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浙江省重点中学2013届高三上学期期中联谊数学(文)试题


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2012 学年第一学期联谊学校期中考试高三数学(文科)试卷
满分:150 分 考试时间:120 分钟 一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求) 1.设集合 A ? x y ? log2 (

x ? 2) , B ? x x 2 ? 5x ? 4 ? 0 ,则 A ? B =( A. ? B.(2,4) C.(-2,1) D. (1,??) ( )

?

?

?

?



2.条件甲:“ a ? 1 ”是条件乙:“ a ? A.充分不必要条件 C.充要条件

a ”的
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.若 x0 是方程 lg x ? x ? 2 的解,则 x0 属于区间 A.(0, 1) B.(1, 1.5) C.(1.5, 2) D.(2, 2.5)





4.定义 min?a, b, c? 为 a, b, c 中的最小值,设 f ( x) ? min{ x ? 4, x 2 ? 1,5 ? 3x} ,则 f (x) 的最 2 大值是 A.1 B.2 C.3 ( D.4 ) )

5.在 ?ABC 中,BC=1,B=2A,则 A. 3
x

AC 的值等于 ( cos A
C. 1 D.

B. 2
2

1 2
( )

6.曲线 y ? e 在点 (2, e ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为

A.

e2 2

B. e

2

C. 2 e

2

D.

9 2 e 4


7.为了得到函数 y ? sin( 2 x ? A.向右平移

?
6

) 的图象,可以将函数 y ? cos 2 x 的图象(

? 个 单位长度 6 ? C.向左平移 个单位长度 6

? 个单位长度 3 ? D. 向左平移 个单位长度 3
B. 向右平移 (
A

8.如图,在 ? ABC 中,AD ⊥AB, BC ? 3 BD, AD ? 1 ,则 AC ? AD =



A.

3 3

3 B. 2

C. 3

D. 2 3
B D C

(第 8 题)

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9.已知定义在实数集 R 上的函数 f ( x ) 满足 f (1) ? 2 ,且 f ( x ) 的导数 f ' ( x ) 在 R 上恒有 f ' ( x ) <1, 则不等式 f ( x ) <x+1 的解集为 A.不能确定 B. (1,??) C. (??,1) ( )

D. (??,?1) ? (1,??)

10.已知函数 f ( x) ? x x ? 2 ,若存在互不相等的实数 a,b,c,使 f(a)=f( b)=f(c) 成立,则 a+b+c 的取值范围是 A. [4,3 ? 2 ] B. [4,3 ? 2 ) C. (4,3 ? 2 ] ( ) D. (4,3 ? 2 )

二、填空题: (本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11. 已知函数 f ( x) ? ?

? 3x ? 2, x ? 1 ,若 f ( f (0)) ? 4a ,则实数 a ? ________. 2 ? x ? ax, x ? 1

12. 若 a ?

ln 2 ln 3 ln 5 ,b ? ,c ? ,则 a,b,c 的大小关系是________. 2 3 5

13. 已知 sin( x ?

?
4

)?

3 ,则 sin 2 x =________. 5

14. 已知向量 a 和 b 的夹角为 120 ? ,且 a ? 2, b ? 5 ,则 (2a ? b) ? a =________. 15. 在周长为 16 的 ?PMN 中, MN =6,则 PM? PN 的最小值是________. 16.函数 f ( x) ?

1 ( x ? R) ,若 x1 ? x 2 ? 1 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? _____ , 4 ?2 1 2 n ?1 n ) ? f ( ) ? ____ . 又若 n ? N * ,则 f ( ) ? f ( ) ? .... ? f ( n n n n
x

17.若函数 f(x)为定义域 D 上的单调函数,且存在区间 [a, b] ? D (其中 a<b),使得当 x∈[a,b] 时,f(x)的取值范围恰为[a,b],则称函数 f(x)是 D 上的“正函数”,若 f ( x) ? x ? k 是 (??,0) 上
2

的正函数,则实数 k 的取值范围是________. 三、解答题: (本大题共 5 小题,共 72 分,要写出详细的解答过程或证明过程) 18. (本题满分 14 分) ? 函数 y ? A sin( ?x ? ?)( A ? 0, ? ? 0, ? ? ) 的一段图象如图所示 . 2 (1)求函数 y=f(x)的解析式;

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π (2)将函数 y=f(x)的图象向右平移 个单位,得到 y=g(x)的图象,求函数 g(x)在 (0, ?) 内的单 4 调递增区间。

第 18 题 19. (本题满分 14 分) 设 ? ABC 的三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已 知 (1)求角 B; (2)若 A 是 ? ABC 的最大内角,求 cos(B ? C) ? 3 sin A 的取值范围。

a b . ? sin A 3 cos B

20. (本题满分 14 分) 已知 ? ABC 的面积为 3,且满足 0≤ AB? AC ≤6,设 AB 和 AC 的夹角为 ? . (1)求 ? 的取值范围 ;
[来源:Z|xx|k.Com]

(2)求函数 f (? ) ? 2 sin (
2

?
4

? ? ) ? 3 cos 2? 的最大值和最小值。

21. (本题满分 15 分 ) 已知函数 g ( x) ? x ? (
3

m ? 2) x 2 ? 2 x . 2

(1)若 m=-3,求函数 g (x) 的单调区间; (2)若对于任意 t ? [1,2] ,函数 g (x) 在区间(t,3)上总不为单调函数,求实数 m 的取值范围。

22. (本题满分 15 分) 设函数 f ( x) ? x , g ( x) ? a ln x ? bx(a ? 0) .
2

(1)若 f (1) ? g(1) , f ?(1) ? g ?(1) ,求 F(x)=f(x)-g(x)的极小值;

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(2)在(1)的结论下, 是否存在实常数 k 和 m, 使得 f ( x) ? kx ? m 和 g ( x) ? kx ? m 成立?若存在, 求出 k 和 m,若不存在,说明理由。
[来源:学科网 ZXXK]

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2012 学年第一学期联谊学校期中考试 高三数学(文科)参考答案与评分标准
满分:150 分 考试时间:120 分钟 一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项符合题目要求) 题号 答案 1 D 2 C 3 C 4 B 5 B 6 A 7 B 8 C 9 B 10 D
[来源:学科网]

二、填空题: (本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11. 2 . 12. __b>a>c___. 13.

7 25

.14.

13



15. __ 7____. 16. ___

1 2



n 1 ? 4 12

_. 17. ___ ( ?1,? )

3 4

_.

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 72 分,要写出详细的解答过程或证明过程) 18. (本题满分 14 分) 2π 解:(1)由图知 A=2,T=π ,于是 ω = =2,

T

--------3 分 --------5 分 ----7 分

? ? ,2 )代入 y ? 2 sin(2x ? ?) ,得 ? ? 6 6 π? ? ∴f(x)=2sin?2x+ ?. 6? ?
将( π 或(将 y=2sin 2x 的图象向左平移 ,得 y=2sin(2x+φ )的图象. 12 π? π π ? 于是 φ =2· = ,∴f(x)=2sin?2x+ ?.) 6? 12 6 ?

? ? ? π? π? (2)依题意得 g(x)=2sin?2?x- ?+ ?= 2 sin( 2 x ? ) 4? 6? ? ? 3 ? ? ? ? 5? ? 2 x ? ? 2k? ? ,得 k? ? ? x ? k? ? 2 3 2 12 12 5? 11? , ?) 又? x ? (0, ?) ? 单调递增区间是: (0, ), ( 12 12
由 2 k? ? 19. (本题满分 14 分) 解:(1)在△ABC 中,由正弦定理得:

------10 分 ------12 分 ------14 分

a b ? ,?sin B ? 3 cosB ,------3 分 sin A sin B
---------7 分

? tanB ? 3, ∵0<B<π ? B ?
(2)在△ABC 中,B+C=π -A

? 3

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∴cos(B+C)+ 3 sinA= 3 sinA-cosA=2sin(A-

? 2? ? ? ? ≤ A< ,? ? A ? ? , 3 3 6 6 2 1 ? ? ∴ ? sin( A ? ) ? 1 ,2sin(A- )∈[1,2) , 2 6 6
由题意得: 即 cos(B+C)+ 3 sinA 的取值范围是[1,2) 20. (本题满分 14 分) 解:(1)由题得: 0 ? AB ? AC ? cos? ? 6 ,

? ) 6

---------9 分 --------11 分

--------14 分

? 0 ? cos ? ? sin ?,?

? ? ??? 4 2

1 AB ? AC ? sin ? ? 3 2

-------4 分 -----7 分

(2) f (?) ? sin 2? ? 3 cos 2? ? 1 ? 2 sin( 2? ?

? ? ? ? 2? ? ? ? ,? ? 2? ? ? -------12 分 4 2 6 3 3 1 ? ? ? sin( 2? ? ) ? 1,? 2 ? f (?) ? 3 ,即 f (?) 的最大值为 3,最小值为 2. ------14 分 2 3 ?
21. (本题满分 15 分) 解:(1)当 m=-3 时, g ( x ) ? x ?
3

? ) ?1 3

------11 分

1 2 x ? 2x 2

[来源:Z,xx,k.Com]

g' (x) ? 3x 2 ? x ? 2 ? (x ? 1)(3x ? 2)
2 2 ? 增区间: (?? ,?1), ( ,?? ) ,减区间: (?1, ) 3 3
(2) g' (x) ? 3x ? (m ? 4)x ? 2
2

-------3 分 ---7 分 -------9 分

? g' ( t ) ? 0 ? g' (0) ? ?2,? ? ?g' (3) ? 0

-------11 分

2 ? ? 3t 2 ? (m ? 4) t ? 2 ? 0 ?m ? 4 ? t ? 3t ,对于任意 t ? [1,2] 成立-------13 分 得: ? ?? ?27 ? (m ? 4) ? 3 ? 2 ? 0 ? m ? ? 37 3 ?

??

37 ? m ? ?9 3 a ? b ,代入可得:a=1,b=1 x

-------15 分

22. (本题满分 15 分) 解:(1) f ' ( x ) ? 2 x , g ' ( x ) ? -------2 分

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F( x ) ? x 2 ? ln x ? x, F' ( x ) ? 2x ?

1 2x 2 ? x ? 1 ( x ? 1)(2x ? 1) ?1 ? ? -------4 分 x x x

? F( x ) 在(0,1)递减, (1,??) 递增, ? F( x ) 的极小值为 F(1)=0
(2)由(1)得, (1,1)是 f(x)和 g(x)的公共点, f(x)在点(1,1)处的切线方程是 y=2x-1 ? 即判断:f(x) ? 2x-1 和 g(x) ? 2x-1 能否成立

-------5 分 -------7 分

[来源:学*科*网]

-------10 分 -------11 分

? f (x) ? 2x ? 1 ? x 2 ? 2x ? 1 ? (x ? 1) 2 ? 0 ,? f(x) ? 2x-1
令 h(x)=g(x)-2x+1 ? ln x ? x ? 1 ,

h' (x) ?

1 1? x ?1 ? ,? h(x) 在(0,1)递增, (1,??) 递减, x x

-------13 分

? h(x) max ? 存在

? h(1) ? 0 ,? h(x) ? 0,即 g(x) ? 2x-1 成立
m= ? 1 - --15 分

k=2,

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