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北京市通州区2015届高三模拟考试(一)数学文试题 Word版含答案


通州区 2015 年高三年级模拟考试(一)

数学(文)试卷
2015 年 4 月 本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,共 150 分.考试时间长 120 分钟.考生务必将答案答在 答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷
合题目要求的一项.

(选择题 共 4

0 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出符

1.已知集合 A ? ?1, 2,3, 4? , B ? ?1,3, m? ,且 B ? A ,那么实数 m 的值是 A.2 B.4 C.2 或 4 D.1 或 3 2.已知 a ? b ? 0 ,那么下列不等式成立的是 A. 2b ? 2a ? 0 B. b 2 ? a 2 ? 0 C. b ? a
开始

D. 2 a ? 2b

3.已知某程序框图如图所示,那么执行该程序后 输出的结果是 A.

a =2 , i=1 i >4
否 是

1 2

B. 0

1 C. ? 2
D. ?1

a?a?

1 2

输出 a 结束

i = i+1

4.在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,已知 M , N 分别是 A1B1 , BB1 的中点,过 M , N ,

C1 的截面截正方体所得的几何体,如图所示,那么该几何体的侧视图是
D1 A1 M C1

D

N B

C

A

B

C

D

A

5.设 a ? ?1 , b ? 2log3 m ,那么“ a ? b ”是“ m ? A.充分不必要条件 C.充分必要条件

3 3

”的

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

-1-

6.将函数 f ? x ? ? sin ? x ?

? ?

??

? 的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 2 倍, 6?

所得图象的一条对称轴方程可能是 A. x ? ?

?
12

B. x ?

?
12

C. x ?

?
3

D. x ?

7.在正方形 ABCD 中,已知 AB ? 3 , E 是 CD 中点,那么 AE  · BD 等于 A.

uuu r uuu r

2? 3

27 2

B. 6

C.

9 2

D.

7 2

8.李江同学在某商场运动品专柜买一件运动服,获 100 元的代金券一张,此代金券可以用 于购买指定的价格分别为 18 元、30 元、39 元的 3 款运动袜,规定代金券必须一次性用 完,且剩余额不能兑换成现金. 李江同学不想再添现金,使代金券的利用率超过 95﹪, 不同的选择方式的种数是 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

第Ⅱ卷 (非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. 9.复数 z ? ? 2 ? i ? 在复平面内对应的点在第_____象限.
2

10.某同学 7 次考试的分数的茎叶图如图所示,这名同学 7 次考试的分数的平均数是 86 , 那么 m ? _________. 11.圆心为 ? ?1, 2 ? ,且与 y 轴相切的圆的方程是__________. 12 . 已 知 双 曲 线 C :

7 8 8 4 5 5 8 9 9 m

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 两 个 焦 点 分 别 为 F1 ?2 5, 0 , a 2 b2

?

?

F2 2 5, 0 ,离心率为

?

?

5 ,那么双曲线 C 的渐近线方程是_________;若点 P 为双 2

曲线 C 右支上一点,则 PF 1 ? PF 2 ? _______. 13.如图,阴影部分(包括边界)为平面区域 D ,若点 y 2 1 在区间 ? ??, 2? -1 0 1 x

P ? x , y ? 在区域 D 内,则 z ? x ? 2 y 的最小值是______;

x , y 满足的约束条件是_______.
14.已知函数 f ? x ? ? ?

?ax2 ? 3x ? 1, x ? 0, ?ax ? 3, x ? 0

上至少有 2 个零点,那么实数 a 的取值范围是_______.

-2-

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本题满分 13 分) 在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ,已知 c ? 5 , B ? 的面积是

2? 3

, ?ABC

15 3 4

.

(Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)求 sin A 的值. 16. (本题满分 13 分) 由于雾霾日趋严重,政府号召市民乘公交出行.但公交车的数量太多会造成资源的浪 费,太少又难以满足乘客需求.为此,某市公交公司在
160 名乘客中进行随机抽样,共抽取 20 人进行调查反

组别 1 2 3 4

候车时间 [0,5) [5,10) [10,15) [15,20)

人数 2 4 8 6

馈,将他们的候车时间作为样本分成 4 组,如表所示 (单位:分钟) : (Ⅰ)估计这 160 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数; (Ⅱ)若从上表第 1 组、第 2 组的 6 人中选 2 人进行问卷 调查,求抽到的 2 人恰好来自不同组的概率.

17. (本题满分 13 分) 已知数列 ?an ? 是公差不为 0 的等差数列, a1 ? 2 ,且 a1 , a3 , a11 成等比数列. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? an ? 2 ?
n

1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . 2

18. (本题满分 14 分) 如 图,四 棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中 , AA1 ? 底面 ABCD, 底面 ABCD 是 梯形 ,

AB // DC , ?BAD ? 90? , AB ? AD ?
(Ⅰ)求证: CC1 ? BD ; (Ⅱ)求证:平面 BCC1 ? 平面 BDC1 ; (Ⅲ)在线段 C1 D1 上是否存在一点 P ,

1 CD. 2
D1 A1 D A B B1 C C1

使 AP // 平面 BDC1 . 若存在,请确定点 P 的位置;若不存在,请说明理由.

-3-

19. (本题满分 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点是 F ? 2 , 0 , 上顶点是 B , 且 BF ? 2 . a 2 b2

?

?

过点 P ? 0, ?1? 的直线 l 与椭圆 C 交于 M , N 两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若 MP ? 3PN ,求直线 l 的方程.

uuu r

uuu r

20. (本题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? x ? ln x ?1, g ? x ? ?

x2 ? mx ? mf ? x ? ? m ? R ? . 2

(Ⅰ)求曲线 y ? f ? x ? 在 1, f ?1? 处的切线方程; (Ⅱ)求 g ? x ? 的单调区间; (Ⅲ)当 1 ? m ? 3 , x ? ?1, e ? 时,求证: g ? x ? ? ?

?

?

3 ?1 ? ln 3? . 2

高三数学(文科)一模考试参考答案
2015 年 4 月 一.选择题: 题号 答案 二.填空题: 9.四 10. 1 C 2 D 3 B 4 B 5 C 6 D 7 C 8 A

3

11.

? x ? 1?
? ?

2

? ? y ? 2? ? 1
2

1 12. y ? ? x , 8 2
三.解答题: 15. (本小题 13 分)

? 2 x ? y ? 2 ? 0, ? 13. ?1 , ? x ? 0, ? y ? 0. ?

14. ? 0 , ? 4

9? ?

解: (Ⅰ)因为 ?ABC 的面积是

2? 15 3 ,c ? 5 , B ? , 3 4

-4-

所以

1 15 3 1 3 15 3 ac sin B ? . 即 a ?5? ? . 2 4 4 2 2
???????? 5 分
2 2 2

所以 a ? 3. 由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B , 得 b ? 25 ? 9 ? 2 ? 5 ? 3 ? cos
2

2? ? 49. 3
???????? 9 分

所以 b ? 7.

a b ? . (Ⅱ)由正弦定理 sin A sin B
所以 sin A ?

3 3 3 3 ? ? . 7 2 14

???????? 13 分

16. (本题 13 分)

8?6 ? 112. 20 所以估计这 160 名乘客中候车时间不少于 10 分钟的人数是 112 人. ?????? 4 分
(Ⅰ) 160 ? (Ⅱ)第 1 组有 2 人,分别记为 A 1 , A2 ,第 2 组有 4 人,分别记为 B 1 , B2 , B3 , B4 , ???????? 6 分 所以 6 人中选 2 人, 有?A ? A1, B1 ? ,? A1, B2 ? ,? A1, B3 ? ,? A1, B4 ? ,? A2 , B1 ? ,? A2 , B2 ? , 1, A 2?,

? A2 , B3 ? ,? A2 , B4 ? ,? B1, B2 ? ,? B1, B3 ? ,? B1, B4 ? ,? B2 , B3 ? ,? B2 , B4 ? ,? B3 , B4 ? 共15 种
情况,且每种情况出现的可能性相同. ???????? 10 分 其中抽到的 2 人恰好来自不同组的有 ? A 1 , B2 ? , ? A 1 , B3 ? , ? A 1 , B4 ? , ? A 2, B 1? , 1, B 1? , ? A

? A2 , B2 ? , ? A2 , B3 ? , ? A2 , B4 ? 共 8 种情况.
所以抽到的 2 人恰好来自不同组的概率是

???????? 12 分 ???????? 13 分

8 . 15

17. (本小题 13 分)

解: (Ⅰ)因为数列 ?an ? 是等差数列,设公差为 d , 所以 a3 ? a1 ? 2d ? 2 ? 2d . a11 ? 2 ? 10d. 因为 a1 , a3 , a11 成等比数列, 所以 a32 ? a1 ? a11. 即 ? 2 ? 2d ? ? 2 ? ? 2 ? 10 d ? .
2

???????? 2 分

???????? 3 分

-5-

所以 d ? 3d ? 0.
2

所以 d ? 0 ,或 d ? 3. 因为 d ? 0 , 所以 d ? 3. 所以 an ? 2 ? 3? n ?1? ? 3n ?1. (Ⅱ) 因为 bn ? an ? 2 ?
n

???????? 4 分

???????? 5 分 ???????? 6 分

1 , 2
???????? 7 分

所以 bn ? 3n ? 2 ?
n

3 . 2

所以 Tn ? b1 ? b2 ?

3? ? 3? ? ? bn ? ? 3 ? 2 ? ? ? ? 6 ? 22 ? ? ? 2? ? 2? ?
3 ? 2n ? ? n 2

3? ? ? ? 3n ? 2n ? ? 2? ?
???????? 10 分

? ?3 ? 6 ?

? 3n ? ? ? 2 ? 22 ?

? 3n2 ? 3n ? 3 n ?1 ?? ? ? ? 2 ? 2? ? n 2 2 ? ?
? 3 2 n ? 2n ?1 ? 2. 2 3 2 n ? 2n ?1 ? 2. 2
???????? 13 分

所以数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ?

18. (本小题 14 分) 证明: (Ⅰ)因为 AA1 ? 底面 ABCD , 所以 CC1 ? 底面 ABCD , 因为 BD ? 底面 ABCD , 所以 CC1 ? BD. ???????? 4 分

(Ⅱ)因为底面 ABCD 是梯形, AB // DC , ?BAD ? 90? , AB ? AD ? 所以不妨设 AB ? 1 ,所以 AD ? 1 , CD ? 2. 所以 BD ? 2 , BC ? 2. 所以在 ?BCD 中, BD ? BC ? CD .
2 2 2

1 CD. 2

所以 ?CBD ? 90?. 所以 BD ? BC. 又因为 CC1 ? BD. 所以 BD ? 平面 BCC1. 因为 BD ? 平面 BDC1 , 所以平面 BCC1 ? 平面 BDC1. ???????? 9 分

-6-

(Ⅲ)取线段 C1 D1 的中点为点 P ,连结 AP , 所以 C1P // CD ,且 C1 P ? 因为 AB // DC , AB ?

1 CD. 2

1 CD. 2

所以 C1P // AB ,且 C1 P ? AB. 所以四边形 ABC1 P 是平行四边形. 所以 AP // BC1. 又因为 BC1 ? 平面 BDC1 , AP ? 平面 BDC1 , 所以 AP // 平面 BDC1. 所以在线段 C1 D1 上存在一点 P ,使 AP // 平面 BDC1 ,且点 P 是 C1 D1 的中点. ???????? 14 分 19. (本小题 13 分) 解: (Ⅰ)因为椭圆 C 的左焦点是 F1 ? 2 , 0 ,且 B1F1 ? 2 , 所以 c ?
2

?

?

2 , a ? 2.
2 2 2

所以由 a ? b ? c ,得 b ? 2.

x2 y 2 ? ? 1. 所以椭圆 C 的标准方程是 4 2
(Ⅱ)若直线 l 的斜率不存在,显然不成立.

???????? 4 分 ???????? 5 分

若直线 l 的斜率存在,设直线 l 的斜率为 k ,所以直线 l 的方程是 y ? kx ? 1.

? y ? k ? x ? 1? , ? 2 2 联立方程组 ? x 2 y 2 消去 y ,得 ?1 ? 2k ? x ? 4kx ? 2 ? 0. ? 1, ? ? ?4 2
???????? 6 分 设点 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? , 所以 x1 ? x2 ?

?4 k ?2 . , x1 ? x2 ? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

???????? 7 分

因为 MP ? 3PN , 所以 x1 ? ?3x2 . ???????? 10 分

-7-

所以 ?2 x2 ? 所以 ?3 ?

?4k ?2 2 . , ?3 x2 ? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

?1 ? 2k ?

4k 2

2 2

?

?2 . 1 ? 2k 2

12k ? 2. 1 ? 2k 2 1 所以 k ? ? . 2
所以 所以直线 l 的方程是 x ? 2 y ? 2 ? 0 ,或 x ? 2 y ? 2 ? 0 .

???????? 12 分 ???????? 13 分

20. (本题 14 分) 解: (Ⅰ)因为 f ? x ? ? x ? ln x ?1 , 所以 f ? ? x ? ? 1 ? 所以 f ?1? ? 0 , f ? ?1? ? 0. 所以切线方程是 y ? 0. ???????? 3 分

1 . x

x2 ? mx ? mf ? x ? , (Ⅱ)因为 f ? x ? ? x ? ln x ?1 , g ? x ? ? 2
所以 g ? x ? ?

x2 ? m ln x ? m ? x ? 0 ? . 2 m x2 ? m ? . x x
???????? 4 分

所以 g ? ? x ? ? x ?

① 当 m ? 0 时, g? ? x ? ? 0. 所以 g ? x ? 的单调递增区间是 ? 0, ?? ? ,无单减递增区间. ???????? 5 分

②当 m ? 0 时,令 g? ? x ? ? 0 ,得 x ? m ;令 g? ? x ? ? 0 ,得 0 ? x ? m. ???????? 7 分 所以 g ? x ? 的单调递增区间是

?

m , ?? ,单减递增区间是 0, m .
???????? 8 分

?

?

?

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 1 ? m ? 3 , x ? ?1, e ? , g ? x ? 的导数和函数值变化情况如下图

x

?1, m ?
-8-

m

?

m, e

?

g? ? x ?
g ? x?
所以 g ? x ? 的最小值是 g 令 h ?m? ? ?

?
递减

0
极小值

?
递增

m ? ln m. ? m? ? ? m 2 2

???????? 10 分

m m 1 ? ln m. 所以 h? ? m ? ? ?1 ? ln m. 2 2 2 因为 1 ? m ? 3 , 所以 ln m ? 0.
所以 h? ? m? ? 0. 所以 h ? m ? 在 ?1, 3? 上单调递减. 所以 h ? m ? ? h ? 3 ? ? ? ???????? 12 分

3 3 ? ln 3. 2 2

3 3 3 ? ln 3 ? ? ?1 ? ln 3 ? . 2 2 2 3 综上所述,当 1 ? m ? 3 , x ? ?1, e ? 时, g ? x ? ? ? ?1 ? ln 3 ? . ???????? 14 分 2
所以当 1 ? m ? 3 , x ? ?1, e ? 时, g ? x ? ? ?

-9-


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