tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

葛军...如何学好高中数学葛军


立足基本 参透变化 ——如何学好高中数学
葛 军
(南京师范大学附属中学)

? 一、认识数学 ? 二、两个例子 ? 三、几点建议

一个选择
? 对幼儿园、小学生家长说,让孩子“玩着 学吧!” ? 对初中生家长说,让孩子学会自问3W,并 努力去尝试回答。
? 对高中生家长说,春来了,绿生了,花香

了,孩子啊,你快醒来吧(因为现在有些 孩子还迷糊着),四处走走,你自己去生 长吧!

一、认识数学
? 你知我是谁啊,你知道的! ? 欧洲欧债危机中英国十几万人再就业培训 时的主要内容就是我啊! ? 我在你身边,每天你都得用我,如…… ? 王蒙先生说,我如诗。 ? 我悄然地在你身边,努力影响你,让你变 得更为明智、理性,富有智慧。

一、认识数学
? 数学是研究现实中数量关系和空间形式的 科学。 ? 把数学理解为“模式的科学 ” —— Lynn Arthur Steen

一、认识数学
? 数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语 言 ? 数学还是一门有着丰富内容的知识体系, 其内容对自然科学家、社会科学家、哲学 家、逻辑学家和艺术家十分有用。 ——M.克莱因

一、认识数学
? 数学是建立一个强大社会的基石,数 学实验是各个学科的基础。
——诺贝尔经济学奖得主 James Mirrlees 和 Eric Maskin

一、认识数学
? 在最广泛的意义上说,数学是一种精神, 一种理性的精神。 ? 正是这种精神,激发、促进、鼓舞和驱使 人类的思维得以运用到最完善的程度,亦 正是这种精神,试图决定性地影响人类的 物质、道德和社会生活;试图回答有关人 类自身存在提出的问题;努力去理解和控 制自然;尽力去探求和确立已经获得知识 的最深刻的和最完美的内涵。

一、认识数学
? 数学的教育价值——
? 世界各国不论课程如何改革,数学是必须 修习的重要课程、核心课程。

? 如现在受到全球关注的PISA测试,所设定 的内容中,除了阅读、科学以外,必须有 数学。

一、认识数学
? 数学的教育价值—— ? 美国有独立于教育部的,美国总统数学教 育委员会。
? “……数学作为科学之母,在众多科学、 工程、技术乃至社会科学领域扮演了基础 角色。面向未来,我们将更加重视数学在 学校的发展。” ——原清华大学校长 顾秉林

二、两个例子
? 通过两个例子,认识数学思考之路
? 胡适:“大胆假设,小心求证” ? “少谈些主义,多研究些问题”

第一个例子:认识 2+7=9
算式 2+7=?→ 2+7=9。 ** 再看一眼: 2+7=9. ** 念想 1:2?7?

第一个例子:认识 2+7=9
算式 2+7=?→ 2+7=9。 ** 再看一眼: 2+7=9. ** 念想 1:2?7?2 是偶数,7 是奇数。9 也是奇数。 ** 尝试:一般化!2+7=9 是否可以认为是: 偶数+奇数=奇数?(还可以举例验证! )

第一个例子:认识 2+7=9
再看一眼:偶数+奇数=奇数,你心中会问: 偶数+偶数= ; 奇数+奇数= ;

进一步,念及四则运算,尝试考虑乘法“ ” ,就有 偶数 偶数= 奇数 奇数= ; 。 偶数 奇数= ;

第一个例子:认识 2+7=9
** 对于多个奇数、偶数相加或相乘呢,…… ** 上述所得到的结论有用吗? ** 如:Q1 某组同学参加学校的数学竞赛。试题共 4 道。评分标准是: 答对一道给 3 分,不答给 1 分,答错倒扣 1 分。说明该组同学得分总 和一定是偶数。 ** 有点难度的:试题 4 道改为 50 道呢? (挑战你的眼光,展示化繁为简的思维水平! ! ! )

第一个例子:认识 2+7=9
? 回顾一下: ? 对数式中数2,7,从奇偶性角度来探索…… ? 尤其得到了奇偶分析方法,并尝试运用此 方法解决一些趣题。

第一个例子:认识 2+7=9
? 再回头看:2+7=9. **

2+7→9, 反过来呢? ** 若从数的因数分解看,2,7 均是质数,9 是合数。 合数 9 可以表示成两个质数的和。 ** 自然问:是否每一正整数都可以表示为两个质数的和呢?

第一个例子:认识 2+7=9
? 这个问题与著名的哥德巴赫猜想是相关的。 ? 哥德巴赫猜想:任一大于2的偶数都可写成两个 质数之和。
? 1966年陈景润证明了"1+2"成立,即: ? 任一充分大的偶数都可以表示成二个质数的和, 或是一个质数与两个质数积的和"。

第一个例子:认识 2+7=9
? 一个简单的算式:2+7=?,
? 如果不急着丢弃它, ? 而是转换角度,逐个方向去尝试探索 ? 角度1:奇偶数→运算→奇偶分析 ? 角度2:数的构成(和)-质数和→著名猜 想 ? 收获远远胜过一道题、一个答案。

第一个例子:认识 2+7=9
? ? ? ? 再回首,感知你的拥有: 复杂的即是简单的 养成从多个角度认识一个问题的意识; 学会“反过来思考问题”(简记为1即2)的 意识; ? 学会“一般化问题”(简记为1即n)的意识 ? 学会利用“四则运算生成新问题”(简记为 1即4)的意识; ? ……

第二个例子:2+2=2×2
对于初中的学生,会看到 ……?

第二个例子:2+2=2×2
对于初中的学生,会看到:

a ? a ? a ? a , 问 a =?
即 2a ? a , a(a ? 2) ? 0 ,得 a ? 0 ,或 a ? 2 .
2

第二个例子:2+2=2×2
进一步地,一般化: a ? b ? a ? b , 你可能会产生问题: (1)求所有的正整数 a, b ,使 a ? b ? a ? b 成立. (2)求所有的整数 a, b ,使 a ? b ? a ? b 成立. (3)求所有的有理数数 a, b ,使 a ? b ? a ? b 成立. (4)求使 a ? b ? a ? b 成立的实数 a, b .

第二个例子:2+2=2×2
尝试解决问题(1) ,可以用到小学 5、6 年级或 初中 1~3 年级知识。 (1)求所有的正整数 a, b ,使 a ? b ? a ? b 成立.

第二个例子:2+2=2×2
方法一:用整除的知识, a ? b(a ?1) → b 整除 a ; ** 聪明的同学,肯定运用“同样地” 、 “类似地” 、 “同理”来得到:

a 整除 b 。……
** similariy//the same way

第二个例子:2+2=2×2
1 方法二:将 a, b 分离,得 b ? 1 ? , a ?1
因为 a, b 是正整数,所以 a ? 1 ? 1,……。 **“多元化少元”→“多化少” ,这样的思维意识,在高中、大学数 学中是经常用的……

第二个例子:2+2=2×2
方法三:利用因式分解知识。

ab ? (a ? b) ? 1 ? 1, (a ? 1)(b ? 1) ? 1, 从而 ……

第二个例子:2+2=2×2
方法四:利用一元二次方程根与系数知识。 令 a ? b ? a ? b = s ,则 a, b 是方程 x2 ? sx ? s ? 0 的两个正整数根, 那么判别式 ? ? s2 ? 4s 是一个完全平方数,令为 m ,则有

s2 ? 4s ? m2 ,即 ( s ? 2)2 ? m2 ? 4 ,

(s ? 2 ? m)(s ? 2 ? m) ? 4 .

第二个例子: a ? b
可不妨设 a ? b , 则

? a ?b

方法五:估算法。用你的眼光, a, b 谁大谁小是无所谓的,

a ? b ? ab ? 2b ,

即 ab ? 2b ,得 a ? 2 ,……

第二个例子: a ? b
再看一眼所用的解法: **解法 1 是从直接整除入手, **解法 2 是从分离变元入手, **解法 3 是从分解因式入手,

? a ?b

**解法 4 是从用方程根与系数关系入手, ** 解法 5 是从估算入手。

第二个例子: a ? b

? a ?b

自然地,你想问,每个方法可以解决怎样的一类问题呢? 在此,我们仅看两个解法。

1 玩—看,赏: b ? 1 ? a ?1

1 (1) 分式 的分子 1,可以是什么数?简单一点, a ?1
如 10,若数据太大,则数的分解中因数多,没有值得玩的价值, 因此只需感知“分子 1 也可以是大数、可以是若干个因数的积” 。

玩—看,赏: b ? 1 ?

1 a ?1

1 3 (2)分式 的分母 a ? 1,可以是?,如 x ? 1, …… a ?1 1 (3)b ? 1 ? 中等号右边第一个 1 可以是?如 xy ? 5 ,等号左边 a ?1
b 可以是?如, y ? x y ? x 。
3 2

玩—看,赏: b ? 1 ?

1 a ?1

整理一下:

1 10 3 2 → 复杂: y ? x y ? x ? xy ? 5 ? 3 , b ?1? a ?1 x ?1
打扮一下,未必漂亮啊! 更复杂:

x5 y ? x3 y 3 ? x 4 y ? x 4 ? 5x3 ? x 2 y ? y 3 ? xy ? x ? 5 ? 0 .

玩—看,赏: b ? 1 ?
一个“令人头痛”的问题: “设 x, y 是整数,满足

1 a ?1

x5 y ? x3 y 3 ? x 4 y ? x 4 ? 5 x3 ? x 2 y ? y 3 ? xy ? x ? 5 ? 0 ,
求所有这样的 x, y .” 来锤炼你的意志力,检查你的良好的思维意识, “读:二元一式,非 齐次,你会的!→想分解;试试看!……”

玩—看,赏: b ? 1 ?

1 a ?1

“设 x, y 是整数,满足

x5 y ? x3 y 3 ? x 4 y ? x 4 ? 5 x3 ? x 2 y ? y 3 ? xy ? x ? 5 ? 0 ,
求所有这样的 x, y .” **对于上述问题中 “问法” , 还可以有如下问法: 如 “是否存在整数 x, y , 满足……” , “ 求 所 有 数 组 ( x, y) 的 组 数 ” , " 求 xy ? x 的 值 ” , “求 证……” ,…… **题面可以多样,但本质惟一。

玩—看,赏: a ? b ? ab ? 2b
看两元 a, b ,念三元 a, b, c ,结论如何呢? **这是从元数的角度思考!即: ** 设 a, b, c 是正整数, 满足 a ? b ? c ? abc , 求 a, b, c 的值. 如何求解呢?

玩—看,赏: a ? b ? ab ? 2b
努力对照五种解法,发觉第五种解法易于处理此问题。 这不,不妨设 a ? b ? c ,显然有
a ? b ? c ? abc ? 3c ,得

1 ? ab ? 3 ,于是有 ab ? 1 ,或 ab ? 2 ,或 ab ? 3 ,从而……

玩—看,赏: a ? b ? ab ? 2b
由此,你信心大增,坚信认为 关于多个变元的情形, a1 ? a1 ? ? ? an ? a1a2 ?an . 我也一定能做,只不过解答过程稍微复杂而已。……

玩—看,赏: a ? b ? ab
“让我再看你一眼” ! (邓丽君所唱的) 跨界去,如何?! 代数式,即几何图形。 它是什么图形?

玩—看,赏: a ? b ? ab
回归到我们的来路,其中的解法: 由 a ? b ? a ? b ,得
(a ? 1)(b ? 1) ? 1 →认识到 xy ? 1

(这里令 a ? 1 ? x, b ? 1 ? y ) , 这是双曲线(如右图) ;

玩—看,赏: a ? b ? ab

还可以认识
x2 ? y 2 ? 2x ,

令 a ? x ? y, b ? x ? y ,得

即 ( x ?1)2 ? y2 ? 1 ,其双曲线如图。

玩—看,赏: a ? b ? ab
还可以得到一个“具有思维表现”的问题: “试给出一个二次曲线,在此曲线上只有两个整点(即坐标均为整数 的点) ” 。

玩—看,赏: a ? b ? ab
看 a ,变脸:若 a, 可以是 sin ? ,那么就可以得到“小巧玲珑”题: 设 ? , ? ?[0, ? ] ,满足 sin ? ? sin ? ? sin ? sin ? ,求 cos(? ? ? ) 的值。

玩—看,赏: a ? b ? ab
看 a, b 的应用,可以得到如下小题: 设 a, b 是正整数,满足 a ? b ? ab ,若 a, b 是一个三角形的两边长, 求这个三角形第三边长的取值范围. ……

玩—看,赏: a ? b ? ab
? 可以继续玩下去,甚至可以玩到一些问题研究 的前沿(如和积方程的研究)

? “一道题做 `透’了,要远胜于做一百道 题。”

玩—看,赏: a ? b ? ab
? 总结玩中得到de 基本经验 ? (1)a在处处, a可变, a在深处是博大。 如,正整数→整数→实数→复数; 再如,三角式,…… ? (2)求多解,得类题; ? (3)一题问法可多样 ? (4)元数有限,可一般。 ? (5)跨界认识求通达。数形同一不能忘。 ? 常常画图“又一村!”

玩—看,赏: a ? b ? ab
? 感受到:

? 万花筒中仅几片, ? 看到精彩纷繁仅是变, ? “动则不动”繁化简。

三、几点建议
? (一)到高中,熟练三样基本宝贝 ? 玩熟: ? 一把剑 ? 一个A ? 一面镜

(一)到高中,熟练三样基本宝 贝
? 一把剑,倚天剑
? 生数轴; ? 生雌雄二剑,呈“横刀立马”之势,即 笛卡尔坐标系—直角坐标系; ? 生向量。

(一)到高中,熟练三样基本宝 贝
? ? ? ? ? ? 一个A(a),万象大千,爱在处处: 在数处—或是整数、有理数、实数、复数 在式上—或是有理式、无理式、函数式 或是向量 或是矩阵, 或是圆、椭圆、双曲线、抛物线、二次曲 线…… ? 或是球、柱、锥、台、…… ? 或是组合数、概率,……

(一)到高中,熟练三样基本宝 贝
? ? ? ? ? ? ? 一面镜 若球,拓扑玩转幼儿园,玩熟三维; 若盆盛数据,时代新生; 或镜生四象,光照八方; 或似圆的转动,随时光流曳,映生三角 或似沙盘,其上作业,翻转圆、二次曲线 对镜自问,一日三省,养批判性、创新性 思维能力

(二)做实“333工程”
? ? ? ? 做实“333工程” 读写三遍 熟用三招 坚守三问

(二)做实“333工程”
? 读写三遍
? 一读大概题类, ? 二读细节联通, ? 三读方法选择。 ? 最高境界:慢读(一)



总 有 f ? x? ≥ 0 f ? x ? ? ax3 ? 3x ? 1 对 于 x ???1 ,? 1 ▲ .



立,则 a = 读一:感觉

读二:列式,a ? ?; 求?的最大值 读三:见过,容易的,cos 3? ? 书上习题: 4cos
3

? ? 3cos? ? cos3?

(二)做实“333工程”
? 读写三遍
?

(二)做实“333工程”
? 读写三遍
? ? ? ? ? 写之匆,生乱涂,以省时; 一二再,烧心烦,堵通路,愁路长,…… 而丢之多 回首时,潸然泪…… 耍聪明,找借口,是非生—言:难!

(二)做实“333工程”
? 读写三遍
? 一写粗糙需添补, ? 二写简约无漏洞, ? 三写多法求类题, ? 感觉自己在提升 不信,去尝试!

(二)做实“333工程”
? 2. 熟用三招
? 1即2 ? 1即4 ? 1即a(n)

2. 熟用三招
1 即 2: 或常问“反过来”如何? 或“同理” , 如 : a2 ? b2 ? 2ab , 同 理 b2 ? c2 ? 2bc , c2 ? a2 ? 2ac , 得

a ? b ? c ? ab ? bc ? ca .
2 2 2

2. 熟用三招
1 即 4:或用四则运算, 如: AP ? PB ? c(c ? 0) → AP ? PB ? c , | AP ? PB |? c , → AP ? PB ? c , → AP ? PB ? c ,即 AP ? cPB

(1) AP ? PB ? c(c ? 0)

(2) | AP ? PB |? c

(3) AP ? PB ? c

可以引导学生利用几何画板来探索!

?

类椭圆

花生形

哑铃形
八字形

(4) AP ? cPB

(2008 年江苏省高考题)

2. 熟用三招
? 或用四类命题
? 即思考 ? 原命题、逆命题、否命题、逆否命题

2. 熟用三招
?
1 即 n:

a ? b ? c ? ab ? bc ? ca →(一般化)
2 2 2
2 a12 ? a2 ? ? ? an2 ? a1a2 ? a2a3 ? ? ? an?1an ? ana1 .

3. 坚守三问
? ? 坚持问:是什么?为什么?有什么用? ? 老外叫3W。
? 每学必三问,则课堂注意力容易集中,课堂效率 高; ? 努力去探索而自学,学得快!

(三)把“根”留住
? 1. 题有根。
? 理解题根,把握变化 ? 如,是否存在?求证,求~的值。 ? 犹如“一石三鸟”。

(三)把“根”留住
? ? 2. 学习之根,教材!

? 教材是的拐杖,是你的烦恼消解贴,是你破解难 题的利器。 ? 现在,教材常被孩子们冷落在一边,有的孩子3 年都不去用教材。

(三)把“根”留住
? ? 2. 学习之根,教材! ? ? 高考出题是根据什么出,肯定是根据指定的教材 来出,不是根据某家出版社的教辅材料来出。高 考的题目,几乎百分之百都可以在课本中找到原 型——当然经过很多层的综合和深化。 ? 《学习改变命运》李晓鹏,新世界出版社,2005 年10月。PP168~170

an?1 ? an ? d
? 教材中, a
n ?1

? an ? d

一个角度:d→f(n)可求和; 二个角度:通项求解—作差求和;迭代求和 三个角度:反过来,d 表示为:(n+1)-n; (n+1)2-n2;…;
(竞赛题常出)

an?1 ? an ? d
?
四个角度: an 变化多多: an ? c ; an ? f (n) ; an ? can?1 ;
c ;… an ? b

五个角度: “-”乃四则运算; 六个角度: “=” ,乃 ? , ? ,<, >; 七个角度: “=” ,乃“ ? ” 。

15.(本小题满分 14 分) 如图,摩天轮的半径为 50 m,点 O 距地面的高度为 60 m,摩天轮做匀速转动, 每 3 min 转一圈,摩天轮上点 P 的起始位置在最低点处. (1)试确定在时刻 t(min)时点 P 距离地面的高度; (2)在摩天轮转动的一圈内,有多长时间点 P 距离地面超过 85 m?

得分 ≤11.5 分

(四)回归“思考”
? ? “我思故我在”!
? 你的时间都到哪儿去了? “洗刷刷的要,但不要乱刷” ? 唱一曲“常回家看看”。 ? 让自己做到: 留点时间,留点空闲,留给思考, 不要仅顾着不明道理的刷题。

(五)简单的,做熟、做细
? ? “至繁归于至简”——乔布斯 ? “我一直重复同样地事情以求精进,我总是想往 能有所进步,我会继续向上,努力达到巅峰,但 没人知道巅峰在哪里” ——[日]《寿司之神》…… ? 成功很简单,但是简单的事情重复做,重复的事 情简单做就不简单了。([美]吉姆?罗恩)

(五)简单的,做熟、做细
? ? ? ? ? ? 容易地做熟了, 就没有难的了。 简单地做细了, 就没有复杂的了。
我做了,我成功。

? 细节决定成败 ? 心理决定难度 ? 基本决定高度

(六)放手你的孩子
? ? 从生物的小孩,成为有灵性的小孩,是一个系统 工程。但首要的因素是家庭,自然地也就是家长。 ? 何谓有灵性,简单地说,就是呈现为具有包容的、 明事理的、善于自我反思的、努力向上一种状态。 ? 一只蝴蝶乃是带着前世的种子投生到这个世界, 在它的种子里,有一个不可动摇的信念: “我将飞翔!……”

(六)放手你的孩子
? ? 让孩子自己成长:
? ? ? ? (1)需要支持时,你极力支持; (2)放弃为他的设计; (3)孩子接受新知识快,不要太把自己当专家; (4)不要把自己曾时的“建筑与土木工程”的缺 憾,强加于你的孩子身上,甚至虚荣心。 ? ……

(七)容纳教育
? 教育是一个圆形概念,方方面面都要兼顾 到。 ? 国家的强大,源自于教育,源自于每个公 民对教育的挚爱,源自于我们每位所应担 当的教育责任。 ? 作为学校教育,目前行进得不容易,请大 家给予充分的理解、支持。

(八)回归:实干
? ? ? ? ? ? 荀子《儒效篇》: 不问不若闻之; 闻之不如见之; 见之不若知之; 知之不若行之; 学至行之而止矣。

(八)回归:实干
? 付出多少与回报永远是成正比的! ? 记住如下公式: ? 爱因斯坦说:“A=X+Y+Z,A代表成功,X代表 艰苦的劳动,Y代表正确的方法,Z代表少说 空话。” ? 爱迪生说:“天才等于1%的灵感加99%的血 汗。”

(八)回归:实干
? 让我们埋下头,去尝试。 ? 英国诗人罗塞蒂的小诗“I’ll try”以共勉。 那个说“我想试试”的小孩,他将登上山巅; 那个说“我不成”的小孩,在山下停步不 前。 “我想试试”,每天办成很多事; “我不成”,就真一事无成。 因此,你务必说“我想试试”, 将“我不成”弃埃尘。

? 谢谢大家!

祝大家如意在马年!


推荐相关:

如何学好高中数学

如何学好高中数学葛军讲座回顾】编者注:3 月 30 日葛校长讲座内容丰富详实,小编为了便于大家阅读分享,节 选了其中部分内容,主要是针对高中生的建议,非常有...


江苏高考数学命题专家葛军:学好数学耍好“三件宝”

学好高中数学耍好三件宝热门名校校长、江苏高考数学学科命题组专家、中国数学奥 林匹克高级教练、新课标高中数学(苏教版)教材编写组核心成员葛军顶着众多闪亮的头衔...


第2章 函数

凤凰高中数学教学参考书配套教学软件_教材分析 第2章目标定位: 函数葛军 南京师范大学教师教育学院 1.函数是“通过建立数学模型来刻画与研究世界”的典范,也是学习...


舟山市第七届教师教育优秀论文评选获奖名单

浅析新课程下高中英语的探究性学习 提高预习实效 ...葛军海 杨海珍 张彩婷 章阿根 鲍艳艳 俞瑜 普陀...让学生学好、用好数学知识 反思促我成长 把率真...


数学论文

于是我不禁 感叹原来学好数学是需要有一好老师和适当的物质诱惑的。 高中有...这样的数学让我们怎么爱?一位网友对 数学帝写的词,名曰《江城子-葛军传奇》 :...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com