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2014年全国高中数学联赛加试题另解


中 等 数 学

籙斯 辦

年 全 国 高 中 数 学 联 赛 加 试 題 另 解
中 图 分类号

文献 标 识 码



文章编号









r />设实 数





满足



证明
















证法
么为


因为



所以







个数 要 则 原不等 式 可 化 为



个正 数 和 两 个 负 数 要 么 均 为 正 数 对 于 前 种 情 形 不 妨设











对于 后


当 “垚时 有
, ,

种情形

由 舒尔 不 等 式 有










时 原 不 等式 可 化 为






由式














“。





从而 … 穿
因为


令 ⑴
所以
因为




■卜





为 开 口 向 上 的 抛物 线 且






于是 加









么 丄
所以




















证法 正 或全正



南 开大学数 学科学学 院 由于


综上





故分 两 种 情 形 两 负




李玉梅


天 津师 范 大 学 数 学

科学 学 院
天津 市 实


级硕 士 研 究 生






注意到





证法


因为




所以







三 个数 要

么 均 为 正 数 要么 为

个正数 和 两 个 负 数


故 考虑















年第



故 原 不等 式 成立





均 为 正数 时 设
, ,















则 ?

故 原 不等 式变 为







其中






表示 轮 换 对 称 和






故 只需证

由 舒 尔 不 等式得














只需





不妨设













因为



所以





而原 不 等式




由 均 值 不 等 式 知 这 是 成立 的

综 上 原命 题成 立


若 若


则 不 等式 显 然 成 立










如图





河北衡 水 中 学

燃 中







江西省 新

建二 中 高 二


第 二题



在锐 角







过点



分别 作




外接 圆 的 切 线

所以 丄
, ’







且满 足 仙

直线







延长 线 分 别 交 于 点


交于点








则 只 需证



交于 点

证明 恤


為⑷
又需 证



广】

由 式 ① 知 上式 恒 成 立

综 上 原 不 等 式 成立


刘 利 益





滨 师 范 大 学 附 属 中 学





陈佳 乐

湖北省 天 门 中 学高







证法 则

⑴ 若 认 中 有 负 数 不 妨设


证法


如图












与 从 交于 点






交 于点




1

2

中 等 数 学




















胸“ 應 仏


再由










如图



过点
爐如



分别 作




的 垂线 垂


擁地






足分 别 为
则 似









摩 于是








万 喜人

徐伯 儒 如图

湖 南 图 书 馆培训 楼 万喜

则 厶 屬⑵ 厶 層


学校



建恒

陕 西 省 兴 平 市 教研 室



陈钦 品

湖 南 省 长 沙 市雅礼 中 学





证法

如图






的平分线 仙 与


交于 点

联结

















为 切线 知


⑵ ⑴







2 0

1

4

年第



类似地
于是




下 面证明 集 合 事 实上 假设







也 是不 同 的





则 由 配对 方 式 知

其中



表 示 集合


中 的 最 大元 素


再记





从而 厶




似 望厶 —

力似



由 配 对方式





上 海 交 通大 学信 息 安全 工 程 学 院

黄龙威


华 南 师 范 大 学 附属 中





于是





学初三



求最 大 的 整 数 、 使得 集 合 有 个 互 不相 同 的 非 空 子 集 具 有 性 质 对这 个 子 集 中 任 意 两 个 不 同 子 集 若 它
第三题








这 与 集合 次 与 么 是 不 同 的 矛 盾 与 仏 是不 同的 故集 合
又 对 任意 的




均有
















们 的 交非 空 则 它 们 交集 中 的 最 小 元 素 与 这两 个


至此 证 明 了 岑 七














… ,



子 集 中 的 最 大 元 素 均不 相 同



解法 构造法 取集 合



的最 大 值为
各 各





恰为 个排 列

的除

以外 的

个非 空 子 集
个 集合 所 以


又 因 为 每组 中 只 能 取到








其中











的 非 空 子集

满 足 该 取法 的





个集 合 其 交 集 的 最 小 元 素 为


个 其 中 任 取两 而 最大 元 素 均 不


综 上 的 最 大值 为 哈尔 滨 师 范 大 学 附属 姜 岩








学高



满 足题意 接下来证明 如
注意到








胡 家瑞

四川

绵 阳 外 国 语学 校

冑三











个非空
则 必不 能 取 到
站萃 卜而 水 串 的 至少 两 个兀 素


解法


若取 了

个子 集 考 虑 每 个子 集 中


元素 的 最大值

先 证明 若


个子 集 中 取
丨 丨

个集八
龙右

若 有 集合




使得

, ,

右有






则 所有 含 兀 素

拓右 今













赚合 脆样
于是


: 丄蠶 :








看作

个觀 廳 大 元
, ,

合職 成
个子 集 中 不 取 到
, ,

觀 共可 生 成



则在


个非


空 子集 中 去掉



个 子集


将 其按 如 下
任意


式 两两 分成



不被取 由 抽屉 原理 知 总有
, , ,

个抽屉
个 集合 含

个 含 元素


的 至 少 两 个元 素


子集


中 有 两 个 被 取 元素 矛 盾




















被取



由 于每个 抽屉 中 仅








又每 个抽 屉 中 至 多 有

个集 合被取 故此 时被




取 的 所 有 集合 总数 不 超 过 集 合 被取 则



因 为若 有








被取 矛 盾 外所有 含



这样 易发 现 夂

的 最小 元素 为





且这






方面 取除


的 集合 有

两 个 集 合 中 的 最大 元 素 也 均 为

个 满 足 条件 综上



从而 集 合 次


不能 同 时 取 到


的 最 大值 为 娟

显 然 对于


集合 次 与













河 北 衡水 中 学





不 同的

解法

考 虑集 合

中 所 有 含 元素

且 至少

I

4


中 等


数 学

_

个 它 们 两两相 这两个子集 交 的 交 集 非 空 交集 的 最小 元 素 为
有两 个 元 素 的 子 集




















中 的 最 大 元素 均 不 为



符 合题 意
时 不存 在满足要求 的













接 下 来证明 当




个子 集


的 所 有 非 空 子 集 按 如 下 方式 配 对





将集合 先将 含 元 素

则 对任 意 的















且 与





的 所 有 子集 去掉

后 互补 配
, ,



对 再分 别 补 上


得到

子 集 的 交集 中 只 有 元素 类似 地 将 剩 下含 元 素


个 子 集 对 易 知 每对 从 而 交 集 中 最小元




及 模
否则
因为



不 同余

不 同余 且 、




素 等 于 这 两 个 子 集 的 最 大 元素
的 所 有子 集 配成
的所 有子集




所以



个 子 集对
配成






直 到将 剩 下 含 元 素



这与

矛盾
的 情形

个子 集 对 而 子 集

单独 组 成

个对

于是 共得 到

故 只 需考虑 不妨 设



个子集 对 若
集属 于同 题 设要 求





不 同 余 则 该数 列






满 足题意


根 据 抽 屉原 理 知 必 有 两 个 子
子 集 对 按 上 述 子 集 对 的规 定 不符 合












不在 这 个子 集 若 之 中 则 根 据抽 屉 原 理 知 必 有 两 个子 集 属 于 同 子 集 对 按 上 述 子集 对 的 规 定 不 符 合题 设 要 求 如果 子集 在 这 个 子 集 之 中 再 分两 种



如果 子 集


此 时 定 义两 个集 合 冬




则称


,知


若 属 于集合







否 则 属 于集




因为





所以





情形
还 有 含元 素
的 其 他 非 空 子集 不 妨设 为






中 必 有 奇 数 个 属 于集 合 皋 奇数 个 属

于集 合


剩下 的








不 符合 题设 要 求



不 妨设




个 属 于 集 合 皋 三 个 属 于集合


没 有含 元素 的非空 子集为


的其他 非 空 子 集









这表明 子集
总之 当








个 包 括 子集 均 在 个 子集 之 中 但 不 符 合 题 设 要求 时 不存 在 满 足 要求 的 个
丨 丨







⑷?











子集

综 上 满 足 题设要 求 的 最 大 整 数







柯新 立
第四 题
同余 整数


上 海 市 延安 初 级 中 学






设 整数 、
… , ’ ,









… , ,

模 也互不 同余 证





明 可将




重 新排 列 为





















证明










互不问余



原命 题 等 价 于


故此情 形 下









不 同余



存在 个排列










巧。













分别的
















使














互 不 同余



这 两 种 方 式必 有




种 满 足 题意


考 虑 两 个排 列

满足

李雨 阳




滨 师 范 大 学 附属 中 学 高






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