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陕西省师大附中2013届高三第四次模拟考试【数学(理)试题】(含答案)


陕师大附中高 2013 届第四次模拟考试 数学试题(理科)2013.04.19
第Ⅰ卷 选择题(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知全集 U={ ?1 ,1,2,3,4},集合 A={1,2,3},B={2,4},则(?UA)∪B 为( ) A.{1,

2,4} B.{2,3,4} C.{ ?1 ,2,4} D.{ ?1 ,2,3,4} 2 2.如果复数 z= ,则( ) -1+i A.|z|=2 B.z 的实部为 1 C.z 的虚部为-1 D.z 的共轭复数为 1+i 3.已知双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1 的一个焦点与抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点重合,且双曲线的离心率等于 2 a b

5 ,则该双曲线的方程为( ) x2 y2 y2 x2 4 5 A. 5 x 2 ? y 2 ? 1 B. C. D. 5 x 2 ? y 2 ? 1 ? ?1 ? ?1 5 4 5 4 5 4 n 1? ? 4.已知 ? x 2 ? ? 的展开式的各项系数和为 32,则展开式中 x 4 的系数为( ) x? ?
A.5 B.40 C.20 D.10 5.采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查,为此将他们随机编号为 1,2,??, 960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32 人中,编号落入区 间[1,450]的人做问卷 A,编号落入区间[451,750]的人做问卷 B,其余的人做问卷 C.则抽到 的人中,做问卷 C 的人数为 A.7 B. 9 C. 10 D.15 6.把函数 y ? 2 cos x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),然后向左 平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图象是
2

7.在区间 [? π , π] 内随机取两个数分别记为 a, b ,则使得函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? b 2 ? π 有零点的 概率为 A.
7 8

( B.
3 4

) C.
1 2

D.

1 4

8. 如果执行如图的程序框图,那么输出的值是( A. 0 B.



1 2

1 2 D. ?1
C. ?

9. 已知实数 a, b, c, d 成等比数列, 且函数 y ? ln( x ? 2) ? x当x ? b 时取到极大值 c , ad 等 则 于( A. 1 ) B. 0 C. ?1 D. 2

10. 定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 是减函数, 且函数 y ? f ( x) 的图象关于原点成中心对称, s , 若
t t 满足不等式 f ( s 2 ? 2s ) ≤ ? f (2t ? t 2 ) .则当 1 ≤ s ≤ 4 时, 的取值范围是( s ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? A. ? ? , 1? B. ? ? , 1? C. ? ? , 1? D. ? ? , 1? 4 ? 4 ? 2 ? ? ? ? ? 2 ?



第Ⅱ卷

非选择题(共 100 分)
1 } 的前 100 项和 an an ?1

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案填写在题中的横线上. 11.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a5 ? 5, S5 ? 15 ,则数列 { 为 .

12.已知函数 f ( x) 满足:当 x≥4 时, f ( x) = ( ) x ;当 x 时 f ( x) = f ( x ? 1) ,则 f (2 ? log 2 3) =______. 13.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积 为
?

1 2

< 4


?
? ?

14 . 已 知 a ? (? ,2? ) , b ? (3? , 2) , 如 果 a 与 b 的 夹 角 为 锐 角 , 则 是 .

? 的取值范围

15. (考生注意:请在下列三个小题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分.) A. (不等式选做题)若不存在 实数 x 使 | x ? 3 | ? | x ? 1|? a 成立,则实数 a 的取值集合是 ... __________. B. (几何证明选做题) )如图,已知 AB 和 AC 是圆的两条弦, 过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于点 D.过点 C 作 BD 的 平行线与圆相交于点 E,与 AB 相交于点 F,AF=3,FB=1,

3 EF= ,则线段 CD 的长为________. 2

C. (坐标系与参数方程选做题) 已知直线 l1 : ? ( ? 为参数)的位置关系不可能是________.

? x ? 1 ? t cos ? ? x ? cos ? (t 为参数)与圆 C2: ? ? y ? t sin ? ? y ? sin ?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 已知 ?ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且 b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc . (Ⅰ) 求 2sin B cos C ? sin( B ? C ) 的值; (Ⅱ)若 a ? 2 ,求 ?ABC 周长的最大值. 17.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 2(n ? 1) x ? n ? 5n ? 7 .
2 2

(Ⅰ)设函数 y ? f ( x) 的图像的顶点的纵坐标构成数列 {an } ,求证: {an } 为等差数列; (Ⅱ)设函数 y ? f ( x) 的图像的顶点到 x 轴的距离构成数列 {bn } ,求 {bn } 的前 n 项和 S n . 18.(本题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 为一直角梯形,其中

BA ? AD, CD ? AD , CD ? AD ? 2 AB, PA ? 底面 ABCD ,
E 是 PC 的中点.
(Ⅰ)求证: BE //平面 PAD ; (Ⅱ)若 BE ? 平面 PCD ,求平面 EBD 与平面 BDC 夹角的余弦值. 19. (本题满分 12 分) 某品牌汽车 4S 店对最近 100 位采用分期付款的购车者进行统计,统计结果如下表所示: 付款方式 频数 分1期 40 分2期 20 分3期 分4期 10 分5期

a

b

已知分 3 期付款的频率为 0.2,4s 店经销一辆该品牌的汽车,顾客分 1 期付款,其利润为 1 万元,分 2 期或 3 期付款其利润为 1.5 万元,分 4 期或 5 期付款,其利润为 2 万元,用 Y 表 示经销一辆汽车的利润。 (Ⅰ)求上表中 a, b 的值; (Ⅱ)若以频率作为概率,求事件 A : “购买该品牌汽车的 3 位顾客中,至多有一位采用 3 期付款”的概率 P ( A) ; (Ⅲ)求 Y 的分布列及数学期望 EY. 20. (本题满分 13 分)
A F1 O F2 x P y B

l

Q

1 x2 y 2 2 的椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左、右焦点,直线 l :x=- 2 a b 2 将线段 F1F2 分成两段,其长度之比为 1 : 3.设 A,B 是椭圆 C 上的两个动点,线段 AB 的中 垂线与 C 交于 P,Q 两点,线段 AB 的中点 M 在直线 l 上. (Ⅰ) 求椭圆 C 的方程; ???? ???? ? ? (Ⅱ) 求 F2 P ? F2Q 的取值范围.
如图,F1,F2 是离心率为 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 ax ? (2a ? 1) x ? 2ln x (a ? R ) . 2 (Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 和 x ? 3 处的切线互相平行,求 a 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间;
(Ⅲ)设 g ( x) ? x ? 2 x ,若对任意 x1 ? (0, 2] ,均存在 x2 ? (0, 2] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,
2

求 a 的取值范围.

数学四模(理科)参考答案
一、选择题: 题号 答案 1 C 2 C 3 D 4 D 5 A 6 A 7 B 8 D 9 C 10 D

二、填空题: 11.

100 101

12.

1 24

13. ? ? B.

3 3

14. (??, ? ) ? (0, ) ? ( , ??)

4 3

1 3

1 3

15. A.

?a

a?2

?

4 3

C. 相离.

三、解答题: π 1 16.解: (Ⅰ)∵b2+c2=a2+bc,∴a2=b2+c2-bc,结合余弦定理知 cosA= ,∴A= , 2 3 ∴2sinBcosC-sin(B-C)= sinBcosC+cosBsinC =sin(B+C) =sinA= 3 ?????6 分 2

(Ⅱ a=2,结合正弦定理,得 )由 4 3 4 3 b+c= sinB+ sinC 3 3 2π 4 3 4 3 = sinB+ sin( -B) 3 3 3 π =2 3 sinB+2cosB=4sin(B+ ), 6 可知周长的最大值为 6 . ?????12 分

17.解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? x ? 2(n ? 1) x ? n ? 5n ? 7 ? [ x ? (n ? 1)] ? 3n ? 8 ,
2 2 2

∴ an ? 3n ? 8 ,

---------2 分

∴ an ?1 ? an ? 3(n ? 1) ? 8 ? (3n ? 8) ? 3 , ∴数列 {an } 为等差数列. ---------4 分 ---------6 分

(Ⅱ)由题意知, bn ?| an |?| 3n ? 8 | , ∴当 1 ? n ? 2 时, bn ? 8 ? 3n ,

S n ? b1 ? ? ? bn ?

n(b1 ? bn ) n[5 ? (8 ? 3n)] 13n ? 3n 2 ? ? ; ----8 分 2 2 2

当 n ? 3 时, bn ? 3n ? 8 ,

S n ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? 5 ? 2 ? 1 ? ? ? (3n ? 8)
?7? (n ? 2)[1 ? (3n ? 8)] 3n 2 ? 13n ? 28 .---------10 分 ? 2 2

?13n ? 3n 2 ,1 ? n ? 2 ? ? 2 ∴ Sn ? ? 2 . ? 3n ? 13n ? 28 , n ? 3 ? ? 2
18. 设 AB ? a, PA ? b ,建立空间坐标系,使得

---------12 分

A(0, 0, 0), B(a, 0, 0) , P(0, 0, b) ,

b C (2a, 2a, 0), D(0, 2a, 0) , E (a, a, ) .????2 分 2 ??? ? ???? ??? ? b (Ⅰ) BE ? (0, a, ) , AD ? (0, 2a, 0), AP ? (0, 0, b) , 2 ??? 1 ???? 1 ??? ? ? 所以 BE ? AD ? AP , 2 2

BE ? 平面 PAD ,? BE / / 平面 PAD .
(Ⅱ)? BE ? 平面 PCD ,? BE ? PC ,即 BE ? PC ? 0

???5 分

??? ??? ? ?

??? ??? ? ? ??? ? b2 PC ? (2a, 2a, ?b) ,? BE ? PC ? 2a 2 ? ? 0 ,即 b ? 2a . 2
平面 BDE 和平面 BDC 中, BE ? (0, a, a ), BD ? ( ? a, 2a, 0) BC ? (a, 2a, 0) ,

??? ?

??? ?

??? ?

所以平面 BDE 的一个法向量为 n1 ? (2,1, ?1) ;平面 BDC 的一个法向量为 n2 ? (0, 0,1) ;

??

?? ?

?? ?? ? ?1 6 ,所以平面 EBD 与平面 BDC 夹角的余弦值为 . cos ? n1 , n2 ?? 6 6
a ? 0.2 100

??12 分

19.解:(Ⅰ)

? a ? 20

? 40 ? 20 ? a ? 10 ? b ? 100
40 ? 0.4 , P( x ? 2) ? 0.2 , P( x ? 3) ? 0.2 100

? b ? 10 ????????4 分
(Ⅱ )记分期付款的期数为 x ,则: P ( x ? 1) ?

P( x ? 4) ? 0.1
8分

1 P( x ? 5) ? 0.1 ,故所求概率 P( A) ? 0.83 ? C3 ? 0.2 ? 0.82 ? 0.896 ????

(Ⅲ)Y 可能取值为 1,1.5,2(万元)

P(Y ? 1) ? P( x ? 1) ? 0.4

P(Y ? 1.5) ? P( x ? 2) ? P( x ? 3) ? 0.4 , P(Y ? 2) ? P( x ? 4) ? P( x ? 5) ? 0.2
? Y 的分布列为:
Y P 1 0.4 1.5 0.4 2 0.2

Y 的数学期望 EY ? 1? 0.4 ? 1.5 ? 0.4 ? 2 ? 0.2 ? 1.4 (万元)?????????12 分 20.【解析】(Ⅰ) 设 F2(c,0),则 y 1 c? B 2 =1, 1 3 M c? A 2 O F1 F2 x 所以 c=1. 因为离心率 e=
2 2

,所以 a= 2 .

所以椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 . 2

x=- ???5 分 2

1

(第 20 题图)

(Ⅱ) 当直线 AB 垂直于 x 轴时,直线 AB 方程为 x=-

???? ???? ? ? F2 P ? F2Q ? ?1 .

1 ,此时 P( ? 2 ,0)、Q( 2 ,0) 2

当直线 AB 不垂直于 x 轴时,设直线 AB 的斜率为 k,M(- y2).

1 ,m) (m≠0),A(x1,y1),B(x2, 2

? x12 2 ? ? y1 ? 1, ? 2 由 ? 2 得 ? x2 ? y 2 ? 1, 2 ? 2 ?

(x1+x2)+2(y1+y2) ? 则

y1 ? y2 =0, x1 ? x2

-1+4mk=0, 故 k=

1 . 4m

此时,直线 PQ 斜率为 k1 ? ?4m ,PQ 的直线方程为
1 y ? m ? ?4m( x ? ) . 2 y ? ?4mx ? m .



? y ? ?4mx ? m ? 联立 ? x 2 消去 y,整理得 2 ? ? y ?1 ?2

(32m 2 ? 1) x 2 ? 16m 2 x ? 2m 2 ? 2 ? 0 .
所以

x1 ? x2 ? ?
于是

16m 2 2m 2 ? 2 , x1 x2 ? . 32m 2 ? 1 32m 2 ? 1

F2 P ? F2 Q ? (x1-1)(x2-1)+y1y2
? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? (4mx1 ? m)(4mx2 ? m)

? (1 ? 16m 2 ) x1 x2 ? (4m 2 ? 1)( x1 ? x2 ) ? 1 ? m 2

?

(1 ? 16m 2 )(2m 2 ? 2) (4m 2 ? 1)(?16m 2 ) ? ? 1 ? m2 2 2 32m ? 1 32m ? 1 19m 2 ? 1 . 32m 2 ? 1
19 51 . ? 32 32t

?

令 t=1+32m2,1<t<29,则
F2 P ? F2Q ?

又 1<t<29,所以

???? ???? 125 ? ? . ?1 ? F2 P ? F2Q ? 232 125 综上, F2 P ? F2Q 的取值范围为[ ?1 , ) .??13 分 232

2 ( x ? 0) . ---------2 分 x 2 (Ⅰ) f ?(1) ? f ?(3) ,解得 a ? . ---------3 分 3 (ax ? 1)( x ? 2) (Ⅱ) f ?( x) ? ( x ? 0) . ---------5 分 x ①当 a ? 0 时, x ? 0 , ax ? 1 ? 0 , 在区间 (0, 2) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 (2, ??) 上 f ?( x) ? 0 , 故 f ( x) 的单调递增区间是 (0, 2) , 单调递减区间是 (2, ??) . ---------6 分 1 1 ②当 0 ? a ? 时, ? 2 , 2 a 1 1 在区间 (0, 2) 和 ( , ??) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 (2, ) 上 f ?( x) ? 0 , a a 1 故 f ( x) 的单调递增区间是 (0, 2) 和 ( , ??) , a 1 单调递减区间是 (2, ) . --------7 分 a ( x ? 2)2 1 ③ 当 a? 时 , f ?( x) ? , 故 f ( x) 的 单 调 递 增 区 间 是 (0, ??) . 2x 2
21.解: f ?( x) ? ax ? (2a ? 1) ? ---------8 分

1 1 ④当 a ? 时, 0 ? ? 2 , 2 a 1 1 在区间 (0, ) 和 (2, ??) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 ( , 2) 上 f ?( x) ? 0 , a a 1 1 故 f ( x) 的 单 调 递 增 区 间 是 (0, ) 和 (2, ??) , 单 调 递 减 区 间 是 ( , 2) . a a
---------9 分 (Ⅲ)由已知,在 (0, 2] 上有 f ( x) max ? g ( x) max .---------10 分 由已知, g ( x) max ? 0 ,由(Ⅱ)可知,

1 时, f ( x) 在 (0, 2] 上单调递增, 2 故 f ( x) max ? f (2) ? 2a ? 2(2a ? 1) ? 2 ln 2 ? ?2a ? 2 ? 2 ln 2 , 所以, ?2a ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 ,解得 a ? ln 2 ? 1 , 1 故 ln 2 ? 1 ? a ? . ---------11 分 2 1 1 1 ②当 a ? 时, f ( x) 在 (0, ] 上单调递增,在 [ , 2] 上单调递减, 2 a a 1 1 故 f ( x) max ? f ( ) ? ?2 ? ? 2 ln a . a 2a 1 1 1 由 a ? 可知 ln a ? ln ? ln ? ?1 , 2 ln a ? ?2 , ?2 ln a ? 2 , 2 2 e 所以, ?2 ? 2 ln a ? 0 , f ( x) max ? 0 , ---------13 分 综上所述, a ? ln 2 ? 1 . ---------14 分
①当 a ?


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