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2.5.1离散型随机变量的均值


离散型随机变量的均值

思考问题

1、某射手射击所得环数ξ的分布列如下:
ξ 4 5 6 7 8 9 10

p

0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22

能否估计出该射手n次射击的平均环数? 2、甲、乙两个工人生产同一产品,在相同的条

件下, 他们生产100件产品所出的不合格品数分别用X1,X2表 示, X1,X2的概率分布下: X1 pk 0 0.7 1 0.1 2 0.1 3 0.1 X2 pk 0 0.5 1 0.3 2 0.2 3 0

如何比较甲、乙两个工人的技术?

ξ 4 5 6 7 8 9 10 p 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 1、在n次射击之前,虽然不能确定各次射击所得的环数, 但可以根据已知的分布列估计n次射击的平均环数.根据 这个射手射击所得环数ξ的分布列,他在n次射击中,预 计有大约 P(ξ=4)×n=0.02n 次得4环, P(ξ=5)×n=0.04n 次得5环, …… P(ξ=10)×n=0.22n 次得10环. n次射击的总环数约等于 4×0.02×n+5×0.04×n+…+10×0.22×n =(4×0.02+5×0.04+…+10×0.22)×n, 从而,n次射击的平均环数约等于 (4×0.02+5×0.04+…+10×0.22)×n÷n=8.32.

类似地,对任一射手,若已知其射击所得环数X的分 布列,即已知各个P(X=i)(i=0,1,2,…,10), 则可预计他任意n次射击的平均环数是 E(X)=0×P(X=0)+1×P(X=1)+…+10×P(X=10).
我们称E(X)为此射手射击所得环数X的期望,它刻划了 随机变量X所取的平均值,从一个方面反映了射手的射 击水平. 一般地,若离散型随机变量X的概率分布为 X P x1 p1 x2 p2 … … xn pn

则称 E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn为X的均值或数学 期望,记为E(X)或μ. 其中pi≥0,i=1,2,…,n;p1+p2+…+pn=1

对于问题 2 E(X1)=0×0.7+1×0.1+2×0.1+3×0.1=0.6 E(X2)=0×0.5+1×0.3+2×0.2+3×0=0.7 由于E(X1)<E(X2),即甲工人生产出废品数的均值小, 从这个意义上讲,甲的技术比乙的技术好。

例1 高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏,在一个 口袋中装有10个红球,20个白球,这些球除颜色外 完全相同。某学生一次从中摸出5个球,其中红球的 个数为X,求X的数学期望. 例2 从批量较大的成品中随机取出10件产品进行质 量检查,若这批产品的不合格品率为0.05,随机变 量X表示这10件产品中的不合格品数,求随机变量X 的数学期望E(X).

练习: 1、已知随机变量 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

3

4

5

0.1

0.2
2.3

0.3

0.2

0.1

0.1

求E( ? )

2、抛掷一枚硬币,规定正面向上得1分,反面向 上得-1分,求得分X的数学期望。 0 3、随机抛掷一个骰子,求所得骰子点数X的数学 期望E(X)。 3.5

探索:0-1分布与二项分布B(X,p)的数学期望

X P

0 1- p

1 p

E(X)=0×(1-p)+1×p =p
则E(X)=np
nM 则E(X)= N

若X~B(n,p) 若X~H(n,M,N)

作业:P67
P71

3 ,4
1


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