极坐标与参数方程数学讲义

极坐标与参数方程
一、考纲要求 1.理解参数方程的概念， 了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义， 掌握参 数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程. 2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化 .会正确将极坐标方程 化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程. 二、知识结构 1.参数方程的概念

在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x, y 都是某个变数 t 的函数

? x ? f (t ), 并且对于 t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点 M ( x, y ) 都在这条曲线上， ? ? y ? g (t ), 那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数 x, y 的变数 t 叫做参变数，简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 常见的曲线的参数方程 2.直线的参数方程 (1)标准式 过点 Po(x0,y0)，倾斜角为α 的直线 l 的参数方程是

? x ? x0 ? t cos a ? ? y ? y 0 ? t sin a
(2)一般式

(t 为参数，其几何意义是 的数量 ) ．．．．．PM ． ． ．．．

过定点 P0(x0,y0)斜率 k=tgα =

b 的直线的参数方程是 a

? x ? x 0 ? at 1 (t 为参数， t ? ) ? tan ? ? y ? y 0 ? bt
3.圆锥曲线的参数方程 (1)圆

②

圆心在(a,b)，半径为 r 的圆的参数方程是 ?

? x ? a ? r cos? (φ 是参数)? ? y ? b ? r sin ?
(φ 为参数)

? x ? a cos? x2 y2 ? (2)椭圆 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a＞b＞0)的参数方程是 ? y ? b sin ? a b

椭圆

? x ? b cos? y2 y2 ? 2 ? 1 (a＞b＞0)的参数方程是? ? (φ 为参数) 2 a b ? y ? a sin ?
2

? x ? 2 pt 2 (3)抛物线 抛物线 y ? 2 px 的参数方程为 ? ?t为参数? ? y ? 2 pt
4.极坐标? 极坐标系 在平面内取一个定点 O，从 O 引一条射线 Ox，选定一个单位长度以及计算 角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点， 射线 Ox 叫 做极轴.? ①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，

缺一不可. 点的极坐标 设 M 点是平面内任意一点，用ρ 表示线段 OM 的长度，θ 表示射线 Ox 到 OM 的角度 ，那么ρ 叫做 M 点的极径，θ 叫做 M 点的极角，有序数对(ρ ,θ )叫做 M 点的极 坐标. 注意：①点 P( ? , ? ) 与点 P 1 (? ? , ? ) 关于极点中心对称；②点 P( ? , ? ) 与点 P 2 (? ? , ? ? ? ) 是 同一个点；③如果规定 ? ? 0,0 ? ? ? 2? ，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标 ；同时，极坐标 ( ? ,? ) 表示的点也是唯一确定的。④极坐 ( ? ,? ) 表示（即一一对应的关系） 标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标

?) 是一多对应的． 即一个点的极坐标是不惟一的． P( ? ， （极点除外） 的全部坐标为( ? , ?
＋ 2k? )或（ ? ? ， ? ＋ (2k ? 1)? ） ，( k ? Z)．极点的极径为 0，而极角任意取． 圆的极坐标方程 ①以极点为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是 ? ? a ； ②以 ( a, 0) (a ? 0) 为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是 ? ? 2acos? ； ③以 ( a,

?
2

) (a ? 0) 为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是 ? ? 2asin? ；

直线的极坐标方程 ①过极点的直线的极坐标方程是 ? ? ? ( ? ? 0) 和 ? ? ? ? ? ( ? ? 0) . ②过点 A(a,0)(a ? 0) ，且垂直于极轴的直线 l 的极坐标方程是 ?cos? ? a . 化为直角坐标 方程为 x ? a . ③过点 A(a,

?

y ? a.

2

) 且平行于极轴的直线 l 的极坐标方程是 ? sin ? ? a . 化为直角坐标方程为

极坐标和直角坐标的互化 (1)互化的前提条件 ①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与 x 轴的正半轴重合 ③两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式 ．．．．

? x ? ? cos? ? ? y ? ? sin ? '
三、课前预习

?? 2 ? x 2 ? y 2 ? θ 的象限由点(x,y)所在的象限确定 ? y tg ? ? ( x ? 0 ) ? x ?

1．直线 y ? 2 x ? 1 的参数方程是（
2 ? A、 ? x ? t （t 为参数） 2 ? y ? 2t ? 1

）

? x ? 2t ? 1 B、 ? （t 为参数） ? y ? 4t ? 1

C、 答案：C

? x ? t ?1 （t 为参数） ? ? y ? 2t ? 1

x ? sin ? D、 ? （t 为参数） ? ? y ? 2 sin ? ? 1

?? ? 2．已知 M ? ? 5, ? ，下列所给出的不能表示点的坐标的是( 3? ?
A、 ? 5,? 答案：A

)

? ?

??
? 3?

B、 ? 5,

? ?

4? ? ? 3 ?

C、 ? 5,?

? ?

2? ? ? 3 ?

D、 ? ? 5,?

? ?

5? ? ? 3 ?

3．在极坐标系中，圆ρ =-2sinθ 的圆心的极坐标系是（
A、 (1,

） D、(1， ? )

?
2

)

B、 (1, ?

?
2

)
2

C、 (1,0)

解：将极坐标方程化为普通方程得： x ? y ? 2 y ? 0 ，圆心的坐标为 (0,?1) ，其极坐标为
2

(1,

3? ) ，选 B 2

4．点 P 1,? 3 ，则它的极坐标是 (
A、 ? 2, 答案：C

?

?

) C、 ? 2,?

? ?

??
? 3?

B、 ? 2,

? ?

4? ? ? 3 ?

? ?

??
? 3?

D、 ? 2,?

? ?

4? ? ? 3 ?

5．直角坐标系 xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点 A,B 分别在
曲线 C1 : ? A、1 答案：A

? x ? 3 ? cos ? （ ? 为参数）和曲线 C2 : ? ? 1 上，则 AB 的最小值为( y ? sin ? ?
B、2 C、3 D 、4

)

1 ? ?x ? t ? 6．参数方程为 ? t (t为参数) 表示的曲线是（ ? ?y ? 2
A、一条直线 答案：D B、两条直线

）

C、一条射线

D、两条射线

? x ? 1 ? 2t 7． 若直线 ? ?t为参数? 与直线4x ? ky ? 1垂直，则常数k ? （ ? y ? 2 ? 3t
A、-6 B、 ?

）

1 6

C、6

D、

1 6

答案：A

8．极坐标方程 ? ? 4cos? 化为直角坐标方程是(
A、 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 C、 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 答案：A

) B、 x2 ? y 2 ? 4 D、 ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 4

? 1 x? ? ? ? ? 2 9．曲线 2 ? ? 4sin( x ? ) 与曲线 ? 4 ?y ? 1 ? ? ? 2
A、 相交过圆心 答案：D B、相交

2 t 2 的位置关系是（ 2 t 2
C、相切

）

D、相离

? x ? 3t 2 ? 2 10．曲线的参数方程为 ? (t 是参数)，则曲线是（ 2 ? y ? t ?1
A、线段 答案：D B、双曲线的一支 C、圆

）

D、射线

11．在极坐标系中，圆 ? ? 2 上的点到直线 ? cos? ? 3 sin ? ? 6 的距离的最小值
是 答案： 1 .

?

?

? ?x = 1+ cosθ ? x = ?2 2 + 3t 12．圆 C： ? (θ 为参数)的圆心到直线 l ： ? (t 为参数)的距离 y = 1 ? 3t ? ? y = sinθ ?
为 答案： 2 。

5 2 ? ? ?x ? t ? x ? 5 cos ? (t ? R ) ，它们 (0 ≤? ? ? ) 和 ? 13．已知两曲线参数方程分别为 ? 4 y ? sin ? ? ? ? ?y ? t
的交点坐标为___________． 答案： (1,

2 5 )． 5

14．以直角坐标系的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，已知曲线 C1 、C2 的极坐标方程分

别为 ? ? 0, ? ?

?
3

，曲线 C3 的参数方程为 ?

? x ? 2cos ? ? ? ?? （ ? 为参数，且 ? ? ? ? , ? ） ，则 ? 2 2? ? y ? 2sin ?
.

曲线 C1 、 C2 、 C3 所围成的封闭图形的面积是 答案：

2 ? 3

四、典例分析 考向一 极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化 相关知识点：极点与原点重合，极轴与 x 轴正半轴重合，长度单位相同.

?? 2 ? x 2 ? y 2 x ? ? cos ? ? ? 互化公式： ? 或 ? y ? y ? ? sin ? ?tan? ? ( x ? 0) x ?
【例 1 】 （1）点 M 的极坐标分别是 (2, 换算成直角坐标依次是 ，

?
2

) ， (4, ? ) ， (6,
，

2? 3? ) ， (2, ) 3 4
，

（2）点 M 的直角坐标分别是 (2, 0) ， (0, ?2) ， (?2, ?2) ， (? 3,1) 如果 ? ? 0,0 ? ? ? 2? 换算成极坐标依次是 ， ， ， 【例 2】在极坐标系中，过圆 ? ? 4cos ? 的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程 为 ． 分析： 由 ? ? 4 cos? 得 ? 2 ? 4? cos? ． 所以 x 2 ? y 2 ? 4 x ， ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 圆心坐标 (2,0) 过圆心的直线的直角坐标方程为 x ? 2 ．直线的极坐标方程为 ? cos? ? 2 。 【变式 1】在极坐标系中，圆心在 ( 2，? ) 且过极点的圆的方程为（ B ） A、? ? 2 2 cos? B、? ? ?2 2 cos? C、? ? 2 2 sin? D、? ? ?2 2 sin? 分析：圆心在 ( 2，? ) 即指的是直角坐标系中的 (? 2， 0) 圆的直角坐标方程：

( x ? 2)2 ? y 2 ? 2 。圆的极坐标方程为 ? ? ?2 2 cos?
【变式 2】已知曲线 C1 , C2 的极坐标方程分别为 ? cos? ? 3, ? ? 4 cos? （ ? ? 0,0 ? ? ?

?

2

） ，则曲线 C1 与 C 2 交点的极坐标为__

___.

2 2 解:曲线 C1 , C2 的直角坐标方程分别为 x ? 3, ( x ? 2) ? y ? 4 ,且 y ? 0 ，两曲线交点的

直角坐标为（3， 3 ）. 所以，交点的极坐标为 ? 2 3 ,

? 6? 3? ? 【变式 3】在极坐标系中，已知点 A （1， ）和 B ( 2, ) ,则 A 、 B 两点间的距离 4 4
是 ． 解:如图所示,在△OAB 中， | OA |? 4, | OB |? 5, ?AOB ?

? ?

??

7? ? 5? ? ? 6 3 6

? S ?AOB ?

1 OA OB sin ?AOB ? 5 2

评述:本题考查极坐标及三角形面积公式，数形结合是关键。 考向二 曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化

【例 3】 （1）曲线 C: ?

? x ? cos? ? 1. ( ? 为参数)的普通方程为 ( C ) ? y ? sin ? ? 1
B、 ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 D、 ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 1

A、 ( x ?1)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 C、 ( x ? 1)2 ? ( y ?1)2 ? 1

1 ? x?t? ? ? t （2）参数方程 ? 表示的曲线是（ ?y ? t ? 1 ? t ?
A、椭圆 圆 答案：B B、双曲线

）

C、抛物线

D、

? x ? 8t 2 , 【变式 1】已知抛物线 C 的参数方程为 ? （ t 为参数）若斜率为 1 的直线经过抛物线 ? y ? 8t.

C 的焦点，且与圆 ? x ? 4 ? ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 相切，则 r =________。
2

答案： 2
2 解：抛物线的标准方程为 y ? 8 x ，它的焦点坐标是 F (2,0) ，所以直线的方程是 y ? x ? 2 ，圆

心到直线的距离为 2 【变式 2】若直线 3x ? 4 y ? m ? 0 与圆 ? 则实数 m 的取值范围是 【变式 3】直线 ? A、 98 分析: ?

? x ? 1 ? cos? （ ? 为参数）没有公共点， ? y ? ?2 ? sin ? (??,0) ? (10, ??) .
）

? x ? ?2 ? t (t为参数) 被圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 25 所截得的弦长为（ ? y ? 1? t
B、 40

1 4

C、 82

D、 93 ? 4 3

? x ? ?2 ? t ? x ? y ? 1 ? 0 ， ?( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 25 得 圆 心 到 直 线 的 距 离 y ? 1 ? t ?
? 3 ，? 弦长= 2 r 2 ? d 2 ? 82 2

d?

3 ?1 ? 1 2

2 2 【例 4】已知点 P( x, y) 是圆 x ? y ? 2 y 上的动点，求 2 x ? y 的取值范围。

解：设圆的参数方程为 ?

? x ? cos ? ， 2x ? y ? 2cos? ? sin ? ? 1 ? 5 sin(? ? ? ) ? 1 ? y ? 1 ? sin ?

?? 5 ?1 ? 2x ? y ? 5 ? 1

小结：①设动点的坐标为参数方程形式；②将含参数的坐标代人所求代数式或距离公式； ③利用三角性质及变换公式求解最值.

x2 ? y 2 ? 1上的一个动点，求 【变式 5】在平面直角坐标系 xOy 中，点 P(x，y ) 是椭圆 3 S ? x ? y 的最大值．
解：因椭圆

? x2 ? x ? 3 cos ? (? 为参数） ? y 2 ? 1的参数方程为 ? ，故可设动点 P 的坐标为 3 y ? sin ? ? ?

，其中 0 ? ? ? 2? . 因此 ( 3 cos? ,sin ?）

S ? x ? y ? 3 cos ? ? sin ? ? 2(

? 3 1 ? 所以,当 ? ? 是，S cos ? ? sin ? ) ? 2sin(? ? ) 。 6 2 2 3

取最大值 2。 【题后反思】1.化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，并且要保证消参的等价性， 常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法。 2.化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数， 即选定合适的参数 t， 先确定一个关系 x=f(t) （或 y=?(t)） ，再代入普通方程 F（x，y）＝0，求得另一关系 y=?(t)（或 x=f(t)） 。一般地， 常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标） 。在建立曲线的 参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。 3.在参数方程与普通方程的互化中，必须使 x, y 的取值范围保持一致。 【课后巩固练习】 1．椭圆 ?

?x ? 3 ? cos? (?是参数)的两个焦点坐标是 ? y ? ?1 ? 5 sin ?

（

）

A、(-3，5)，(-3，-3) C、(1，1)，(-7，1) 解：化为普通方程得

B、(3，3)，(3，-5)? D、(7，-1)，(-1，-1)?

( x ? 3) 2 ( y ? 1) 2 ? ? 1 ， ∴ a2=25,b2=9, 得 c2 ＝ １ ６ ,c=4. ∴ 9 25

F(x-3,y+1)=F(0,±4)，∴在 xOy 坐标系中，两焦点坐标是(3，3)和(3，-5).应选 B.

? ? ? x ? cos ? sin ? ? 2 2 2．参数方程 ? (0 ? ? ? 2? )表示 ( ? y ? 1 (1 ? sin ? ) ? 2 ?
A.双曲线的一支，这支过点(1， C.双曲线的一支，这支过(-1，
2

)

1 ) 2

1 ) 2

1 ) 2 1 D.抛物线的一部分，这部分过(-1， ) 2
B.抛物线的一部分，这部分过(1，

解：由参数式得 x =1+sinθ =2y(x＞0).即 y= 3．在方程 ? A、(2,-7)

1 2 x (x＞0).∴应选 B. 2
)?

? x ? sin ? (θ 为参数)所表示的曲线一个点的坐标是( ? y ? cos 2?
B、 （

1 2 ， ）? 3 3

C、(

1 1 ， ) 2 2

D、(1，0)

解：y=cos2 ? =1-2sin2 ? =1-2x2，将 x=

1 1 代入，得 y= 。∴应选 C. 2 2
D、(x+2) +y =4 ?
2 2 2 2 2

4．曲线的极坐标方程ρ =４sinθ 化 成直角坐标方程为( )? 2 2 2 2 2 2 A、x +(y+2) =4 B、x +(y-2) =4 C(x-2) +y =4
2 2 解：将ρ = x ? y ，sinθ =

y x ?y
2 2

代入ρ =4sinθ ，得 x +y =4y，即 x +(y-2) =4.∴

2

应选 B. 5．已知圆的极坐标方程ρ =2sin(θ + A、(1,

? ),r=2 3

? )，则圆心的极坐标和半径分别为( ) 6 ? ? ? B、(1, ),r=1 C、(1, ),r=1 D、(1, - ),r=2 6 3 3
)? D、ρ cosθ =-4

答案：C 6．在极坐标系中，与圆ρ =4sinθ 相切的一条直线的方程是( A、ρ sinθ =2 B、ρ cosθ =2 C、ρ cosθ =-2 解：点 P(ρ ,θ )为 l 上任意一点，则有 cosθ = 7． 4 ?sin A、圆
2

OB OP

?

2

?

，得ρ cosθ =2，∴应选 B.

?
2

? 5 表示的曲线是(
B、椭圆

) C、双曲线的一支 D、抛物线 ρ cosθ =x，

? cos ? ? 1 2 ? 2 ? ? 2 ? cos ? ? 5. 把ρ = x 2 ? y 2 解：4ρ sin 2 =5 ? 4ρ ? 2
2 2 2 代入上式，得 2 x ? y =2x-5.?平方整理得 y =-5x+

25 . 它表示抛物线.∴应选 D. 4
D、抛物线

8.极坐标方程 4sin θ =3 表示曲线是( ) A、两条射线 B、两条相交直线 解：由 4sin θ =3,得 4?
2

2

C、圆

y2 2 2 ＝3,即 y =3 x ，y=± 3x ,它表示两相交直线.∴应选 B. 2 2 x ?y ? x ? 2 cos? (?为参数) 的位置关系是( ? y ? 2 sin ? ,
C、直线过圆心 )?

9．直线：3x-4y-9=0 与圆： ? A、相切 答案：D ?

B、相离?

D、相交但直线不过圆心

10．在极坐标系中，点 ( ?,

?
?

) 到圆 ? ? 2cos ? 的圆心的距离为（

）

A、 2

B、

4?

?2
9

C、

1?

?2
9

D、 3

解：分别化为直角坐标进行计算， ( 2,

?
3

) 化为直角坐标是 (1, 3 ) ，圆 ? ? 2 cos? 的直角坐

2 2 标方程是 x ? y ? 2 x ? 0 ，圆心的坐标是 (1,0) ，故距离为 3 。答案：D

11．经过点 M(1，5)且倾斜角为 ( )

? 的直线，以定点 M 到动点 P 的位移 t 为参数的参数方程是 3
1 ? x ? 1? t ? 2 ? B、 ? ?y ? 5 ? 3 t ? 2 ?

1 ? x ? 1? t ? 2 ? A、 ? ?y ? 5 ? 3 t ? 2 ?

1 ? x ? 1? t ? 2 ? C、 ? ?y ? 5 ? 3 t ? 2 ?
答案：A 12．若直线 ? A、

? 3 y ? 1? t ? ? 2 D、 ? ?x ? 5 ? 1 t ? 2 ?

? x ? 4 ? at 2 2 ( (t 为参数)与圆 x +y -4x+1=0 相切，则直线的倾斜角为( ? y ? bt
B、

)?

? 3

2? 3

C、

? 2? 或 3 3
） C、－3

D、

? 5? 或 3 3

答案：C 13．设 a, b ? R, a 2 ? 2b 2 ? 6, 则a ? b 的最小值是（C A、 ? 2 2 B、 ?

5 3 3

D、 ?

7 2

4 ? x ? 3 ? t ? ? 5 14.若直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数)，则过点(4，-1)且与 l 平行的直线在 y 3 ? y ? ?2 ? t ? 5 ?
轴上的截距为 答案：-4 15．直线 ? 的距离为 .

? x ? ?1 ? 3t (t 为参数)的倾斜角为 ? y ? 2 ? 3t
.

；直线上一点 P(x ，y)与点 M(-1，2)

答案：135°，|3 2 t| 16． 圆C ?

? x ? 3 ? 4cos ? , (? 为参数) 的圆心坐标为 ? y ? ?2 ? 4sin ?

， 和圆 C 关于直线 x ? y ? 0

对称的圆 C′的普通方程是 。 答案： （3，－2） ； （x＋2）2＋（y－3）2＝16 17．在极坐标系中，圆 ? ? cos ? 与直线 ? cos ? ? 1的位置关系是 答案：相切

.

18．在极坐标系中，直线 ? ?

AB ?
答案： 8

π （ ? ? R ）与圆 ? ? 4cos? ? 4 3 sin ? 交于 A 、 B 两点，则 3

．

19．在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的方程为 x-y+4=0，曲线 C 的参数方程为 ?

? ? x ? 3 cos a . ? ? y ? sin a

（I）已知在极坐标（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正 半轴为极轴）中，点 P 的极坐标为（4，

π ） ，判断点 P 与直线 l 的位置关系； 2

（II）设点 Q 是曲线 C 上的一个动点，求它到直线 l 的距离的最小值. 解： （１）把极坐标下的点 ( 4, 以点Ｐ在直线 l 上。 （２）因为点Ｑ在曲线Ｃ上，故可设点Ｑ的坐标为 ( 3 sin ? , cos? ) ，从而点Ｑ到直线 l 的 距离为

?
2

) 化为直角坐标得： P(0,4) 又点Ｐ的坐标满足直线方程，所

| 3 cos ? ? sin ? ? 4 | d? ? 2
cos( ? ?

2 cos( ? ? 2

?
6

)?4

? 2 cos( ? ?

?
6

)?2 2 ， 因 此 当

?
6

) ? ?1 时， d 去到最小值，且最小值为 2 。

20．直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点 A， B 分别在曲线 C1 ： ?

? x ? 3 ? cos? （ ? 为参数）和曲线 C2 ： ? ? 1 上，则 | AB | 的最小值 ? y ? 4 ? sin ?

为 ． 【分析】利用化归思想和数形结合法，把两条曲线转化为直角坐标系下的方程． 【解】曲线 C1 的方程是 ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 1 ，曲线 C2 的方程是 x ? y ? 1 ，两圆外离，
2 2 2 2

所以 | AB | 的最小值为 32 ? 42 ?1 ?1 ? 3 ． 【答案】3