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二项式定理练习题及答案解析


二项式定理练习题及答案解析 一、选择题 1.二项式(a+b)2n 的展开式的项数是( A.2n C.2n-1 [答案] B 2.(x-y)n 的二项展开式中,第 r 项的系数是( A.Crn C.Cr-1n [答案] D 3.在(x-3)10 的展开式中,x6 的系数是( A.-27C610 C.-9C610 [答案] D [解析] ∵Tr+1=Cr10x10-r(-3)r.令

10-r=6, 解得 r=4.∴系数为(-3)4C410=9C410. 4.(2010?全国Ⅰ理,5)(1+2x)3(1-3x)5 的展开式中 x 的系数是( A.-4 C.2 [答案] [解析] C (1+2x)3(1-3x)5=(1+6x+12x+8xx)(1-3x)5, B.-2 D .4 ) B.27C410 D.9C410 ) B.Cr+1n D.(-1)r-1Cr-1n ) B.2n+1 D.2(n+1) )

故(1+2x)3(1-3x)5 的展开式中含 x 的项为 1×C35(-3x)3+12xC05=

-10x+12x=2x,所以 x 的系数为 2. 5.在 2x3+1x2n(n∈N*)的展开式中,若存在常数项,则 n 的最小值 是( A.3 C.8 [答案] B [解析] Tr+1=Crn(2x3)n-r1x2r=2n-r?Crnx3n-5r. 令 3n-5r=0,∵0≤r≤n,r、n∈Z. ∴n 的最小值为 5. 6.在(1-x3)(1+x)10 的展开式中 x5 的系数是( A.-297 C.297 [答案] D [解析] x5 应是(1+x)10 中含 x5 项与含 x2 项. ∴其系数为 C510+C210(-1)=207. 7.(2009?北京)在 x2-1xn 的展开式中,常数项为 15,则 n 的一个值 可以是( A.3 C.5 [答案] D [解析] 通项 Tr+1=Cr10(x2)n-r(-1x)r=(-1)rCrnx2n-3r,常数项 是 15,则 2n=3r,且 Crn=15,验证 n=6 时,r=4 合题意,故选 D. ) B .4 D .6 B.-252 D.207 ) ) B .5 D.10

8.(2010?陕西理,4)(x+ax)5(x∈R)展开式中 x3 的系数为 10,则实数 a 等于( A.-1 C.1 [答案] D [解析] Cr5?xr(ax)5-r=Cr5?a5-rx2r-5,令 2r-5=3,∴r=4, ) B.12 D .2

由 C45?a=10,得 a=2. 9.若(1+2x)6 的展开式中的第 2 项大于它的相邻两项,则 x 的取值 范围是( ) B.16<x<15 D.16<x<25

A.112<x<15 C.112<x<23 [答案] A

[解析] 由 T2>T1T2>T3 得 C162x>1C162x>C26(2x)2∴112<x<15. 10.在 32x-1220 的展开式中,系数是有理数的项共有( A.4 项 C.6 项 [答案] A [解析] Tr+1=Cr20(32x)20-r-12r=-22r?(32)20-rCr20?x20-r, ∵系数为有理数, ∴(2)r 与 220-r3 均为有理数, ∴r 能被 2 整除,且 20-r 能被 3 整除, 故 r 为偶数,20-r 是 3 的倍数,0≤r≤20. B .5 项 D.7 项 )

∴r=2,8,14,20. 二、填空题 11.(1+x+x2)?(1-x)10 的展开式中,x5 的系数为____________. [答案] -162 12.(1+x)2(1-x)5 的展开式中 x3 的系数为________. [答案] 5

[解析] 解法一:先变形(1+x)2(1-x)5=(1-x)3?(1-x2)2=(1-x)3(1 +x4-2x2),展开式中 x3 的系数为-1+(-2)?C13(-1)=5; 解法二:C35(-1)3+C12?C25(-1)2+C22C15(-1)=5. 13. 若 x2+1ax6 的二项展开式中 x3 的系数为 52, 则 a=________(用 数字作答). [答案] [解析] 2 C36(x2)3?1ax3=20a3x3=52x3,∴a=2.

14 . (2010 ?辽宁理, 13)(1 + x + x2)(x - 1x)6 的展开式中的常数项为 ________. [答案] -5 [解析] (1+x+x2)x-1x6

=x-1x6+xx-1x6+x2x-1x6, ∴要找出 x-1x6 中的常数项,1x 项的系数,1x2 项的系数,Tr+1= Cr6x6-r(-1)rx-r=Cr6(-1)rx6-2r, 令 6-2r=0,∴r=3, 令 6-2r=-1,无解.

令 6-2r=-2,∴r=4. ∴常数项为-C36+C46=-5. 三、解答题 15.求二项式(a+2b)4 的展开式. [解析] 根据二项式定理 (a+b)n=C0nan+C1nan-1b+…+Cknan-kbk+…+Cnnbnn 得 (a + 2b)4 = C04a4 + C14a3(2b) + C24a2(2b)2 + C34a(2b)3 + C44(2b)4 = a4+8a3b+24a2b2+32ab3+16b4. 16.m、n∈N*,f(x)=(1+x)m+(1+x)n 展开式中 x 的系数为 19,求 x2 的系数的最小值及此时展开式中 x7 的系数. [解析] 由题设 m+n=19,∵m,n∈N*. ∴m=1n=18,m=2n=17,…,m=18n=1. x2 的系数 C2m+C2n=12(m2-m)+12(n2-n)=m2-19m+171. ∴当 m=9 或 10 时,x2 的系数取最小值 81,此时 x7 的系数为 C79 +C710=156. 17.已知在(3x-123x)n 的展开式中,第 6 项为常数项. (1)求 n; (2)求含 x2 的项的系数; (3)求展开式中所有的有理项. [解析] (1)Tr+1=Crn?(3x)n-r?(-123x)r

=Crn?(x13)n-r?(-12?x-13)r =(-12)r?Crn?xn-2r3.

∵第 6 项为常数项, ∴r=5 时有 n-2r3=0,∴n=10. (2)令 n-2r3=2,得 r=12(n-6)=2, ∴所求的系数为 C210(-12)2=454. (3)根据通项公式,由题意得:10-2r3∈Z0≤r≤10r∈Z 令 10-2r3=k(k∈Z),则 10-2r=3k, 即 r=10-3k2=5-32k. ∵r∈Z,∴k 应为偶数,∴k 可取 2,0,-2, ∴r=2,5,8,∴第 3 项、第 6 项与第 9 项为有理项. 它们分别为 C210?(-12)2?x2,C510(-12)5, C810?(-12)8?x-2. 18.若 x+124xn 展开式中前三项系数成等差数列.求:展开式中系 数最大的项. [解析] 通项为:Tr+1=Crn?(x)n-r?124xr. 由已知条件知:C0n+C2n?122=2C1n?12,解得:n=8. 记第 r 项的系数为 tr,设第 k 项系数最大,则有: tk≥tk+1 且 tk≥tk-1. 又 tr=Cr-18?2-r+1,于是有: Ck-18?2-k+1≥Ck8?2-kCk-18?2-k+1≥Ck-28?2-k+2 即 8!(k-1)! ?(9-k)!×2≥8!k!(8-k)! ,8!(k-1)! ?(9-k)!≥8! (k-2)! ?(10-k)!×2. ∴29-k≥1k,1k-1≥210-k.解得 3≤k≤4.

∴系数最大项为第 3 项 T3=7?x35 和第 4 项 T4=7?x74.


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