x ? 27 ? 0, q : x ? 1 ? m(m ? 0)

, 若 q 是 p 的必要而不充分条件, 求实数 m 的

取值范围. 18.(本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 的顶点 C 在直线 3x ? y ? 0 上,顶点 A、B 的坐标分别为 (4, 2),(0,5) . (1)求过点 A 且在

x , y 轴上的截距相等的直线方程;

(2)若 ?ABC 的面积为 10,求顶点 C 的坐标。 19.(本小题满分 12 分)
2 2 2 在△ ABC 中,已知 a、b、c 分别是内角 A 、 B 、 C 所对应的边长,且 b ? c ? a ? bc.

(1)求角 A 的大小;

3 3 (2)若 b ?1,且△ ABC 的面积为 4 ,求 sin B .
20.(本小题满分 12 分) 已知 ABCD 为直角梯形,

?DAB ? ?ABC ? 90 o , PA ? 平面 ABCD , PA ? AB ? BC ? 2, AD ? 1.
(1)求证: BC ? 平面 PAB ; (2)求平面 PAB 与平面 PCD 所成锐二面角的余弦值.

21. (本小题满分 12 分)

f ( x) ?
已知函数

11 1 3 (1,? ) x ? ax 2 ? bx y ? f ( x ) 3 处的切线斜率 3 (a,b∈R).若 图象上的点

-3-

为-4. (1)求 a、b 的值; (2)求 y ? f ( x) 的极大值.

22.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心在坐标原点,F(1,0)为椭圆 C 的一个焦点,点 P(2,y0)为椭圆 C 上一 点,且|PF|=1. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若过点 M(0,1)的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A、B,且 AM ? 3MB ,求直线 l 的方程.

高二期末考试 数学(理) 答题纸 *************** 密 **************************封***************************线********************* 注 意 事 项

1.答题前,务必先将本人的姓名、联考证号填写清楚。 2.严格按照题号在答题区域内作答,超出答题区域无效 3. 保持答题卡清洁完整, 严禁折叠 , 严禁在答题卡上做 任何标记,严禁使用涂改液、修正纸和修正带。 4.若考生未按要求答题,影响评分结果,后果自负。

座位号

贴条形码区域

一考场号

选择题 (每小题 5 分,共 60 分) 1 2 3 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 6 7 8 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 9 10 11 12 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

准考证号

非选择题 13、 17、 (10 分) 14、 15、 16、

班级

姓名

-4-

18、 (12 分) (1)

(2)

19、 (12 分)

20、 (12 分) (1)

(2)

-5-

21、 (12 分)

22、 (12 分)

-6-

高二数学(理)参考答案 选择题 1 2 3 题号 A C B 答案 填空题 13. ( x ? 4) ? y ? 16
2 2

4 B

5 C

6 C

7 D

8 B

9 B

10 D

11 A

12 B

14.21

15.

6

16. ①②④

解答题 17. 解:由 p 得 ?3 ? x ? 9 由 q 得 ?m ? 1 ? x ? m ? 1 ∵q 是 p 的必要而不充分条件
-7-



?1 ? m ? ?3 ? ?1 ? m ? 9

得m?8

又因为 m ? 8 时命题成立。 ∴ 实数 m 的取值范围是 m ? 8

1 1 18. 解: (Ⅰ)ⅰ)若所求直线过原点时 k= 2 ,∴ y= 2 x,即 x-2y=0;
ⅱ)截距不为 0 时,k=-1,∴ y-2=-(x-4) , 即 x+y-6=0. ∴所求直线方程为 x-2y=0 或 x+y-6=0. (Ⅱ)由顶点 C 在直线 3x-y=0 上,可设 C(x0,3x0), 可求直线 AB 的方程为 3x+4y-20=0, 则顶点 C 到直线 AB 的距离 d==|3x0-4|, 且|AB|=5;

1 8 ∴S△ABC= 2 |AB|· d=10,即|3x0-4|=4,∴x0=0 或 x0= 3 , 8 故顶点 C 的坐标为(0,0)或( 3 ,8).
2 2 2 19. 解: (Ⅰ)在△ABC 中, b ? c ? a ? 2bc cos A

又b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc,
? cos A ? 1 ? ,? A ? . 2 3

1 3 3 3 S ? bc sin A ? bc ? 2 4 4 ,得 bc ? 3 (Ⅱ)由

?b ?1 ?c ? 3
? a 2 ? b2 ? c2 ? bc ? 1 ? 9 ? 3 ? 7 ? a ? 7

a b b sin A 21 ? 2 ? ? , sin B ? a 14 7 由 sin A sin B 得
20. 解: 如图, 以 A 为原点建立空间直角坐标系, 可得 B (2,0,0), C (2,2,0), D (0,1,0), P (0,0,2) 。 (1)证明法一:因为 BC ? (0,2,0), AB ? (2,0,0), AP ? (0,0,2) , 所以 BC ? AB ? 0, BC ? AP ? 0 ,

3

-8-

所以 BC ? AB, BC ? AP , AP I AB ? A , PA ? 平面 PAB , AB ? 平面 PAB , 所以 BC ? 平面 PAB .

BC ? 平面 ABCD , 证明法二: 因为 PA ? 平面 ABCD , 所以 PA ? BC ,又因为 ?ABC =90°,
即 BC ? AB , AP I AB ? A , PC ? 平面 PAB , AB ? 平面 PAB , 所以 BC ? 平面 PAB . (2)由(Ⅰ)知平面 PAB 的一个法向量 n1 ? (0,1,0) , 设平面 PCD 的法向量 n 2 ? ( x, y, z ) , 又 PC ? (2,2,?2), PD ? (0,1,?2) ,

P

y

C
D

? ?n2 ? PC ? 0, ? ?n ? PD ? 0, 且? 2

A

B

x

?2 x ? 2 y ? 2 z ? 0, ? y ? 2 z ? 0, 所以 ?
所以平面 PCD 的一个法向量为 n 2 ? (?1,2,1),

cos ? n1 , n2 ??
所以

n1 ? n2 6 ? , n1 n2 3

6 所以平面 PAB 与平面 PCD 所成锐二面角的余弦值为 3 .
21. 解:(1)∵f′(x)=x2+2ax-b, 11 ∴由题意可知:f′(1)=-4 且 f(1)=- 3 . 1+2a-b=-4, ? ?a=-1, ? ? 即?1 解得? 11 ?b=3. +a-b=- 3 , ? ? ?3 1 由(1)知:f(x)=3x3-x2-3x, f′(x)=x2-2x-3=(x+1)(x-3) 令 f′(x)=0,得 x1=-1,x2=3. 由此可知,当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,-1) -1 (-1,3) f′(x) + 0 -

3 0

(3,+∞) +
-9-

f(x)



极大值

?↘

极小值



5 ∴当 x=-1 时,f(x)取极大值3. 22. 解: (1)由题意得:F(1,0) ,|PF|=1 ∴

1 ? y02 ? 1 ,∴ y0 ? 0
2

∴ a ? 2, b ? 3

x2 y 2 ? 3 =1. ∴椭圆的方程为 4
(2)① 当直线 l 的斜率不存在时,不合题意。

x2 y 2 ? 3 =1 ② 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? 1 与椭圆 C: 4
联立消去 y 得 (3 ? 4k ) x ? 8kx ? 8 ? 0
2 2

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则 ∵ AM ? 3MB ∴

x1 ? x2 ? ?

8k 8 x1 x2 ? ? 2 3 ? 4k ①, 3 ? 4k 2 ②

x1 ? ?3x2



k2 ?
由①②③得

3 2

k ??


6 2 y? 6 6 x ?1 y ? ? x ?1 2 2 或

∴直线 l 的方程为

- 10 -


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