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直线的斜率教案


直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ①关于倾斜角的概念要抓住三点: ⅰ.与 x 轴相交; ⅱ.x 轴正向; ⅲ.直线向上方向.

②直线与 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 0 0 .
0 0 ③倾斜角 ? 的范围 0 . ? ? 1 8 0

?

(2)直线的斜率 ①直线的倾斜角α 与斜率 k 的关系:当α ? 900 时, k 与α 的关系是 k ? tan ? ;α
? 900 时,直线斜率不存在;

②经过两点

的直线的斜率公式是

③每条直线都有倾斜角,但并不是每条直线都有斜率。 2、两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线 l1, l2 ,其斜率分别为 k 。特 / / l ? kk ? 1,k 2,则有 l 1 2 1 2 别地,当直线 l1, l2 的斜率都不存在时, l 与 l2的关系为平行。 1 (2)两条直线垂直 如果两条直线 l1, l2 斜率存在,设为 k ? l ? k ? k ? ? 1 1,k 2,则 l 1 2 1 2 注:两条直线 l1, l2 垂直的充要条件是斜率之积为-1,这句话不正确;由两直 线的斜率之积为-1,可以得出两直线垂直,反过来,两直线垂直,斜率之积不一 定为-1。如果 l1, l2 中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为 0 时,l 与 l2 1 互相垂直。 直线的斜率及应用

1、斜率公式: k?

y 2 ?y 1 与两点顺序无关, x ? x 2 1

2、求斜率的一般方法:
y ? y ?2 1 ( x ? x ) (1)已知直线上两点,根据斜率公式 k 求斜率; 2 1 x ? x 2 1

(2)已知直线的倾斜角 ? 或 ? 的某种三角函数根据 k 来求斜率; ? t a n ? 3、利用斜率证明三点共线的方法: 已知 A 若x ,则有 A、B、C 三 ( x , y ) , B ( x , y ) , C ( x , y ) , ? x ? x 或 k ? k 1 1 2 2 3 3 12 3 A B A C 点共线。 注:斜率变化分成两段,900 是分界线,遇到斜率要谨记,存在与否需讨论。

基础自测 1.设直线 l 与 x 轴的交点是 P,且倾斜角为 ? ,若将此直线绕点 P 按逆时针方向旋转 45° ,得 到直线的倾斜角为 ? +45° ,则 ? 的范围为 . 答案 0° < ? <135° 2.(2008· 全国Ⅰ文)曲线 y=x3-2x+4 在点(1,3)处的切线的倾斜角为 . 答案 45° 3.过点 M(-2,m) ,N(m,4)的直线的斜率等于 1,则 m 的值为 . 答案 1 4.已知直线 l 的倾斜角为 ? ,且 0°≤ ? <135° ,则直线 l 的斜率取值范围是 . 答案 (-∞,-1)∪[0,+∞) 5.若直线 l 经过点(a-2,-1)和(-a-2,1)且与经过点(-2,1) ,斜率为- 的直线 垂直,则实数 a 的值为 答案 -
2 3 2 3

.

? ?? 例 1 若? ∈ ? ? , ? ,则直线 2xcos ? +3y+1=0 的倾斜角的取值范围是
?6 2 ?

.

答案

? 5? ? ? 6 ,? ? ? ?

例 2 (14 分)已知直线 l1:ax+2y+6=0 和直线 l2:x+(a-1)y+a2-1=0, (1)试判断 l1 与 l2 是否平行; (2)l1⊥l2 时,求 a 的值.

例 3 已知实数 x,y 满足 y=x2-2x+2 (-1≤x≤1). 试求: 解 由
y?3 的最大值与最小值. x?2 y?3 的几何意义可知,它表示经过定点 P(-2,-3)与曲线段 AB 上任一点(x,y) x?2

的直线的斜率 k, 如图可知:kPA≤k≤kPB, 由已知可得:A(1,1) ,B(-1,5) , ∴ ≤k≤8, 故
y?3 4 的最大值为 8,最小值为 . x?2 3

4 3

1.直线 xcos ? + 3 y+2=0 的倾斜角的取值范围是 答案
? ? ? ? 5? ? ?0, 6 ? ? ? 6 , ? ? ? ? ? ?

.

2.已知两条直线 l1:(3+m)x+4y=5-3m,l2:2x+(5+m)y=8.当 m 分别为何值时,l1 与 l2: (1)相交?(2)平行?(3)垂直? 解 m=-5 时,显然,l1 与 l2 相交; 当 m≠-5 时,易得两直线 l1 和 l2 的斜率分别为 k1=-
3? m 2 ,k2=- , 4 5?m 5 ? 3m 8 ,b2= . 4 5?m

它们在 y 轴上的截距分别为 b1= (1)由 k1≠k2,得-

3? m 2 ≠- , 4 5?m

m≠-7 且 m≠-1. ∴当 m≠-7 且 m≠-1 时,l1 与 l2 相交.
2 ? 3? m ? ?? ? ?k1 ? k 2 , ? 4 5?m (2)由 ? ,得 ? ,m=-7. ?b1 ? b2 , ? 5 ? 3m ? 8 ? 5?m ? 4

∴当 m=-7 时,l1 与 l2 平行. (3)由 k1k2=-1, 得-
3? m ? 13 2 ? · . ?? ? =-1,m=- 4 3 ? 5? m?

∴当 m=-

13 时,l1 与 l2 垂直. 3
y 的最大值为 x

3.若实数 x,y 满足等式(x-2)2+y2=3,那么 答案
3

.

一、填空题 1.直线 xcos ? +y-1=0 ( ? ∈R)的倾斜角的范围是 答案
? ? ? ?3 ? ?0, 4 ? ? ? 4 ? , ? ? ? ? ? ?

.

2.(2009· 姜堰中学高三综合练习)设直线 l1:x-2y+2=0 的倾斜角为 ? 1 ,直线 l2:mx-y+4 =0 的倾斜角为 ? 2 ,且 ? 2 = ? 1 +90° ,则 m 的值为 . 答案 -2 3.已知直线 l 经过 A(2,1) ,B(1,m2) (m∈R)两点,那么直线 l 的倾斜角的取值范围 是 . 答案
? ? ? ?? ? ?0, 4 ? ? ? 2 , ? ? ? ? ? ?

4.已知直线 l1:y=2x+3,直线 l2 与 l1 关于直线 y=x 对称,直线 l3⊥l2,则 l3 的斜率 为 . 答案 -2 5.若直线 l 沿 x 轴负方向平移 3 个单位, 再沿 y 轴正方向平移 1 个单位后, 又回到原来位置, 那么直线 l 的斜率是 . 答案 -
1 3

6.(2008· 浙江理,11)已知 a>0,若平面内三点 A(1,-a) ,B(2,a2) ,C(3,a3)共线, 则 a= . 答案 1+ 2 7.已知点 A(-2,4) 、B(4,2) ,直线 l 过点 P(0,-2)与线段 AB 相交,则直线 l 的斜 率 k 的取值范围是 . 答案 (-∞,-3]∪[1,+∞) 8.已知两点 A(-1,-5) ,B(3,-2) ,若直线 l 的倾斜角是直线 AB 倾斜角的一半,则 l 的斜率是 . 答案
1 3

二、解答题 9.已知线段 PQ 两端点的坐标分别为(-1,1) 、 (2,2) ,若直线 l:x+my+m=0 与线段 PQ 有交点,求 m 的取值范围. 解 方法一 直线 x+my+m=0 恒过 A(0,-1)点. kAP= 则-
?1 ? 1 ?1 ? 2 3 =-2,kAQ= = , 0 ?1 0?2 2

1 3 1 ≥ 或- ≤-2, m 2 m 2 3 1 2

∴- ≤m≤ 且 m≠0. 又∵m=0 时直线 x+my+m=0 与线段 PQ 有交点, ∴所求 m 的取值范围是- ≤m≤ . 方法二 过 P、Q 两点的直线方程为 y-1=
2 ?1 1 4 (x+1),即 y= x+ , 2 ?1 3 3

2 3

1 2

代入 x+my+m=0, 整理,得 x=- 由已知-1≤-
7m . m?3

7m ≤2, m?3

解得- ≤m≤ .

2 3

1 2

10.已知直线 l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,求 m 的值,使得: (1)l1 与 l2 相交; (2)l1⊥l2;(3)l1∥l2;(4)l1,l2 重合. 解 (1)由已知 1×3≠m(m-2), 即 m2-2m-3≠0, 解得 m≠-1 且 m≠3. 故当 m≠-1 且 m≠3 时,l1 与 l2 相交. (2)当 1· (m-2)+m· 3=0,即 m= 时,l1⊥l2. (3)当
1 m 6 = ≠ ,即 m=-1 时,l1∥l2. m?2 3 2m 1 m 6 = = , m?2 3 2m

1 2

(4)当

即 m=3 时,l1 与 l2 重合. 12.已知两点 A(-1,2) ,B(m,3). (1)求直线 AB 的方程; (2)已知实数 m∈ ??
? ? ? ? 3 ? 1, 3 ? 1? ,求直线 AB 的倾斜角 ? 的取值范围. 3 ? ?

解 (1)当 m=-1 时,直线 AB 的方程为 x=-1, 当 m≠-1 时,直线 AB 的方程为 y-2= (2)①当 m=-1 时, ? =
? ? ?

1 (x+1). m ?1

? ; 2
3 ? ,0 ? ? 0, 3 , 3 ? ?

②当 m≠-1 时,m+1∈ ??

?

?

∴k=

? 3 ? 1 ? ? ? ? ? 2? ? ∈(-∞,- 3 ]∪ ? ,?? ? , ∴? ∈ ? , ??? , ? . ? ? m ?1 ?6 2? ? 2 3 ? ? ? 3 ?

? 综合①②知,直线 AB 的倾斜角 ? ∈ ? , ?6

? 2? ?

. 3 ? ?


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