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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学(苏教版,必修一) 第二章函数 2.3.2(一) 课时作业]


2.3.2

对数函数(一)

课时目标 1.掌握对数函数的概念、图象和性质.2.能够根据指数函数的图象和性质得出 对数函数的图象和性质,把握指数函数与对数函数关系的实质.

1.对数函数的定义:一般地,我们把______________________叫做对数函数,其中 x 是 自变量,函数的定义域是________. 2.对数函数的图象与性质 定义 y=logax (a>0,且 a≠1) a>1 0<a<1 底数 图象

定义域 值域 单调性 共点性

在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数 图象过点______,即 loga1=0 x∈(0,1)时, y∈______; x∈[1,+∞)时, y∈______ x∈(0,1)时, y∈______; x∈[1,+∞)时, y∈______

函数值 特点

对称性 函数 y=logax 与 y= log 1 x 的图象关于______对称
a

3.反函数 对数函数 y=logax (a>0 且 a≠1)和指数函数______________互为反函数.

一、填空题 1.函数 y= log2x-2的定义域是________. 1 2. 设集合 M={y|y=( )x, x∈[0, +∞)}, N={y|y=log2x, x∈(0,1]}, 则集合 M∪N=________. 2 3.已知函数 f(x)=log2(x+1),若 f(α)=1,则 α=_____________________________. 4.函数 f(x)=|log3x|的图象是________.(填序号)

5.已知对数函数 f(x)=logax(a>0,a≠1),且过点(9,2),f(x)的反函数记为 y=g(x),则 g(x) 的解析式是________. 2 6.若 loga <1,则 a 的取值范围是________. 3 7.如果函数 f(x)=(3-a)x,g(x)=logax 的增减性相同,则 a 的取值范围是________. 8.已知函数 y=loga(x-3)-1 的图象恒过定点 P,则点 P 的坐标是________. 1 ? ??2?x ?x≥4? 9.给出函数 f(x)=? ,则 f(log 3)=________.

? ?f?x+1? ?x<4?

2

二、解答题 10.求下列函数的定义域与值域: (1)y=log2(x-2); (2)y=log4(x2+8).

11.已知函数 f(x)=loga(1+x),g(x)=loga(1-x),(a>0,且 a≠1). (1)设 a=2,函数 f(x)的定义域为[3,63],求函数 f(x)的最值. (2)求使 f(x)-g(x)>0 的 x 的取值范围.

能力提升

12.已知图中曲线 C1,C2,C3,C4 分别是函数 y=loga1x,y=loga2x,y=loga3x,y=loga4x 的图象,则 a1,a2,a3,a4 的大小关系是__________. 1 13.若不等式 x2-logmx<0 在(0, )内恒成立,求实数 m 的取值范围. 2

1.函数 y=logmx 与 y=lognx 中 m、n 的大小与图象的位置关系. 当 0<n<m<1 时,如图①;当 1<n<m 时,如图②;当 0<m<1<n 时,如图③.

2.由于指数函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的定义域是 R,值域为(0,+∞),再根据对数式与 指数式的互化过程知道,对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的定义域为(0,+∞),值域为 R,它们互为反函数,它们的定义域和值域互换,指数函数 y=ax 的图象过(0,1)点,故对 数函数图象必过(1,0)点.

2.3.2

对数函数(一)

知识梳理 1.函数 y=logax(a>0,且 a≠1) (0,+∞) 2.(0,+∞) R (1,0) (-∞,0) [0,+∞) (0,+∞) (-∞,0] x 轴 3.y=ax (a>0 且 a≠1) 作业设计 1.[4,+∞)

? ?log2x-2≥0, 解析 由题意得:? 解得 x≥4. ?x>0. ? 2.(-∞,1] 解析 M=(0,1],N=(-∞,0],因此 M∪N=(-∞,1]. 3.1 解析 由题意知 α+1=2,故 α=1. 4.① 解析 y=|log3x|的图象是保留 y=log3x 的图象位于 x 轴上半平面的部分(包括与 x 轴的交 点),而把下半平面的部分沿 x 轴翻折到上半平面而得到的. 5.g(x)=3x 解析 由题意得:loga9=2,即 a2=9,又∵a>0,∴a=3. 因此 f(x)=log3x,所以 f(x)的反函数为 g(x)=3x. 2 6.(0, )∪(1,+∞) 3 2 2 解析 由 loga <1 得:loga <logaa. 3 3 2 当 a>1 时,有 a> ,即 a>1; 3 2 当 0<a<1 时,则有 0<a< . 3 2 综上可知,a 的取值范围是(0, )∪(1,+∞). 3 7.(1,2) ? ?0<3-a<1, ?3-a>1, ? 解析 由题意,得? 或? 解得 1<a<2. ?0<a<1 ?a>1, ? ? 8.(4,-1) 解析 y=logax 的图象恒过点(1,0),令 x-3=1,则 x=4; 令 y+1=0,则 y=-1. 1 9. 24 解析 ∵1<log23<log24=2,∴3+log23∈(4,5), ∴f(log23)=f(log23+1)=f(log23+2)

=f(log23+3)=f(log224)= ? =

?1? ? ?2?

log 2 24

=2

? log 2 24

=2

log 2

1 24

1 . 24 10.解 (1)由 x-2>0,得 x>2,所以函数 y=log2(x-2)的定义域是(2,+∞),值域是 R. (2)因为对任意实数 x,log4(x2+8)都有意义, 所以函数 y=log4(x2+8)的定义域是 R. 又因为 x2+8≥8, 3 所以 log4(x2+8)≥log48= , 2 3 即函数 y=log4(x2+8)的值域是[ ,+∞). 2 11.解 (1)当 a=2 时,函数 f(x)=log2(x+1)为[3,63]上的增函数, 故 f(x)max=f(63)=log2(63+1)=6, f(x)min=f(3)=log2(3+1)=2. (2)f(x)-g(x)>0,即 loga(1+x)>loga(1-x), ①当 a>1 时,1+x>1-x>0,得 0<x<1. ②当 0<a<1 时,0<1+x<1-x,得-1<x<0.

12.a3<a4<a1<a2 解析 作 x 轴的平行线 y=1,直线 y=1 与曲线 C1,C2,C3,C4 各有一个交点,则交点 的横坐标分别为 a1,a2,a3,a4.由图可知 a3<a4<a1<a2. 13.

解 由 x2-logmx<0, 得 x2<logmx, 在同一坐标系中作 y=x2 和 y=logmx 的草图, 如图所示. 1 1 要使 x2<logmx 在(0, )内恒成立,只要 y=logmx 在(0, )内的图象在 y=x2 的上方,于是 2 2 0<m<1. 1 1 ∵x= 时,y=x2= , 2 4 1 1 1 ∴只要 x= 时,y=logm ≥ = log m m 4 . 2 2 4 1 1 ∴ ≤ m 4 ,即 ≤m.又 0<m<1, 2 16 1 ∴ ≤m<1, 16 1 即实数 m 的取值范围是[ ,1). 16
1

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