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第五届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题及参考解答


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2002 年  第 4 期  数学通报

第五届北京高中数学知识应用竞赛决赛 试题及参考解答

1    1 台子上放着一个奖杯 , 由北 向南看如图 1 , 由西向东看如图 2 , 由上向下看如图 31 图中标出的长 度单位是厘米 , 求出这个奖杯的体 积 1 ( 精确到 1 . 00 , 取 π = 3 . 141) 解 : 这个奖杯是由四棱台 、 四 棱柱和球各一个组成的 , 设这三部 分的 体 积 分 别 为 V棱台 、 棱柱 、 球 , V V 奖杯的体积为 V , 则
V = V 棱台 + V 棱柱 + V 球

21中国青年报 2001 年 3 月 19 日 报道 :中国移动通信将于 3 月 21 日 开始在所属 18 个省 、 市移动通信公 司陆续推出 “全球通”移动电话资 费 “套餐”这个 , “套餐” 的最大特点 是针对不同用户采取了不同的收费 方法 1 具体方案如下 :

方案 代号
1 2 3 4 5 6 7

原计费方案的基本月租为 50 元 , 每通话一分钟付 0 . 4 元 , 请问 : ( 1) “套餐” 中第 4 种收费方式的月话费 y 与月通话量 t ( 月通话量是指一个月内每次通话用时之和 , 每次通话 用时以分为单位取整计算 , 如某次通话时间为 3 分 20 秒 , 按 4 分钟计通话用时) 的函数关系式 ; ( 2) 取第 4 种收费方式 , 通话量多少时比原收费方式 的月通话费省钱 ; ( 3) 据中国移动 2000 年公布的中期业绩 , 每户通话量 平均为每月 320 分钟 , 若一个用户的通话量恰好是这个平 均值 , 那么选择哪种收费方式更合算 , 并说明理由 1

= 3166 . 7 + 4000 + 1480 . 5 = 8647 ( 立方厘米) 1

基本月 租 ( 元)
30 98

免费时 间 ( 分钟)
48

超过免费时 间的话费 ( 元 / 分钟)
0 . 60 0 . 60 0 . 50 0 . 45 0 . 40 0 . 35 0 . 30

170 330 600

168 268 388 568 788

1000 1700 2588

268            0 Φ t Φ 600 268 + 0145 ×( t - 600)   t > 600 ( 2) 当 0 ≤ t ≤600 时 , 解不等式 50 + 0 . 4 t ≥268 , 得 545 ≤ t ≤600 ( t ∈ N) ,   当 x > 600 时 , 解不等式 50 + 0 . 4 t ≥268 + 0 . 45 ( t 600) , 得 600 < t ≤1040 ( t ∈ N ) , 综上 , 545 ≤ t ≤1040 时 ( t ∈ N ) , 第 4 种收费方式比 原收费方式的月通话费省钱 1 ( 3) 因为按照原来的收费方式 , 320 分钟收费 178 元 ( 即 50 + 0 . 4 × ) 所以 , 不会选择月租费多于 178 元得收 320 费方式 , 从而只考虑 “套餐” 中得前三种方式 1 第一种方式的话费为 :30 + 0. 6 ×(320 - 48) = 193. 2 (元) ; 第二种方式的话费为 :98 + 0. 6 ×(320 - 170) = 188 (元) ; 第三种方式的话费为 :168 元 1 故选择第三种方式 1 事实上 , 相对于原收费方式 , 当通话时间大于 244 分 钟时 , 第一种方式不合算 , 当通话时间只有在 120 分钟至 270 分钟时 , 第二种方式较合算 1 31 电子器件厂兼营生产和销售某种电子器件 , 流水 线启动后每天生产 p = 500 个产品 , 可销售 q = 400 个产 品 , 未售出的产品存入库房 , 每件产品在库房内每过一夜 将支付存储费用 r = 012 元 1 该流水线在开机生产一段时 间后将停机销售 , 待所有库存产品售完再开机生产 , 流水 线启动的费用是 c = 1000 元 ( 与产品数量无关) 1这样 , 开机 生产 ─—停机销售 ─—产品售完构成了一个产销周期 1 为管理方便 , 流水线的生产和停机的时间均以天为单位安 排 1 请你设计一个产销周期 , 即开机生产多少天 , 停机销 售多少天 , 使得平均每件产品用于流水线启动和存储的 费用最少 ? 解 :设流水线开机生产 n1 天 , 停机销售 n2 天 , 为了降 低存储费用 , 在产品足够的情况下 , 每天销售个产品 , 则 生产期间最高库存量为 ( p - q) n11 由题意 , 它要在 n2 天 内全部售完 , 故有 ( p - q) n1 = q ( n2 - 1) + a , 其中 a 取值为 100 , 200 , 300 , 4001

解 : ( 1) y =

即 n2 =

这时在生产期间库存产品的存储费用为 ( p - q)〔n1 + ( n1 - 1) + … + 1〕 , r ( p - q) n1 ( n1 + 1) r 即1 2 在停机销售期间库存产品用于存储的费用为 {〔( p - q) n1 - q〕+ 〔( p - q) n1 - 2 q〕+ … + 〔( p q) n1 - ( n2 - 1) q〕 r , }

p- q p- a n1 + 1 q q

2002 年  第 4 期  数学通报
p- q q- a n1 + 代入 , 上式变为 q q 〔( p - q) n1 - a〕 ( p - q) n1 - q + a〕 〔 r 2q

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 C 所持密码钥匙卡上记着 0 、、、、、这 6 个密码特征数 , 45679  D 所持密码钥匙卡上记着 1 、、、、、这 6 个密码特征数 1 34678 请你确定 E 所持密码钥匙卡上应该记着哪些密码特征 数? ( 2) 该保密工作室有 A 、 、 、 、 五人在一起工作 , B C D E 该保密室的保密级别为 : 必须其中 2 人同时在场 , 就能用 他们的密码钥匙卡打开工作室的电子识别门锁 1 问这个 电子门锁至少应该有几个密码特征数 ?若 A 、 、 、 、 B C D E 五人中每一个人的密码钥匙卡上密码特征数一样多 , 又 应该有几个密码特征数 ?请为 A 、 、 、 、 五人的密码 B C D E 钥匙卡设计相应的一组密码特征数 , 使之满足本问题的 要求 1 解 : ( 1) 设全集 I = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9} , 分 别用 N1 、 2 、 3 、 4 、 5 表示 A 、 、 、 、 所持密码钥匙 N N N N B C D E 卡上含有密码特征数的对应集合 1 于是 N 1 = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5} ,  N2 = { 0 , 1 , 2 , 7 , 8 , 9} , 因为 “必须其中 3 人同时插入密码钥匙卡 , 才能打开 工作室的电子识别门锁” 所以 1 N 5 Β ( N1 U N 2 ) U ( N 1 U N3 ) U ( N1 U N4 ) U
( N2 U N3 ) U ( N2 U N 4 ) U ( N 3 U N4 ) N 3 = { 0 , 4 , 5 , 6 , 7 , 9} ,  N4 = { 1 , 3 , 4 , 6 , 7 , 8} 1

将 n2 =

于是在整个产销周期内用于启动流水线和存储的总 费用为 r ( p - q) n1 ( n1 + 1) S = c + 2 〔( p - q) n1 - a〕 ( p - q) n1 - q + a〕 〔 r + 2q
= c + ( p - q) n2 pr ( q - a) ar 1 + 2q 2q

平均每件产品所负担的流水线启动和存储的费用为 S 1
= An1 + B , n1 P n1 ( q - a) ar r ( p - q) c 其中 A = ,B = + 1 2q p 2 pq n1 403 当 a = 100 时 , s = + ; 40 200 n1 n1 101 当 a = 200 时 , s = + ; 40 500 n1 n1 403 当 a = 300 时 , s = + ; 40 200 n1 n1 2 当 a = 400 时 , s = + 1 40 n1 s =

考虑函数 s ( x) = Ax + B

1

x

, 它有最小值 , 且只有一

个最小值点 , 在最小值点的左侧 , 函数是单调递减的 , 在 最小值点的右侧 , 函数是单调递增的 1 分别取 a = 100 , 200 , 300 , 400 , 求得 s ( x ) 的最小值点 x a , 那么 s = An1 + B 1 的最小值在 x a 的左侧或右侧的相邻可取整数处取得 1
n1

由以上可得 , 对于 a = 400 , s 最小值在 n1 = 8 或 12 时 取得 1 经检验 , n1 = 8 时 , s 取得最小值为 0 . 451 即生产 8 天 , 停机销售 2 天 , 费用最少 1 同理 , 对于 a = 200 , s 最小值在 n1 = 6 或 10 时取得 1 经检验 , n1 = 10 时 , s 取得最小值为 0 . 4521 即生产 10 天 , 停机销售 3 天 , 费用最少 1 当 a = 100 , a = 300 时 , s 关于的表达式相同 , 所以其 最小值在 n1 = 7 或 9 时取得 1 经检验 , n1 = 9 时 , s 取得最 小值为 0 . 4481 即生产 9 天 , 停机销售 3 天 , 费用最少 1 综上所述 , 这三个方案差距不大 , 其中生产 9 天 , 停机 销售 3 天方案略好些 1 41 一个保密工作室 , 安装了电子门锁 , 这个电子门锁 有 n 个密码特征数 , 不妨用 0 、、、 n - 1 来代表之 ; 每 1 2 …、 个密码钥匙卡上都记着若干个密码特征数 , 当插入的几 个密码钥匙卡能使 n 个数同时出现时 , 门锁才能被打开 1 ( 1) 若 n = 10 , 该工作室有 A 、 、 、 、 五人在一起 B C D E 工作 , 保密原则规定 , 必须其中 3 人同时插入密码钥匙卡 , 才能打开工作室的电子识别门锁 , 又知道   所持密码钥匙卡上记着 0 、、、、、这 6 个密码特征数 , A 12345  B 所持密码钥匙卡上记着 0 、、、、、这 6 个密码特征数 , 12789

= { 6 , 8 , 9 , 3 , 5 , 2} 1 如果取 N 5 = { 6 , 8 , 9 , 3 , 5 , 2} , 由上面的条件知道 , 有了 E , 再取任意两张密码钥匙卡 , 则一定可以打开工作 室的电子识别门锁 1 故所求 E 所持密码钥匙卡上的密码 特征数是 :2 , 3 , 5 , 6 , 8 , 91 ( 2) 由条件知 , A 、 、 、 、 五人中任何一人都不能 B C D E 打开电子识别门锁 , 这意味着他们的每一张卡至少缺一 个彼此不同的密码特征数 , 即这个电子门锁应该至少有 5 个密码特征数 1 任两张卡需要有如下特征 : 他们的密码特征数的个 数相同 , 各自至少有一个对方没有的密码特征数 , 而他们 的密码特征数凑在一起就有了电子识别门锁的所有密码 特征数 , 因此每一张密码钥匙卡上至少有 4 个密码特征数 不然地话 , 每一张密码钥匙卡上的密码特征数都是 3 个 , 对于有 5 个密码特征数 ( 0 , 1 , 2 , 3 , 4) 的电子门锁 , 不妨 设第一个人的钥匙卡上记着 ( 0 , 1 , 2) , 为了与其他任何一 个人的钥匙卡凑在一起就有了电子识别门锁的所有密码 特征数 , 第二 、 、 三 四人的钥匙卡上只能是 ( 0 , 3 , 4) , ( 1 , 3 , 4) , ( 2 , 3 , 4) , 第五个人应是 ( x , 3 , 4) , 而 x 已经没法选 与其他人不同的数了 1故密码钥匙卡上的密码特征数不能都 是 3 个 ;显然 ,小于 3 的两张卡凑不够电子识别门锁的所有密 码特征数 ,故密码钥匙卡上的密码特征数也不能小于 31 这个电子门锁有 5 个密码特征数 , A 、 、 、 、 五人 B C D E 的每一张密码钥匙卡上恰有 4 个密码特征数就可以满足 题目要求 , 下面构造 1 设电子门锁有 5 个密码特征数 , 用全集 I = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4} 表示 , 分别用 N1 、 2 、 3 、 4 、 5 表示 A 、 、 、 、 N N N N B C D E 所持密码钥匙卡上含有密码特征数的对应集合 . 于是

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2002 年  第 4 期  数学通报

在高中数学教学中采用研究式教学法的探索
刘利民  ( 湖南冷水江市涟邵二中
  在高中数学教学中 , 笔者不断地尝试指导学 生独立研究学习 [ 1 ] . 本文结合自己的实践和研究 , 对研究式教学法的内涵 、 基本过程和研究性问题 的设计方法加以概括总结 , 并分析其理论依据 . 1  研究式教学法及其教学过程 研究 , 即探求事物的性质 、 、 [ 2 ] . 许多 规律 真相 中外心理学家 ( 如克鲁捷茨基) 和数学家 ( 如阿达 玛) 都比较一致地认为学习数学的能力是创造性 数学能力的初级阶段 , 两者的创造性在不同程度 和不同水平上却具有同样的性质[ 3 ] . 这正是学生 进行研究性学习的意义和价值 . 英国哲学家波普 尔系统地提出了科学界公认的科学研究始于问题 的命题 [ 4 ] . 基于上述认识 , 概括笔者的教学实践 , 将研究式教学法试作如下界定 : 教师按科学思维 模式 , 把教材内容设计成问题 ( 对学生而言 , 即研 究性问题) , 由学生独立研究 , 自己获取知识、 发展 能力的教学方法 . 它与其它教法的根本区别在于学 生独立研究 , 在研究过程中实践知识的迁移 . 实践 表明 , 它有利于培养学生的自主学习能力 , 有利于   N1
= { 0 , 1 , 2 , 3} , N2 = { 0 , 1 , 2 , 4} ,

  417500)

N3 = { 0 , 1 , 3 , 4} , N4 = { 0 , 2 , 3 , 4} , N5 = { 1 , 2 , 3 , 4} ,

显然 , 当 i ≠ j 时 , N i ∪ Nj = I , 因此满足题目条件 1 51 一般情况下 , 产品进入市场 , 价格越高 , 销量越少 1 某种产品的价格为每吨 p 元 , 销售量为 q 吨 , 可认为 p 与 q 满足关系 : q = 30 - p , ( 5 ≤ p ≤30) 1 ( 1) 若该产品在某地市场上被一个公司垄断 , 试说明 该公司为获得最大收入 , 不会无限提高价格 1 并求出收入 最大时的价格 1 ( 2) 若该产品由甲 、 乙两家公司销售 , 它们的销售量分 别记作 q甲 , q乙 1 于是 p = 30 - ( q甲 + q乙 ) , 若乙公司的销 售量为 10 吨 , 请问甲公司销售量为多少时 , 其收入最多 1 ( 3) 两个公司在市场上相互竞争与联合垄断相比 , 哪 种情况对购买这种产品的消费者不利 , 并证明你的结论 1 解 : (1) 设该公司收入为 I ,则 I = pq ,因为 p + q = 30 ,所以 p+ q 2 30 ) = ( ) 2 = 225 , I = pq ≤ ( 2 2 且仅当 p = q = 15 时 I = 225 , 这是最大收入 1 为获 得最大收入 , 该公司不会无限提高价格 1 ( 2) 设甲公司收入为 I甲 , 因为 p + q甲 + q乙 = 30 , q乙

10 时 I甲 = 100 , 这是 I甲 的最大收入 1 即甲公司销售量为 10 吨 ( 与乙公司的销售量相等) 时收入最多 1 ( 3) 对消费者是否有利主要看两个指标 , 一是产品价 格 , 二是产品销售量 1 我们认为 , 产品价格高且销售量小 对消费者不利 1 设甲乙两个公司联合垄断市场 , 这种情况相当于情 况 ( 1) , 两个公司为追求最大收入 , 这种产品的市场价格 是 15 元 , 总销售量为 15 吨 1 若不允许乙两个公司联合垄断市场 , 设 q乙 > 0 , 又 p + q甲 = 30 - q乙 , 则 p + q甲 = 30 - q乙 2 ) ( ) , I甲 = pq甲 ≤ ( 2 2 30 - q乙 30 - q乙 I甲 在 p = q甲 = 时最大 1 易见 p = 2 2 < 15 , 显然 , 这时的产品市场价格比两公司垄断时低 1 还 可以看到非垄断比垄断时的产品销售量也大 , 事实上 , q甲 30 - q乙 30 + q乙 + q乙 = 30 - p = 30 = > 151 2 2 综上所述 , 垄断比非垄断时的产品价格高 , 且产品销 售量也小 , 也就是垄断对消费者不利 1

发展学生的创新个性 . 其基本教学过程可概括为 : 问题 ? 研究 ? 完善 ? 结构 问题是研究的起点 , 把新的知识设计成研究性 问题 , 是研究式教法教学过程的起点和关键 . 研究 性问题必须具备可接受性、 障碍性和探究性 . 既要 让全班学生都能进行探索和学习 , 达到基本要求 ; 又要注意问题的层次性和研究价值 , 使学生在研究 过程中实践知识的迁移 , 发展、 形成新的认知结构 . 研究的过程是指 , 学生在已有知识和经验的 基础上 , 通过自己的独立观察和感知 , 运用比较 、 分析 、 、 综合 抽象和概括 、 归纳 、 联想 、 演绎等思维 方法 , 在解决教师提出的研究性问题的过程中 , 发 现新的知识和方法 . 这一环节的主要目的在于领 会新知识的产生过程 , 并从中培养和发展学生的 思维能力 . 在学生独立研究问题的过程中 , 教师不 断巡视 , 了解各类学生的学习情况 , 或指出错误或 点拨思路 , 特别是帮助有困难的学生 . 这一过程创 造了以学生为中心的学习环境 , 打破了传统的教 师讲学生听 、 整齐划一的教学模式 .
= 10 , 所以 p + q甲 = 20 , 与 ( 1) 同理可得 , 仅当 p = q甲 =


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