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高中 不等式知识总结


模块七 不等式 ? 考纲解读
? 高考大纲
要求层次 考试内容 不等关系与不等式 不等式的解法 解一元二次不等式 用二元一次不等式组表示平面区域 简单的线性规划 简单的线性规划问题 利用基本不等式求最值 用基本不等式解决简单的最大(小)值问题 不等式的综合运用 A B C

? ? ? ? ? ?

? 分析解读

/>(1)了解不等式的有关概念及其分类,掌握不等式的性质及其应用,明确各个性质中结论 成立的前提条件. (2)掌握一元一次、一元二次不等式的解法. (3)会求含有参数的一元二次不等式. (4)会解简单的分式不等式、绝对值不等式等. (5)多考查线性目标函数的最值问题,兼顾面积、距离、斜率等问题. (6)能用线性规划的方法解决重要的实际问题,使收到的效益最大,耗费的人力、物力资 源最少. (7)能够利用基本不等式求函数的最值,能熟练运用比较法、综合法证明不等式,注意掌 握变形过程中的一些常用技巧;能够运用配方法思想、函数思想、分类讨论思想来证明不等 式. (8)求函数的定义域、值域;比较大小;确定参数的取值范围;利用不等式探讨函数的性 质;利用不等式求最值;解决实际应用性问题.

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不等式 的性质

? 考点剖析
? 考点一
不等式的概念和性质

1. 不等式的基本概念
(1) 不等(等)号的定义: a ? b ? 0 ? a ? b; a ? b ? 0 ? a ? b; a ? b ? 0 ? a ? b. (2) 不等式的分类:绝对不等式;条件不等式;矛盾不等式. (3) 同向不等式与异向不等式. (4) 同解不等式与不等式的同解变形.

2.不等式的基本性质
(1) a ? b ? b ? a (对称性) ; (2) a ? b, b ? c ? a ? c (传递性) (3) a ? b ? a ? c ? b ? c (加法单调性) (4) a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d (同向不等式相加)

(5) a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d (异向不等式相减) (6) a. ? b, c ? 0 ? ac ? bc (7) a ? b, c ? 0 ? ac ? bc (乘法单调性) (8) a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd (同向不等式相乘)
(9) a ? b ? 0, 0 ? c ? d ? a b (异向不等式相除) ? c d

(10) a ? b, ab ? 0 ?

1 1 (倒数关系) ? a b

(11) a ? b ? 0 ? a n ? b n (n ? Z , 且n ? 1) (平方法则) (12) a ? b ? 0 ? n a ? n b (n ? Z , 且n ? 1) (开方法则)

3.几个常用不等式
(1)

a 2 ? b2 ? a ? b ? ab ? 2 (根据目标不等式左右的运算结构选用) ; 2 2 1?1 a b

(2)a、b、c ? R, a 2 ? b2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca (当且仅当 a ? b ? c 时,取等号) ; (3)若 a ? b ? 0, m ? 0 ,则

b b?m ? (糖水的浓度问题) 。 a a?m

? 考点二

不等式的解法

(1)整式不等式的解法(根轴法). 步骤:正化,求根,标轴,穿线(偶重根打结) ,定解. 特例:① 一元一次不等式 ax>b 解的讨论; ②一元二次不等式 ax +bx+c>0(a≠0)解的讨论. (2)分式不等式的解法:先移项通分标准化,则
2

f ( x) ? 0 ? f ( x) g ( x) ? 0; g ( x)

? f ( x) g ( x) ? 0 f ( x) ?0?? g ( x) ? g ( x) ? 0

(3)无理不等式:转化为有理不等式求解 ①
f ( x) ? ? f ( x) ? 0 ? ? ? ? 定义域 g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? ? f ( x) ? g ( x) ?



? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 或? f ( x ) ? 0 ? g ( x) ? 0 2 ? ? f ( x) ? [ g ( x )] ?



? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x ) ? [ g ( x)]2 ?

(4)指数不等式:转化为代数不等式
a f ( x ) ? a g ( x ) ( a ? 1) ? f ( x) ? g ( x); a f ( x ) ? a g ( x ) (0 ? a ? 1) ? f ( x) ? g ( x)

a f ( x ) ? b(a ? 0, b ? 0) ? f ( x ) ? lg a ? lg b

(5)对数不等式:转化为代数不等式

? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x)(a ? 1) ? ? g ( x) ? 0 ; ? f ( x) ? g ( x) ?
(6)含绝对值不等式 1 ○应用分类讨论思想去绝对值; 2 ○应用数形思想; 3 ○应用化归思想等价转化

? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x )(0 ? a ? 1) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?

| f ( x) |? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ?? g ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ? | f ( x) |? g ( x) ? g ( x) ? 0( f ( x), g ( x)不同时为 )或? g ( x) ? 0 0 ? f ( x) ? ? g ( x)或f ( x) ? g ( x) ?

? 考点三

不等式的证明

1、证明不等式的方法:比较法、分析法、综合法和放缩法 比较法的步骤是:作差(商)后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与 1 的大小,然后作出结论。 2、常用的放缩技巧有:

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? 2? ? ? n n ? 1 n(n ? 1) n n(n ? 1) n ? 1 n

k ?1 ? k ?

1 1 1 ? ? ? k ? k ?1 k ?1 ? k 2 k k ?1 ? k

? 考点四

简单的线性规划

1、涉及到的概念
(1) 目标函数: P=2x+y 是一个含有两个变 量 x 和 y 的 函数,称为目标函数. (2)可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域.

(3)整点:坐标为整数的点叫做整点. (4) 线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题, 通常称为 线性规划问题.只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决. (5)整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划.

2、方法技巧
(1)对于不含边界的区域,要将边界画成虚线. (2)确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法,常用的一种方法是“选点法”: 任选一个不在直线上的点,检验它的坐标是否满足所给的不等式,若适合,则该点所在的一 侧即为不等式所表示的平面区域; 否则, 直线的另一侧为所求的平面区域. 若直线不过原点, 通常选择原点代入检验. (3)平移直线 y=-kx+p 时,直线必须经过可行域. (4) 对于有实际背景的线性规划问题, 可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域, 此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点. (5)简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解,无论此类题目是 以什么实际问题提出, 其求解的格式与步骤是不变的: ①寻找线性约束条件, 线性目标函数; ②由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域;③在可行域内求目标函数的最优解.

? 考点六

不等式的综合应用
+

1.利用均值不等式求最值:如果 a1,a2∈R ,那么

a?b ? ab . 2

注意到: “一正二定三相等,和定积最大,积定和最小”这 17 字方针。 2.求函数定义域、值域、方程的有解性、判断函数单调性及单调区间,确定参数的取值范围 等.这些问题一般转化为解不等式或不等式组,或证明不等式. 3.涉及不等式知识解决的实际应用问题, 这些问题大体分为两类: 一是建立不等式解不等式; 二是建立函数式求最大值或最小值. 4、不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题:不等式恒成立问题的常规处理方式?(常应用 函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题,也可抓住所给不等式的结构特征,利用数 形结合法) (1)恒成立问题

若不等式 f ?x ? ? A 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f ? x ?min ? A 若不等式 f ?x ? ? B 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f ? x ?max ? B (2) 能成立问题 若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f ?x ? ? A 成立,则等价于在区间 D 上 f ? x ?max ? A ; 若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f ?x ? ? B 成立,则等价于在区间 D 上的 f ? x ?min ? B . (3)恰成立问题 若不等式 f ?x ? ? A 在区间 D 上恰成立, 则等价于不等式 f ?x ? ? A 的解集为 D ; 若不等式 f ?x ? ? B 在区间 D 上恰成立, 则等价于不等式 f ?x ? ? B 的解集为 D .

? 真题演练
1.【2012 北京,1,5 分】已知集合 A={x∈R|3x+2>0}, B={x∈R|(x+1)(x-3)>0} . 则 A∩B= A (- ? ,-1) B (-1,-

2 ) 3

C (-

2 ,3) 3

D (3,+ ? )

? 举一反三
1.1【2012 重庆,2,5 分】不等式 A. ? ?

x ?1 ? 0 的解集为( 2x ?1
C. ? ? ?. ?

) D. ? ? ?,? ? ? ?1,??? 2

? 1 ? ,1 ? 2 ? ?

B. ??

? 1 ? ,1 ? 2 ? ?

? ?

1? ? ? ?1,??? 2?

? ?

1? ?

1.2 【 2012 山 东 ,13,4 分 】 若 不 等 式 kx ? 4 ? 2 的 解 集 为 x 1 ? x ? 3 , 则 实 数 k ? __________.

?

?

1.3【2011 辽宁,11,5 分】函数 f (x) 的定义域为 R , f ( ?1) ? 2 ,对任意 x ? R , f ?( x) ? 2 , 则 f ( x) ? 2 x ? 4 的解集为 A. ?1,1) ( B. ?1,+ ? ) ( C. ? ? , ?1) ( D. ? ? ,+ ? ) (

2.【2012 北京,2,5 分】设不等式组 ?

?0 ? x ? 2, ,表示平面区域为 D,在区域 D 内随机取一 ?0 ? y ? 2

个点,则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是 (A)

? 4

(B)

? ?2
2

(C)

? 6

(D)

4 ?? 4

? 举一反三
2.1【2011 福建,8,5 分】已知 O 是坐标原点,点 A (-1,1) ,若点 M ( x, y ) 为平面区域

?x ? y ? 2 ??? ???? ? ? ? 上的一个动点,则 OA ? OM 的取值范围是 ?x ? 1 ?y ? 2 ?
A.[-1.0] B.[0.1] C.[0.2] D.[-1.2]

c b c 2.2【2012 江苏,14,5 分】已知正数 a , , 满足:5c ? 3a ≤ b ≤ 4c ? a , ln b ≥ a ? c ln c ,则
的取值范围是 。

b a

? x ? y ? 1≥ 0, ? 3.【2008 北京,5,5 分】若实数 x, y 满足 ? x ? y ≥ 0, 则 z ? 3x ? 2 y 的最小值是( ? x ≤ 0, ?
A.0 B.1 C. 3 D.9



? 举一反三
? x ? y ?3? 0 ? 3.1【2012 福建,9,5 分】若函数 y=2 图像上存在点(x,y)满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 , ? x?m ?
x

则实数 m 的最大值为

A.

1 2

B.1

C.

3 2

D.2

3.2【2012 全国,13,5 分】若 x,y 满足约束条件

则 z=3x﹣y 的最小值为

_________ .

3.3【2012 四川,9,5 分】某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原 料 1 千克、 B 原料 2 千克;生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克, B 原料 1 千克。每桶甲产 品的利润是 300 元,每桶乙产品的利润是 400 元。公司在生产这两种产品的计划中,要求每 天消耗 A 、 B 原料都不超过 12 千克。通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产 品中,公司共可获得的最大利润是( A、1800 元 B、2400 元 ) C、2800 元 D、3100 元

? x ? y ? 11 ? 0 ? 4.【2010 北京,7,5 分】设不等式组 ? 3 x ? y ? 3 ? 0 表示的平面区域为 D,若指数函数 y ? a x ?5 x ? 3 y ? 9 ? 0 ?

的图象上存在区域 D 上的点,则 a 的取值范围是 (A) (1,3] (B) ? 2,3? (C) (1, 2] (D) [3, ??)

? 举一反三
? x ? 2y ? 2 ? 4.1【2012 山东,5,5 分】已知变量 x , y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 4 ,则目标函数 ? 4 x ? y ? ?1 ?
z ? 3x ? y 的取值范围是
(A) [ ?

3 , 6] 2

(C) [?1, 6]

3 , ?1] 2 3 (D) [ ?6, ] 2
(B) [ ?

? x?0 ? 4.2 【2012 安徽,11,5 分】 x, y 满足约束条件: x ? 2 y ? 3 ; x ? y 的取值范围为 _____ . 若 则 ? ?2 x ? y ? 3 ?

4.3 【2012 江西,8,5 分】某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过 50 计,投入资金不 超过 54 万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 年产量/亩 黄瓜 韭菜 4吨 6吨 年种植成本/亩 1.2 万元 0.9 万元 每吨售价 0.55 万元 0.3 万元

为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入减去总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种 植面积(单位:亩)分别为 A.50,0 B.30,20 C.20,30 D.0,50

?x ? y ? 2 ? 0 ? 5. 【2009 北京,10,5 分】 若实数 x, y 满足 ? x ? 4 则 s ? y ? x 的最小值为__________. ?y ? 5 ?

? 举一反三
? x ? y ? 10 ? 5.1【2012 辽宁,8,5 分】设变量 x,y 满足 ?0 ? x ? y ? 20, 则 2 x ? 3 y 的最大值为 ?0 ? y ? 15 ?
(A) 20 (B) 35 (C) 45 (D) 55

?y ? 2 ? 5.2【2012 广东,5,5 分】已知变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z=3x+y 的最大值为 ?x ? y ? 1 ?
A.12 B.11 C.3 D.-1

5.3 【2012 陕西,14,5 分】 设函数 f ( x) ? ?

?ln x, x ? 0 , D 是由 x 轴和曲线 y ? f ( x) ??2 x ? 1, x ? 0

及 该 曲 线 在 点 (1, 0) 处 的 切 线 所 围 成 的 封 闭 区 域 , 则 z ? x ? 2 y 在 D 上 的 最 大 值 为 .

?1 ?x, x ? 0 ? 6. 【 2009 北京 ,13,5 分】 若函数 f ( x) ? ? ?( 1 ) x , x ? 0 ? 3 ?
____________.

则不等 式 | f ( x ) |?

1 的解 集为 3

? 举一反三
?21? x , x ? 1 6.1 【2011 辽宁,9,5 分】设函数 f ( x) ? ? ,则满足 f ( x) ? 2 的 x 的取值范围 ?1 ? log2 x, x ? 1
是 A. [?1 ,2] B.[0,2] C.[1,+ ? ] D.[0,+ ? ]

6.2【2009 天津,10,5 分】 0 ? b ? 1 ? a ,若关于 x 的不等式 ( x ? b) > (ax) 的解集中的整
2 2

数恰有 3 个,则 (A) ? 1 ? a ? 0 (B) 0 ? a ? 1 (C) 1 ? a ? 3 (D) 3 ? a ? 6

6.3【2012 浙江,17,4 分】设 a ? R,若 x>0 时均有[(a-1)x-1]( x -ax-1)≥0,则 a=
2

______________.

7.【2008 北京,13,5 分】已知函数 f ( x) ? x ? cos x ,对于 ? ? , ? 上的任意 x1,x2 ,有如 2 2
2

? π π? ? ?

下条件:

2 2 ① x1 ? x2 ; ② x1 ? x2 ; ③ x1 ? x2 .

其中能使 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 恒成立的条件序号是



? 举一反三
7.1【2012 浙江,9,5 分】设 a 大于 0,b 大于 0. A.若 2a ? 2a ? 2b ? 3b ,则 a>b C.若 2a ? 2a ? 2b ? 3b ,则 a>b B.若 2a ? 2a ? 2b ? 3b ,则 a<b D.若 2a ? 2a ? 2b ? 3b ,则 a<b

7.2【2012 湖北,6,5 分】设 a, b, c, x, y, z 是正数,且 a 2 ? b2 ? c 2 ? 10 , x2 ? y 2 ? z 2 ? 40 ,
ax ? by ? cz ? 20 ,则

a?b?c ? x? y?z
B.
1 3

A.

1 4

C.

1 2

D.

3 4

? b 7.3 【2012 江苏,13,5 分】已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b (a , ? R) 的值域为 [0 , ?) ,若关于 m x 的不等式 f ( x) ? c 的解集为 (m , ? 6) ,则实数 c 的值为

? 轻松驿站
令今人汗颜的杨一清数学政治思维
明朝的历史真相被雪藏了许久,本世纪初明朝的价值得以被迅速扩大化。然而,物极必 反。当目光全部都投入到了帝王将相的尔虞我诈、金戈铁马的时候,许多历史真实被人们忽 略了。特别是在这个虚浮的时代。(摘自: 《白银帝国:翻翻明朝的老账》 弘治十七年也就是公元 1504 年的某一天,都察院左副都御史、督理陕西政马茶法、茶 马互市的杨一清, 伏案看着奏报, 他是越看越高兴, 不禁提笔向皇帝陛下写了封奏章。 他说: 因为贩私茶的现象严重,早已经陈旧的茶马法规、贸易法则根本无法实行。此次,我 用了 1570 余两银子收购茶叶 78820 斤,换得马 900 多匹。如果用银直接买马的话则至少需 要 7000 余两。因为目前的茶叶价格是 0.02 两一斤,马价一般为 7.78 两,每匹马就要折茶

389 斤。而本次交易中,每匹马仅折茶 87 斤左右,折算成银的话,每匹马仅值 1.74 两,净 利润约 6.04 两,净利润率高达 347%。所以,万岁呀,为了国家急缺的战马,为了增加国家 税收,防止巨额利润流入奸商、走私犯手中,朝廷应该实行招商买茶制度。国家不再统购统 销,而是由商人自行买茶到指定地点销售,照章纳税。

这次上书之后,弘治皇帝批准了户部的建议,决定召集陕西、山西的富商们进行茶叶招 商引资。其后,杨一清再次上书,再次为皇帝算了几道数学题。他说:

招商买茶能否成功全赖定价。茶商为了利润绝对不会抬高收购价格,这样,只要我们控 制好运输价格,朝廷就能得利。当然,也不能为了得利,而故意让商人赔本,这样就没人买 茶运茶了。经过臣的测算,官商都满意的最佳点是,每 1000 斤运到茶马司给银 50 两,其中 茶价银 25 两、加工费和运费 25 两。

然而,还有一个问题,如果某一两家大型茶商买茶数量过多,就会挤占其他中小茶商的 利益。这样,政府就可能被一两家或几家大型茶商钳制,从而影响国家法律施行。所以,每 名茶商买茶不能超过 1 万斤。

按照以前的做法,官银 1 万两,战马不过 1000 匹(马价上升)。按照上述方法,官银 1 万两,可以买茶 20 万斤(茶价上升到每斤 0.05 两),可买马将近 3000 匹,平均 67 斤茶叶换 一匹马,差价为 133 斤。由此,净利润高达 200%。

明代中前期,明政府最大的心腹之患就是北方蒙古部落。到了弘治年间,蒙古部落再次 崛起,边关告急。弘治皇帝命令边关积极备战,然而却忽然发现战马不够了。

明初茶马贸易每年可换来几十万匹马,而此时马匹却少得不够用了。为了增加战马,孝 宗急需能人来整顿茶马互市和苑马寺。 经过考查, 兵部尚书刘大夏推荐南京太常卿杨一清为 都察院左副都御史,督理陕西的茶法和马政。弘治十五年(1502 年)杨一清走马上任。

杨一清发现,在边关对茶马贸易的管理本应是一体的,但实际却是分头领导。例如,马 政由太仆寺、 苑马寺负责, 由巡抚兼管, 茶马司由巡茶御史主持。 二者各自为政, 互不配合。

如此造成的结果是,茶马司只管以茶易马,只注意完成换马的数量却不重视马的质量。苑马 寺只管将马分配给官军,不管马匹能否上阵。许多战马买来之后,相继病倒。为此,杨一清 主张合二为一,统一管理,由巡茶御史统一管理。

与此同时,他罢了苑马寺卿李克恭的官职,这家伙在任三年竟然使 6400 多匹战马被人 盗卖;还撤了灵武监正李谦,这家伙在北京借了高利贷,为了还钱到了灵武后四处搜刮。

在罢免了七八名办事不力的官员后, 他又大举提拔一些资历比较浅的官员, 如平凉通判 张檄、泾荆州知州岳思忠等。他还把山西行太仆寺卿王琰与陕西行太仆寺卿袁宏进行对调。 王琰的特点是作风凶悍,袁宏是作风稳健。显然,对于身处改革之中的他来说,王琰比袁宏 更合适在他手下工作。除此之外,对于在任上一直兢兢业业的陕西马政官员们,杨一清则为 他们请功嘉奖,例如对苑马寺卿车霆等人。

经过一番努力,陕西马政官场风气为之一变。同理,对茶政杨一清也如法炮制。

然而,上述努力只是处理了表面问题,本质的问题还没有涉及。根本问题是没有茶没有 马怎么办呢?明初开始施行的开中制已经完全失效。当时,陕西的茶税只有 2.6 万多斤,即 使大规模地打击私茶之后, 也不过 4 万多斤。 因此, 他一方面查实陕西茶园实际面积、 产量、 茶户数等,进行补税,由此增加将近 2 万斤的茶税;另一方面则开始施行案例中提到的招商 买茶制度。

因为盐茶是商业税中的两大重点, 在明代关于茶叶的法规和盐是相仿的。 盐施行开中制, 茶也是如此。“招商纳米粮支茶引”也是官方垄断生产、运输、销售的重要形式。但在边关地 区,官府垄断是占主体,像盐那样商售的情况则主要在内地。

杨一清在边关施行的招商买茶制度, 解决了官方买茶中的腐败成本、 运茶中的侵夺商民 利益的问题。封建社会政府的话就是一切,尽管表面上说会给商民运费,然而,实际上很多 地方政府应给的钱流进了官府或个人腰包,从而让商民运茶变成了一种强制性徭役。

在这方面,朱元璋也曾经做过一些很流氓的事情。例如,为了应对边关安全问题,朱元

璋曾经实行过“运茶支盐”制度,然而等到边关钱粮盐安顿好之后,又将其废除,致使大量商 人受到伤害。直到弘治后期,杨一清才实行招商买茶制度,由商人进行运输,完成之后给予 报酬或盐引等其他商品售卖权。从杨一清改革之后,官方运茶卖茶的比重越来越低,最低的 时候只占 20%。当然,这是动态的比例。

杨一清之所以对茶叶如此看重, 朱元璋之所以甚至不惜杀了女婿也要整顿茶叶市场, 除 了边关贸易关系政权兴衰的原因之外, 为了保证政府税收也是很重要的一个方面。 很不幸的 是,同盐一样,茶自明代初期开始就面临着走私问题。因为,利润非常大,许多人为此铤而 走险。杨一清就差点被他的手下们杀害。 (来源:东北网)


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