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新课标高中数学必修2直线与方程


3.1 知识表 直线方程的概念及直线的倾斜角和斜率 (1)直线的方程:如果以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点;反之,这条直线上的点的坐 标都是这个方程的解,这时,这个方程就叫做这条直线的方程,这条直线叫做这个方程的直线. (2)直线的倾斜角:一条直线向上的方向与 x 轴正方向所成的最小正角叫这条直线的倾斜角.倾斜角 的取值范围是0°≤α <180°. (3) 直线的

斜率: 倾斜角不是 90°的直线, 它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率. 倾斜角是 90° 的直线的斜率不存在. 过 P( y1) , P( y2) (x2≠x1) 两点的直线的斜率 1 x1, 2 x2, 特别地是, 当 x1 ? x2 ,

y1 ? y2 时,直线与 x 轴垂直,斜率 k 不存在;当 x1 ? x2 , y1 ? y2 时,直线与 y 轴垂直,斜率 k=0.

注意:直线的倾斜角α =90°时,斜率不存在,即直线与 y 轴平行或者重合. 当α =90°时,斜率 k=0; 当 0? ? ? ? 90? 时,斜率 k ? 0 ,随着α 的增大,斜率 k 也增大;当 90? ? ? ? 180? 时,斜率 k ? 0 ,随着α 的 增大,斜率 k 也增大. 这样,可以求解倾斜角α 的范围与斜率 k 取值范围的一些对应问题. 倾斜角 斜率 1.特殊角与斜率 ※基础达标 1.若直线 x ? 1 的倾斜角为 ? ,则 ? 等于( ). A .0 B.45° C.90° D.不存在 2.已知直线 l 的斜率的绝对值等于 3 ,则直线的倾斜角为( ). A. 60° B. 30° C. 60°或 120° D. 30°或 150° 3. 已知直线经过点 A(0,4)和点 B(1,2) ,则直线 AB 的斜率为__________ 4.经过两点 A(4, 2 y ? 1), B(2, ? 3) 的直线的倾斜角为 135 ,则 的值等于 ( ) 5.过点 P(-2,m)和 Q(m,4)的直线的斜率等于 1,则 m 的值为( ). A.1 B.4 C.1 或 3 D.1 或 4 6.已知两点 A( x ,-2),B(3,0),并且直线 AB 的斜率为 2,则 x = . 2 2 2 7.已知过两点 A(m ? 2, m ? 3) , B(3 ? m ? m, 2m) 的直线 l 的倾斜角为 45°,求实数 m 的值.
0

y

8.若三点 P(2,3) ,Q(3, a ) ,R(4, b )共线,那么下列成立的是( ) A. a ? 4, b ? 5 B. b ? a ? 1 C. 2 a ? b ? 3 D. a ? 2b ? 3 9.若 A(1,2),B(-2,3),C(4,y)在同一条直线上,则 y 的值是 . 10.已知三点 A(a,2)、B(3,7)、C(-2,-9a)在一条直线上,求实数 a 的值.

11.光线从点 A(2,1) 出发射入 y 轴上点 Q, 再经 y 轴反射后过点 B(4,3) , 试求点 Q 的坐标,以及入射光线、 反射光线所在直线的斜率.

※能力提高 12.已知 A(2, ?3), B(?3, ?2) 两点,直线 l 过定点 P (1,1) 且与线段 AB 相交,求直线 l 的斜率 k 的取值范围.

13.已知两点 M(2,-3)、N(-3,-2),直线 l 过点 P(1,1)且与线段 MN 相交,则直线 l 的斜率 k 的取值 范围是( A ) A.k≥

3 或 k≤-4 4

B.-4≤k≤

3 4

C.

3 ≤k≤4 4

D.-

3 ≤k≤4 4

14.已知两点 A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点 P (-1, 2)的直线 l 与线段 AB 始终有公共点,求直线 l 的斜率 k 的取值范围.

15.右图中的直线 l1、l2、l3 的斜率分别为 k1、k2、k3,则( ). A .k1<k2<k3 B. k3<k1<k2 C. k3<k2<k1 D. k1<k3<k2

§3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 基础知识:1.两条不重合的直线平行或垂直,则(1)l1∥l2 ? k1=k2(2)l1⊥l2 ? k1·k2=-1. 若 l1 和 l2 都没有斜率,则 l1 与 l2 平行或重合.若 l1 和 l2 中有一条没有斜率而另一条斜率为 0,则 l1⊥l2. 【例 1】四边形 ABCD 的顶点为 A(2, 2 ? 2 2) 、 B ( ?2, 2) 、 C (0, 2 ? 2 2) 、 D(4, 2) ,试判断四边形 ABCD 的形状.

【例 2】已知 ?ABC 的顶点 B(2,1), C(?6,3) ,其垂心为 H (?3, 2) ,求顶点 A 的坐标.

【例 3】 (1)已知直线 l1 经过点 M(-3,0) 、N(-15,-6) , l2 经过点 R(-2, 断 l1 与 l2 是否平行?

3 5 ) 、S(0, ) ,试判 2 2

(2) l1 的倾斜角为 45°, l2 经过点 P(-2,-1) 、Q(3,-6) ,问 l1 与 l2 是否垂直?

【例 4】已知 A(1,1) ,B(2,2) ,C(3,-3) ,求点 D,使直线 CD⊥AB,且 CB∥AD.

点评:通过设点 D 的坐标,把已知条件中的垂直与平行的两种关系、三点的坐标联系在一起,联系的 纽带是斜率公式. 解题的数学思想是方程求解,方程的得到是利用平行与垂直时斜率的关系. ※基础达标 1.下列说法中正确的是( ). A. 平行的两条直线的斜率一定存在且相等 B. 平行的两条直线的倾斜角一定相等 C. 垂直的两直线的斜率之积为-1 D. 只有斜率相等的两条直线才一定平行 2.若直线 l1、l2 的倾斜角分别为 ?1、? 2 , 且 l1 ? l2 ,则有( ).

A. ?1 ? ?2 ? 90?

B. ?2 ? ?1 ? 90?

C. ?2 ? ?1 ? 90?

D. ?1 ? ? 2 ? 180?

3.经过点 P(?2, m) 和 Q ( m, 4) 的直线平行于斜率等于 1 的直线,则 m 的值是( ). A.4 B.1 C.1 或 3 D.1 或 4 4 ,2 ) , ( 6 B , 4 ) , ?( 1 2 ,6 ) C , (2 , 1 2 ) D 4.若 A(? , 则下面四个结论: ① AB // CD ; ② AB ?CD ;③ AC // BD ; ④ AC ? BD . 其中正确的序号依次为( ). A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 5.已知 ?ABC 的三个顶点坐标为 A(5, ?1), B(1,1), C(2,3) ,则其形状为( ). A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断 6.直线 l1 , l2 的斜率是方程 x 2 ? 3x ? 1 ? 0 的两根,则 l1与l2 的位置关系是 . 7.若过点 A(2, ?2), B(5,0) 的直线与过点 P(2m,1), Q(?1, ?m) 的直线平行,则 m= . ※能力提高 8.已知矩形 ABCD 的三个顶点的分别为 A(0,1), B(1,0), C (3, 2) ,求第四个顶点 D 的坐标. 9. ?ABC 的顶点 A(5, ?1), B(1,1), C (2, m) ,若 ?ABC 为直角三角形,求 m 的值.

※探究创新 10.已知过原点 O 的一条直线与函数 y=log8x 的图象交于 A、B 两点,分别过点 A、B 作 y 轴的平行线 与函数 y=log2x 的图象交于 C、D 两点. (1) 证明:点 C、D 和原点 O 在同一直线上. (2)当 BC 平行于 x 轴时,求点 A 的坐标.

必修二 3.2 知识表 名称 点斜式 斜截式 几何条件 过点(x0,y0),斜率为 k 斜率为 k,纵截距为 b 方程 y-y0=k(x-x0) y=kx+b 局限性 不含垂直于 x 轴的直线 不含垂直于 x 轴的直线 “先判断,后计算” , “特殊提前,通法接连” 。

求直线方程的方法

找要素,写方程(两点、一点一斜、两截) 设方程,求系数(讨论)

x1 ? x2 y1 ? y2 , ) 2 2 §3.2.1 直线的点斜式方程 ※基础达标 1..写出下列点斜式直线方程:
线段 P1 P2 中点坐标公式 ( (1)经过点 A(2,5) ,斜率是 4;
y ? 5 ? 4( x ? 3) (2)经过点 B (3, ?1) ,倾斜角是 30? . y ? 1 ?
3 ( x ? 3) . 3

2. 倾斜角是 135? ,在 y 轴上的截距是 3 的直线方程是 3.直线 y ? ax ? b ( a ? b =0)的图象可以是( ).

.

4.已知直线 l 过点 P(3, 4) ,它的倾斜角是直线 y ? x ? 1 的两倍,则直线 l 的方程为( A. y ? 4 ? 2( x ? 3) B. y ? 4 ? x ? 3 C. y ? 4 ? 0 D. x ? 3 ? 0

).

5. 过点 M ? 2,1? 的直线与 x、 y 轴分别交于 P、 Q, 若 M 为线段 PQ 的中点, 则这条直线的方程为_____________ 6. 将直线 y ? x ? 3 ? 1绕它上面一点(1, 3 )沿逆时针方向旋转 15°,得到的直线方程是 .

7.方程 y ? k ( x ? 2) 表示( ). A. 通过点 (?2,0) 的所有直线 C. 通过点 (2, 0) 且不垂直于 x 轴的直线

B. 通过点 (2, 0) 的所有直线 D. 通过点 (2, 0) 且除去 x 轴的直线

8.直线 y ? k ( x ? 2) ? 3 必过定点,该定点的坐标为( B ) A. (3,2) B. (2,3) C. (2,–3) D. (–2,3) ※能力提高 9.已知△ ABC 在第一象限,若 A(1,1), B(5,1), ?A ? 60? , ?B ? 45? ,求: (1)边 AB 所在直线的方程; (2)边 AC 和 BC 所在直线的方程. 10.已知直线 y ? kx ? 3k ? 1 .(1)求直线恒经过的定点; (2)当 ?3 ? x ? 3 时,直线上的点都在 x 轴上方, 求实数 k 的取值范围.

11.光线从点 A(-3,4)发出,经过 x 轴反射,再经过 y 轴反射,光线经过点 B(-2,6) ,求射入 y 轴 后的反射线的方程.

12. 已知直线 l 在 y 轴上的截距为-3,且它与两坐标轴围成的三角形的面积为 6,求直线 l 的方程. 13.已知直线 l 经过点 P(?5, ?4) ,且 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 5,求直线 l 的方程.

※探究创新 14.国庆庆典活动的中心广场有数万名学生手持圆花组成大型图案方阵,方阵前排距观礼台 120 米,方阵 纵列 95 人,每列长度 192 米,问第一、二排间距多大能达到满意的观礼效果?

两点式

在 x 轴、 y 轴上的截距分别为 a, b(a,b≠0)a——直线的横截距 b——直线的纵截距 在 x 轴、 y 轴上的截距分别为 a, b(a,b≠0)

不包括垂直于坐标轴的直线. 不包括垂直于坐标轴和过原 点的直线.

截距式

§3.2.2 直线的两点式方程 ※基础达标 1. 过两点 (1, 2) 和 (3, 4) 的直线的方程为 ( ) .A. y ? x ? 1 B. y ? x ? 1 C. y ? ? x ? 2 D. y ? ?x ? 2 2.已知△ ABC 顶点为 A(2,8), B(?4,0), C (6,0) ,求过点 B 且将△ ABC 面积平分的直线方程. 3 2 2 3.过两点 ( ?1,1) 和 (3,9) 的直线在 x 轴上的截距为( ). A. ? B. ? C. D. 2 2 3 5 4.已知 2 x1 ? 3 y1 ? 4, 2 x2 ? 3 y2 ? 4 ,则过点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 的直线 l 的方程是( ). A. 2 x ? 3 y ? 4 B. 2 x ? 3 y ? 0 C. 3x ? 2 y ? 4 D. 3x ? 2 y ? 0 5.求过点 P(3, 2) ,并且在两轴上的截距相等的直线方程. 6.经过点(-3,4)且在两个坐标轴上的截距和为 12 的直线方程是:____________________ 7..已知直线 l 过点(3,-1),且与两轴围成一个等腰直角三角形,则 l 的方程为 . 8.菱形的两条对角线长分别等于 8 和 6,并且分别位于 x 轴和 y 轴上,求菱形各边所在的直线的方程.

※能力提高 9.三角形 ABC 的三个顶点 A(-3,0) 、B(2,1) 、C(-2,3) ,求: (1)BC 边所在直线的方程; (2)BC 边上中线 AD 所在直线的方程; 10.长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李,如果超过规定,则需要购买行李票, y元 行李费用 y(元)是行李重量 x(千克)的一次函数,直线过两点(1)求 y 与 x 之间的函数关系 式,并说明自变量 x 的取值范围; 10 (2)如果某旅客携带了 75 千克的行李,则应当购买多少元行李票? 6
o 60 80 x(千克)

11.直线 l 在 X 轴、Y 轴上的截距之比是 2:3,且过点 A(4,9) ,求直线 l 的方程. 12.已知直线 l 的斜率为 6,且被两坐标轴所截得的线段长为 37 ,求直线 l 的方程. 13.已知直线 l 过点 (?2, 2) ,且与两坐标轴构成单位面积的三角形,求直线 l 的方程. 14.与两坐标轴围成的三角形周长为 9,且斜率为 ?

4 的直线 l 的方程为 3

15.已知△ABC 的顶点 A(-4,2) ,两条中线所在的直线方程分别为 3x ? 2 y ? 2 ? 0,3x ? 5 y ? 12 ? 0, 求 BC 边所在的直线方程。

※探究创新 16. 光线从点 A(-3,4)射出,经 x 轴上的点 B 反射后交 y 轴于 C 点,再经 C 点从 y 轴上反射恰好经过点 D(-1,6) ,求直线 AB,BC,CD 的方程. 17.一束光线从点 P(?3, 6) 射到点 Q(3, 0) 后被 X 轴反射,求入射线和反射线所在的直线方程 18.已知点 A( ?3,8) 、 B(2, 2) ,点 P 是 x 轴上的点,求当 AP ? PB 最小时的点 P 的坐标.

?
一般式

A C C , ? , ? 分别为斜 B A B Ax+By+C=0

A、B 不能同时为零

率、横截距和纵截距 §3.2.3 直线的一般式方程 ¤知识要点: x ? B y C ? ? 0 , 注 意 A 、 B 不 同 时 为 0. 直 线 一 般 式 方 程 1. 一 般 式 ( general form ) : A A C A C Ax ? By ? C ? 0 ( B ? 0) 化为斜截式方程 y ? ? x ? ,表示斜率为 ? ,y 轴上截距为 ? 的直线. B B B B 第 24 练 §3.2.3 直线的一般式方程 ※基础达标 1. 如果直线 Ax ? By ? C ? 0 的倾斜角为 45 ? , 则有关系式 ( ) .A. A ? B B. A ? B ? 0 C. AB ? 1 D. 以上均不可能 2. 若 a ?b ?c ? 0 , 则直线 ax ? by ? c ? 0 必经过一个定点是 ( (?1, ?1) ) .A. (1,1) B. ( ?1,1) C. (1, ?1) D.

3.直线 ax ? by ? 1 (ab ? 0) 与两坐标轴围成的面积是(

1 ).A. ab 2

1 B. | ab | 2

C.

1 2ab

D.

1 2 | ab |

4. (2000 京皖春)直线( 3 ? 2 )x+y=3 和直线 x+( 2 ? 3 )y=2 的位置关系是( ). A. 相交不垂直 B. 垂直 C. 平行 D. 重合 5.过两点(5,7)和(1,3)的直线一般式方程为 ;若点( a ,12)在此直线上, 则a= . 6.直线方程 Ax ? By ? C ? 0 的系数 A、B、C 分别满足什么关系时,这条直线分别有以下性质? (1)与两条坐标轴都相交; (2)只与 x 轴相交; (3)只与 y 轴相交; (4)是 x 轴所在直线; (5)是 y 轴所 在直线.

.※能力提高 7.根据下列各条件写出直线的方程,并且化成一般式: 1 (1)斜率是- ,经过点 A(8,-2) ; (2)经过点 B(4,2),平行于 x 轴; 2 3 (3)在 x 轴和 y 轴上的截距分别是 ,-3; (4)经过两点 P1 (3,-2) 、 P2 (5,-4). 2 8.某房地产公司要在荒地 ABCDE(如下图)上划出一块长方形地面(不改变方位)建造一幢八层的公寓楼, 2 问如何设计才能使公寓占地面积最大?并求出最大面积.(精确到 1 m )

E 6 0 m A

1 0 0m

D 8 0 m

B
必修二 3.3 两条直线的位置关系

7 0 m

C

1.已知直线 l1 , l2 的方程分别是:l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0( A1 , B1 不同时为 0) ,l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0( A2 , B2 不同时为 0) ,则两条直线的位置关系可以如下判别:

A1 A2 ? ? A1 A2 ? B2 B1 ? 0 ; B1 B2 A B C (2) l 1 // l 2 ? A2 B2 C 2 ? 0, 1 ? 1 ? 1 ? A1 B2 ? A2 B1 ? 0, A1C 2 ? A2 C 1 ? 0 ; A2 B2 C 2 A B C (3) l1 / 与l 2 重合? A2 B2 C 2 ? 0, 1 ? 1 ? 1 ? A1 B2 ? A2 B1 ? 0, A1C 2 ? A2 C 1 ? 0 A2 B2 C 2 A B (4) l1 与 l2 相交 A2 B2 C 2 ? 0, 1 ? 1 ? A1 B2 ? A2 B1 ? 0 . A2 B2
(1) l 1 ? l 2 ? B1 B2 ? 0, 2.与直线 l : Ax ? By ? C ? 0 平行的直线,可设所求方程为 Ax ? By ? C ' ? 0 ;与直线 Ax ? By ? C ? 0 垂直的直 线,可设所求方程为 Bx ? Ay ? C ' ? 0 . 过点 P( x0 , y0 ) 的直线可写为 A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? 0 . 经过点 M 0 ,且平行于直线 l 的直线方程是 A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? 0 ; 经过点 M 0 ,且垂直于直线 l 的直线方程是 B( x ? x0 ) ? A( y ? y0 ) ? 0 . ※基础达标 1.已知直线 l 的方程为 3x ? 4 y ? 12 ? 0 ,则与 l 平行,且过点(—1,3)的直线方程是______________

2. 若直线 l1:  2 x ? my ? 1 ? 0 与直线 l2:y ? 3x ? 1 平行,则 m ?



3. ?ABC 的 顶 点 A?3,4? , B ? 6,0? , C ? ?5, ?2? , 求 AC 边 上 的 高 线 方 程 _______________ , 中 线 方 程 ____________ 4.若从点 M(1,2)向直线 l 作垂线,垂足为点( ? 1 ,4) ,则直线 l 的方程为_______________ 5.已知点 A(1, 2) 、 B(3,1) ,则线段 AB 的垂直平分线的方程是( ) 1 6.已知直线 mx+ny+1=0 平行于直线 4x+3y+5=0,且在 y 轴上的截距为 ,则 m,n 的值分别为( 3 A. 4 和 3 B. -4 和 3 C. -4 和-3 D. 4 和-36. 7.若直线 x+ay+2=0 和 2x+3y+1=0 互相垂直,则 a= .

).

※能力提高 ? C ? 0 ( A2 , B2 不 8.已知直线 l1 , l2 的方程分别是: l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ( A1 , B1 不同时为 0) , l2 : A 2 x? 2B y2 同时为 0) ,且 A1 A2 ? B1 B2 ? 0 . 求证 l1 ? l2 . ※探究创新 9.已知直线 l1 : x ? my ? 6 ? 0 , l2 : (m ? 2) x ? 3 y ? 2m ? 0 ,求 m 的值,使得:(1)l1 和 l2 相交;(2) l1⊥l2;(3)l1//l2;(4)l1 和 l2 重合. 1. 第 22 讲 §3.2.1 对称关系 图象及 值关系 1. (1) 点 ( x0 , y0 ) 关于 x 轴对称的点为 ( x0 ,? y0 ) ; ( 2) 点 ( x0 , y0 ) 关于 y 轴对称的点为 ( ? x0 , y0 ) ; (3) 点 ( x0 , y0 ) 关于原点对称的点为 ( ? x0 ,? y0 ) ; (4) 点 ( x0 , y0 ) 关于 y ? x 对称的点为 ( y0 , x0 ) ; (5)点( x0 , y0 )关于 y ? ?x 对称的点为( ? y0 ,? x0 ) 。 2.点点对称:点( x0 , y0 )关于( a , b )对称的点为( 2a ? x0 ,2b ? y0 ) ; 3. 线点对称:法一 ; (转化为点点对称) 在待求直线上任取一点( x, y ) ,它关于点( a , b )对称点 ( 2a ? x,2b ? y )在已知直线上,代入已知直线化简即得所求直线方程。 法二:在已知直线上任取一点 A,利用点点对称,得到对称点 A1 ,过 A1 与原直线平行的直线即为所求,利 用点斜式 4.点线对称: 方法一:点与对称点的中点在已知直线上且点与对称点连线的直线斜率是已知直线斜率的负倒数; 方法二:求出过该点与已知直线垂直的直线方程,然后联立已知直线求出交点,再由点点对称得之。 方法三:在对称直线 l 上设点 M( a, f ( a ) ),由 k AM ? ? 1 (A 为已知点)得 M,再由点点对称得对称点。 kl 5.线线对称:分为平行还是相交,若是平行根据平行关系设出直线方程,只有一个未知数 c,再在直线上 数 点-点-点 点-线-点 线-点-线 线-线-线

任取一点关于对称直线找到对称点在要求直线上即可。若为相交直线,求出交点,在回归到点点对称。 法二:利用点到直线的距离可求 法三;利用到角公式 1. 已知点 M (a, b) 与点 N 关于 x 轴对称,点 P 与点 N 关于 y 轴对称,点 Q 与点 P 关于直线 x ? y ? 0 对称,则点 Q 的坐标为_______;点 P( ? 3,

4) 关于直线 4 x ? y ? 1 ? 0 的对称点的坐标是

2. 已知一束光线通过点A(-3,5) ,经直线 l :3x-4y+4=0 反射。如果反射光线通过点B(2, 15) ,则反射光线所在直线的方程是________ 3. 与直线 4 x ? y ? 1 ? 0 关于点 P( ? 3,

4) 对称的直线方程是

_______

4. 直线 y ? 2 x ? 1 关于 y 轴对称的直线方程为___________________, 关于 x 轴的呢____________________ 5. 求直线 x ? y ? 2 ? 0 关于直线 3x ? y ? 3 ? 0 对称的直线的方程_____________

第 25 讲 §3.3.1 两条直线的交点坐标 ¤学习目标:进一步掌握两条直线的位置关系,能够根据方程判断两直线的位置关系,理解两直线的 交点与方程的解之间的关系,能用解方程组的方法求两直线的交点坐标. ¤知识要点: ? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 1. 一般地,将两条直线的方程联立,得到二元一次方程组 ? . 若方程组有惟一解, ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 则两条直线相交,此解就是交点的坐标;若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行;若方 程组有无数解,则两条直线有无数个公共点,此时两条直线重合. 2. 方程 ? ( A1 x ? B 为直线系,所有的直线恒过一个定点,其定点就是 1 y? C 1) ? ( A 2 x? B 2 y? C 2) ? 0
A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 与 A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的交点. ¤例题精讲: 【例 1】判断下列各对直线的位置关系. 如果相交,求出交点坐标. (1)直线 l1: 2x-3y+10=0 , l2: 3x+4y-2=0; (2)直线 l1: nx ? y ? n ? 1 , l2: ny ? x ? 2n .

?nx ? y ? n ? 1 (2)解方程组 ? ,消 y 得 (n2 ? 1) x ? n2 ? n . ny ? x ? 2 n ? n ? 1 当 时,方程组无解,所以两直线无公共点, l1 // l2 . n ? ? 1 时,方程组无数解,所以两直线有无数个公共点,l1 与 l2 重合. 当 n 2n ? 1 当 n ? 1 且 n ? ?1 ,方程组有惟一解,得到 x ? ,y? , l1 与 l2 相交. n ?1 n ?1 ∴当 n ? 1 时, l1 // l2 ;当 n ? ?1 时,l1 与 l2 重合; n 2n ? 1 当 n ? 1 且 n ? ?1 ,l1 与 l2 相交,交点是 ( , ). n ?1 n ?1 【例 2】 求经过两条直线 2 x ? y ? 8 ? 0 和 x ? 2 y ? 1 ? 0 的交点, 且平行于直线 4 x ? 3 y ? 7 ? 0 的直线方程.

【例 3】已知直线 (a ? 2) y ? (3a ? 1) x ? 1 . 求证:无论 a 为何值时直线总经过第一象限.

【例 4】若直线 l:y=kx ? 3 与直线 2x+3y-6=0 的交点位于第一象限,求直线 l 的倾斜角的取值范 围.

点评:此解法利用数形结合的思想,结合平面解析几何中直线的斜率公式,抓住直线的变化情况,迅 速、准确的求得结果. 也可以利用方程组的思想,由点在某个象限时坐标的符号特征,列出不等式而求. 第 25 练 §3.3.1 两条直线的交点坐标 ※基础达标 1.直线 3x ? 5 y ? 1 ? 0 与 4 x ? 3 y ? 5 ? 0 的交点是( C ). A. ( ?2,1) B. (?3, 2) C. (2, ?1) D. (3, ?2) 2.直线 l1 :2 x +3 y =12 与 l2 : x -2 y =4的交点坐标为 . 3.直线 a x +2 y +8=0,4 x +3 y =10 和 2 x - y =10 相交于一点,则 a 的值为( B ). A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 4.直线 l1 : ( 2 ? 1) x ? y ? 2 与直线 l2 : x ? ( 2 ? 1) y ? 3 的位置关系是( A ). A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 重合 5.经过直线 2 x ? y ? 4 ? 0 与 x ? y ? 5 ? 0 的交点,且垂直于直线 x ? 2 y ? 0 的直线的方程是( B A. 2 x ? y ? 8 ? 0 B. 2 x ? y ? 8 ? 0 C. 2 x ? y ? 8 ? 0 D. 2 x ? y ? 8 ? 0

).

6.已知直线 l1 , l2 的方程分别为 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ,且 l1与l2 只有一个公共点, 则( B ). A B A A A. A1 B1 ? A2 B2 ? 0 B. A1 B2 ? A2 B1 ? 0 C. 1 ? 1 D. 1 ? 2 A2 B2 B1 B2 7.. (m ? 2) x ? (2m ? 1) y ? (3m ? 4) ? 0 ,不管 m 怎样变化恒过点____________ ※能力提高 8.已知直线 l1: 2x-3y+10=0 , l2: 3x+4y-2=0. 求经过 l1 和 l2 的交点,且与直线 l3: 3x-2y+4=0 垂直 的直线 l 的方程. ※探究创新 9.已知直线方程为(2+λ )x+(1-2λ )y+4-3λ =0. (1)求证不论λ 取何实数值,此直线必过定点; (2)过这定点引一直线,使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分,求这条直线方程.

第 26 讲 §3.3.2 两点间的距离 ¤学习目标:探索并掌握两点间的距离公式. 初步了解解析法证明,初步了解由特殊到一般,再由一 般到特殊的思想与“数”和“形”结合转化思想. ¤知识要点:
2 2 1. 平面内两点 P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) ,则两点间的距离为: | PP 1 2 |? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) .

特别地,当 P 1, P 2 所在直线与 x 轴平行时, | PP 1 2 |?| x1 ? x2 | ;当 P 1, P 2 所在直线与 y 轴平行时,
2 | PP 1 2 |?| y1 ? y2 | ;当 P 1, P 2 在直线 y ? kx ? b 上时, | PP 1 2 |? 1 ? k | x1 ? x2 | . 2. 坐标法解决问题的基本步骤是: (1)建立坐标系,用坐标表示有关量; (2)进行有关代数运算; (3) 把代数运算的结果“翻译”成几何关系. ¤例题精讲: 过点 P(1,2)且与原点 O 距离最大的直线 l 的方程( ). A. x ? 2 y ? 5 ? 0 B. 2 x ? y ? 4 ? 0 C. x ? 3 y ? 7 ? 0 D. 3x ? y ? 5 ? 0 【例 1】在直线 2 x ? y ? 0 上求一点 P ,使它到点 M (5,8) 的距离为5,并求直线 PM 的方程.

【例 2】直线 2x-y-4=0 上有一点 P,求它与两定点 A(4,-1),B(3,4)的距离之差的最大值.(中 档)

【例 3】已知 AO 是△ABC 中 BC 边的中线,证明|AB| 2 +|AC| 2 =2(|AO| 2 +|OC| 2 ) (中档).

点评:此解体现了解析法的思路. 先建立适当的直角坐标系,将△ABC 的顶点用坐标表示出来,再利 用解析几何中的“平面内两点间的距离公式”计算四条线段长,即四个距离,从而完成证明. 还可以作如 下推广:平行四边形的性质:平行四边形中,两条对角线的平方和,等于其四边的平方和. 三 角 形 的 中 线 长 公 式 : △ ABC 的 三 边 长 为 a 、 b 、 c , 则 边 c 上 的 中 线 长 为 1 2a2 ? 2b2 ? c2 . y A(1,a) 2

o B(1,b) 第 26 练 §3.3.2 两点间的距离 ※基础达标 1.已知 A(?2, ?1), B(2,5) ,则|AB|等于( ).

x

A. 4 B. 10 C. 6 D. 2 13 2.已知点 A(?2, ?1), B(a,3) 且 | AB |? 5 ,则 a 的值为( ). A. 1 B.-5 C. 1 或-5 D. -1 或 5 3.点 A 在 x 轴上,点 B 在 y 轴上,线段 AB 的中点 M 的坐标是 (3, 4) ,则 | AB | 的长为( ). A. 10 B. 5 C. 8 D. 6 4.已知 A(?1, 2), B(0, 4) ,点 C 在 x 轴上,且 AC=BC,则点 C 的坐标为( ). 11 11 11 11 A. (? ,0) B. (0, ? ) C. (0, ) D. ( ,0) 2 2 2 2 5.已知点 M (?1,3), N (5,1) ,点 P( x, y ) 到 M、N 的距离相等,则点 P( x, y ) 所满足的方程是( ). P 在 MN 的中垂线上 A. x ? 3 y ? 8 ? 0 B. 3x ? y ? 4 ? 0 C. x ? 3 y ? 9 ? 0 D. x ? 3 y ? 8 ? 0 6.已知 A(7,8), B(10, 4), C(2, ?4) ,则 BC 边上的中线 AM 的长为 . 7.已知点 P(2,-4)与 Q(0,8)关于直线 l 对称,则直线 l 的方程为 ※能力提高 8.已知点 A(1, 2), B(3, 4), C (5,0) ,判断 ?ABC 的类型. . PQ 中垂线

9.已知 M (1,0)、N (?1,0) ,点 P 为直线 2 x ? y ? 1 ? 0 上的动点.求 PM 2 ? PN 2 的最小值,及取最小值时点 P 的坐标.

10.

△ABC 中, A(3,3), B(2, ?2), C( ?7,1) . 求∠A 的平分线 AD 所在直线的方程.(难,讲解)

法一:首先把三角形 ABC 画出来,令 AB 与 X 轴交于 P 点,AC 与 Y 轴交于 M 点 因为 A(3,3),所以 OA 是一三象限角分线,所以角 POA=角 MOA=45 度,求出 AC 方程:y=x/5+12/5 求出 AB 方程:y=5x-12,则 M(0,12/5) P(12/5,0),所以 OM=OP 所以用“边角边”可以证明三角形 MOA 和三角形 POA 全等,所以 OA 就是所求直线 AD,所以 AD 方程:x-y=0 法二:

第 27 讲 §3.3.3 点到直线的距离及两平行线距离 ¤学习目标:探索并掌握点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离. 体会数形结合、转化的 数学思想,培养研究探索的能力. ¤知识要点: | Ax0 ? By0 ? C | 1. 点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离公式为 d ? . A2 ? B 2 2. 利用点到直线的距离公式,可以推导出两条平行直线 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 , l2 : Ax ? By ? C2 ? 0 之 | C ? C2 | 间的距离公式 d ? 1 ,推导过程为:在直线 l2 上任取一点 P( x0 , y0 ) ,则 Ax0 ? By0 ? C2 ? 0 ,即 A2 ? B 2 | Ax0 ? By0 ? C1 | | C1 ? C2 | ? Ax0 ? By . 0 ? ?C 2 . 这时点 P( x0 , y0 ) 到直线 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 的距离为 d ? A2 ? B 2 A2 ? B 2 ¤例题精讲: 1 10 【例 1】求过直线 l1 : y ? ? x ? 和 l2 : 3x ? y ? 0 的交点并且与原点相距为 1 的直线 l 的方程. 3 3

【例 2】在函数 y ? 4 x 2 的图象上求一点 P,使 P 到直线 y ? 4 x ? 5 的距离最短,并求这个最短的距离.

【例 3】求证直线 L: (m ? 2) x ? (1 ? m) y ? (6 ? 4m) ? 0 与点 P (4, ?1) 的距离不等于 3.

【例 4】求直线 l1 : 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 与 l2 : 4 x ? 6 y ? 5 ? 0 的正中平行直线方程.

第 27 练 §3.3.3 点到直线的距离及两平行线距离 ※基础达标
5 5 3 B. 5 C. D. 2 2 2 2.动点 P 在直线 x ? y ? 4 ? 0 上, O 为原点,则 OP 的最小值为( ). A. 10

1.点(0,5)到直线 y=2x 的距离是(

). A.

B. 2 2 C.

6

D. 2 3.已知点 (a, 2) (a ? 0) 到直线 l : x ? y ? 3 ? 0 的距离为 1,则 a=( A. 2 B.- 2 C. 2 ? 1 D. 2 ? 1 4.两平行直线 5x ? 12 y ? 3 ? 0与10x ? 24 y ? 5 ? 0 间的距离是(

).

1 5 2 1 B. C. D. 26 26 13 13 5.直线 l 过点 P(1,2),且 M(2,3),N(4,-5)到 l 的距离相等,则直线 l 的方程是( ). A. 4x+y-6=0 B. x+4y-6=0 C. 2x+3y-7=0 或 x+4y-6=0 D. 3x+2y-7=0 或 4x+y-6=0 6.与直线 l: 5 x ? 12 y ? 6 ? 0 平行且到 l 的距离为 2 的直线的方程为 . ※能力提高 7.(1)已知点 A( a ,6)到直线 3 x -4 y =2 的距离 d=4,求 a 的值. (2)在直线 x ? 3 y ? 0 求一点 P , 使它到原点的距离与到直线 x ? 3 y ? 2 ? 0 的距离相等. ※探究创新
). A. 8.已知点 P 到两个定点 M(-1,0) 、N(1,0)距离的比为 2 ,点 N 到直线 PM 的距离为 1.求直线

PN 的方程.

第 28 讲两条直线的位置关系 ①到角:直线 l1 到 l2 的角是指 l1 按逆时针方向旋转到与 l2 重合时所转的角. 设 l1 到 l2 的角为θ 1,l2 到 l1 的角为θ 2,则有θ 1∈(0,π ) ,θ 2∈(0,π ) ,且θ 1+θ 2=π . 当 k1k2≠-1 时,有公式 tanθ 1=

k 2 ? k1 π .当 k1k2=-1 时,l1⊥l2,θ 1=θ 2= . 2 1 ? k1 k 2
π 2

②夹角: l1 到 l2 的角θ 1 和 l2 到 l1 的角θ 2 中不大于 90°的角叫 l1 和 l2 的夹角.设为α , 则有α ∈ ( 0, ] , 当α ≠

k ? k1 π 时,有公式 tanα =| 2 |. 1 ? k1 k 2 2

1. 已知两条直线的方程分别是 l1: 2x ? y ? 3 ? 0, l2: 3x ? y ? 2 ? 0 ,求两条直线的夹角 ? 。 2. 求直线 x ? 3 与直线 x ? y ? 3 ? 0 的夹角。 3. 已知直线 l 过点 P(1,2) ,且与直线 x ? y ? 6 ? 0 的夹角为 4.直线 m : x ? 2 y ? 0 绕点 P(2,1) 逆时针旋转

?
4

? ,求直线 l 的方程。 4

后得到直线 l ,求直线 l 的方程.

5.已知等腰直角三角形 ABC 的斜边 AB 所在直线的方程为 3x ? y ? 5 ? 0 ,直角顶点为 C ( 4,?1) ,求两条直 角边所在直线的方程.

6.已知等腰直角三角形 ABC 的直角边 BC 所在直线的方程为 x ? 2 y ? 6 ? 0 ,顶点 A 的坐标为(0,6) ,求 斜边 AB 和直角边 AC 所在直线的方程. 7. 光线沿直线 l 1: 2 x ? y ? 2 ? 0 照射到直线 l 2: x ? 2 y ? 2 ? 0 上后反射,求反射线所在直线 l3 的方程. 8.(如右图)等腰三角形的一个腰所在直线 l1 的方程是 x ? 2 y ? 2 ? 0 ,底边所在直线 l 2 的方程是

x ? y ? 1 ? 0 ,点 (?2,0) 在另一腰上,求这条腰所在直线 l 3 的方程.
在平面直角坐标系内, A(0,2), B(0,8) ,试在 x 轴正半轴上找一点 P,使得 ?APB 最大. 9. 在 y 轴的正半轴上给定两点 A ? 0, a ? , B ? 0, b ? ,点 A 在点 B 上方,试在 x 轴正半轴上求一点 C ,使

?ACB 取到最大值.
? B 的平分线所 10.已知三角形 ABC 的顶点 A(3,?1) , AB 边的中线所在的直线方程为 6 x ? 10 y ? 59 ? 0 ,
在直线的方程为 x ? 4 y ? 10 ? 0 ,求 BC 边所在直线的方程. 11.是否存在实数 k ,使直线 3x ? (k ? 2) y ? 6 ? 0 与直线 kx ? (2k ? 3) y ? 2 ? 0 分别有如下的位置关系 : (1)平行; (2)重合; (3)相交; (4)垂直; (5)相交,且交点在第二象限.若存在求出 k 的值;若不存在,说 明理由.

第 29 讲 第三章 直线与方程 复习 ¤学习目标:理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式;能根据两条直线 的斜率判定平行或垂直;握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式) ;能用解方程组的方法求两直 线的交点坐标;掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离. ¤例题精讲: 【例 1】 设 A、 B 是 x 轴上的两点, 点 P 的横坐标为 2, 且|PA|=|PB|, 若直线 PA 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 , 则直线 PB 的方程是( ). A. 2 x ? y ? 4 ? 0 B. 2 x ? y ? 1 ? 0 2 C. x ? y ? 5 ? 0 D. 2 x ? y ? 7 ? 0 【例 2】一直线被两直线 l1 : 4 x ? y ? 6 ? 0 , l2 : 3x ? 5 y ? 6 ? 0 截得的线段的中点恰好是坐标原点,求 该直线方程. 【例 3】求过点 A(1,?4) 且与直线 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 平行的直线方程. 【例 4】 求与直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 平行,且在两坐标轴上载距之和为 1 的直线 l 的方程。 【例 5】 下面三条直线 l1:4x+y-4=0,l2:mx+y=0,l3:2x-3my-4=0 不能构成三角形,求 m 的取 值集合.

【例 6】求过点 A(2,1) ,且与直线 2 x ? y ? 10 ? 0 垂直的直线 l 的方程。

【例 7】选择题 1.若直线 ax ? 2 y ? 2 ? 0与直线 3x ? y ? 2 ? 0 平行,那么系数 a 等于( A. ? 3 B. ? 6 C. ? )

2 3 D. 3 2

2.下列各组直线中,两条直线互相平行的是( ) ( A) y ? 3 x ? 1 与 2 y ? 6 x ? 4 ? 0 ( B ) y ? ? x 与 2x ? 2 y ? 5 ? 0

(C ) 4 x ? 3 y ? 5 与 8 x ? 6 y ? 10
(A)平行 (B)垂直

( D) 3x ? y ? 1 ? 0 与 3x ? 3 y ? 6 ? 0
) (C)相交但不垂直 (D)不能确定 )

3.直线 2 x ? y ? m ? 0和x ? 2 y ? n ? 0 的位置关系是 (

4.以A(1,3) ,B(-5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( A 3x-y-8=0 B 3x+y+4=0C 3x-y+6=0

D 3x+y+2=0

5 . 直 线 Ax+By+C=0 与 直 线 x+3y-5=0 垂 直 , 则 系 数 A , B , C 之 间 的 关 系 一 定 是 [ ]A.3A+B=0 B.A+3B=0 C.3A=B+C D.3B=A+C 【例 8】 求点 P (3, 4) 关于直线 l : y ?

1 x ? 1 对称的点的坐标。 2

【例 9】求直线 l : y ?

1 x ? 1 关于点 (2,3) 对称的直线方程。 2

题 7. 直线 y=2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线,若 A、B 坐标分别为 A(-4,2) 、B(3,1) ,求点 C 的 坐标,并判断△ABC 的形状.

【例 10】 光线从 A(-3,4)点射出,到 x 轴上的 B 点后,被 x 轴反射到 y 轴上的 C 点,又被 y 轴反 射,这时反射线恰好过点 D(-1,6) ,求 BC 所在直线的方程.

【例 11】已知点 M(3,5) ,在直线 l:x-2y+2=0 和 y 轴上各找一点 P 和 Q,使△MPQ 的周长最小. 【例 12】在三角形 ABC 中,BC 边上的高所在直线方程是 x ? 2 y ? 1 ? 0 , ? A 的内角平分线所在直线方程 是 y ? 0 ,若点 B 的坐标是 ?1, 2 ? ,求顶点 A、C 的坐标。

【例 13】 .已知直线 l1:(m+2)x+(m -3m)y+4=0,l2:2x+4(m-3)y-1=0,如果 l1∥l2,求 m 的值.

2

【例 14】已知直线 l 的方程为 3x ? 4 y ? 12 ? 0 ,求直线 l 的方程,使 l 与 l 垂直且 l 与坐标轴围成的三角
' ' '

形面积为 6 .

【例 15】已知△ABC 的一个顶点 A(-1,-4) ,∠B、∠C 的平分线所在直线的方程分别为 l1:y+1=0,l2: x+y+1=0,求边 BC 所在直线的方程.

【例 16】求函数 f ( x) ?

x2 ? 2 x ? 2 ? x 2 ? 4 x ? 8 的最小值。

【例 17】在东方红学校的东南方有一块如图所示的地,其中两面是不能动的围墙,在边界 OAB 内是不 能动的一些体育设施.现准备在此建一栋教学楼,使楼的底面为一矩形,且靠围墙的方向须留 有 5 米宽的空地,问如何设计,才能使教学楼的面积最大? y 2 1 A 9 o 相交(1)两条直线 l1:y=k1x+b1 和 l2:y=k2x+b2 相交得到两类角: “到角”和“夹角”. ①到角:直线 l1 到 l2 的角是指 l1 按逆时针方向旋转到与 l2 重合时所转的角. 设 l1 到 l2 的角为θ 1,l2 到 l1 的角为θ 2,则有θ 1∈(0,π ) ,θ 2∈(0,π ) ,且θ 1+θ 2=π . 当 k1k2≠-1 时,有公式 tanθ 1= 5 G 5 B 3 9 x

k 2 ? k1 π .当 k1k2=-1 时,l1⊥l2,θ 1=θ 2= . 1 ? k1 k 2 2

②夹角: l1 到 l2 的角θ 1 和 l2 到 l1 的角θ 2 中不大于 90°的角叫 l1 和 l2 的夹角.设为α , 则有α ∈ ( 0, ] , 当α ≠

π 2

k ? k1 π 时,有公式 tanα =| 2 |. 1 ? k1 k 2 2

【例 18】求过点 P(5,-2) ,且与直线 x-y+5=0 相交成 45°角的直线 l 的方程.

【例 19】 等腰三角形一腰所在直线 l1 的方程是 x-2y-2=0, 底边所在直线 l2 的方程是 x+y-1=0, 点 (-2, 0)在另一腰上,求该腰所在直线 l3 的方程.剖析:依到角公式求出 l3 的斜率,再用点斜式可求 l3 的方程. 第 28 练 第三章 直线与方程 复习 ※基础达标 1.在 x 轴和 y 轴上的截距分别为-2、3 的直线方程是( ). A. 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 B. 3x ? 2 y ? 6 ? 0 C. 3x ? 2 y ? 6 ? 0 D. 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 Ax ? By ? C ? 0 2.若直线 通过第二、三、四象限,则系数 A、B、C 需满足条件( ). A. A、B、C 同号 B. AC<0,BC<0 C. C=0,AB<0 D. A=0,BC<0 3.到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是( ). A. x-y=0 B. x+y=0 C. |x|-y=0 D. |x|-|y|=0

4.下列四种说法中的正确的是( ). A. 经过定点 P0(x0,y0)的直线都可以用方程 y-y0=k(x-x0)表示 B. 经过任意两个不同点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) 的直线都可以用方程 ( y ? y1 )( x2 ? x1 ) ? ( x ? x1 )( y2 ? y1 ) 表示 x y C. 不经过原点的直线都可以用方程 ? ? 1 表示 a b D. 经过定点 A(0,b)的直线都可以用方程 y=kx+b 表示 5. 已知点 P (0, ?1) , 点 Q 在直线 x-y+1=0 上, 若直线 PQ 垂直于直线 x+2y-5=0, 则点 Q 的坐标是 ( ) . A. (-2,1) B. (2,1) C. (2,3) D. (-2,-1) 6.已知两点 A(1,-1)、B(3,3),点 C(5,a)在直线 AB 上,则实数 a 的值是 . 7.点 P 在直线 x+y-4=0 上,O 为原点,则|OP|的最小值是 . ※能力提高 12 8.求经过直线 7 x ? 7 y ? 24 ? 0和x ? y ? 0 的交点,且与原点距离为 的直线方程. 5 9.已知点 A 的坐标为 (?4, 4) ,直线 l 的方程为 3 x + y -2=0,求: (1)点 A 关于直线 l 的对称点 A′的坐标; (2)直线 l 关于点 A 的对称直线 l ? 的方程. ※探究创新 10.某市现有自市中心 O 通往正西和东北方向的两条主要公路,为了解决交通拥挤问题,市政府决定 修一条环城路,分别在通往正西和东北方向的公路上选取 A、B 两点,使环城公路在 A、B 间为线段,要求 AB 环城路段与中心 O 的距离为 10 km,且使 A、B 间的距离|AB|最小,请你确定 A、B 两点的最佳位置(不 要求作近似计算).


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