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专题复习----导数(含答案)高考精品


专题复习-----导数
考点 1:求导公式。
1、几种常见函数的导数
' ① C ? 0 ;② ( x n ) ' ? nxn?1 ;

③ (sin x) ' ? cos x ;④ (cosx) ' ? ? sin x ; ⑦ (log a x ) ?
'

⑤ (a x ) ' ? a x ln a ;⑥ (e x ) ' ? e x ; 2、导数的运算法则 (1) (u ? v)' ? u ' ? v' . 例 1. f ?( x ) 是 f ( x) ?

1 1 ' ;⑧ (ln x ) ? x ln a x

(2) (uv)' ? u 'v ? uv' .

(3) ( ) ?
'

u v

u 'v ? uv ' (v ? 0) v2


1 3 x ? 2 x ? 1 的导函数,则 f ?(?1) 的值是 3
答案:3

解析: f ' ?x ? ? x 2 ? 2 ,所以 f ' ?? 1? ? 1 ? 2 ? 3 例 2. 设函数 是 ( ) A.(-∞,1)
f ( x) ?

x?a ' x ? 1 ,集合 M= {x | f ( x) ? 0} ,P= {x | f ( x) ? 0} ,若 M P,则实数 a 的取值范围

B.(0,1)

C.(1,+∞)

D. [1,+∞)

x?a ? 0,?当a>1时,1 ? x ? a;当a<1时, a ? x ? 1. [解答过程]由 x ? 1
?y ? x?a a ?1 ? x ? a ? x ?1? ? x ? a ? ,? y / ? ? ? ? 0. ? ? 2 2 x ?1 ? x ?1 ? ? x ? 1? ? x ? 1?
/

? a ? 1.

综上可得 M P 时, ? a ? 1.

考点二:导数的几何意义与几何运用 导数的几何意义: 函数y ? f ( x)在x ? x0处的切线的斜率就是函 数在该点时的导数 .
2. 若函数 f ( x) ? 2 x 2 ? 1的图像上一点 (1,及附近一点 (1 ? ?x,? ?f ),则 1) 1 ?f ? ?x

4.已知函数 y ? f ( x)在x ? x0处的导数为 11.则 lim
答案:4 -11 类型一:已知切点,求曲线的切线方程

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? ?x

? 此类题较为简单,只须求出曲线的导数 f ( x) ,并代入点斜式方程即可.
3 2 , 例 1 曲线 y ? x ? 3x ? 1 在点 (1 ? 1) 处的切线方程为(



A. y ? 3x ? 4 C. y ? ?4 x ? 3

B. y ? ?3x ? 2 D. y ? 4 x ? 5

2 ? ? , 解 : 由 f ( x) ? 3x ? 6x则 在 点 (1 ? 1)处 斜 率 k ? f (1)? ? 3, 故 所 求 的 切 线 方 程 为

y ? (?1) ? ?3( x ? 1) ,即 y ? ?3x ? 2 ,因而选B.

类型二:已知斜率,求曲线的切线方程 此类题可利用斜率求出切点,再用点斜式方程加以解决. 例 2 与直线 2 x ? y ? 4 ? 0 的平行的抛物线 y ? x 的切线方程是(
2



A. 2 x ? y ? 3 ? 0 C. 2 x ? y ? 1 ? 0

B. 2 x ? y ? 3 ? 0 D. 2 x ? y ? 1 ? 0
y?|x ? x0 ? 2 x0 ? 2

解:设 P( x0,y0 ) 为切点,则切点的斜率为

.∴ x0 ? 1 .

, 由此得到切点 (11) .故切线方程为 y ? 1 ? 2( x ? 1) ,即 2 x ? y ? 1 ? 0 ,故选D.

评注: 此题所给的曲线是抛物线, 故也可利用 ? 法加以解决, 即设切线方程为 y ? 2 x ? b ,
2 代入 y ? x ,得 x ? 2 x ? b ? 0 ,又因为 ? ? 0 ,得 b ? ?1 ,故选D.

2

类型三:已知过曲线上一点,求切线方程 过曲线上一点的切线,该点未必是切点,故应先设切点,再求切点,即用待定切点法.
3 , 例 3 求过曲线 y ? x ? 2 x 上的点 (1 ? 1) 的切线方程.

解:设想 P( x0,y0 ) 为切点,则切线的斜率为

y?|x ? x0 ? 3x02 ? 2



2 3 2 ∴切线方程为 y ? y0 ? (3x0 ? 2)( x ? x0 ) . y ? ( x0 ? 2x0 ) ? (3x0 ? 2)( x ? x0 ) .
3 2 , 又知切线过点 (1 ? 1) ,把它代入上述方程,得 ?1 ? ( x0 ? 2 x0 ) ? (3x0 ? 2)(1 ? x0 ) .

解得 x0 ? 1 ,或

x0 ? ?

1 2.
1 ? 1 ? ? 3 ?? ? y ? ? ? ? 1? ? ? ? 2 ?? x ? ? 2)( x? 1) 2? ,即 ? 8 ? ?4 ?? ,或

) 3 故 所 求 切 线 方 程 为 y ? ( 1? 2 ? (?

x ? y ? 2 ? 0 ,或 5x ? 4 y ? 1 ? 0 .

类型四:已知过曲线外一点,求切线方程。 。此类题可先设切点,再求切点 1 y? (2, 0) x 相切的直线方程. 例 4 求过点 且与曲线 解:设 P( x0,y0 ) 为切点,则切线的斜率为
y ? y0 ? ? 1 ( x ? x0 ) x0 2 y? y ?|x ? x0 ? ? 1 x0 2



∴切线方程为

,即

1 1 ? ? 2 ( x ? x0 ) x0 x0



0) 又已知切线过点 (2, ,把它代入上述方程,得

?

1 1 ? ? 2 (2 ? x0 ) x0 x0



x0 ? 1 y0 ? ,

解得

1 ?1 x0

,即 x ? y ? 2 ? 0 .

考点三:利用导数研究函数的图象 一般单一的导函数图像类的出现在选择题等上,此类比较简单。 综合性的导函数上的图像运用很多,结合图像分析,此类较难。
/ 1. 如右图: f 是 (x) 的导函数, f ( x) 的图象如右图所示, f 则 (x) 的图象只可能是 D (



(A) 2.函数
y?

(B)
1 3 x ? 4 x ? 1的图像为 3 ( A

(C) ) 6 4 2 x -4

(D)

6 4 2 -4 -2

y

o 2 4 -2 -4

x

6 4 2 -4 -2

y

y

6 4 2 x

y

o 2 4 -2 -4

o y 2 4 -2 -2 -4

o 2 4 -2 -4

x

3 2 3.方程 2 x ? 6 x ? 7 ? 0在(0,2)内根的个数为

( B D、3

)

A、0

B、1

C、2

4、函数 y ? f ( x) 在定义域(-4,3)内可导,其图象如图,记 y ? f ( x) 的导函数为 y ? f ( x) ,则不等式 f ( x) ? 0 的解集为_____________
/ /

考点四:函数的单调性。
1、设 x ? 1 和 x ? 2 是函数 f ? x ? ? x ? ax ? bx ?1 的两个极值点。
5 3

(Ⅰ)求 a 和 b 的值; 解: (Ⅰ)因为 f
'

(Ⅱ)求 f ? x ? 的单调区间

? x? ? 5x4 ? 3ax2 ? b

由假设知: f ' ?1? ? 5 ? 3a ? b ? 0 解得 a ?

f ' ? 2? ? 24 ? 5 ? 22 ? 3a ? b ? 0

25 , b ? 20 3

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

f ' ? x ? ? 5 x 4 ? 3ax 2 ? b ? 5 ? x 2 ? 1?? x 4 ? 4 ? ? 5 ? x ? 1?? x ? 2 ?? x ? 1?? x ? 2 ?
当 x? ? ??, ?2? ? ? ?1,1? ? ? 2, ??? 时, f ' ? x ? ? 0 当 x? ? ?2, ?1? ? ?1,2? 时, f ' ? x ? ? 0 因此 f ? x ? 的单调增区间是 ? ??, ?2? , ? ?1,1? , ? 2, ???

f ? x ? 的单调减区间是 ? ?2, ?1? , ?1, 2?
21. (10 全国)设函数 f? x ? ? x ? e x ? 1? ? ax 2 (Ⅰ)若 a=
1 ,求 f? x ? 的单调区间; 2

21.(11 陕西)设 f ( x) ? ln x , g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) . (1)求 g ( x) 的单调区间和最小值;

题型二

:含参数的函数单调性的讨论

例 2: 设函数 f ( x) ? ax ? (a ? 1) ln(x ? 1) ,其中 a ? ?1 ,求 f (x) 的单调区间 分析:本题解答过程中易忽视了求函数的单调区间的前提:先求函数定义域,务必牢记! 解:由已知得函数的定义域为 (?1,??) ,且 f ( x ) ?
/

ax ? 1 (a ? ?1) x ?1

/ (1)当 ? 1 ? a ? 0 时, f ( x) ? 0 函数 f (x) 在 ?? 1,??? 上单调递减, / (2)当 a ? 0 时,由 f ( x) =0,解得 x ?

1 a

f / ( x), f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x

1 ( ?1, ) a


1 a
0 极小值

?1 ? ? ,?? ? ?a ?
+

f / ( x)
f (x)
从上表可知:

当 x ? (?1, ) 时, f / ( x) ? 0 函数在 ( ?1, ) 上单调递减 当?

1 a

1 a

?1 ? ?1 ? ,?? ? 时, f / ( x) ? 0 函数 f (x) 在 ? ,?? ? 上单调递增 ?a ? ?a ?

综上所述:当 ? 1 ? a ? 0 时,函数 f (x) 在 ?? 1,??? 上单调递减, 当 a ? 0 时,函数 f (x) 在 ( ?1, ) 上单调递增 21. (09 安徽)已知函数 f ( x) ? x ?

1 a

2 ? 1 ? a ln x ,a>0,讨论 f ( x) 的单调性; x

21. (09 浙江)已知函数 f ( x) ? x3 ? (1 ? a) x2 ? a(a ? 2) x ? b (a, b ? R) . (I)若函数 f ( x ) 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是 ?3 ,求 a , b 的值; (II)若函数 f ( x ) 在区间 (?1,1) 上不单调,求 a 的取值范围. ...

考点五:函数的极值。
函数的极大值与极小值:

求可导函数 f ( x ) 的极值的步骤: ① 确定函数的定义区间,求导数 f ′( x ) ;② f ( x ) 的 求 驻点,即求方程 f ′( x ) =0 的根; (3) 分区间,列表。

例 1.若函数 f ( x) ?

x2 ? a 在 x ? 1 处取极值,则 a ? x ?1

3
y

y ? f ?(x )

2 例 2. 函数 f (x) 的定义域为开区间 ( a, b) ,导函数 f ?(x) 在 ( a, b) 内 0 0 9 0 4 2

b

a

O

的图象如图所示,则函数 f (x) 在开区间 ( a, b) 内有极小值点 21.(09 山东)已知函数 f ( x) ? 1 ax3 ? bx 2 ? x ? 3 ,其中 a ? 0 3 (1)当 a , b 满足什么条件时, f ( x) 取得极值?

1

_个

21. (08 山东)设函数 f ( x) ? x2e x?1 ? ax3 ? bx2 ,已知 x ? ?2 和 x ? 1 为 f ( x ) 的极值点. (Ⅰ )求 a 和 b 的值; (Ⅱ )讨论 f ( x ) 的单调性;

变式.

设函数 f ( x) ? x3 ? 3ax ? b(a ? 0) .

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f ( x)) 处与直线 y ? 8 相切,求 a , b 的值 (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间与极值点 (Ⅲ) b ? ?1 且 f ( x ) 在 x ? ?1 处取得极值,直线 y=m 与 y ? f ( x) 的图象有三个不同交点 若 .解:(Ⅰ) f
'

? x? ? 3x2 ? 3a ,∵曲线 y ?

f ( x) 在点 (2, f ( x)) 处与直线 y ? 8 相切,

? f ' ? 2 ? ? 0 ?3 ? 4 ? a ? ? 0 ? ?a ? 4, ? ?? ?? ∴? ?8 ? 6a ? b ? 8 ?b ? 24. ? f ? 2? ? 8 ? ?
' 2 (Ⅱ)∵ f ? x ? ? 3 x ? a

?

? ? a ? 0 ? ,当 a ? 0 时, f ? x? ? 0 ,函数 f ( x) 在 ? ??, ??? 上
'

单调递增, 此时函数 f ( x ) 没有极值点.当 a ? 0 时,由 f ' ? x ? ? 0 ? x ? ? a ,当 x ? ??, ? a 时, f
'

?

?

? x? ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增,当 x ? ? ?

a , a 时, f ' ? x ? ? 0 ,函数 f ( x) 单调

?

递减,当 x ?

?

a , ?? 时, f ' ? x ? ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增,∴此时 x ? ? a 是 f ( x) 的

?

极大值点, x ?

a 是 f ( x) 的极小值点.
' 2

(Ⅲ)因为 f ( x ) 在 x ? ?1 处取得极大值,所以 f (?1) ? 3? (?1) ? 3a ? 0,? a ? 1. 所以 f ( x) ? x ? 3x ?1, f ( x) ? 3x ? 3, 由 f ( x) ? 0 解得 x1 ? ?1, x2 ? 1 。
3 ' 2 '

由(1)中 f ( x ) 的单调性可知, f ( x ) 在 x ? ?1 处取得极大值 f (?1) ? 1 ,

考点六:函数的最值。
函数的最大(小)值: 一般地, 在区间 [ a, b] 上连续的函数 f ( x ) 在 [ a, b] 上必有最大 值与最小值, 利用导数 求函数的最值步骤: ① 求函数 f ( x ) 在 (a, b) 内的极值; ② 求函数 f ( x ) 在区间端点的 值 f ( a )、f (b) ;③ 将函数 f ( x ) 的各极值与 f ( a )、f (b) 比较,其中最大的是最大值,最 小的是最小值。

例 1: 已知 a 为实数, f ?x ? ? x 2 ? 4 ?x ? a ? 。 求导数 f ' ? x ? ; (2) f ' ?? 1? ? 0 , f ?x ? 若 求
在区间 ?? 2,2?上的最大值和最小值。 解析: (1) f ?x? ? x 3 ? ax2 ? 4 x ? 4a ,? (2) f ' ?? 1? ? 3 ? 2a ? 4 ? 0 ,? a ?

?

?

f ' ?x ? ? 3x 2 ? 2ax ? 4 。

1 2 。? f ' ?x? ? 3x ? x ? 4 ? ?3x ? 4??x ? 1? 2 4 令 f ' ?x ? ? 0 , ?3x ? 4??x ? 1? ? 0 , 即 解得 x ? ?1 或 x ? , 则 f ?x ? 和 f ' ? x ? 在区间 ?? 2,2? 3 上随 x 的变化情况如下表:

x
f ' ?x ? f ?x ?
f ?? 1? ?

?2

?? 2,?1?


?1

4? ? ? ? 1, ? 3? ?
— 减函数

4 3
0 极小值

?4 ? ? ,2 ? ?3 ?
+ 增函数

2

0 极大值

0

增函数

0

9 50 50 ?4? ?4? , f? ??? 。所以, f ?x ? 在区间 ?? 2,2? 上的最大值为 f ? ? ? ? ,最 2 27 27 ?3? ?3? 9 。 2
f ( x) ? ax 3 ? 3 2 x ? 1( x ? R ), 2 其中 a >0。

小值为 f ?? 1? ?

20.(10 天津)已知函数 (Ⅰ)若 a =1,求曲线

y ? f ? x?

在点(2,

f ? 2?

)处的切线方程:

? 1 1? ?? , ? (Ⅱ)若在区间 ? 2 2 ? 上, f ( x ) >0 恒成立,求 a 的取值范围。

基础练习
1.设 f ( x) ? x ln x , 若 f / ( x0 ) ? 2 , 则 x0 ? ( )

(A) e 2

(B)

e

(C)

ln 2 2

(D) ln 2 )9

2.曲线 y ? x3 ? 11 在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是 3.曲线 y ? e 在点 A(0,1)处的切线斜率为
x

1

4.曲线 y ? x ? 2 x ? 1在点(1,0)处的切线方程为
3

y ? x ?1

5.曲线 y ?

sin x 1 ? ? 在点 M( ,0)处的切线的斜率为 sin x ? cos x 2 4
x 2

1 2

6.曲线 y ? e 在点 (2,e ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 7.曲线 y ? xe x ? 2 x ? 1 在点(0,1)处的切线方程为_____________ y ? 3x ? 1 8. 若曲线 f ? x ? ? ax ? Inx 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是
2

e2 2

(?? , 0 )

9.函数 f ( x) ? ( x ? 3)e x 的单调递增区间是 10.函数

D. (2,??) . . ? , ?? ? ) D. a > -1/e

f ( x) ? x3 ? 15x 2 ? 33x ? 6 的单调减区间为

11.函数 f ( x) ? x ln x( x ? 0) 的单调递增区间是 12.设 a∈R,若函数 y ? e x ? ax ,x∈R 有大于零的极值点,则( A. a < -1 13.若函数 f ( x) ?
2

?1 ?e

? ?

B. a > -1

C. a < -1/e

x ?a 在 x ? 1 处取极值,则 a ? x ?1


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