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磁场竞赛辅导讲义


高三物理竞赛辅导

磁场与电磁感应第一讲
主讲:孙琦

磁场

一、毕奥——萨伐尔定律与磁力矩 1.毕奥——萨伐尔定律 如图所示,设Δ L 为导线的一段微元,其电流强度为 I,则在真空中距该“线微元”为 r 的 P 处,此通电线微元产生的磁感应强度为: ?B ?
?7

与 r 之

间的夹角, ? 0 ? 4? ? 10 T ? m / A , ?B 的方向可由右手定则得。

?0 I ?L sin ? ,式中 ? 为电流方向 4?r 2

⑷细长密绕通电螺线管内的磁感应强度为: B ? ? 0 nI , n 是螺线管单位长度上线圈的匝数, 此式表示的是匀强磁场 2.磁力矩 匀强磁场对通电线圈作用力的磁力矩的计算式为:M ? NBIS cos? 式中的 N 为线圈匝 数,I 为线圈中通过的电流强度,θ 为线圈平面与磁场方向所夹的角,S 为线圈的面积, 而不管线圈是否是矩形,且磁力矩的大小与转轴的位置无关。 例 1.如图所示,将均匀细导线做成的环上的任意两点 A 和 B 与固定电源相连接起来,计 算由环上电流引起的环中心的磁感应强度。

例 2.一个质量均匀分布的细圆环,其半径为 r,质量为 m,令此环均匀带正电,总电量为 Q。 现将此环放在绝缘的光滑水平面上, 如图所示, 并处于磁感应强度为 B 的匀强磁场中, 磁场方向竖直向下, 当此环绕通过其中心的竖直轴以匀速度ω 沿图示方向旋转时, 试求环 中的张力。
B

1

例 3.两根互相平行的长直导线相距 10cm ,其中一根通电的电流是 10A ,另一根通电电 流为 20A ,方向如图。试求在两导线平面内的 P、Q、R 各点的磁感强度的大小和方向。

例 4.如图所示,无限长竖直向上的导线中通有恒定电流 I 0 ,已知由 I 0 产生磁场的公式是

B?k

I0 ‘ , k 为恒量, r 是场点到 I 0 导线的距离。边长为 2L 的正方形线圈轴线 OO 与 r


导线平行。 某时刻该线圈的 ab 边与导线相距 2L, 且过导线与中心轴线 OO 的平面与线圈 平面垂直,已知线圈中通有电流 I ,求此时线圈所受的磁力矩。

分析: 画俯视图如图所示.先根据右手螺旋法则确定 B1 和 B2 的方向, 再根据左手定则判断 ab 边受力 Fl 和 cd 边受力 F2 的方向.然后求力矩. 解:根据右手螺旋法则和左手定则确定 B1 和 B2、F1 和 F2 的方向,如图所示.

两个力矩俯视都是逆时针方向的,所以磁场对线圈产生的力矩 3 M ? M1 ? M 2 ? kI 0 IL 2 点评:安培力最重要的应用就是磁场力矩.这是电动机的原理,也是磁电式电流表的 构造原理.一方面要强调三维模型简化为二维平面模型,另一方面则要强调受力边的受力 方向的正确判断,力臂的确定,力矩的计算.本题综合运用多个知识点解决问题的能力层 次是较高的,我们应努力摸索和积累这方面的经验.
2

学生练习:如图所示,倾角为 ? 的粗糙斜面上放一个木制圆柱,其质量为 m ? 0.2kg ,半 径为 r,长 l ? 0.1m ,圆柱上顺着轴线 OO 绕有 10 匝线圈,线圈平与斜面平行,斜面处 于竖直向上的匀强磁场中,磁感应强度为 B ? 0.5T ,当通入多大电流时,圆柱才不致往 下滚动?
'

二、电荷在磁场中的运动 例 5.如图所示,A1 和 A2 是两块面积很大、互相平行又相距较近的带电金属板,相距为 d, 两板间的电势差为 U, 同时, 在这两板间还有方向与均匀电场正交而垂直纸面向外的均匀 磁场,一束电子通过左侧带负电的板 A1 的小孔,沿垂直于金属板的方向射入,为使该电 子束不碰到右侧带正电的板 A2,问所加磁场的感应强度至少要多大?

学生练习:在空间有相互垂直的场强为 E 的匀强电场和磁感应强度为 B 的匀强磁场,如 图所示,一个电子从原点由静止释放,求电子在 y 轴上前进的最大距离。
y B

O

x

3

例 6.图中,一个质量为 m、带正电荷 q 的小球用长为 l 的细线悬挂在匀强磁场中,拉开至 最大角α 后释放,令其自由摆动,磁场方向垂直纸面向里.欲使摆球周期不受磁场影响, 问对 B 大小的取值有什么限制?

分析:洛伦兹力始终沿着悬线方向,向右运动时指向 O,向左运动时背离 O,对回复力无 贡献,不会改变 g 的大小.单摆周期公式 T ? 2? l / g 中,惟一可能受磁场影响的就是 l, 向右运动时拉力与洛伦兹力同向,且速度变大时洛伦兹力变大,拉力会变小,万一在某一 位置(未必是平衡位置)出现拉力为零,线松弛,小球浮起,摆长小于 l,周期就会改变. 解:先确定拉力有可能出现零的位置,设此时的夹角为 x,小球正向右运动,洛伦兹力不 1 做功,小球机械能守恒: mv2 ? mgl (cos x ? cos? ) 2 2 得 v =2gl(cosx-cosα)① 在该位置,设小球受拉力为 F 则: F ? mg cos x ? qBv ? m 得 F ? mg cos x ?

v2 l


m 2 gl (cos x ? cos? ) ? qB 2 gl (cos x ? cos? ) l t2 ? cos? 下面设 t ? 2 gl (cos x ? cos? ), 则 cos x ? 2 gl
2

3m 2 3m ? qBl ? 6m 2 g cos ? ? q 2 B 2l t ? qBt ? mg cos? ? t? ? ? ? 2l 2l ? 3m ? 6m qBl q 2 B 2l 时, 即cos x ? ? cos ?时, 拉力 F 有最小值,要使摆周期不受磁 可见,当 t ? 3m 18m 2 g
②式变为 F ? 场影响,应使 Fmin≥0,也就是令(6m2gcosα-q2B2l)/6m≥0. m 须 B≤ 6 g cos? / l , 这就是对磁场取值的限制。 q 点评:此题是物理模型和数学模型的融合,相当有技巧,思考性很高,值得作一推荐.应 该回味的环节有三个: 一是影响周期是因为有可能改变 l 而不是改变 g.二是平衡位置虽然 是速度最大位置但未必是拉力最大位置, 原因是②式中有个第三项, 该项前是负号且内中 有 cosx;三是通过数学上的白变量变换求 F 的极值.建议读者认真研究这个例题.

4

例 7.如图所示,离子源 S 机会均等地持续向各个方向发射大量电荷为 q、质量为 m、速率 为 v0 的带电粒子,q 为正.S 右侧有半径为冠的圆屏,s 位于过圆心的轴线上.设空间有足够 大的匀强磁场,大小为 B,方向向右指向圆屏.在发射出的正离子中有的不论 SO 距离如何 变化总能打到屏上。不计离子之间的碰撞,求这类离子数与发射出的总离子数之比.

分析:除了速度方向跟 SO 平行的粒子不受磁场力做匀速直线运动击中圆屏圆心之外,其 余方向的粒子, 都是向右做等螺距螺旋线运动.设粒子的速度方向跟 SO 也就是跟磁感线的 夹角为 α,这个知识点不是高考大纲内容,而是竞赛大纲要求的内容. 1 解:离子沿螺旋线向右运动,一定能打中圆屏的离子,其圆周运动半径 r0≤ R ,跟 SO 2 mv0 1 距离的远近无关,如图中的径迹 a.其中 r0 ? sin ? .至于 r0 ? R 的离子能否击中圆屏, qB 2 就跟离子源到屏的距离 SO 远近有关,跟 α 大小也有关。如图中的径迹 b,如果 α 很大, r0 很大,即使 SO 十分近,也有可能从圆屏外侧飞过. 因此设 α 角以 α 为半顶角的锥内任何方向的离子不论 SO 远近 mv 1 都能击中圆屏,由上式嚣 0 sin ? ≤ R ,得 sinα≤qBR/2mv0. qB 2 因为离子从 S 发射出时各方向机会均等.设想 α 为半顶角的锥底 面向右呈球面膨胀出去,该球面半径 r=R/sinα,得到一个球冠,如 图所示,该球冠的高为 h=r-rcosα,面积为 2πrh.那么,所求的无论 远近都能击中圆屏的离子数跟 S 发射出的总离子数之比,应等于该 球冠面积跟同样半径 r 的球面积之比: 2? r ( r ? r cos ? ) 1 1 比值 ? ? (1 ? cos ? ) ? (1 ? 1 ? sin 2 ? ) 2 2 2 4? r

1? q2 B2 R2 ? ? ? ?1 ? 1 ? 2? 4m 2 v0 2 ? ? ? 点评:当带电粒子速度跟磁感线成夹角 α 时,我们分解速度 v:跟磁感线平行的速度 vcosα,粒子在这个方向不受磁场力,做匀速直线运动;跟磁感线垂直的速度是 vsinα,粒 mv sin ? 2? m 子在跟磁感线垂直的平面上做匀速圆周运动,r ? ,周期 T ? .这两个分运动 qB qB 合成的轨迹就是螺旋线,螺距 h=vcosα· T.注意跟初速 v 夹角为 α 的那条磁感线,并不是螺 旋线的中心轴,而是螺旋线包括圆柱面的母线.

5

例 8.如图所示,x 轴上方有个匀强磁场,方向垂直纸面向里,大小为 B=0.2 T.令一个质子 以速率 v0=2×106 m/s,由 y 轴上 A 点沿+y 方向射人匀强磁场区,回旋了 210°之后进入 x 轴下方的匀强电场区,E=3 × l05V/m,电场线方向与 y 轴正方向夹角 30°.不计重力. (1)求质子从 A 点出发到再次进入磁场区,需要多少时间? (2)再次进入磁场区时进入点的坐标值是多少?

分析:电场与磁场同时存在于相邻空间,电场力与磁场力不是同时发生作用的,而是先后 发生作用,严格地说这不是复合场.例如回旋加速器就不是复合场.笔者把这种类型归入复 合场中,不具有准确的意义. - - 解:质子的质量 m=1.67× 27kg,电荷 q=1.6× 19C. 质子在磁场中旋转 210° 10 10 圆弧,速度 ?27 6 mv 1.67 ? 10 ? 2 ? 10 2? m 210? 7? m v0 大小不变, r ? 0 ? m=10.4cm, 时间 t1 ? ? ? , 进入 ?19 qB qB 360? 6qB 1.67 ? 10 ? 0.2 电场时点的坐标为 C[-r(1+cos30° 0]即 C(-19.4cm, 0). ), 以 v0 进入电场后质子做抛物线运动,沿 x 轴与 y 轴的两个分运动是 1 qE 1 1 qE 2 x ? v0 cos60?? ? t cos60?? 2 ? v0t ? t t ① 2 m 2 4 m 1 qE 3 3 qE 2 y ? ?v0 sin 60?? ? t sin 60?? 2 ? ? t v0t ? t ② 2 m 2 4 m 2mv0 重新进入磁场时的进入点,y=0,从②式可解出 t2 ? , 代入①式可得 qE

mv 1 2mv0 1 qE ? 2mv0 ? 2 ? 1.67 ? 10?27 ? (2 ? 106 ) 2 x ? v0 ? ?2 0 ? m=27.8cm ? ? 2 qE 4 m ? qE ? qE 1.6 ? 10?19 ? 3 ? 105 注意:这个 x 值不是从原点 O 算起而是从 C 点算起,易知,该进入点 P 的坐标值为: y=0,xp=x-|xC|=27.8cm-19.4cm=8.4cm. 7? m 2mv0 m ? 7? 2v0 ? ?17 ? ? ? ? 总时间 t总 ? t1 ? t2 ? ? ? 3.3 ? 10 s 6qB qE q ? 6B E ?
2

6

1、如图:所示的空间,匀强电场的方向竖直向下,场强为 E1 , 匀强磁场的方向水平向外, 磁感应强度为 B.有两个带电小球 A 和 B 都能在垂直于磁场方向的同一竖直平面内做匀速 圆周运动(两小球间的库仑力可忽略),运动轨迹如图.已知两个带电小球 A 和 B 的质量 关系为 mA ? 3mB ,轨道半径为 RA ? 3RB ? 9cm. ⑴试说明小球 A 和 B 带什么电,它们所带的电荷量之比 q A : qB 等于多少. ⑵指出小球 A 和 B 的绕行方向. ⑶设带电小球 A 和 B 在图示位置 P 处相碰撞,且碰撞后原先在小圆轨道上运动的带电小 球 B 恰好能沿大圆轨道运动,求带电小球 A 碰撞后所做圆周运动的轨道半径(设碰撞时 两个带电小球间电荷量不转移).

2、 如图所示, 空间同时存在匀强电场和匀强磁场, 一质量为 m 的带电小球系于细线一端, 细线重量不计, 长为 l , 小球以角速度 ? 旋转时线与竖直方向成 30 角.此时线中拉力为零, 场强为 E 的匀强电场方向向上. ⑴求小球的带电性质、电荷量. ⑵求磁场的磁感应强度。 ⑶若突然撤去磁场,小球将如何运动?细线中张力 T 为多少?
?

7

3、如图所示,磁感应强度为 B 的条形匀强磁场区域的宽度都是 d1 ,相邻磁场区域的间距 为 d 2 , x 轴的正上方有一电场强度大小为 E,方向与 x 轴和 B 均垂直的匀强电场区域.将质 量为 m 、带正电荷量为 q 的粒子从 x 轴正上方 h 高度处自由释放,(重力忽略不计) ⑴求粒子在磁场区域做圆周运动的轨道半径 r ; ⑵若粒子只经过第 1 和第 2 个磁场区域回到 x 轴,求自释放到回到 x 轴需要的时间 t ; ⑶若粒子以初速度 v0 从 h 处沿 x 轴正方向水平射出后, 最远到达第 k 个磁场区域并回到 x 轴,求 d1 、 d 2 应该满足的条件.

4、回旋加速器中匀强磁场的磁感应强度 B=1T,高频加速电压的频率 f ? 7.5 ?10 H z ,
6

带电粒子在回旋加速器中运动形成的粒子束的平均电流 I ? 1mA ,最后粒子束从半径 R=1m 的轨道飞出,如果粒子束进入冷却“圈套”的水中并停止运动,问可使“圈套”中的 水温升高多少度?设“圈套”中水的消耗量 m ? 1kg / s ,水的比热容 c ? 4200 J /(kg ? K ) .

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