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福建省南安第一中学2015届高三数学(文)周练(九)2014.12.6


南安一中 2015 届数学(文)周练(九)2014.12
班级
一、选择题: 1.抛物线 y ? 4 x 2 的焦点到准线的距离是( A.1 B.2 C. ) D.

姓名

组题:尚沙 座号

审核:浩洋

1 8

1 16

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0) 2.已知双曲线 a 2 b 2 的两条渐近线均和圆 C: x2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 相切,
且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为( )

x2 y 2 ? ?1 A. 5 4

x2 y 2 ? ?1 5 B. 4

x2 y 2 ? ?1 6 C. 3

x2 y 2 ? ?1 3 D. 6

M 满足条件: MF 3.在直角坐标平面内,已知点 F 1 (?4,0), F2 (4,0) ,动点 1 ? MF 2 ? 8 ,则
点 M 的轨迹方程是( ). B. x ? 0 C. y ? 0 ( ?4 ? x ? 4 ) D.错

A.错误!未找到引用源。 误!未找到引用源。 4.设椭圆

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(m ? 0,n ? 0) 的右焦点与抛物线 y 2 ? 8x 的焦点相同,离心率为 , 2 2 m n


则此椭圆的方程为( A.

x2 y 2 ? ?1 12 16
y2 a
2

B.

x2 y 2 ? ?1 16 12

C.

x2 y 2 ? ?1 48 64

D.

x2 y 2 ? ?1 64 48

5.双曲线

?

x2 b
2

? 1 与抛物线 x 2 ? 8 y 有一个公共焦点 F ,双曲线上过点 F 且垂直实轴的

弦长为

2 3 ,则双曲线的离心率等于 ( 3
B.



A. 2

2 3 3

C.

3 2 2

D. 3

x2 ? y 2 ? 1 的中心和右焦点,点 P 为椭圆上的任意一点,则 6 .若点 O 和点 F 分别为椭圆 2

??? ? ??? ? OP ? FP 的最小值为

A. 2 ? 2 二、填空题:

B.

1 2

C. 2 ? 2

D.1

7、抛物线 y ? x ? x ? 1 在点(0,1)处的切线方程为
2

8、已知 F1,F2 是椭圆的两个焦点,椭圆上存在一点 P,使∠F1PF2=60°,则椭圆离心率的取 值范围是________. 三解答题: 9、已知直线 l 经过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F,且与抛物线相交于 A、B 两点. (1)若 | AF |? 4 ,求点 (2)若直线 l 的倾斜角 y A A 的坐标; 为 45 ? ,求线段 AB 的长.

F
O

B

x

10、如图,在平面直角坐标系中,锐角 ? 、? 的终边分别与单位圆交于 A、 B 两点. 5 3 (Ⅰ)如果 sin ? ? ,点 B 的横坐标为 ,求 cos ?? ? ? ? 的值; 13 5 ??? ? ???? (Ⅱ)已知点 C 2 3, ?2 ,求函数 f (? ) ? OA ? OC 的值域.

?

?

(2a ? 1) ln x ? b . 11、已知函数 f ( x) ? ax ?

(Ⅰ)若 f ( x) 在点( (1, f (1)) )处的切线方程为 y ? x ,求实数 a、b 的值; 1 (Ⅱ)当 a ? 时,研究 f ( x) 的单调性; 2

南安一中 2015 届数学(文)周练(九)
1.C 试题分析:转化为标准形式: x ?
2

1 1 y ,所以焦点到准线的距离为 。 4 8

2.A 试题分析:因为双曲线的焦点到其渐近线的距离等于虚半轴长 b,由题意知 b 等于圆 C 的 半径 2,所以 b=2,又因为 c=3,所以 a 2 ? c2 ? b2 ? 5,?所求双曲线的方程为

x2 y 2 ? ?1. 5 4

M 的轨迹为线段 3.C 试题分析:因为动点 M 满足条件: MF 1 ? MF 2 ?8? F 1F 2 ,所以点

F1F2 ,所以轨迹方程为: y ? 0 ( ?4 ? x ? 4 ).
4.B 试题分析:先根据抛物线的方程求得焦点坐标,进而求得椭圆的半焦距 c,根据椭圆的 2 离心率求得 m,最后根据 m 和 c 的关系求得 n. 抛物线 y =8x.∴p=4,焦点坐标为(2,0)∵ 椭圆的右焦点与抛物线 y =8x 的焦点相同,∴椭圆的半焦距 c=2,即 m -n =4,e=
2 2 2

1 2 ? 2 m

∴m=4,n= 16 ? 4 ? 2 3 ,故椭圆的方程为

x 2 y2 ? ? 1 ,故选 B 16 12 b2 , a

5、B 试题分析:在双曲线

y2 a2

?

x2 b2

? 1 中,令 y ? a 2 ? b 2 ,得到 x ?

所以双曲线上过点 f 且垂直轴的弦长为 2
2

b2 b2 2 3 ∴2 = a a 3

又因为抛物线 x ? 8 y 的焦点为(0,2)所以 a? +b? =4 两式联立,得到 a ?

3 ,得 b=1,

所以离心率 e= 6、B

2 3 ,故选 B. 3

试题分析: 设点 P?x, y ? , 所以 OP ? ?x, y ?, PF ? ?x ?1, y ? , 由此可得 OPPF ? ?x, y ? ? ?x ?1, y ?

? x2 ? x ? y 2 ?

1 2 1 1 2 x ? x ? 1 ? ? x ? 1? ? , x ? ? 2 , 2 ,所以 OP PF 2 2 2

?

?

?

?

min

?

1 2

7、 x ? y ? 1 ? 0 (或 y=x+1) 【解析】 试题分析:因为抛物线 y ? x ? x ? 1 的导数值为 y’=2x+1,那么可知在 x=0 处的导数值为 1,
2

可知该点的切线的斜率为 1,点斜式方程可知为 y-1=x-0,故可知 y=x+1.答案为 y=x+1 8.[

1 ,1) 2

【解析】如图所示,设 O 是椭圆的中心,A 是椭圆短轴上的一个顶点,由于∠F1PF2=60°,则 只需满足 60°≤∠F1AF2 即可,

又△F1AF2 是等腰三角形,且|AF1|=|AF2|,所以 0°<∠F1F2A≤60°,所以 又 e=cos∠F1F2A,所以 e 的取值范围是[

1 ≤cos∠F1F2A<1, 2

1 ,1). 2

9.(1) 点 A 的坐标为 (3,2 3) 或 (3, ?2 3) . (2) 线段 AB 的长是 8 【解析】 试题分析:解:由 y 2 ? 4 x ,得 p ? 2 ,其准线方程为 x ? ?1 ,焦点 F (1,0) . 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) . y A′ F B′ B x A

(1)由抛物线的定义可知, | AF |? x1 ? 代入 y 2 ? 4 x ,解得 y1 ? ?2 3 . ∴ 点 A 的坐标为 (3,2 3) 或 (3, ?2 3) .

p ,从而 x1 ? 4 ? 1 ? 3 . 2

( x ? 1) ,即 y ? x ? 1 . (2)直线 l 的方程为 y ? 0 ? tan 45??

? y ? x ?1 与抛物线方程联立,得 ? 2 , ? y ? 4x
消 y,整理得 x 2 ? 6 x ? 1 ? 0 ,其两根为 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ? 6 . 由抛物线的定义可知, 所以,线段 AB 的长是 8.

| AB |? x1 ? x2 ? p ? 6 ? 2 ? 8 .

10\解: (Ⅰ)∵ ∴

? 是锐角, sin ? ? ,

3 5

4 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 5 5 根据三角函数的定义,得 cos ? ? , 13 又∵ ? 是锐角, 12 ∴ sin ? ? 1 ? cos2 ? ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 13 4 5 3 12 16 ∴ cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 5 13 5 13 65 ??? ? ???? (Ⅱ)由题意可知, OA ? (cos?, sin ? ) , OC ? (2 3, ?2) . ??? ? ???? ? ∴ f (? ) ? OA ? OC ? 2 3 cos ? ? 2sin ? ? 4cos(? ? ) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 6 cos ? ? 1 ? sin 2 ? ?
∵ ∴ ∴

0 ?? ?

?

?
6

2



?? ?

?
6

?

2? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 3

1 ? 3 ,从而 ?2 ? f (? ) ? 2 3 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 分 ? ? cos(a ? ) ? 2 6 2

11、解: (Ⅰ) f '( x) ? a ?

2a ? 1 ax ? (2a ? 1) …………………1 分 ? x x ? f '(1) ? 1 ? a ? 1 依题意, ? ………………………………2 分 ? f (1) ? a ? b ? 1

解得: ?

?a ? 0 ?b ? 1

……………………………………3 分

(0, ??) ……………………4 分 (Ⅱ) f ( x) 的定义域为

2a ? 1 ax ? (2a ? 1) ? x x (2a ? 1) a[ x ? ] 1 a 当 a ? 时, f '( x) ? , x 2 2a ? 1 令 f '( x) ? 0 得, x ? ………………………………5 分 ?0, a f ( x) 及 f '( x) 的值变化情况如下表: f '( x) ? a ?

x
f '( x) f ( x)

(0,

2a ? 1 ) a

2a ? 1 a

(

2a ? 1 , ??) a

?


0

?

极小值



故 f ( x) 在 (0,

2a ? 1 2a ? 1 ) 为减函数,在 ( , ??) 为增函数. a a

………………………7 分



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