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四川省成都实验外国语学校2015届高三3月月考数学理试题


成都实验外国语学校高 2015 届(高三理科)数学 3 月月考
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) : 1、设集合 A ? ?4,5,7,9? , B ? ?3, 4,7,8,9? ,全集 U ? A ( )

B ,则集合 CU ( A B) 中的元素共有

A.3 个

B.4 个

/>C .5 个

D.6 个
( )

2、已知 ( x ? i)(1 ? i) ? y (其中 i 为虚数单位) ,则实数 x , y 分别为

A.x ? ?1, y ? 1

B. x? ?1, y ? 2
2

C. x? 1 , y? 1

D. x? 1 , y? 2
( )

3、命题 p : “ ?x ? R, x ? 2x ? 3 ? 0 ”的否定是

A. ?x ? R, x2 ? 2x ? 3 ? 0
C. ?x ? R, x2 ? 2x ? 3 ? 0

B. ?x0 ? R, x02 ? 2x0 ? 3 ? 0 D. ?x0 ? R, x02 ? 2x0 ? 3 ? 0


4、图㈠中阴影部分的面积 S 是 h 的函数 (0 ? h ? H ) ,则该函数的大致图象是 (

S
H

S

S

S

h
O ㈠
2

H A
2

h

O B

H

h

O C

H

h

O D

Hh

5、过点 M (2,0) 作圆 x ? y ? 1的两条切线 MA, MB ( A 和 B 为切点),则 MA ? MB ? ( )

A.

5 3 2

B.

5 2

C.

3 3 2

D.

3 2

6、学校组织演讲比赛,准备从甲、乙等 8 名学生中选派 4 名学生参加,要求甲、乙两名同学至少有 一人参加,且若甲、乙同时参加时,他们的演讲顺序不能相邻,那么不同的演讲顺序的种数为 ( )

A.1020

B. 1 1 4 0

C. 1 3 2 0

D. 1 8 6 0

n ( x? 7 、 若 函 数 f ( x) ? 2 s i ?

? ? ?) (? 与 0 )g ( x) ? 2 cos(2 x ? ) 的 对 称 轴 完 全 相 同 , 则 函 数 4 4
( )

f ( x) ? 2sin(? x ? )(? ? 0) 在 [0, ? ] 上的递增区间是 4

?

·1 ·

? A.[0, ] 8

? B. [ 0 , ] 4

? C. [ ? , ] 8

? D.[ , ? ] 4

8、正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,点 M 是底面正方形 ABCD 内的一个动点,若直线 C1D , C1M 所 成的角等于 30 ,则以下说法正确的是(
0



开始

A. 点 M 的轨迹是圆的一部分 B. 点 M 的轨迹是椭圆的一部分 C. 点 M 的轨迹是双曲线的一部分 D. 点 M 的轨迹是抛物线的一部分
9、如图,给出的是计算

S ? 0, n ? 2, i ? 1


1 1 1 ? ? ? 2 4 6

?

1 的 100


① 否 输出 S

值的一个程序框图,则图中判断框内①处 和执行框中的②处应填的语句分别是 (

S ? S ? 1/ n


结束

Ai . ? 100?, n ? n ? 1 C.i ? 50?, n ? n ? 2

B. i? 1 0 0 ?n ,? n? D. i? 5 0 ? n , ? n? 2

2

i ? i ?1

10、对于函数 f ( x ) ,若 ?a, b, c ? R , f (a), f (b), f (c) 为某一三角形的边长,则称 f ( x ) 为“可构 造三角形函数” 。 已 知 函 数 f ( x) ? ( )

ex ? t 是“可构造三角形函数” ,则实数 t 的取值范围是 ex ? 1

A.[0, ??)

B. [ 0 , 1 ]

C. [ 1 , 2 ]

1 D.[ , 2] 2

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) : 11、函数 f ( x) ? 1? 2log6 x 的定义域为_____________ 12、若对于任意 x ? 0,

x ? a 恒成立,则 a 的取值范围是_________ x ? 3x ? 1
2

2 13、设二项式 ( x ? ) 的展开式中 x 的系数为 A ,常数项为 B ,若 B ? 4 A ,则 a ? _______
6

a x

14、已知不重合的直线 m , l 和平面 ? , ? ,且 m ? ? , l ? ? ,给出下列命题:①若 ? ∥ ? ,则 m ? l ;

·2 ·

②若 ? ? ? ,则 m ∥ l ;③若 m ? l ,则 ? ∥ ? ;④若 m ∥ l ,则 ? ? ? 。其中正确命题的是 __________________ 15、已知函数 f ( x) ? cos x, g ( x) ? sin x ,记 Sn ? 2 设 Tm ? S1 ? S2 ?

?f(
k ?1

2n

(k ? 1)? 1 )? n 2n 2

? g(
k ?1

2n

(k ? n ? 1)? ) 2n

? Sm ,若 Tm ? 11 ,则 m 的最大值为___________

三、解答题(共 75 分) : 16、 (12 分)已知函数 f ( x) ? 2sin( x ?

1 3

?
6

)( x ? R) 。

⑴求函数 f ( x ) 周期、单调性、对称点、对称轴。 ⑵设 0 ? ? ?

?
2

? ? ? ? , f (3? ? ? ) ?

10 5? 6 , f (3? ? ) ? ? ,求 sin(? ? ? ) 的值。 13 2 5

17、 (12 分)某单位实行休年假制度三年以来,对 50 名职工休年假的次数进行的调查统计结果如图 所示: 休假次数 0 1 2 3 根据上表信息解答以下问题: 人数 5 10 20 15
2

⑴该单位任选两名职工,用 ? 表示这两人休年假次数之和,记“ f ( x) ? x ?? x ? 1 在区间 (4, 6) 上 有且只有一个零点”为事件 A ,求事件 A 发生的概率 P ; ⑵从该单位任选两名职工,用 ? 表示这两人休年假次数之差的绝对值。求随机变量 ? 的分布列及数 学期望 E (? ) 。

18、 (12 分)在公差不为 0 的等差数列 ?an ? 中, a3 ? a10 ? 15 ,且 a2 , a5 , a11 成等比数列。 ⑴求数列 ?an ? 的通项公式; ⑵设 bn ?

1 1 1 ? ? ? an an ?1 an ? 2

?

1 a2 n ?1

,证明:

1 ? bn ? 1 。 2

AD ?? BC , 19 、 ( 12 分 ) 如 图 , 在 侧 棱 垂 直 于 底 面 的 四 棱 柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
·3 ·

B A D

C

AD ? AB, AB ? 2, AD ? 2, BC ? 4, AA F 是平面 B1C1E 与直线 AA1 的 1 的中点, 1 ? 2, E 是 DD
交点。 ⑴证明: EF ??A1D1 ; ⑵证明: BA 1 ? 平面 B 1C1 EF ; ⑶求 BC1 与平面 B1C1EF 所成的角的正弦值。

20、已知点 P (1, ? ) 在椭圆 C : 椭圆 C 交于 M , N 两点。 ⑴求椭圆 C 的方程;

3 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上,过椭圆 C 的右焦点 F2 (1, 0) 的直线 l 与 a 2 b2

⑵若 AB 是椭圆 C 经过原点 O 的弦,且 MN ??AB , W ? 值,请求出这个定值;若 W 不是定值,请说明理由。

2 ?AB? ,试判断 W 是否为定值?若 W 为定 ? MN ?

21、设函数 f ( x) ? ln x ? x ? ax(a ? R) 。
2

⑴求函数 f ( x ) 的单调区间; ⑵已知 A( x1 , f ( x1 )), B( x2 , f ( x2 ))( x1 ? x2 ) 是函数 f ( x ) 在 x ? [1, ??) 的图象上的任意两点, 且满足

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 ,求 a 的最大值; x1 ? x2
⑶设 g ( x) ? xe
1? x

,若对于任意给定的 x0 ? (0, e] ,方程 f ( x) ? 1 ? g ( x0 ) 在 (0, e] 内有两个不同的

实数根,求 a 的取值范围。

·4 ·

理科数学 3 月考试题(答案)
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) : 1、设集合 A ? ?4,5,7,9? , B ? ?3, 4,7,8,9? ,全集 U ? A (A) A.3 个

B ,则集合 CU ( A B) 中的元素共有

B.4 个

C .5 个

D.6 个
(D )

2、已知 ( x ? i)(1 ? i) ? y (其中 i 为虚数单位) ,则实数 x , y 分别为

A.x ? ?1, y ? 1

B. x? ?1, y ? 2
2

C. x? 1 , y? 1

D. x? 1 , y? 2
(B)

3、命题 p : “ ?x ? R, x ? 2x ? 3 ? 0 ”的否定是

A. ?x ? R, x2 ? 2x ? 3 ? 0
C. ?x ? R, x2 ? 2x ? 3 ? 0

B. ?x0 ? R, x02 ? 2x0 ? 3 ? 0 D. ?x0 ? R, x02 ? 2x0 ? 3 ? 0

4、图㈠中阴影部分的面积 S 是 h 的函数 (0 ? h ? H ) ,则该函数的大致图象是 (C)

S
H

S

S

S

h
O ㈠
2

H A
2

h

O B

H

h

O C

H

h

O D

Hh

5、过点 M (2,0) 作圆 x ? y ? 1的两条切线 MA, MB ( A 和 B 为切点),则 MA ? MB ? ( D )

A.

5 3 2

B.

5 2

C.

3 3 2

D.

3 2
·5 ·

6、学校组织演讲比赛,准备从甲、乙等 8 名学生中选派 4 名学生参加,要求甲、乙两名同学至少有 一人参加,且若甲、乙同时参加时,他们的演讲顺序不能相邻,那么不同的演讲顺序的种数为 (B)

A. 1 0 2 0

B. 1 1 4 0

C. 1 3 2 0

D. 1 8 6 0

n ( x? 7 、 若 函 数 f ( x) ? 2 s i ?

? ? ?) (? 与 0 )g ( x) ? 2 cos(2 x ? ) 的 对 称 轴 完 全 相 同 , 则 函 数 4 4
(A)

f ( x) ? 2sin(? x ? )(? ? 0) 在 [0, ? ] 上的递增区间是 4

?

? A.[0, ] 8

? B. [ 0 , ] 4

? C. [ ? , ] 8

? D.[ , ? ] 4

8、正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,点 M 是底面正方形 ABCD 内的一个动点,若直线 C1D , C1M 所 成的角等于 30 ,则以下说法正确的是( B )
0

开始

A. 点 M 的轨迹是圆的一部分 B. 点 M 的轨迹是椭圆的一部分 C. 点 M 的轨迹是双曲线的一部分 D. 点 M 的轨迹是抛物线的一部分
9、如图,给出的是计算

S ? 0, n ? 2, i ? 1


1 1 1 ? ? ? 2 4 6

?

1 的 100

① 否 输出 S

值的一个程序框图,则图中判断框内①处 和执行框中的②处应填的语句分别是 (C )

S ? S ? 1/ n


结束

Ai . ? 100?, n ? n ? 1 C.i ? 50?, n ? n ? 2

B. i? 1 0 0 ?n ,? n? D. i? 5 0 ? n , ? n? 2

2

i ? i ?1

10、对于函数 f ( x ) ,若 ?a, b, c ? R , f (a), f (b), f (c) 为某一三角形的边长,则称 f ( x ) 为“可构 造三角形函数” 。 已 知 函 数 f ( x) ? ( D)

ex ? t 是“可构造三角形函数” ,则实数 t 的取值范围是 ex ? 1

A.[0, ??)

B. [ 0 , 1 ]

C. [ 1 , 2 ]

1 D.[ , 2] 2

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) :
·6 ·

11、函数 f ( x) ? 1? 2log6 x 的定义域为____ [0, 6] _________ 12、若对于任意 x ? 0,

x 1 ? a 恒成立,则 a 的取值范围是___ [ , ??) ______ x ? 3x ? 1 5
2

2 13、设二项式 ( x ? ) 的展开式中 x 的系数为 A ,常数项为 B ,若 B ? 4 A ,则 a ? ___-3____
6

a x

14、已知不重合的直线 m , l 和平面 ? , ? ,且 m ? ? , l ? ? ,给出下列命题:①若 ? ∥ ? ,则 m ? l ; ②若 ? ? ? ,则 m ∥ l ;③若 m ? l ,则 ? ∥ ? ;④若 m ∥ l ,则 ? ? ? 。其中正确命题的是___① ___④____________ 15、已知函数 f ( x) ? cos x, g ( x) ? sin x ,记 Sn ? 2 设 Tm ? S1 ? S2 ?

?f(
k ?1

2n

(k ? 1)? 1 )? n 2n 2

? g(
k ?1

2n

(k ? n ? 1)? ) 2n

? Sm ,若 Tm ? 11 ,则 m 的最大值为____5_______

三、解答题(共 75 分) : 16、 (12 分)已知函数 f ( x) ? 2sin( x ?

1 3

?
6

)( x ? R) 。

⑴求函数 f ( x ) 周期、单调性、对称点、对称轴。 ⑵设 0 ? ? ?

?
2

? ? ? ? , f (3? ? ? ) ?

10 5? 6 , f (3? ? ) ? ? ,求 sin(? ? ? ) 的值。 13 2 5

解:⑴ T ? 6? 由 2 k? ?

?
2

?

1 ? ? x ? ? 2k? ? 得单增区间: [6k? ? 2? ,6k? ? ? ](k ? R) 3 6 2

由 2 k? ?

?
2

?

1 ? 3? 4? x ? ? 2 k? ? ](k ? R) 得单减区间: [6k? ? ? , 6k? ? 3 6 2 3

对称点为 (3k? ?

?
2

, 0)( k ? R )

对称轴为 x ? 3k? ? ? (k ? R) ⑵∵ f (3? ? ? ) ? 2sin(? ?

?
2

) ? 2 cos ? ?

10 13

∴ cos ? ?

5 13

·7 ·

又∵ f (3? ?

5? 6 ) ? 2sin( ? ? ? ) ? ?2sin ? ? ? 2 5
? ? ??
∴ sin ? ?

∴ sin ? ?

3 5

而0 ?? ?

?
2

12 4 , cos ? ? ? 13 5

∴ sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? ? 17、 (12 分)某单位实行休年假制度三年以来, 对 50 名职工休年假的次数进行的调查统计结 果如图所示: 根据上表信息解答以下问题:

63 65
休假次数 人数 0 5

1 10
2

2 20

3 15

⑴该单位任选两名职工, 用? 表示这两人休年假次数之和, 记 “函数 f ( x) ? x ?? x ? 1 在区间 (4, 6) 上有且只有一个零点”为事件 A ,求事件 A 发生的概率 P ; ⑵从该单位任选两名职工,用 ? 表示这两人休年假次数之差的绝对值。求随机变量 ? 的分布列及数 学期望 E (? ) 。 解:⑴∵函数 f ( x) ? x ?? x ? 1 过点 (0,? 1)点,在区间( 4,6 )上有且只有一个零点,则必有
2

? f (4) ? 0 ?16 ? 4? ? 1 ? 0 15 35 ?? ? 即? 解得 ? 4 6 ? f (6) ? 0 ?36 ? 6? ? 1 ? 0
当 ? ? 4 时, P 1 ?
2 1 1 C20 ? C10 C15 68 ? 2 C50 245

∴? ? 4或? =5 。

当 ? ? 5 时, P 1 ?

1 1 C20 C15 12 ? 2 C50 49

∵ ? ? 4 与? ? 5 互斥,

∴P ? P 1?P 2 ?

68 12 128 ? ? 245 49 245

⑵∵ ? 的可能取值分别是 0,1,2,3。 ∴ P(? ? 0) ?
2 2 2 2 C5 ? C10 ? C20 ? C15 2 ? 2 C50 7

P(? ? 1) ?

1 1 1 1 1 C5 C1 ?C 1 C 0 10 ? 2C 0 C 1 5 22 20 ? 2 C50 49

·8 ·

1 1 1 C5 C2 ?C 1 C 10 0 10 15 P(? ? 2) ? ? 2 C50 49 1 1 C5 C 3 P(? ? 3) ? 2 15 ? C50 49

?

0

1

2

3

从而 ? 的分布列为:

P

2 7

22 49

10 49

3 49

? 的数学期望: E (? ) ?

51 49

18、 (12 分)在公差不为 0 的等差数列 ?an ? 中, a3 ? a10 ? 15 ,且 a2 , a5 , a11 成等比数列。 ⑴求数列 ?an ? 的通项公式; ⑵设 bn ?

1 1 1 ? ? ? an an ?1 an ? 2

?

1 a2 n ?1

,证明:

1 ? bn ? 1 。 2

解:⑴设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,由已知得

?a1 ? 2d ? a1 ? 9d ? 15 ,注意到 d ? 0 ,解得 a1 ? 2, d ? 1 ? 2 ?(a1 ? 4d ) ? (a1 ? d )(a1 ? 10d )
∴ an ? n ? 1 ⑵由⑴可知: bn ?

1 1 ? ? n ?1 n ? 2

?

1 2n

bn ?1 ?

1 1 ? ? n?2 n?3

?

1 2n ? 2

∵ bn ?1 ? bn ?

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ?0 2n ? 1 2n ? 2 n ? 1 2n ? 1 2n ? 2 (2n ? 1)(2n ? 2)

∴数列 ?bn ? 单调递增, bn ? b1 ?

1 2
? 1 n ? ?1 n ?1 n ?1

又 bn ?

1 1 ? ? n ?1 n ? 2

?

1 1 1 ? ? ? 2n n ? 1 n ? 1



1 ? bn ? 1 2

AD ?? BC , 19 、 ( 12 分 ) 如 图 , 在 侧 棱 垂 直 于 底 面 的 四 棱 柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
·9 ·

B

C

AD ? AB, AB ? 2, AD ? 2, BC ? 4, AA F 是平面 B1C1E 与直线 AA1 的 1 的中点, 1 ? 2, E 是 DD
交点。 ⑴证明: EF ??A1D1 ; ⑵证明: BA 1 ? 平面 B 1C1 EF ; ⑶求 BC1 与平面 B1C1EF 所成的角的正弦值。 解:⑴∵ C1B1 ∥ A1 D1 , C1 B1 ? 平面 ADD1 A 1 又∵平面 C1B1EF ∴ EF ∥ A1 D1 ⑵∵ BB1 ? 平面 A1 B1C1D1 又∵ B1C1 ? B1 A 1 , BB 1 ∴ BB1 ? B1C1 ∴ B1C1 ? 平面 ABB1 A 1 ∴ B1C1 ? BA1 平面 ADD1 A 1 = EF ∴ C1B1 ∥平面 ADD1 A 1 ∴ C1B1 ∥ EF

B1 A1 ? B1

在矩形 ABB1 A 1B 1 F ? tan ?AA 1B ? 1 的中点, tan ?A 1 中, F 是 AA ∴ ?A 1B 1 F ? ?AA 1B 又∵ B1F 故 ?A 1B 1F ? ?BA 1B 1

2 2

? 900

∴ BA1 ? B1F

B1C1 ? B1

∴ BA 1 ? 平面 B 1C1EF

⑶设 BA1 与 B1F 交点为 H ,连接 C1 H , 由⑵知 BA 1 ? 平面 B 1C1EF ∴ ?BC1H 是 BC1 与面 B1C1EF 所成的角 在矩形 ABB1 A 1 中, AB ?

2, AA1 ? 2 从而得 BH ?
4 6

4 6

在 Rt ?BHC1 中, BC1 ? 2 5, BH ?

∴ sin ?BC1H ?

BH 30 ? BC1 15

∴ BC1 与平面 B1C1EF 所成的角的正弦值是

30 。 15

20、已知点 P (1, ? ) 在椭圆 C :

3 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上,过椭圆 C 的右焦点 F2 (1, 0) 的直线 l 与 a 2 b2
·10·

椭圆 C 交于 M , N 两点。 ⑴求椭圆 C 的方程;
2 ?AB? ⑵若 AB 是椭圆 C 经过原点 O 的弦,且 MN ??AB , W ? ,试判断 W 是否为定值?若 W 为定 ? MN ?

值,请求出这个定值;若 W 不是定值,请说明理由。 解、⑴椭圆 C 的右焦点为 (1, 0) , ∴ c ? 1 ,椭圆 C 的左焦点为 (?1, 0) ∴ 2a ?

3 3 5 3 (1 ? 1)2 ? (? )2 ? (1 ? 1)2 ? (? )2 ? ? ? 4 , 2 2 2 2
2 2

a?2

∴ b ? a ? c ? 4 ?1 ? 3
2

∴C :

x2 y 2 ? ?1 4 3
2 2

2b 2 ⑵①当直线斜率不存在时, AB ? (2b) ? 4b , MN ? a
2

AB ? 2a ? 4 ∴W ? MN
②当直线斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0) 且 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )

2

? x2 y 2 ?1 ? ? 2 2 2 2 由? 4 得 (3 ? 4k ) x ? 8k x ? 4k ?12 ? 0 3 ? y ? k ( x ? 1) ?
x1 ? x2 ? 8k 2 3 ? 4k 2 x1 ? x2 ? 4k 2 ? 12 3 ? 4k 2

MN ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ] ? (1 ? k 2 )[(

8k 2 2 4k 2 ? 12 12(k 2 ? 1) ) ? 4( )] ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

? x2 y 2 ?1 12 ? ? 2 由? 4 得x ? 3 3 ? 4k 2 ? y ? kx ?

设 A( x3 , y3 ), B( x4 , y4 ) ,则

AB ? 1 ? k 2 x3 ? x4 ? 4

3(1 ? k 2 ) 3 ? 4k 2

48(1 ? k 2 ) 2 2 ?AB? ? 3 ? 4k 2 ? 4 ∴W ? ? MN ? 12(1 ? k ) 3 ? 4k 2
·11·

综上所述, W 为定值 4。 21、设函数 f ( x) ? ln x ? x ? ax(a ? R) 。
2

⑴求函数 f ( x ) 的单调区间; ⑵已知 A( x1 , f ( x1 )), B( x2 , f ( x2 ))( x1 ? x2 ) 是函数 f ( x ) 在 x ? [1, ??) 的图象上的任意两点, 且满足

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 ,求 a 的最大值; x1 ? x2
⑶设 g ( x) ? xe
1? x

,若对于任意给定的 x0 ? (0, e] ,方程 f ( x) ? 1 ? g ( x0 ) 在 (0, e] 内有两个不同的

实数根,求 a 的取值范围。 解:⑴ f ?( x) ?

1 ?2 x 2 ? ax ? 1 ? 2x ? a ? x x
2

由 f ?( x) ? 0 得 ?2 x ? ax ? 1 ? 0 ,
2

该方程的判别式 ? ? a ? 8 ? 0 ,可知方程有两个实数根

a ? a2 ? 8 4

又x ?0

a ? a2 ? 8 ∴取 x ? 4
a ? a2 ? 8 ) 时 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增; 4

当 x ? (0,

当 x?(

a ? a2 ? 8 , ??) 时 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减。 4

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 ) ;单减区间是 ( , ??) ∴ f ( x) 的单增区间是 (0, 4 4
⑵不妨设 x1 ? x2 ? 1 ,不等式 令 ? ( x) ? f ( x) ? 2 x

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 转化为 f ( x1 ) ? 2x1 ? f ( x2 ) ? 2x2 x1 ? x2

可知函数 ? ( x) 在区间 [1, ??) 上单调递减,

∴ ? ?( x) ? f ?( x) ? 2 ? 0 恒成立,故

1 ? 2 x ? a ? 2 ? 0 恒成立 x

即 a ? 2x ?

1 ? 2 恒成立。 x
·12·

当 x ? [1, ??) 时,函数 y ? 2 x ? ∴实数 a 的取值范围是 (??,3] ⑶ g ?( x) ? (1 ? x)e
1? x

1 ? 2 单调递增。∴ x ? 1 时 ymin ? 3 x

am a x? 3

,当 x ? (0,1) 时, g ?( x) ? 0, g ( x) 是增函数;当 x ? (1, e) 时,

g ?( x) ? 0, g ( x) 是减函数。∴函数 g ( x) 在 (0, e] 上的值域为 (0,1] 。
令 F ( x) ? f ( x) ? 1 , 则 F ?( x) ? f ?( x) ?

?2 x 2 ? ax ? 1 。 由 F ?( x ) ? 0 , 结 合 ⑴ 可 知 , 方 程 x

F ?( x) ? 0 在 (0, ??) 上有一个实数根 x3 。若 x3 ? e ,则 F ( x) 在 (0, e] 上单调递增,不合题意。∴ F ?( x) ? 0 在 (0, e] 上有唯一的解 x3 ?

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 ) 上单调递增;在 ,且 F ( x) 在 (0, 4 4

a ? a2 ? 8 ( , ??) 单调递减。 4
∵ ?x0 ? (0, e] ,方程 f ( x) ? 1 ? g ( x0 ) 在 (0, e] 内有两个不同的实数根 ∴ F (e) ? 0 且 F ( x)max ? 1
2 由 F (e) ? 0 得 ln e ? e ? ae ? 1 ? 0 ,解得 a ? e ?

2 e
2

由 F ( x)max ? f ( x3 ) ? 1 ? 1 得 ln x3 ? x3 ? ax3 ? 1 ? 1, ln x3 ? x3 ? ax3 ? 0
2

∵ ?2 x3 ? ax3 ? 1 ? 0
2
2 ln x3 ? x3 ?1 ? 0

∴ a ? 2 x3 ?

1 2 代入 ln x3 ? x3 ? ax3 ? 0 得 x3

令 h( x) ? ln x3 ? x3 ?1 ,可知函数 h( x) 在 (0, e] 上单调递增,
2

而 h(1) ? 0 又 a ? 2 x3 ?

∴ h( x3 ) ? h(1) ? 0

∴ 1 ? x3 ? e

1 1 在 1 ? x3 ? e 上单调递增。∴ 1 ? a ? 2e ? e x3
·13·

综上所述, a ? (1, e ?

2 ] e
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·14·


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