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高中数学极坐标与参数方程知识点


极坐标与参数方程知识点
(一)曲线的参数方程的定义: 在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x 、 y 都是某个变数 t 的函数,即

? x ? f (t ) ? ? y ? f (t )
并且对于 t 每一个允许值,由方程组所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上,那么方程 组就叫做这条曲线的参数方程,联系 x、y 之间关系的变数叫

做参变数,简称参数. (二)常见曲线的参数方程如下: 1.过定点(x0,y0) ,倾角为α 的直线:

x ? x0 ? t cos? y ? y0 ? t sin ?

(t 为参数)

其中参数 t 是以定点 P(x0,y0)为起点,对应于 t 点 M(x,y)为终点的有向线段 PM 的数量,又称为点 P 与点 M 间的有向距离. 根据 t 的几何意义,有以下结论. 1 .设 ○ A、B 是直线上任意两点,它们对应的参数分别为 tA 和 tB,则 AB = t B ?t A =

(t B ? t A ) 2 ? 4t A ? t B .
2 .线段 AB 的中点所对应的参数值等于 ○ 2.中心在(x0,y0) ,半径等于 r 的圆:

t A ? tB . 2

x ? x0 ? r cos? y ? y 0 ? r sin ?

( ? 为参数)

3.中心在原点,焦点在 x 轴(或 y 轴)上的椭圆:

x ? a cos? y ? b sin ?

( ? 为参数)

(或

x ? b cos? ) y ? a sin ?

中 心 在 点 ( x0,y0 ) 焦 点 在 平 行 于 x 轴 的 直 线 上 的 椭 圆 的 参 数 方 程

? x ? x0 ? a cos? , (?为参数) ? ? y ? y0 ? b sin ? .
4.中心在原点,焦点在 x 轴(或 y 轴)上的双曲线:

1

x ? a sec? y ? btg?

( ? 为参数)

(或

x ? btg? ) y ? asec?

5.顶点在原点,焦点在 x 轴正半轴上的抛物线:

x ? 2 pt 2 y ? 2 pt
直线的参数方程和参数的几何意义

(t 为参数,p>0)

过定点 P(x0,y0) ,倾斜角为 ? 的直线的参数方程是 (三)极坐标系

? x ? x 0 ? t cos? ? y ? y ? t sin ? 0 ?

(t 为参数) .

1、定义:在平面内取一个定点 O,叫做极点,引一条射线 Ox,叫做极轴,再选一个长度单 位和角度的正方向(通常取逆时针方向) 。对于平面内的任意一点 M,用ρ 表示线段 OM 的长 度,θ 表示从 Ox 到 OM 的角,ρ 叫做点 M 的极径,θ 叫做点 M 的极角,有序数对(ρ , θ ) 就叫做点 M 的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。
M

?
?

O

图1

x

2、极坐标有四个要素:①极点;②极轴;③长度单位;④角度单位及它的方向.极坐标与 直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点,在极坐标系下,一对有序实数 ? 、 ? 对应 惟一点 P( ? ,? ),但平面内任一个点 P 的极坐标不惟一.一个点可以有无数个坐标,这些 坐标又有规律可循的,P( ? ,? )(极点除外)的全部坐标为( ? , ? + 2k? )或( ? ? ,? +

(2k ? 1)? ) ,( k ? Z).极点的极径为 0,而极角任意取.若对 ? 、? 的取值范围加以限制.则
除极点外, 平面上点的极坐标就惟一了, 如限定 ? >0, 0≤ ? < 2? 或 ? <0,? ? < ? ≤ ? 等. 极坐标与直角坐标的不同是,直角坐标系中,点与坐标是一一对应的,而极坐标系中, 点与坐标是一多对应的.即一个点的极坐标是不惟一的. 3、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为: ⑴? ? ? 0 ⑷? ? ⑵? ?

a cos ?
a sin ?

⑶? ? ? ⑹? ?

a cos ?

a sin ?

⑸? ? ?

a cos(? ? ? )

2

M(? , ?
?



M

?
?

M

?
?

0

O

x

O

a

图1
? ? ?
0

a O

图2
? ?
a cos ?

图3
? ? ?
a cos ?
M(? , ?


M

?

a
?

?
O
M

?

O

a

a
O

N (a,? ) p

图4

图5
? ??

a ?? sin ?

a sin?

图6
??
a cos( ? ? ?)

4、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为 (a ? 0) : ⑴? ? a ⑷ ? ? 2a sin ? ⑵ ? ? 2a cos? ⑸ ? ? ?2a sin ? ⑶ ? ? ?2a cos?

? ? ?) ⑹ ? ? 2a cos(
M

a ?
?

M
?

?
x

M x

?
?

a

O

x

O

O

a

图1
? ? a
M a
?

图2
? ? 2 a cos ?
?

图3
? ? ?2a cos?

O

x

M

?

?
M
x

a

?
a
?

(a,? )

O

图4
? ? 2a sin ?

图5
? ? ?2asin?

O

x

图6
? ? 2a cos(? ? ? )

3

5、极坐标与直角坐标互化公式:

y

?
N x

( ,

)

?
?

M y H

? ? ? ? ? ? ?

x ? ? cos?

O

y ? ? sin?

? ? ? ? ? ? ?

x2 ? y2 ? ?2
y tan? ? ( x ? 0) x

(直极互化 图)

4


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