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【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套 5.4


第四节
数列的求和

【知识梳理】
1.必会知识 教材回扣 填一填

(1)基本求和公式:

等差数列前 n项和公式 等比数列前 n项和公式

1 Sn=_____________=_________ 2 2

na ?

n ? n ?

1?

d

n ? a1 ? a n ?

S n=

a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q ? ,q ? 1 1? q 1? q

na1 ___,q=1

(2)基本求和方法:

①公式法:
使用已知求和公式求和的方法,即等差、等比数列或可化为等差等比 数列的求和方法. ②裂项相消法: 把数列的通项拆分为两项之差,使之在求和时产生前后相互抵消的项 的求和方法.

③错位相减法:

(i)适用的数列:{anbn},其中数列{an}是公差为d的等差数列,{bn}是公
比为q≠1的等比数列. (ii)方法:设Sn=a1b1+a2b2+?+anbn(*), 则qSn=a1b2+a2b3+?+an-1bn+anbn+1(**), (*)-(**)得:(1-q)Sn=a1b1+d(b2+b3+?+bn)-anbn+1,就转化为根据公式 可求的和. 例如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.

④倒序相加法: 首末两端等“距离” 的两项的和等于首末两项 如果一个数列{an}与___________________ 之和,可把正着写与倒着写的两个式子相加,就得到一个常数列的和, 那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,例如等差数列的前n项 和公式即是用此法推导的.

⑤分组求和法: 若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数

列组成,则求和时可用分组转化求和法,分别求和而后相加减.例如已
知an=2n+(2n-1),求Sn.

⑥并项求和法: 把数列中的若干项结合到一起,形成一个新的可求和的数列,此时, 正、负相间 出现或呈现_______. 周期性 形如an=(-1)nf(n)类 数列中的项可能___________ 型,可采用两项合并求解.例如:Sn=1002-992+982-972+?+22-12=(1002

-992)+(982-972)+?+(22-12)=(100+99)+(98+97)+?+(2+1)=5050.

2.必备结论

教材提炼

记一记

常用求和公式: 前n 个 正整数之和
1 ? 2 ??? n ? n ? n ? 1? 2

前n 个
正奇数之和 前n个正整 数的平方和 前n个正整 数的立方和

1+3+5+?+(2n-1)=n2
12 ? 22 ??? n 2 ?
3 3 3

n ? n ? 1?? 2n ? 1? 6 n ? n ? 1? 2 ]2

1 ? 2 ??? n ? [

3.必用技法

核心总结

看一看

(1)常用方法:公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组

求和法、并项求和法、迭代法、累加法及累乘法等.
(2)数学思想:函数与方程、转化与化归、特殊与一般、分类讨论.

(3)记忆口诀
数列求和比较难,错位相减巧转换,

取长补短高斯法,裂项求和公式算.

【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判

(1)如果已知等差数列的通项公式,则在求其前n项和时使用公式Sn=
n ? a1 ? a n ? 较为合理. 2

(

)

(2)如果数列{an}为等比数列,且公比不等于1,则其前n项和Sn=
a1 ? a n ?1 . ( 1? q

)

(3)当n≥2时,

1 1 1 ? ? . ( 2 n ?1 n ?1 n ?1

)

(4)求Sn=a+2a2+3a3+?+nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据 错位相减法求得. ( )

(5)如果数列{an}是周期为k的周期数列,那么Skm=mSk(m,k为大于1的正 整数). ( )

【解析】(1)正确.根据等差数列求和公式以及运算的合理性可知 . (2)正确.根据等比数列的求和公式可知. (3)错误.直接验证可知
1 1 1 1 ? ( ? ). 2 n ?1 2 n ?1 n ?1

(4)错误.含有字母的数列求和常需要分类讨论 ,此题需要分a=0,a=1, 以及a≠0且a≠1三种情况求和,只有当a≠0且a≠1时才能用错位相减 法求和. (5)正确.根据周期性可得. 答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√

2.教材改编

链接教材

练一练
2 2 8 2

(1)(必修5 P38复习题一A组T9改编)Sn= 1 ? 1 ? 3 ??? nn 等于(
2n ? n ? 1 2n ?1 ? n ? 2 2n ? n ? 1 2n ?1 ? n ? 2 A. ???????B. ???????C. ???????D. n n n 2 2 2 2n

)

【解析】选B.方法一:Sn= 1 ? 22 ? 33 ??? nn , ①
1 1 2 n ?1 n Sn ? 2 ? 3 ??? n ? n ?1 , ② 2 2 2 2 2 2 2 2 2

①-②得,
1 1 1 1 1 n Sn ? ? 2 ? 3 ??? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2 1 1 [1 ? ( ) n ] 2 ? n , ?2 n ?1 1 2 1? 2 2n ?1 ? n ? 2 所以Sn ? .故选B. n 2 方法二:取n=1,S1= 1 ,代入各选项验证可知选B. 2

(2)(必修5P38复习题一A组T8改编)一个球从100m高处自由落下,每次 着地后又跳回到原高度的一半再落下,当它第10次着地时,经过的路程 是 ( ) B.100+100(1-2-9) D.100(1-2-9)

A.100+200×(1-2-9) C.200(1-2-9)

【解析】选A.第10次着地时,经过的路程为100+2(50+25+?+100 ×2-9)=100+2×100×(2-1+2-2+?+2-9)
?1 ?9 2 (1 ? 2 ) =100+200(1-2-9). =100+200× 1 ? 2?1

3.真题小试 感悟考题

试一试

(1)(2014·新课标全国卷Ⅱ)等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等 比数列,则{an}的前n项和Sn=( A.n(n+1) C. n(n ? 1)
2

)

B.n(n-1) D. n(n-1)
2

【解题提示】利用a2,a4,a8成等比数列求得公差,然后利用等差数列

求和公式求和.
【解析】选A.因为公差d=2,a2,a4,a8成等比数列,所以 a 2 =a2a8, 4

即(a2+2d)2=a2(a2+6d),解得a2=4,所以a1=2.
所以利用等差数列的求和公式可求得Sn=n(n+1).

(2)(2013·大纲版全国卷)已知数列{an}满足3an+1+an=0,a2=- 4 ,则{an}
3

的前10项和等于 A.-6(1-3-10) C.3(1-3-10)

(

) B. 1 (1-310)
9

D.3(1+3-10)

【解析】选C.由3an+1+an=0,得
3

故数列{an}是公比q=- 1 的等比数列.

a n ?1 1 ?? , an 3

1 4[1 ? (? )10 ] 3 又a2=- 4 ,可得a1=4.所以S10= 1 3 1 ? (? ) 3

=3(1-3-10).

1 (3)(2015·兰州模拟)数列 1 1 ,3 1 ,5 1 ,7 1 , ?,(2n-1)+ n ,? 2 4 8 16 2

的前n项和Sn的值等于( A.n2+1- 1n
2

)

B.2n2-n+1- 1n
2 D.n2-n+1- 1n 2

C.n2+1- 1 n ?1
2

【解析】选A.该数列的通项公式为an=(2n-1)+
2 2 2

则Sn=[1+3+5+?+(2n-1)]+ ( 1 ? 12 ??? 1n ) ? n 2 ? 1 ? 1n .
2

1 , n 2

(4)(2015·安庆模拟)已知Sn表示数列{an}的前n项的和,若对任意 n∈N*满足an+1=an+a2,且a3=2,则S2014= ( A.1006×2013 C.1007×2013 B.1006×2014 D.1007×2014 )

【解析】选C.在an+1=an+a2中,令n=1,则a2=a1+a2,a1=0,令n=2,则 a3=2=2a2,a2=1,于是an+1-an=1,故数列{an}是首项为0,公差为1的等 差数列,所以S2014=
2 014 ? 2 013 =1007×2013. 2

考点1

公式法求和

【典例1】(1)(2015·潍坊模拟)若数列{an}为等比数列,且a1=1,q=2, 则T n=
A.1 ?

1 1 1 的结果为 ? ??? a1a 2 a 2a 3 a n a n ?1

(

)

1 1 2 1 2 1 ??????? B.1 ? ??????? C. (1 ? ) ??????? D. (1 ? ) n n n n 4 2 3 4 3 2

(2)(2014·重庆高考)已知{an}是首项为1,公差为2的等差数列,Sn表
示{an}的前n项和.

①求an及Sn.
②设{bn}是首项为2的等比数列,公比q满足q2-(a4+1)q+S4=0.求{bn}的

通项公式及其前n项和Tn.

【解题提示】(1)先利用等比数列的通项公式求出 an,再求出 最后利用等比数列的前n项和公式求解.

1 , a n a n ?1

(2)直接根据等差、等比数列的性质求解通项公式及其前 n项和.

【规范解答】(1)选C.由已知得an=1×2n-1=2n-1, 设 b n=
1 1 1 , 则bn= n ?1 n ? ( ) 2n ?1 , a n a n ?1 2 2 2
1 1 3 1 ? ( ) ??? ( ) 2n ?1 2 2 2

所以Tn ? b1 ? b 2 ??? b n ? 1 1 n [1 ? ( ) ] 2 4 ? 2 (1 ? 1 ). ? n 1 3 4 1? 4

(2)①因为{an}是首项为1,公差为2的等差数列,

所以an=a1+(n-1)d=2n-1.
故Sn=1+3+?+(2n-1)=
n ? a1 ? a n ? 2 ? n ?1 ? 2n ? 1? 2 ? n2.

②由①得a4=7,S4=16. 因为q2-(a4+1)q+S4=0. 即q2-8q+16=0, 所以(q-4)2=0,从而q=4. 又因为b1=2,{bn}是公比为4的等比数列, 所以bn=b1qn-1=2·4n-1=22n-1. 从而{bn}的前n项和Tn=
b1 ?1 ? q n ? 1? q

?

2 n 4 ? 1? . ? 3

【规律方法】几类可以使用公式求和的数列 (1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成 的数列,它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解. (2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或者等比数列的,可以分项数为 奇数和偶数时使用等差数列或等比数列的求和公式求解.

【变式训练】(2015·南宁模拟)等比数列{an}中,已知a1=2,a4=16. (1)求数列{an}的通项公式. (2)若a3,a5分别为等差数列{bn}的第4项和第16项,试求数列{bn}的通 项公式及前n项和Sn.

【解析】(1)设{an}的公比为q, 由已知得16=2q3,解得q=2.所以an=2n. (2)由(1)得a3=8,a5=32,则b4=8,b16=32,
b1 ? 3d ? 8, ?b1 ? 2, 设{bn}的公差为d,则有 ? 解得 ? ? ?b1 ? 15d ? 32, ?d ? 2.

所以bn=b1+(n-1)d=2+(n-1)×2=2n.

数列{bn}的前n项和Sn= nb1 ? n ? n ? 1? d ? 2n ? n ? n ? 1? ? 2 ? n 2 ? n.
2 2

【加固训练】数列{an}的首项a1=1,前n项和为Sn,满足关系式3tSn(2t+3)Sn-1=3t(t>0,n=2,3,4,?). (1)求证:数列{an}为等比数列. (2)设数列{an}的公比为f(t),作数列{bn},使b1=1,bn=f( 3,4,?),求bn. (3)求Tn=(b1b2-b2b3)+(b3b4-b4b5)+?+(b2n-1b2n-b2nb2n+1)的值.
1 b n ?1

)(n=2,

? 3tSn ? ? 2t ? 3? Sn ?1 ? 3t, ? 【解析】(1)因为 ? ? n ? 2 ? , 两式相减得3tan+1? ?3tSn ?1 ? ? 2t ? 3? Sn ? 3t (2t+3)an=0,又t>0,所以 a n ?1 ? 2t ? 3 (n≥2), an 3t

当n=2时,3tS2-(2t+3)S1=3t,即3t(a1+a2)-(2t+3)a1=3t,
a a 2t ? 3 2t ? 3 2t ? 3 ,即 2 ? , 故 n ?1 ? (n ? 1). 3t a1 3t an 3t 所以数列{an}为首项a1=1,公比q= 2t ? 3 的等比数列. 3t 得a 2 ?

2

(2)由已知得f(t)= 2t ? 3 , 所以bn= f( 1 ) ? b n ?1
3t

?3

b n ?1

3

2 ? b n ?1 ? (b ? 2), 3

所以数列{bn}是以b1=1为首项,公差为d= 2 的等差数列,故bn= 2 n ? 1 .
3 3 3

b n ?1

(3)Tn=(b1b2-b2b3)+(b3b4-b4b5)+?+(b2n-1b2n-b2nb2n+1)=b2(b1-b3)+ b4(b3-b5)+?+b2n(b2n-1-b2n+1) =-2d(b2+b4+?+b2n)
2 5 n ? n ? 1? 4 8 4 ? ?2 ? [n ? ? ? ] ? ? n 2 ? n. 3 3 2 3 9 3

考点2

分组法求和

【典例2】(1)(2015·临沂模拟)已知数列{an}的通项公式是an=2· 3n-1+(-1)n(ln2-ln3)+(-1)nnln3,则其前n项和Sn= .

2 n (2)(2014·湖南高考)已知数列{an}的前n项和Sn= ? n ,n∈N*. 2

①求数列{an}的通项公式. ②设bn= 2 a +(-1)nan,求数列{bn}的前2n项和.
n

【解题提示】(1)由于存在(-1)n,因此应分n为奇数、偶数讨论, 并分组求和. (2)①利用an,Sn的关系求解;②分组求和. 【规范解答】(1)Sn=2(1+3+?+3n-1)+[-1+1-1+?+(-1)n](ln2ln3)+[-1+2-3+?+(-1)nn]ln3, 所以当n为偶数时,
n n 1 ? 3 n n Sn=2× ? ln3=3 + ln3-1; 2 1? 3 2

当n为奇数时,
n 1 ? 3 Sn=2× -(ln2-ln3)+( n ? 1 -n)ln3 2 1? 3 =3n- n ? 1 ln3-ln2-1. 2 ? n n 3 ? ln3 ? 1, n为偶数, ? ? 2 综上所述,Sn= ? ?3n ? n ? 1 ln3 ? ln2 ? 1, n为奇数. ? 2 ? ? n n 3 ? ln3 ? 1, n为偶数, 答案: ? ? 2 ? ?3n ? n ? 1 ln3 ? ln2 ? 1, n为奇数 ? 2 ?

(2)①当n=1时,a1=S1=1;
2 2 n ? n (n - 1) ? (n- 1) 当n≥2时,an=Sn-Sn-1= - ? n, 2 2

故数列{an}的通项公式为an=n. ②由①知,bn=2n+(-1)n n,记数列{bn}的前2n项和为T2n, 则T2n=(21+22+?+22n)+(-1+2-3+4-?+2n) 记A=21+22+?+22n,B=-1+2-3+4-?+2n,
2n 2(1 - 2 ) 则A= ? 22n ?1-2, 1-2

B=(-1+2)+(-3+4)+?+[-(2n-1)+2n]=n,

故数列{bn}的前2n项和T2n=A+B=22n+1+n-2.

【规律方法】分组转化法求和的常见类型 (1)若an=bn±cn,且{bn},{cn}为等差或等比数列,可采用分组求和法求 {an}的前n项和. (2)通项公式为an= ? ?
bn ,n为奇数, ?cn ,n为偶数

的数列,其中数列{bn},{cn}是等比数

列或等差数列,可采用分组求和法求和.

提醒:某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或
差,从而求得原数列的和,注意在含有字母的数列中对字母的讨论.

【变式训练】(2015·湖州模拟)在等比数列{an}中,已知a1=3,公比 q≠1,等差数列{bn}满足b1=a1,b4=a2,b13=a3. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式. (2)记cn=(-1)nbn+an,求数列{cn}的前n项和Sn.

【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q,等差数列{bn}的公差为d. 由已知,得a2=3q,a3=3q2,b1=3,b4=3+3d,b13=3+12d,
?3q ? 3 ? 3d, ?q ? 1 ? d, 故? 2 ?? 2 ? q ? 3或1? 舍去 ? . ?3q ? 3 ? 12d ?q ? 1 ? 4d

所以d=2,所以an=3n,bn=2n+1.

(2)由题意,得cn=(-1)nbn+an=(-1)n(2n+1)+3n, Sn=c1+c2+?+cn=-3+5+(-7)+9+?+(-1)n-1(2n-1)+ (-1)n(2n+1)+3+32+?+3n.
3n ?1 3 3n ?1 3 当n为偶数时,Sn= n ? ? ? ?n? ; 2 2 2 2 n ?1 n ?1 3 3 3 7 当n为奇数时,Sn=(n-1)-(2n+1)+ ? ? ?n? . 2 2 2 2

? 3n ?1 3 ? n ? , n为偶数, ? ? 2 2 所以Sn ? ? n ?1 ? 3 ? n ? 7 , n为奇数. ? 2 ? 2

【加固训练】1.(2015·长春模拟)已知等差数列{an}满足:a5=9,

a2+a6=14.
(1)求{an}的通项公式.

(2)若bn=an+ q a (q>0),求数列{bn}的前n项和Sn.
n

【解析】(1)设数列{an}的首项为a1,公差为d,
则由a5=9,a2+a6=14,
?a1 ? 4d ? 9, ?a1 ? 1, 得? 解得 ? ?d ? 2, ?2a1 ? 6d ? 14,

所以{an}的通项an=2n-1.

(2)由an=2n-1得bn=2n-1+q2n-1.

当q>0且q≠1时,Sn=[1+3+5+?+(2n-1)]+(q1+q3+q5+?+q2n-1)
=n2+
q ?1 ? q 2n ? 1? q
2

;

当q=1时,bn=2n,则Sn=n(n+1).

? n ? n ? 1? ,q ? 1, 所以数列{bn}的前n项和Sn= ? ? 2 q ?1 ? q 2n ? ,q>0且q ? 1. ?n ? 2 1? q ?

2.已知等比数列{an}中,首项a1=3,公比q>1,且3(an+2+an)-10an+1= 0(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式. (2)设{bn+
1 an}是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{bn}的通项 3

公式和前n项和Sn.

【解析】(1)因为3(an+2+an)-10an+1=0(n∈N*), 所以3(an·q2+an)-10an·q=0, 即3q2-10q+3=0, 又q>1,所以q=3, 因为a1=3,所以an=3n.

(2)因为{bn+ an}是首项为1,公差为2的等差数列, 所以bn+
1 an=1+2(n-1), 3

1 3

即{bn}的通项公式为bn=2n-1-3n-1. 前n项和Sn=-(1+3+32+?+3n-1)+[1+3+?+(2n-1)] =- 1 (3n-1)+n2.
2

考点3

裂项相消法求和

【典例3】(1)(2015·大连模拟)若已知数列的前四项是
1 1 1 1 , , , , 则数列的前n项和为 2 2 2 2 1 ? 2 2 ? 4 3 ?6 4 ?8

.

(2)(2014·山东高考)已知等差数列{an}的公差为2,前n项和为Sn, 且S1,S2,S4成等比数列. ①求数列{an}的通项公式. ②令bn=(-1)n-1
4n ,求数列{b }的前n项和T . n n a n a n ?1

【解题提示】(1)先观察得到数列的通项an= 求和.

1 ,再用裂项相消法 2 n ? 2n

(2)①先设出等差数列的首项,然后根据已知条件可列方程组求得数列 {an}的通项公式; ②是将数列{bn}裂成两项之和,然后再分奇数和偶数来求数列{bn}的 前n项和.

【规范解答】(1)因为通项an=

1 1 1 1 ? ( ? ), 2 n ? 2n 2 n n ? 2

所以此数列的前n项和
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Sn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? )?( ? )] 2 3 2 4 3 5 n ?1 n ?1 n n?2 1 1 1 1 3 2n ? 3 ? (1 ? ? ? )? ? . 2 2 n ? 1 n ? 2 4 2 ? n ? 1?? n ? 2 ? 3 2n ? 3 答案: ? 4 2 ? n ? 1? (n ? 2)

(2)①d=2,S1=a1,S2=2a1+d,S4=4a1+6d,

因为S1,S2,S4成等比数列.所以 S2 2 ? S1S4,
解得a1=1,所以an=2n-1. ②bn=(-1)n-1

4n 1 1 n ?1 ? ? ?1? ( ? ) a n a n ?1 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 当n为偶数时, Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? )?( ? ), 3 3 5 5 7 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 所以Tn= 1 ? 1 ? 2n , 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 当n为奇数时, Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( 3 3 所以Tn=1+ 1 ? 2n ? 2 , 2n ? 1 2n ? 1 ? 2n , n为偶数, ? 2n ? 1 所以Tn= ? ? ? 2n ? 2 , n为奇数. ? ? 2n ? 1 5 5 7

2n ? 3

?

1 1 1 )?( ? ), 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

【互动探究】本例(2)已知条件不变,则Sn=
n[1 ? ? 2n ? 1?] 2 ?n . 2

.

【解析】由①的解析可知等差数列{an}的首项a1=1,通项an=2n-1, 所以Sn= 答案:n2

【易错警示】解答本题(2)有两点容易出错: (1)本例题(2)中求数列{bn}的前n项和Tn时忽视对n的讨论. (2)在对n具体讨论求Tn时,要特别关注裂项相消时保留了哪些项,既要 看到首又要顾到尾,不可遗漏.

【规律方法】常见的裂项方法(其中n为正整数) 数
???{



裂项方法
1 1 1 1 ? ( ? ) n ?n ? k? k n n ? k
1 1 1 ? ( ? ) 2 4n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1 1

1 }(k为非零常数) n ?n ? k?
{ 1 4n 2 ? 1 }

{

1 } n ? n ? 1?? n ? 2 ?
1 n ? n?k }

1 1 1 [ ? ] 2 n ? n ? 1? ? n ? 1?? n ? 2 ?
1 n ? n?k ? 1 k

{

?

n?k ? n

?

1 {log a (1 ? )}(a ? 0,a ? 1) n

1 log a (1 ? ) ? log a ? n ? 1? ? log a n n

【变式训练】(2015·鹰潭模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足 an= 1 Sn+1(n∈N*).
2

(1)求数列{an}的通项公式. (2)若bn=log2an,cn=
1 ,且{cn}的前n项和为Tn,求使得 k ? Tn ? k ? 13 bn bn ?2 24 24

对n∈N*都成立的所有正整数k的值.

【解析】(1)an= 1 Sn+1①,an-1= 1 Sn-1+1(n≥2)②,①-②得:
2 2

an=2an-1(n≥2),又易得a1=2,所以an=2n. (2)bn=n,cn=
2 2

1 1 1 1 ? ( ? ), 裂项相消可得 n ? n ? 2? 2 n n ? 2
n ?1 n ? 2 4 2 n ?1 n ? 2

Tn= 1 (1 ? 1 ? 1 ? 1 ) ? 3 ? 1 ( 1 ? 1 ), 所以 T1 ? Tn ? 3 ,即 1 ? Tn ? 3 ,所以要使 k ? Tn ? k ? 13 对n∈N*都成立,
4 3 4 24 24 ?1 k ? , ? ? 须 3 24 得5≤k<8,又k为正整数,所以k=5,6,7. ? ? 3 ? k ? 13, ? 24 ?4

【加固训练】1.已知函数f(x)=
f(an)(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式.

x ,数列{a }满足a =1,a = n 1 n+1 3x ? 1

(2)记Sn=a1a2+a2a3+?+anan+1,求Sn.

【解析】(1)由已知得an+1=

所以 { 1 } 是首项为1,公差为3的等差数列,
an 所以 1 =1+(n-1)×3=3n-2, an 故an= 1 (n∈N*). 3n ? 2

an 1 1 1 1 , 所以 ? ? 3,即 ? ? 3, 3a n ? 1 a n ?1 a n a n ?1 a n

(2)Sn=a1a2+a2a3+?+anan+1=

1 1 1 ? ??? 1? 4 4 ? 7 ? 3n ? 2 ? (3n ? 1) 1 1 1 1 1 1 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ??? ( ? )] 3 4 4 7 3n ? 2 3n ? 1 1 1 n ? (1 ? )? . 3 3n ? 1 3n ? 1

2.(2015·昆明模拟)已知数列{an}是公差为2的等差数列,它的前n项
和为Sn,且a1+1,a3+1,a7+1成等比数列.

(1)求{an}的通项公式.
(2)求数列 { 1 } 的前n项和Tn.
Sn

【解析】(1)由题意,得a3+1=a1+5,a7+1=a1+13,

所以由(a3+1)2=(a1+1)·(a7+1),
得(a1+5)2=(a1+1)·(a1+13), 解得a1=3,所以an=3+2(n-1),即an=2n+1.

(2)由(1)知an=2n+1,则Sn=n(n+2),
1 1 1 1 ? ( ? ), Sn 2 n n ? 2 1 1 1 1 1 1 1 1 Tn ? (1 ? ? ? ? ? ??? ? ) 2 3 2 4 3 5 n n?2 1 1 1 1 ? (1 ? ? ? ) 2 2 n ?1 n ? 2 3 2n ? 3 ? ? . 4 2 ? n ? 1?? n ? 2 ?

考点4

错位相减法求和

知·考情
数列求和是高考的热点,特别是用错位相减法求和,在高考中三种 题型都会出现,一般以选择题、填空题考查基础知识,在解答题中综合 考查,既与等差、等比数列结合考查,也与三角函数、不等式、解析几 何等知识交汇考查.

明·角度
命题角度1:用错位相减法求数列的前n项和

【典例4】(2014·江西高考)已知首项都是1的两个数列{an},{bn}
(bn≠0,n∈N*),满足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0. (1)令cn= a n ,求数列{cn}的通项公式.
bn

(2)若bn=3n+1,求数列{an}的前n项和Sn.

【解题提示】(1)将等式两端同时除以bnbn+1即可求解.

(2)由(1)及bn=3n+1可得数列{an}的通项公式,分析通项公式的特征利
用错位相减法求Sn.

【规范解答】(1)因为bn≠0, 所以由anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,
a n a n ?1 a a ? ? 2 ? 0,即 n ?1 ? n ? 2, bn bn ?1 bn ?1 bn 所以cn+1-cn=2,所以{cn}是以c1= a1 =1为首项,2为公差的等差数列, b1 得

所以cn=1+(n-1)×2=2n-1.

(2)因为bn=3n+1,cn=2n-1.
所以an=cnbn=(2n-1)3n+1.

所以Sn=1×32+3×33+5×34+?+(2n-1)3n+1,
3Sn=1×33+3×34+?+(2n-3)3n+1+(2n-1)3n+2, 作差得:-2Sn=32+2(33+34+?+3n+1)-(2n-1)3n+2
33 ? 3n ? 2 =9+2× -(2n-1)3n+2 1? 3

=-[18+2(n-1)3n+2], 所以Sn=9+(n-1)3n+2.

命题角度2:利用错位相减法比较大小或证明不等式

【典例5】(2015·天水模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,满足
Sn+2n=2an. (1)证明:数列{an+2}是等比数列.并求数列{an}的通项公式an. (2)若数列{bn}满足bn=log2(an+2),设Tn是数列 { bn }的前n项和. 求证:Tn< 3 .
2

an ? 2

【解题提示】(1)先利用an与Sn的关系式得到an与an-1的关系,再证明
an ? 2 =常数. a n ?1 ? 2

(2)利用(1)的结论,求出 b n ,再用错位相减法求出Tn,由放缩法得证.
an ? 2

【规范解答】(1)由Sn+2n=2an得Sn=2an-2n, 当n∈N*时,Sn=2an-2n,① 当n=1时,S1=2a1-2,则a1=2, 则当n≥2,n∈N*时,Sn-1=2an-1-2(n-1). ② ①-②,得an=2an-2an-1-2,即an=2an-1+2,

所以an+2=2(an-1+2),所以

an ? 2 ? 2, a n ?1 ? 2

所以{an+2}是以a1+2为首项,以2为公比的等比数列.

所以an+2=4·2n-1,所以an=2n+1-2.

? 2 ?由b n ? log 2 ? a n ? 2 ? ? log 2 2n ?1 ? n ? 1, 得
则Tn ?

bn n ?1 ? n ?1 , an ? 2 2

2 3 n ?1 ? ??? ,③ 2 3 n ?1 2 2 2 1 2 n n ?1 Tn ? 3 ??? n ?1 ? n ? 2 ,④ 2 2 2 2 1 2 1 1 1 n ?1 ③ ? ④,得 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ??? n ?1 ? n ? 2 2 2 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ) 1 2 ? n ?1 ? 1 ? 1 ? 1 ? n ?1 ? 3 ? n ? 3. ? ?4 n ?2 n ?1 n ?2 n ?2 1 4 2 4 2 2 2 4 2 1? 2 3 n ?3 3 所以Tn ? ? n ?1 < . 2 2 2

命题角度3:利用错位相减法解决数列与函数知识的交汇问题

【典例6】(2014·四川高考)设等差数列{an}的公差为d,点(an,bn)在
函数f(x)=2x的图像上(n∈N*). (1)若a1=-2,点(a8,4b7)在函数f(x)的图像上,求数列{an}的前n项和Sn. (2)若a1=1,函数f(x)的图像在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为
a 2- 1 ,求数列 { n } 的前n项和Tn.
ln 2

bn

【解题提示】本题主要考查等差数列与等比数列的概念,等差数列与 等比数列的通项公式和前n项和、导数的几何意义等基础知识,考查运 算求解能力.

【规范解答】(1)点(an,bn)在函数f(x)=2x的图像上,

所以bn= 2 a ,又等差数列{an}的公差为d,
n

a n ?1 b 2 a n ?1 ? a n d 所以 n ?1 ? ? 2 ? 2 , bn 2a n

因为点(a8,4b7)在函数f(x)的图像上, 所以4b7= 2a =b8,所以2d= b8 =4?d=2,
8

b7

又a1=-2, 所以Sn=na1+ n ? n ? 1? d=-2n+n2-n=n2-3n.
2

(2)由f(x)=2x?f′(x)=2xln2,

函数f(x)的图像在点(a2,b2)处的切线方程为
y-b2=( 2a ln2)(x-a2),
2

所以切线在x轴上的截距为a2- 1 ,
1 1 ? 2? , 故a2=2, ln 2 ln 2 从而an=n,bn=2n, a n ? nn , bn 2 ln 2

从而 a 2 ?

1 2 3 n ? 2 ? 3 ??? n , 2 2 2 2 1 1 2 3 n Tn ? 2 ? 3 ? 4 ??? n ?1 , 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 n 1 n 所以 Tn ? ? 2 ? 3 ? 4 ??? n ? n ?1 ? 1 ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n?2 ? 1 ? n ?1 , 2 n?2 故Tn ? 2 ? n . 2 Tn ?

悟·技法

利用错位相减法的一般类型及思路
(1)求数列的前n项和 一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的 前n项和时,可采用错位相减法求和,一般是在和式的两边同乘以等比 数列{bn}的公比,然后作差求解.若{bn}的公比为参数(字母),则应对 公比分等于1和不等于1两种情况分别求和.

(2)比较大小或证明不等式

要善于识别题目类型,抓住通项公式的特征,正确变形,分清项数求和,
再利用比较法或放缩法解决问题. (3)数列求和与函数、导数等知识的交汇问题 此类问题通常以数列为载体,以函数为工具,利用函数的相关知识求出 数列,然后借用错位求和法,进一步解决问题.

通·一类 1.(2015·石家庄模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an-1,n∈N*, 数列{(n+1)an}的前n项和Tn= .

【解析】因为Sn=2an-1,所以Sn+1=2an+1-1,
所以an+1=2an+1-2an,即an+1=2an. 又因为S1=2a1-1得a1=1,所以an=2n-1, Tn=2×20+3×21+4×22+?+(n+1)×2n-1, 则2Tn=2×21+3×22+?+n×2n-1+(n+1)×2n, 所以-Tn=2+(2+22+?+2n-1)-(n+1)×2n
2(1 ? 2n ?1 ) =2+ -(n+1)×2n=-n×2n, 1? 2

所以Tn=n×2n. 答案:n×2n

2.(2015·潍坊模拟)已知单调递增的等比数列{an}满足a2+a3+a4=28,

且a3+2是a2,a4的等差中项.
(1)求数列{an}的通项公式. (2)若bn=anlog 1 an,Sn=b1+b2+?+bn,求Sn+n·2n+1>50成立的正整数n的
2

最小值.

【解析】(1)设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,

依题意,2(a3+2)=a2+a4,
代入a2+a3+a4=28,得a3=8,所以a2+a4=20,
1 ? 3 ? a q ? a q ? 20, q ? 2, q ? , ? ? 1 ? 1 所以 ? 2 解得 ? 或? 2 ? ?a1 ? 2 ?a ? 32, ?a1q ? 8, ? 1

又数列{an}单调递增,所以q=2,a1=2,所以an=2n.

(2)由(1)得,bn=anlog

所以-Sn=1×2+2×22+3×23+?+n·2n, ①
所以-2Sn=1×22+2×23+3×24+?+(n-1)·2n+n·2n+1. ② 所以①-②得,Sn=2+22+23+?+2n-n·2n+1= =2n+1-n·2n+1-2. 因为Sn+n·2n+1>50,所以2n+1-2>50,所以2n+1>52. 又当n≤4时,2n+1≤25=32<52,当n≥5时,2n+1≥26=64>52. 故使Sn+n·2n+1>50成立的正整数n的最小值为5.
2 ?1 ? 2 n ? 1? 2

1 2

an=2n·log

1 2

2n=-n·2n,

-n·2n+1

3.(2015·西安模拟)已知数列{an}的前n项和Sn与通项an满足Sn= 1 ? 1 a n .
2 2

(1)求数列{an}的通项公式.

(2)设f(x)=log3x,bn=f(a1)+f(a2)+?+f(an), Tn ? 1 ? 1 ??? 1 ,
b1 b2 bn

求T2016. (3)若cn=an·f(an),求{cn}的前n项和Un.

【解析】(1)当n=1时,a1= 1 ,
3

当n≥2时,an=Sn-Sn-1,
1 1 1 ? an,所以an= an-1, 2 2 3 即数列{an}是首项为 1 ,公比为 1 的等比数列, 3 3 故 a n= ( 1 ) n . 3

又 S n=

1 n 2 由已知可得 f a ? log ( ) ? ?n, ? ? ? n? 3 3 n ? n ? 1? 则b n ? ?1 ? 2 ? 3 ??? n ? ? , 2 1 1 1 故 ? ?2( ? ), bn n n ?1 1 1 1 1 1 又Tn ? ?2[(1 ? ) ? ( ? ) ??? ( ? )] 2 2 3 n n ?1 1 2n ? ?2(1 ? )?? , n ?1 n ?1 4 032 所以T2 016 ? ? . 2 017

(3)由题意得cn=(-n)·( 1 ) n ,
3

故Un=c1+c2+?+cn
1 1 1 ? ?[1? ( )1 ? 2 ? ( ) 2 ??? n ( ) n ], 3 3 3 1 1 1 1 则 U n ? ?[1? ( ) 2 ? 2 ? ( )3 ??? n ( ) n ?1 ], 3 3 3 3 2 1 1 1 1 两式相减可得 U n ? ?[( )1 ? ( ) 2 ??? ( ) n ? n ( ) n ?1 ] 3 3 3 3 3 1 1 n 1 n ?1 1 1 1 n 1 n ?1 ? ? [1 ? ( ) ] ? n ( ) ? ? ? ( ) ? n ( ) , 2 3 3 2 2 3 3 3 3 1 3 1 则U n ? ? ? ( ) n ? n ( ) n ?1. 4 4 3 2 3

规范解答7

特殊数列{|an|}的求和策略

【典例】(12分)(2015·金华模拟)在公差为d的等差数列{an}中,已知 a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列. (1)求d,an. (2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+?+|an|.

解题导思

研读信息

快速破题

规范解答

阅卷标准

体会规范

(1)由题意得5a3·a1=(2a2+2)2,
由a1=10,{an}为公差为d的等差数列得,d2-3d-4=0, ??????????????????????????2分
解得d ? ?1或d ? 4.………………3分 所以a n ? ?n ? 11(n ? N*) 或a n ? 4n ? 6(n ? N*).……………4分

(2)设数列{an}的前n项和为Sn,数列{|an|}的前n项和为Tn,因为d<0,

由(1)得d=-1,an=-n+11,????????????????5分
n ? 21 ? n ? 所以Sn= n[10 ? ? ?n ? 11?] ? . 2 2

① 当n ? 11时,a n ? 0, 所以Tn=|a1|+|a2|+|a3|+?+|an| =a1+a2+a3+?+an=Sn= n ? 21 ? n ? .
2

????????????7分

② 当n ? 12时,a n ? 0,

所以Tn=|a1|+|a2|+|a3|+?+|an|
? a1 ? a 2 ? a 3 ??? a11 ? (a12 ? a13 ??? a n ) ? S11 ? ? Sn ? S11 ? ? 2S11 ? Sn …………………………………………8分 11? 10 n ? 21 ? n ? ? 2? ? 2 2 n 2 ? 21n ? 220 ? ………………………10分 2

综上所述,
a1 ? a 2 ? a 3 ??? | a n | ? n ? 21 ? n ? , n ? 11, ? ? ?? 2 2 ? n ? 21n ? 220 , n ? 12. ? 2 ? ……………………………………………………………………12分

高考状元

满分心得

把握规则

争取满分

注意答题的规范性 在解题过程中,要注意答题要求,严格按照题目及相关知识的要求 答题,如本例中求数列{|an|}的前n项和时,因为an有正有负,所以应先 分两类讨论,去掉绝对值号后再分别求和,否则易出现以下两种错误: ①当n≤11时,求{|an|}的前n项和,认为就是求S11=55;②当n≥12时, 求{|an|}的前n项和,不能转化为2(a1+a2+?+a11)-(a1+a2+?+an).


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