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2014全国名校高中数学题库--椭圆2(有答案)


椭圆题库 1 E 、 F 是椭圆 x ? 2 y ? 4 的左、右焦点, l 是椭圆的右准线,点 P ? l ,过点 E 的直线 2 2 交椭圆于 A 、 B 两点. (1) 当 AE ? AF 时,求 ?AEF 的面积; (2) 当 AB ? 3 时,求 AF ? BF 的大小; (3) 求 ?EPF 的最大值. 解: (1) ? y A P M ? m?n ? 4

1 ? S?AEF ? mn ? 2 2 2 2 ?m ? n ? 8 B E O F x (2)因 ? ? ? AE ? AF ? 4 ? AB ? AF ? BF ? 8 , ? ? BE ? BF ? 4 则 AF ? BF ? 5. (1) 设 P(2 2, t )(t ? 0) tan?EPF ? tan(?EPM ? ?FPM ) ?( 3 2 2 3 2? 2 2 2t 2 2 3 ? ) ? (1 ? )? 2 ? ? , 2 ?1 t t t t ? 6 t ? 6t 3 3 ? ?EPF ? 30? 3 当 t ? 6 时, tan?EPF ? x2 y2 2 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1(-c,0) 、F2(c,0) ,Q 是椭 a b 圆外的动点,满足 | F1Q |? 2a. 点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点,点 T 在线段 F2Q 上,并且满 足 PT ? TF2 ? 0, | TF2 |? 0. (1)求点 T 的轨迹 C 的方程; (2)试问:在点 T 的轨迹 C 上,是否存在点 M, 使△F1MF2 的面积 S= b 2 . 若存在,求∠F1MF2 的正切值;若不存在,请说明理由. (1)解 :设点 T 的坐标为 ( x, y). 当 | PT |? 0 时,点( a ,0)和点(- a ,0)在轨迹上. 1 当| PT |? 0且 | TF2 |? 0 时,由 | PT | ? | TF2 |? 0 ,得 PT ? TF2 . 又 | PQ |?| PF2 | ,所以 T 为线段 F2Q 的中点. 在△QF1F2 中, | OT |? 1 | F1Q |? a ,所以有 x 2 ? y 2 ? a 2 . 2 2 2 2 综上所述,点 T 的轨迹 C 的方程是 x ? y ? a . (2)解:C 上存在点 M( x0 , y 0 )使 S= b 2 的充要条件是 2 2 ? x0 ? y0 ? a2, ? ?1 2 ? ? 2c | y 0 |? b . ?2 ③ ④ 2 b2 . 所以,当 a ? b 时,存在点 M,使 S= b 2 ; c c 由③得 | y 0 |? a ,由④得 | y 0 |? 2 当 a ? b 时,不存在满足条件的点 M. c 当 a ? b 时, MF1 ? (?c ? x0 ,? y 0 ), MF2 ? (c ? x0 ,? y 0 ) , c 由 MF1 ? MF2 ? x0 ? c ? y 0 ? a ? c ? b , 2 2 2 2 2 2 2 MF1 ? MF2 ?| MF1 | ? | MF2 | cos ?F1 MF2 , S? 1 | MF1 | ? | MF2 | sin ?F1 MF2 ? b 2 ,得 tan ?F1 MF2 ? 2. 2 3 已知椭圆 C1 的方程为 x2 ? y 2 ? 1 ,双曲线 C2 的左、右焦点分别为 C1 的左、右顶点,而 4 C2 的左、右

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