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必修三----概率统计


第 32 讲 一、高考要求

概率

理解随机事件的概率, 会求等可能事件的概率, 能用加法公式和乘法公式求互斥事件有 一个发生和相互独立事件同时发生的概率. 二、两点解读 重点:掌握随机事件、等可能事件,互斥事件、独立事件、独立重复试验中恰好发生 n 次等五种事件的概率. 难点:正确区分五种事件,并作正确运算,培养学生的观察与试验、分析与

综合、一般 化与特殊化的思维方法. 三、课前训练 1.某人射击一次击中的概率为 0.6,经过 3 次射击,此人至少有两次击中目标的概率 为(A ) 81 (A) 125 54 (B) 125 36 (C) 125 27 (D) 125

2.在大小相同的 6 个球中,2 个红球,4 个白球.若从中任意选取 3 个,则所选的 3 个 球中至少有 1 个红球的概率是__

4 ___. (结果用分数表示) 5

3.一台 X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为 0.8000,有四台这中型 号的自动机床各自独立工作,则在一小时内至多 2 台机床需要工人照看的概率是 0.9728 四、典型例题 例 1 六位身高全不相同的同学拍照留念,摄影师要求前后两排各三人,则后排每人均 比前排同学高的概率是_____. 答案:

1 . 20

解析:因为后排每人均比前排人高,因此应将 6 人中最高的 3 个人放在后排,其余 3 人站前排.故所有排法有
3 A3 1 3 ? A3 ? . 6 A6 20

3 A3 3 · A 3 =36

种.故后排每人均比前排同学高的概率为

例 2 某班有 52 人,男女各半,男女各自平均分成两组,从这个班中选出 4 人参加某 项活动,这 4 人恰好来自不同组别的概率是_________.

答案:

4 (C1 13 ) 4 C 52 4 (C1 13 ) 4 C 52

解析: 因为每组人数为 13, 因此, 每组选 1 人有 C 1 所以所求概率为 P= 13 种方法, 例 3 如图 32—1,用 A、B、C 三类不同的 成两个系统 N1,N2.当元件 A、B、C 都正常工 N1 正常工作;当元件 A 正常工作且元件 B、C 个正常工作时,系统 N2 正常工作.已知元件 A、 图 32—1

元件连接 作时, 系统 至少有一 B、C 正常 ,

工作的概率依次为 0.80、0.90、0.90.则系统 N1 正常工作的概率 P1 为 N2 正常工作的概率 P2 为 .

解:分别记元件 A、B、C 正常工作为事件 A、B、C,由已知条件 P(A)=0.80,P(B)=0.90,P(C)=0.90. (Ⅰ)因为事件 A、B、C 是相互独立的,系统 N1 正常工作的概率 P 1=P(A·B·C)=P(A) ·P(B) ·P(C)=0.80×0.90×0.90=0.648. 故系统 N1 正常工作的概率为 0.648. (Ⅱ)系统 N2 正常工作的概率

P2 ? P( A) ? [1 ? P( B ? C)] ? P( A) ? [1 ? P(B) ? P(C)] .
∵P( B )=1-P(B)=1-0.90=0.10. P( C )=1-P(C)=1-0.90=0.10. ∴P2=0.80×[1-0.10×0.10]=0.80×0.99=0.792. 故系统 N2 正常工作的概率为 0.792 例 4 甲与乙两人掷硬币,甲用一枚硬币掷 3 次,记下国徽面朝上的次数为 m;乙用 一枚硬币掷 2 次,记下国徽面朝上的次数为 n. ⑴计算国徽面朝上不同次数的概率并填入下表: 国徽面朝上 3 次数 m P(m) 国徽面朝上 2 次数 m P(m) ⑵现规定:若 m>n,则甲胜;若 n≥m,则乙胜.你认为这种规定合理吗?为什么? 1 0 2 1 0

解析:⑴ 国徽面朝上次数 3 m P(m) 国徽面朝上次数 2 m C2 C1 2 1 2 1 = 2= 2 4 22 2 ⑵这种规定是合理的.这是因为甲获胜,则 m>n P(m) 1 1 1 1 1 当 m=3 时,n=2,1,0,其概率为 ×( + + )= ; 8 4 2 4 8 3 1 1 9 当 m=2 时,n=1,0,其概率为 ×( + )= ; 8 2 4 32 3 1 3 1 9 3 1 当 m=1 时,n=0,其概率为 × = ;∴甲获胜的概率为 + + = 8 4 32 8 32 32 2 乙获胜,则 m≤n 1 3 3 1 7 当 n=2 时,m=2,1,0,其概率为 ×( + + )= ; 4 8 8 8 32 1 3 1 8 当 n=1 时,m=1,0,其概率为 ×( + )= ; 2 8 8 32 1 1 1 7 8 1 1 当 n=0 时,m=0,其概率为 × = ;∴乙获胜的概率为 + + )= , 4 8 32 32 32 32 2 1 甲和乙获胜的概率老都是 ,即获胜机会相等,所以这种规定是合理的 2 例 5 盒中有 6 只灯泡,其中 2 只次品,4 只正品,有放回地从中任取两次,每次取一 只,试求下列事件的概率: (1)取到的 2 只都是次品; (2)取到的 2 只中正品、次品各一只; (3)取到的 2 只中至少有一只正品. 解:从 6 只灯泡中有放回地任取两只,共有 6 =36 种不同取法 (1)取到的 2 只都是次品情况为 2 =4 种,因而所求概率为
2 2

2 C2 3 3 = 23 8 1

1 C1 3 3 = 23 8

0 C0 3 1 = 23 8 0 C0 2 1 = 22 4

C3 3 1 = 23 8

4 1 ? ; 36 9
4? 2 2? 4 4 ? ? ; 36 36 9

(2)由于取到的 2 只中正品、次品各一只有两种可能:第一次取到正品,第二次取到次 品;及第一次取到次品,第二次取到正品.因而所求概率为 P ?

(3)由于“取到的两只中至少有一只正品”是事件“取到的两只都是次品”的对立 事件,因而所求概率为 P ? 1 ?

1 8 ? 9 9

1 1 例 6 甲、乙两人独立地破译 1 个密码,他们能译出的密码的概率分别为 和 ,求: 4 3
(1)恰有 1 人译出的密码的概率; (2)至多 1 人译出的密码的概率; (3)若达到译出的密 码的概率为

99 ,至少需要多少个乙这样的人. 100

解:记“甲译出密码”为事件 A, “甲译不出密码”这事件 A ;记“乙译出密码”为事 件 B, “乙译不出密码”为事件 B ; “两人都译出密码”为事件 C, “两人都译不出密码”为事 件 D; “恰有 1 人译出密码”为事件 E; “至多 1 人译出密码”为事件 F. (1) “恰有 1 人译出密码”是包括 2 种情况:一种是 A ? B ,另一种是 A ? B .这两种情况 不能同时发生,是互斥的.

1 1 1 1 5 ∴ P(E) ? P(A ? B) ? P( B ? B) ? P(A) ? P( B) ? P(A) ? P(B) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? 3 4 3 4 12
(2) “至多 1 人译出密码” 包括两种情况: “2 人都译不出密码” 或 “恰有 1 人译出密码” , 即事件 D+E,且事件 D、E 是互斥的. ∴ P(F) ? P(D) ? P(E) ? P(A ? B) ? P(A ? B) ? P(A ? B) ?

1 5 11 ? ? 2 12 12

1 1 99 (3)n 个乙这样的人都译不出密码的概率为 (1 ? ) n ,根据题意得: 1 ? (1 ? ) n ? 4 4 100
解得:n=17.


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