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高中数学一轮复习练习册教师版


高中理科数学一轮复习
练习册

2015-8-14(时间)
SAMPSONZHANG(作者姓名) Version _1.0.1.0(版本号)

序言
本套资料是从网上经过整理得到的,通过 word2013 和 mathtype 进行编写和整理,正文 5 号字,标题 和副标题作为章、节,希望最终能呈现一套内容

充实,层次递进的高中数学一轮复习练习册。 本套资料是适用于高中数学人教 A 版的老师和同学,每一小节都分为三个板块,分别是 A 组夯实基 础,B 组能力提升,C 组拓展训练。最后还有一个章末练习,章末练习主要是针对各章节的联系而设立的 所以章末练习不要拘泥于本章节所讲的内容,更重要的是创建更多的跨章节内容是得学生知道,高考的每 一个题的考点来自于不同的地方,每个章节都有千丝万缕的联系。 将此套资料放于网上,希望通过大家的合作来使这套资料在使用上,更加的有用,不论是学生还是老 师都能能够在使用后又所收获。 为了使大家能得到最新的资料,请各位编写者,将资料的文件名后面的版本号一同改写,然后再上传 与网上,以便使用者和在改写者有更加明确的认识。 本资料的使用上是为高三的学生提供一套练习册和给老师特别是新手老师提供一个教学思路。所以希 望在编写内容上做到 A 组题能完全的概括本节的学习内容, 在认真完成 B 组题后能使那些成绩中等的同学 更上一层楼,C 组题目是给那些成绩拔尖的学生,使他们的成绩更加的出色。最终希望达到的效果是,资 料上的题会做,那考试的题也全会做。 也希望使用这套资料的老师提出宝贵的意见,使资料在实际应用中发挥更加好的作用。 以下是希望通过版本控制,来使整个的练习册完善。 版本 1.x.x.x 是初始版本希望的是将整个的练习册的内容完善,对于格式不做要求。特别是对章节的分 布和各章节下的内容大纲进行优化并确立基本的编写指导方针。 版本 2.x.x.x 是对内容的合理性进行深度的总结和完善。对整个练习册的各章节的练习题深度优化,确 定每一小节,学生所要完成的目标。 版本 3.x.x.x 是对内容进行校对和格式进行完善,使之达到正确和美观的效果。 (PS.以上是小生的浅薄意见,希望各位拿出宝贵的意见,使资料更加的完善并且有效,还有就是太讨 厌上网找资料,很多时候都是好的资料不全,要不就是质量和差还有就是要钱) 最后请给位改写者一定要标明版本号,还有就是简要的说明改写了那些内容以免重复。还有就是请给 位改写这及时上网查询最新的版本。 如有重复的版本大家可以取长补短互相参考,共同提高。

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第一轮复习

目录(contents)

第一节正弦定理与余弦定理 .................................................

第二节正弦定理、余弦定理的应用 .....................................

序言 .................................................................................................................................................. 0 第三节章末测试 .....................................................................

第一章集合 ...................................................................................................................................... 1 第八章数列 .....................................................................................

第一节集合的含义、表示及基本关系 .................................................................................. 1 第一节数列的概念 .................................................................

第二节集合的基本运算 .......................................................................................................... 3 第二节等差数列 .....................................................................

第三节章末测试题 .................................................................................................................. 6 第三节等比数列 .....................................................................

第四节数列的综合应用 ......................................................... 第二章函数 ...................................................................................................................................... 7

第五节章末测试 ..................................................................... 第一节对函数的进一步认识 .................................................................................................. 7

第二节函数的单调性 ............................................................................................................ 11 第九章平面向量 .............................................................................

第三节函数的性质 ................................................................................................................ 15 第一节平面向量的概念和线性运算 .....................................

第四节章末测试题 ................................................................................................................ 19 第二节平面向量的数量积 .....................................................

第三节向量的坐标运算 ......................................................... 第三章指数函数和对数函数 ........................................................................................................ 20

第四节平面向量的应用 ......................................................... 第一节指数函数 .................................................................................................................... 20 第五节章末测试 ..................................................................... 第二节对数函数 .................................................................................................................... 24

第三节幂函数与二次函数的性质 ........................................................................................ 28 第十章算法 .....................................................................................

第四节函数的图像特征 ........................................................................................................ 33 第一节程序框图 .....................................................................

第五节章末测试题 ................................................................................................................ 38 第二节程序语句 .....................................................................

第四章函数应用 ............................................................................................................................ 39 第十一章概率 .................................................................................

第一节一次函数、二次函数和复合函数 ............................................................................ 39 第一节古典概型 .....................................................................

第二节函数的应用 ................................................................................................................ 45 第二节概率的应用 .................................................................

第三节几何概型 ..................................................................... 第五章三角函数 ............................................................................................................................ 52

第一节角的概念的推广与弧度制 ........................................................................................ 52 第十二章不等式 ............................................................................. 第二节正弦函数和余弦函数的定义及诱导

第一节不等式的性质与解法 ................................................. 公式 ........................................................................................................................................ 55 第二节一般不等式 .................................................................

第三节正弦函数与余弦函数的图像与性质 ........................................................................ 58 第三节二元一次不等式和线性规划 .....................................

第四节章末测试 ..................................................................... 第四节函数 f ? x ? ? A sin(? x ? ? ) 的图像......................................................................... 62

第十三章导数 ................................................................................. 第五节三角函数章末测试 .................................................................................................... 67

第一节导数的概念 ................................................................. 第六章三角恒等变形 .................................................................................................................... 68 第二节利用导数研究函数的性质 ......................................... 第一节同角三角函数的基本关系 ........................................................................................ 68 第四节导函数与极值和最值 ................................................. 第二节两角和与差及二倍角的三角函数 ............................................................................ 71 第五节导函数与恒成立 ......................................................... 第三节章末测试 .................................................................................................................... 74 第六节导数的实际应用 ......................................................... 第七章解三角形 ............................................................................................................................ 75 第五节章末测试 .....................................................................
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第十四章立体几何 ...................................................................................................................... 244 第二节空间向量证明平行和垂直 .........................................

第一节简单几何体 .............................................................................................................. 第三节空间的夹角和距离 244 .....................................................

第二节空间图形的基本关系与公理 .................................................................................. 249 第十八章常用逻辑用语和复数 ..................................................... 第三节平行关系 .................................................................................................................. 254 第一节充要条件 ..................................................................... 第四节垂直关系 .................................................................................................................. 259 第二节逻辑关联词 ................................................................. 第五节简单几何体的面积和体积 ...................................................................................... 264 第三节复数概念与运算 .........................................................

第十五章解析几何 ...................................................................................................................... 270 第十九章计数原理 ......................................................................... 第一节直线的倾斜角、斜率及方程 .................................................................................. 270 第一节分类计数原理和分步计数原理 ................................. 第二节点与直线、直线与直线的位置关系 ...................................................................... 273 第二节排列与组合 ................................................................. 第三节圆的标准方程和一般方程 ...................................................................................... 276 第三讲二项式定理 ................................................................. 第四节直线与圆、圆与圆的位置关系 .............................................................................. 280 第二十二章随机变量及其分布 285 ..................................................... 第五节空间直角坐标系 ......................................................................................................

第一节事件与概率 ................................................................. 第十六章圆锥曲线 ...................................................................................................................... 289 第二节随机变量及其分布 ..................................................... 第一节椭圆的方程与性质 .................................................................................................. 289 第三节相关关系、回归分析与独立性检验 ......................... 第二节双曲线的方程及性质 .............................................................................................. 302 第二十三章选修 4 系列 ................................................................. 第三节抛物线的方程及性质 .............................................................................................. 314

第一节几何证明题 ................................................................. 第四节圆锥曲线的综合问题 .............................................................................................. 325 第二节坐标系与参数方程 ..................................................... 第十七章空间向量与立体几何 .................................................................................................. 338 第三节不等式选讲 ................................................................. 第一节空间向量及其运算 .................................................................................................. 338

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第一章集合 第一节集合的含义、表示及基本关系
基础练习
1.已知 A ? ?1, 2? , B ? {x | x ? A} ,则集合 A 与 B 的关系为________. 解析:由集合 B ? {x | x ? A} 知, B ? ?1, 2? .答案: A ? B 2.若 ? ? {x | x2 ? a, a ? R} ,则实数 a 的取值范围是________. 解析:由题意知, x2 ? a 有解,故 a ? 0 .答案: a ? 0 3.已知集合 A ? y y ? x2 ? 2x ? 1, x ? R ,集合 B ? ?x ? 2 ? x ? 8? ,则集合 A 与 B 的关系是________. 解析: y ? x2 ? 2x ? 1 ? ( x ? 1)2 ? 2 ? ?2 ,∴ A ? ? y | y ? ?2? ,∴ B ? A .答案: B ? A . 4.已知全集 U ? R ,则正确表示集合 M ? ??1,0,1? 和 N ? x x2 ? x ? 0 关系的韦恩(Venn)图是________.

?

?

?

?

解析:由 N ? x | x2 ? x ? 0 ,得 N ? ??1,0? ,则 N ? M .答案:② 5.已知集合 A ? ? x | x ? 5? ,集合 B ? ? x | x ? a? ,若命题“ x ? A ”是命题“ x ? B ”的充分不必要条件,则实数

?

?

a 的取值范围是________.
解析:命题“ x ? A ”是命题“ x ? B ” 的充分不必要条件,∴ A ? B ,∴ a ? 5 .答案: a ? 5 6.已知 m ? A , n ? B ,且集合 A ? ?x x ? 2a, a ? Z ? , B ? ?x x ? 2a ? 1, a ? Z ? ,又 C ? ?x x ? 4 a ?1 ,a ?Z 判断 m ? n 属于哪一个集合? 解析: ∵m? A, ∴设 m ? 2a1 ,a1 ? Z , 又∵ n ? B , ∴设 n ? 2a2 ? 1 ,a2 ? Z , ∴ m ? n ? 2(a1 ? a2 ) ? 1 , 而 a1 ? a2 ? Z ,∴ m ? n ? B .

?,

能力提升
1.设 a,b 都是非零实数, y ?
a b ab ? ? 可能取的值组成的集合是________. | a | | b | | ab |

解析:分四种情况:(1)a>0 且 b>0;(2)a>0 且 b<0;(3)a<0 且 b>0;(4)a<0 且 b<0,讨论得 y=3 或 y =-1.答案:{3,-1} 2.已知集合 A ? ??1,3, 2m ? 1? ,集合 B ? 3, m2 .若 B ? A ,则实数 m ? ________. 解析:∵B?A,显然 m2≠-1 且 m2≠3,故 m2=2m-1,即(m-1)2=0,∴m=1.答案:1

?

?

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3.设 P,Q 为两个非空实数集合,定义集合 P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},若 P={0,2,5},Q={1,2,6},则 P+Q 中元素的个数是________个. 解 析 : 依 次 分 别 取 a = 0,2,5 ; b = 1,2,6 , 并分 别求 和 , 注 意 到 集 合 元 素的 互 异 性 , ∴ P + Q = {1,2,6,3,4,8,7,11}.答案:8 4.已知集合 M={x|x2=1},集合 N={x|ax=1},若 N?M,那么 a 的值是________. 1 解析:M={x|x=1 或 x=-1},N?M,所以 N=?时,a=0;当 a≠0 时,x= =1 或-1,∴a=1 或- a 1.答案:0,1,-1 5.满足{1} A?{1,2,3}的集合 A 的个数是________个.

解析:A 中一定有元素 1,所以 A 有{1,2},{1,3},{1,2,3}.答案:3 1 b 1 c 1 6.已知集合 A={x|x=a+ ,a∈Z},B={x|x= - ,b∈Z},C={x|x= + ,c∈Z},则 A、B、C 之间 6 2 3 2 6 的关系是________. 解析:用列举法寻找规律.答案:A B=C

7.集合 A={x||x|≤4,x∈R},B={x|x<a},则“A?B”是“a>5”的________. 解析:结合数轴若 A?B?a≥4,故“A?B”是“a>5”的必要但不充分条件.答案:必要不充分条件 8.设集合 M={m|m=2n,n∈N,且 m<500},则 M 中所有元素的和为________. 解析:∵2n<500,∴n=0,1,2,3,4,5,6,7,8.∴M 中所有元素的和 S=1+2+22+…+28=511.答案:511 9. 设 A 是整数集的一个非空子集, 对于 k∈A, 如果 k-1?A, 且 k+1?A, 那么称 k 是 A 的一个“孤立元”. 给 定 S={1,2,3,4,5,6,7,8},由 S 的 3 个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有________个. 解析:依题可知,由 S 的 3 个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”,这三个元素一定是相连的三个 数.故这样的集合共有 6 个.答案:6 10.已知 A ? ?x, xy,lg ? xy ?? , B ? ?0, x , y? ,且 A ? B ,试求 x,y 的值. 解:由 lg ? xy ? 知,xy>0,故 x≠0,xy≠0,于是由 A=B 得 lg(xy)=0,xy=1. 1 ∴A={x,1,0},B={0,|x|, }. x 1 于是必有|x|=1, =x≠1,故 x=-1,从而 y=-1. x 11.已知集合 A={x|x2-3x-10≤0}, (1)若 B?A,B={x|m+1≤x≤2m-1},求实数 m 的取值范围; (2)若 A?B,B={x|m-6≤x≤2m-1},求实数 m 的取值范围; (3)若 A=B,B={x|m-6≤x≤2m-1},求实数 m 的取值范围. 解:由 A={x|x2-3x-10≤0},得 A={x|-2≤x≤5}, (1)∵B?A,∴①若 B=?,则 m+1>2m-1,即 m<2,此时满足 B?A.

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m+1≤2m-1, ? ? ②若 B≠?,则?-2≤m+1, ? ?2m-1≤5.

解得 2≤m≤3.

由①②得,m 的取值范围是(-∞,3]. 2m-1>m-6, ? ? (2)若 A?B,则依题意应有?m-6≤-2, ? ?2m-1≥5. ∴m 的取值范围是[3,4].
? ?m-6=-2, (3)若 A=B,则必有? 解得 m∈?.,即不存在 m 值使得 A=B. ?2m-1=5, ?

m>-5, ? ? 解得?m≤4, 故 3≤m≤4, ? ?m≥3.

12.已知集合 A={x|x2-3x+2≤0},B={x|x2-(a+1)x+a≤0}. (1)若 A 是 B 的真子集,求 a 的取值范围; (2)若 B 是 A 的子集,求 a 的取值范围; (3)若 A=B,求 a 的取值范围. 解:由 x2-3x+2≤0,即(x-1)(x-2)≤0,得 1≤x≤2,故 A={x|1≤x≤2}, 而集合 B={x|(x-1)(x-a)≤0}, (1)若 A 是 B 的真子集,即 A?B,则此时 B={x|1≤x≤a},故 a>2.

(2)若 B 是 A 的子集,即 B?A,由数轴可知 1≤a≤2. (3)若 A=B,则必有 a=2

第二节集合的基本运算
A组
1.设 U=R,A={x|x>0},B={x|x>1},则 A∩?UB=____. 解析:?UB={x|x≤1},∴A∩?UB={x|0<x≤1}.答案:{x|0<x≤1} 2.设集合 A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集 U=A∪B,则集合?U(A∩B)中的元素共有________个. 解析:A∩B={4,7,9},A∪B={3,4,5,7,8,9},?U(A∩B)={3,5,8}.答案:3 3.已知集合 M={0,1,2},N={x|x=2a,a∈M},则集合 M∩N=________. 解析:由题意知,N={0,2,4},故 M∩N={0,2}.答案:{0,2} 4.设 A,B 是非空集合,定义 A? B={x|x∈A∪B 且 x?A∩B},已知 A={x|0≤x≤2},B={y|y≥0},则 A? B =________. 解析:A∪B=[0,+∞),A∩B=[0,2],所以 A? B=(2,+∞). 答案:(2,+∞)
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5.某班共 30 人,其中 15 人喜爱篮球运动,10 人喜爱乒乓球运动,8 人对这 两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________. 解析:设两项运动都喜欢的人数为 x,画出韦恩图得到方程 15-x+x+10-x+8=30 动但不喜爱乒乓球运动的人数为 15-3=12(人).答案:12 6.已知集合 A={x|x>1},集合 B={x|m≤x≤m+3}. (1)当 m=-1 时,求 A∩B,A∪B; (2)若 B?A,求 m 的取值范围. 解:(1)当 m=-1 时,B={x|-1≤x≤2},∴A∩B={x|1<x≤2},A∪B={x|x≥-1}.(2)若 B?A,则 m>1, 即 m 的取值范围为(1,+∞) x=3,∴喜爱篮球运

B组
1.若集合 M={x∈R|-3<x<1},N={x∈Z|-1≤x≤2},则 M∩N=________. 解析:因为集合 N={-1,0,1,2},所以 M∩N={-1,0}.答案:{-1,0} 2.已知全集 U={-1,0,1,2},集合 A={-1,2},B={0,2},则(?UA)∩B=________. 解析:?UA={0,1},故(?UA)∩B={0}.答案:{0} 3.若全集 U=R,集合 M={x|-2≤x≤2},N={x|x2-3x≤0},则 M∩(?UN)=________. 解析:根据已知得 M∩(?UN)={x|-2≤x≤2}∩{x|x<0 或 x>3}={x|-2≤x<0}.答案:{x|-2≤x<0} 4.集合 A={3,log2a},B={a,b},若 A∩B={2},则 A∪B=________. 解析:由 A∩B={2}得 log2a=2,∴a=4,从而 b=2,∴A∪B={2,3,4}. 答案:{2,3,4} 5.已知全集 U=A∪B 中有 m 个元素,(?UA)∪(?UB)中有 n 个元素.若 A∩B 非空,则 A∩B 的元素个数为 ________. 解析:U=A∪B 中有 m 个元素, ∵(?UA)∪(?UB)=?U(A∩B)中有 n 个元素,∴A∩B 中有 m-n 个元素. 答案:m-n 6. 设 U={n|n 是小于 9 的正整数}, A={n∈U|n 是奇数}, B={n∈U|n 是 3 的倍数}, 则?U(A∪B)=________. 解析:U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5,7},B={3,6},∴A∪B={1,3,5,6,7}, 得?U(A∪B)={2,4,8}.答案:{2,4,8} x 7.定义 A?B={z|z=xy+ ,x∈A,y∈B}.设集合 A={0,2},B={1,2},C={1},则集合(A?B)?C 的所 y 有元素之和为________. 解析:由题意可求(A?B)中所含的元素有 0,4,5,则(A?B)?C 中所含的元素有 0,8,10,故所有元素之 和为 18.答案:18 8.若集合{(x,y)|x+y-2=0 且 x-2y+4=0}?{(x,y)|y=3x+b},则 b=________.
? ? ?x+y-2=0, ?x=0, 解析:由? ?? 点(0,2)在 y=3x+b 上,∴b=2. ?x-2y+4=0. ?y=2. ? ? 4

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9.设全集 I={2,3,a +2a-3},A={2,|a+1|},?IA={5},M={x|x=log2|a|},则集合 M 的所有子集是 ________. 解析:∵A∪(?IA)=I,∴{2,3,a2+2a-3}={2,5,|a+1|},∴|a+1|=3,且 a2+2a-3=5,解得 a= -4 或 a=2,∴M={log22,log2|-4|}={1,2}. 答案:?,{1},{2},{1,2} 10.设集合 A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0}. (1)若 A∩B={2},求实数 a 的值; (2)若 A∪B=A,求实数 a 的取值范围. 解:由 x2-3x+2=0 得 x=1 或 x=2,故集合 A={1,2}. (1)∵A∩B={2},∴2∈B,代入 B 中的方程,得 a2+4a+3=0?a=-1 或 a=-3;当 a=-1 时,B ={x|x2-4=0}={-2,2},满足条件;当 a=-3 时,B={x|x2-4x+4=0}={2},满足条件;综上,a 的值 为-1 或-3. (2)对于集合 B,Δ=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3).∵A∪B=A,∴B?A, ①当 Δ<0,即 a<-3 时,B=?满足条件;②当 Δ=0,即 a=-3 时,B={2}满足条件;③当 Δ>0,即 a>-3 时,B=A={1,2}才能满足条件,则由根与系数的关系得

? ?1+2=-2(a+1) ?a=-2, ? ? ? ? 2 ?1× 2=a -5 ? ? 2 ?a =7,
11.已知函数 f ? x ? ?

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矛盾.综上,a 的取值范围是 a≤-3.

6 ? 1 的定义域为集合 A,函数 g ? x ? ? lg(?x2 ? 2x ? m) 的定义域为集合 B. x ?1

(1)当 m=3 时,求 A∩(?RB); (2)若 A∩B={x|-1<x<4},求实数 m 的值. 解:A={x|-1<x≤5}. (1)当 m=3 时,B={x|-1<x<3},则?RB={x|x≤-1 或 x≥3}, ∴A∩(?RB)={x|3≤x≤5}. (2)∵A={x|-1<x≤5},A∩B={x|-1<x<4}, ∴有-42+2× 4+m=0,解得 m=8,此时 B={x|-2<x<4},符合题意. 12.已知集合 A={x∈R|ax2-3x+2=0}. (1)若 A=?,求实数 a 的取值范围; (2)若 A 是单元素集,求 a 的值及集合 A; (3)求集合 M={a∈R|A≠?}. 解:(1)A 是空集,即方程 ax2-3x+2=0 无解. 2 若 a=0,方程有一解 x= ,不合题意. 3 9 若 a≠0,要方程 ax2-3x+2=0 无解,则 Δ=9-8a<0,则 a> . 8
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9 综上可知,若 A=?,则 a 的取值范围应为 a> . 8 2 2 (2)当 a=0 时,方程 ax2-3x+2=0 只有一根 x= ,A={ }符合题意. 3 3 9 当 a≠0 时,则 Δ=9-8a=0,即 a= 时, 8 4 4 方程有两个相等的实数根 x= ,则 A={ }. 3 3 2 9 4 综上可知,当 a=0 时,A={ };当 a= 时,A={ }. 3 8 3 2 (3)当 a=0 时,A={ }≠?.当 a≠0 时,要使方程有实数根, 3 9 则 Δ=9-8a≥0,即 a≤ . 8 9 9 综上可知,a 的取值范围是 a≤ ,即 M={a∈R|A≠?}={a|a≤ } 8 8

第三节章末测试题

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第二章函数 第一节对函数的进一步认识
A组 1.函数 y= 解析: ? -x -3x+4 的定义域为________. x
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?? x 2 ? 3x ? 4 ? ? ?x ? 0

? x ? ? ?4,0 ? ? ? 0,1?

答案:[-4,0)∪(0,1] 1 2.如图,函数 f(x)的图象是曲线段 OAB,其中点 O,A,B 的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),则 f( )的值 f(3) 等于________. 1 解析:由图象知 f(3)=1,f( )=f(1)=2.答案:2 f(3)
?3x,x≤1, ? 3.已知函数 f(x)=? 若 f(x)=2,则 x=________. ? ?-x,x>1.

解析:依题意得 x≤1 时,3x=2,∴x=log32; 当 x>1 时,-x=2,x=-2(舍去).故 x=log32.答案:log32 4.函数 f:{1, 2}→{1, 2}满足 f[f(x)]>1 的这样的函数个数有________个. 解析:如图.答案:1 5.由等式 x3+a1x2+a2x+a3=(x+1)3+b1(x+1)2+b2(x+1)+b3 定义一个映射 f(a1,a2,a3)=(b1,b2,b3), 则 f(2,1,-1)=________. 解析:由题意知 x3+2x2+x-1=(x+1)3+b1(x+1)2+b2(x+1)+b3, 令 x=-1 得:-1=b3;
? ?-1=1+b1+b2+b3 再令 x=0 与 x=1 得? , ?3=8+4b1+2b2+b3 ?

解得 b1=-1,b2=0. 答案:(-1,0,-1)

? ?1+x 6.已知函数 f(x)=? x +1 ? ?2x+3
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1

(x>1), (-1≤x≤1), (x<-1).

(1)求 f(1-

1 3 ),f{f[f(-2)]}的值;(2)求 f(3x-1);(3)若 f(a)= ,求 a. 2 2-1

解:f(x)为分段函数,应分段求解.
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(1)∵1-

1 =1-( 2+1)=- 2<-1,∴f(- 2)=-2 2+3, 2-1

1 3 又∵f(-2)=-1,f[f(-2)]=f(-1)=2,∴f{f[f(-2)]}=1+ = . 2 2 2 1 3x (2)若 3x-1>1,即 x> ,f(3x-1)=1+ = ; 3 3x-1 3x-1 3 若-1≤3x-1≤1,即 0≤x≤ ,f(3x-1)=(3x-1)2+1=9x2-6x+2; 2 若 3x-1<-1,即 x<0,f(3x-1)=2(3x-1)+3=6x+1.

? 2 ∴f(3x-1)=? 9x -6x+2 (0≤x≤ ), 3 ?6x+1 (x<0).
2

3x 3x-1

2 (x> ), 3

3 (3)∵f(a)= ,∴a>1 或-1≤a≤1. 2 1 3 当 a>1 时,有 1+ = ,∴a=2; a 2 3 2 当-1≤a≤1 时,a2+1= ,∴a=± . 2 2 2 ∴a=2 或± . 2 B组 1.函数 y= 1 +lg(2x-1)的定义域是________. 3x-2

2 2 解析:由 3x-2>0,2x-1>0,得 x> .答案:{x|x> } 3 3 -2x+1,(x<-1), ? ? 2.函数 f(x)=?-3,(-1≤x≤2), ? ?2x-1,(x>2), 3 则 f(f(f( )+5))=_. 2

3 3 解析:∵-1≤ ≤2,∴f( )+5=-3+5=2,∵-1≤2≤2,∴f(2)=-3, 2 2 ∴f(-3)=(-2)× (-3)+1=7.答案:7 3.定义在区间(-1,1)上的函数 f(x)满足 2f(x)-f(-x)=lg(x+1),则 f(x)的解析式为________. 解析:∵对任意的 x∈(-1,1),有-x∈(-1,1), 由 2f(x)-f(-x)=lg(x+1),① 由 2f(-x)-f(x)=lg(-x+1),② ①× 2+②消去 f(-x),得 3f(x)=2lg(x+1)+lg(-x+1), 2 1 ∴f(x)= lg(x+1)+ lg(1-x),(-1<x<1). 3 3
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2 1 答案:f(x)= lg(x+1)+ lg(1-x),(-1<x<1) 3 3 4.设函数 y=f(x)满足 f(x+1)=f(x)+1,则函数 y=f(x)与 y=x 图象交点的个数可能是________个. 解析:由 f(x+1)=f(x)+1 可得 f(1)=f(0)+1,f(2)=f(0)+2,f(3)=f(0)+3,…本题中如果 f(0)=0,那 么 y=f(x)和 y=x 有无数个交点;若 f(0)≠0,则 y=f(x)和 y=x 有零个交点.答案:0 或无数
?2 (x>0) ? 5. 设函数 f(x)=? 2 , 若 f(-4)=f(0), f(-2)=-2, 则 f(x)的解析式为 f(x)=________, ?x +bx+c (x≤0) ?

关于 x 的方程 f(x)=x 的解的个数为________个. 解析:由题意得
? ?16-4b+c=c ? ?4-2b+c=-2 ? ? ?2 ∴f(x)=? 2 ?x +4x+2 ? ? ?b=4 ? , ?c=2 ?

(x>0) (x≤0)

.

由数形结合得 f(x)=x 的解的个数有 3 个.
?2 ? 答案:? 2 ?x +4x+2 ?

(x>0) (x≤0)

3

1 6.设函数 f(x)=logax(a>0,a≠1),函数 g(x)=-x2+bx+c,若 f(2+ 2)-f( 2+1)= ,g(x)的图象过点 2 A(4,-5)及 B(-2,-5),则 a=__________,函数 f[g(x)]的定义域为__________. 答案:2 (-1,3)

2 ? ?x -4x+6,x≥0 ? 7.设函数 f(x)= ,则不等式 f(x)>f(1)的解集是________. ?x+6,x<0 ?

解析:由已知,函数先增后减再增,当 x≥0,f(x)>f(1)=3 时,令 f(x)=3, 解得 x=1,x=3.故 f(x)>f(1)的解集为 0≤x<1 或 x>3. 当 x<0,x+6=3 时,x=-3,故 f(x)>f(1)=3,解得-3<x<0 或 x>3. 综上,f(x)>f(1)的解集为{x|-3<x<1 或 x>3}.答案:{x|-3<x<1 或 x>3}
?log2(4-x), x≤0, ? 8.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=? 则 f(3)的值为________. ? ?f(x-1)-f(x-2),x>0,

解析:∵f(3)=f(2)-f(1),又 f(2)=f(1)-f(0),∴f(3)=-f(0),∵f(0)=log24=2,∴f(3)=-2. 答案:-2 9.有一个有进水管和出水管的容器,每单位时间进水量是一定的,设从某时刻开始,5 分钟内只进水,不 出水,在随后的 15 分钟内既进水,又出水,得到时间 x 与容器中的水量 y 之间关系如图.再随后,只放水 不进水,水放完为止,则这段时间内(即 x≥20),y 与 x 之间函数的函数关系是________.

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? ? ?5a1=20 ?a1=4 解析: 设进水速度为 a1 升/分钟, 出水速度为 a2 升/分钟, 则由题意得? , 得? , ?5a1+15(a1-a2)=35 ? ? ?a2=3

95 则 y=35-3(x-20),得 y=-3x+95,又因为水放完为止,所以时间为 x≤ ,又知 x≥20,故解析式为 y 3 95 95 =-3x+95(20≤x≤ ).答案:y=-3x+95(20≤x≤ ) 3 3 10.函数 f(x)= (1-a2)x2+3(1-a)x+6. (1)若 f(x)的定义域为 R,求实数 a 的取值范围; (2)若 f(x)的定义域为[-2,1],求实数 a 的值. 解:(1)①若 1-a2=0,即 a=± 1, (ⅰ)若 a=1 时,f(x)= 6,定义域为 R,符合题意; (ⅱ)当 a=-1 时,f(x)= 6x+6,定义域为[-1,+∞),不合题意. ②若 1-a2≠0,则 g(x)=(1-a2)x2+3(1-a)x+6 为二次函数. 由题意知 g(x)≥0 对 x∈R 恒成立,
?1-a2>0, ?-1<a<1, ? ? ∴? ∴? ?Δ≤0, ? ? ?(a-1)(11a+5)≤0,

5 5 ∴- ≤a<1.由①②可得- ≤a≤1. 11 11 (2)由题意知, 不等式(1-a2)x2+3(1-a)x+6≥0 的解集为[-2,1], 显然 1-a2≠0 且-2,1 是方程(1-a2)x2 +3(1-a)x+6=0 的两个根.

? -a) , ?-2+1=3(1 a -1 ∴? 6 -2= , 1-a ? ?Δ=[3(1-a)] -24(1-a )>0
2 2 2 2

1-a2<0,

? ?a=2, ∴?a=± 2. 5 ? 或a>1 ?a<-11

a<-1或a>1, ∴a=2.

11.已知 f(x+2)=f(x)(x∈R),并且当 x∈[-1,1]时,f(x)=-x2+1,求当 x∈[2k-1,2k+1](k∈Z)时、f(x) 的解析式. 解:由 f(x+2)=f(x),可推知 f(x)是以 2 为周期的周期函数.当 x∈[2k-1,2k+1]时,2k-1≤x≤2k+1, -1≤x-2k≤1.∴f(x-2k)=-(x-2k)2+1.
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又 f(x)=f(x-2)=f(x-4)=…=f(x-2k), ∴f(x)=-(x-2k)2+1,x∈[2k-1,2k+1],k∈Z. 12.在 2008 年 11 月 4 日珠海航展上,中国自主研制的 ARJ 21 支线客机备受关注,接到了包括美国在内 的多国订单.某工厂有 216 名工人接受了生产 1000 件该支线客机某零部件的总任务,已知每件零件由 4 个 C 型装置和 3 个 H 型装置配套组成,每个工人每小时能加工 6 个 C 型装置或 3 个 H 型装置.现将工人 分成两组同时开始加工,每组分别加工一种装置,设加工 C 型装置的工人有 x 位,他们加工完 C 型装置所 需时间为 g(x),其余工人加工完 H 型装置所需时间为 h(x).(单位:h,时间可不为整数) (1)写出 g(x),h(x)的解析式; (2)写出这 216 名工人完成总任务的时间 f(x)的解析式; (3)应怎样分组,才能使完成总任务的时间最少? 2000 1000 解:(1)g(x)= (0<x<216,x∈N*),h(x)= (0<x<216,x∈N*). 3x 216-x

? 3x (2)f(x)=? 1000 ?216-x

2000

(0<x≤86,x∈N*). (3)分别为 86、130 或 87、129. (87≤x<216,x∈N*).

第二节函数的单调性
A组 1.下列函数 f(x)中,满足“对任意 x1,x2∈(0,+∞),当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2)”的是________. 1 ①f(x)= x ②f(x)=(x-1)2 ③f(x)=ex ④f(x)=ln(x+1)

解析:∵对任意的 x1,x2∈(0,+∞),当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),∴f(x)在(0,+∞)上为减函数.答 案:① 2. 函数 f ? x ? ( x ? R) 的图象如右图所示, 则函数 g ? x ? ? f ? loga x ?? 0 ? a ? 1? 的单调减区间是________. 1 解析:∵0<a<1,y=logax 为减函数,∴logax∈[0, ]时,g(x)为减函数. 2 1 由 0≤logax≤ 得 a≤x≤1. 2 答案:[ a,1](或( a,1)) 3.函数 y= x-4+ 15-3x的值域是________. π π 解析:令 x=4+sin2α,α∈[0, ],y=sinα+ 3cosα=2sin(α+ ),∴1≤y≤2. 2 3 答案:[1,2] a 4.已知函数 f(x)=|ex+ x|(a∈R)在区间[0,1]上单调递增,则实数 a 的取值范围__. e
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a a 解析:当 a<0,且 ex+ x≥0 时,只需满足 e0+ 0≥0 即可,则-1≤a<0;当 a=0 时,f(x)=|ex|=ex 符合 e e a a 题意;当 a>0 时,f(x)=ex+ x,则满足 f′(x)=ex- x≥0 在 x∈[0,1]上恒成立.只需满足 a≤(e2x)min 成立即可, e e 故 a≤1,综上-1≤a≤1. 答案:-1≤a≤1 5.如果对于函数 f(x)定义域内任意的 x,都有 f(x)≥M(M 为常数),称 M 为 f(x)的下界,下界 M 中的最大值 叫做 f(x)的下确界,下列函数中,有下确界的所有函数是________. 1 (x>0) ? ? ①f(x)=sinx;②f(x)=lgx;③f(x)=e ;④f(x)=?0 (x=0) ? ?-1 (x<-1)
x

解析:∵sinx≥-1,∴f(x)=sinx 的下确界为-1,即 f(x)=sinx 是有下确界的函数;∵f(x)=lgx 的值域 为(-∞,+∞),∴f(x)=lgx 没有下确界;∴f(x)=ex 的值域为(0,+∞),∴f(x)=ex 的下确界为 0,即 f(x)= ex 是有下确界的函数; 1 (x>0) 1 (x>0) ? ? ? ? ∵f(x)=?0 (x=0) 的下确界为-1.∴f(x)=?0 (x=0) 是有下确界的函数.答案:①③④ ? ? ?-1 (x<-1) ?-1 (x<-1) 6.已知函数 f(x)=x2,g(x)=x-1. (1)若存在 x∈R 使 f(x)<b· g(x),求实数 b 的取值范围; (2)设 F(x)=f(x)-mg(x)+1-m-m2,且|F(x)|在[0,1]上单调递增,求实数 m 的取值范围. 解:(1) x∈R,f(x)<b· g(x)?x∈R,x2-bx+b<0?Δ=(-b)2-4b>0?b<0 或 b>4.(2)F(x)=x2-mx+1 -m2,Δ=m2-4(1-m2)=5m2-4, 2 5 2 5 ①当 Δ≤0 即- ≤m≤ 时,则必需 5 5

? 2 ≤0 ? 2 5 2 5 ?- 5 ≤m≤ 5

m



2 5 ≤m≤0. 5

2 5 2 5 m ②当 Δ>0 即 m<- 或 m> 时,设方程 F(x)=0 的根为 x1,x2(x1<x2),若 ≥1,则 x1≤0. 5 5 2 m ? ? 2 ≥1 ? ?m≥2. ?F(0)=1-m2≤0 ? m 若 ≤0,则 x2≤0, 2

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m ? ? 2 ≤0 2 5 ? ?-1≤m<- .综上所述:-1≤m≤0 或 m≥2. 5 2 ? ?F(0)=1-m ≥0 B组 1.下列函数中,单调增区间是(-∞,0]的是________. 1 ①y=- x ②y=-(x-1) ③y=x2-2 ④y=-|x|

解析:由函数 y=-|x|的图象可知其增区间为(-∞,0].答案:④ 2.若函数 f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2,+∞)上是增函数,则实数 a 的取值范围是________. 解析:令 g(x)=x2-ax+3a,由题知 g(x)在[2,+∞)上是增函数,且 g(2)>0. a ? ?2≤2, ∴? ∴-4<a≤4.答案:-4<a≤4 ? ?4-2a+3a>0, a 3 3.若函数 f(x)=x+ (a>0)在( ,+∞)上是单调增函数,则实数 a 的取值范围__. x 4 a 3 9 解析:∵f(x)=x+ (a>0)在( a,+∞)上为增函数,∴ a≤ ,0<a≤ . x 4 16 9 答案:(0, ] 16 4. 定义在 R 上的偶函数 f(x), 对任意 x1, x2∈[0, +∞)(x1≠x2), 有 ①f(3)<f(-2)<f(1) ②f(1)<f(-2)<f(3) ③f(-2)<f(1)<f(3) ④f(3)<f(1)<f(-2) f(x2)-f(x1) 解析: 由已知 <0, 得 f(x)在 x∈[0, +∞)上单调递减, 由偶函数性质得 f(2)=f(-2), 即 f(3)<f(- x2-x1 2)<f(1).答案:①
?ax (x<0), ? f(x1)-f(x2) 5.已知函数 f(x)=? 满足对任意 x1≠x2,都有 <0 成立,则 a 的取值范围是 x1-x2 ?(a-3)x+4a (x≥0) ?

f(x2)-f(x1) <0, 则下列结论正确的是________. x2-x1

________. 0<a<1, ? ? 1 解析:由题意知,f(x)为减函数,所以?a-3<0, 解得 0<a≤ . 4 ? ?a0≥(a-3)×0+4a, 6.函数 f(x)的图象是如下图所示的折线段 OAB,点 A 的坐标为(1,2),点 B 的坐标为(3,0),定义函数 g(x) =f(x)· (x-1),则函数 g(x)的最大值为________.

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高中数学 Gaozhongshuxue ?2x(x-1) (0≤x<1), ? 解析:g(x)=? ? ?(-x+3)(x-1) (1≤x≤3),

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当 0≤x<1 时,最大值为 0;当 1≤x≤3 时, 在 x=2 取得最大值 1. 答案:1 7.已知定义域在[-1,1]上的函数 y=f(x)的值域为[-2,0],则函数 y=f(cos x)的值域是________. 解析:∵cos x∈[-1,1],函数 y=f(x)的值域为[-2,0],∴y=f(cos x)的值域为[-2,0].答案:[-2,0] 8.已知 f(x)=log3x+2,x∈[1,9],则函数 y=[f(x)]2+f(x2)的最大值是________. 解析:∵函数 y=[f(x)]2+f(x2)的定义域为
?1≤x≤9, ? ? ∴x∈[1,3],令 log3x=t,t∈[0,1], 2 ?1≤x ≤9, ?

∴y=(t+2)2+2t+2=(t+3)2-3,∴当 t=1 时,ymax=13.答案:13 1 9.若函数 f(x)=loga(2x2+x)(a>0,a≠1)在区间(0, )内恒有 f(x)>0,则 f(x)的单调递增区间为__________. 2 1 解析:令 μ=2x2+x,当 x∈(0, )时,μ∈(0,1),而此时 f(x)>0 恒成立,∴0<a<1. 2 1 1 1 1 μ=2(x+ )2- ,则减区间为(-∞,- ).而必然有 2x2+x>0,即 x>0 或 x<- .∴f(x)的单调递增区间 4 8 4 2 1 1 为(-∞,- ).答案:(-∞,- ) 2 2 1 1 10.试讨论函数 y=2(log x)2-2log x+1 的单调性. 2 2 1 解析:易知函数的定义域为(0,+∞).如果令 u=g(x)=log x,y=f(u)=2u2-2u+1,那么原函数 y= 2 1 f[g(x)]是由 g(x)与 f(u)复合而成的复合函数,而 u=log x 在 x∈(0,+∞)内是减函数,y=2u2-2u+1=2(u 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 - )2+ 在 u∈(-∞, )上是减函数,在 u∈( ,+∞)上是增函数.又 u≤ ,即 log x≤ ,得 x≥ ;u> ,得 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0<x< 2 .由此,从下表讨论复合函数 y=f[g(x)]的单调性: 2 单调性 函数

(0,

2 ) 2

(

2 , ??) 2
?
?

u ? log 1 x
2

?
?

f ?u ? ? 2u 2 ? 2u ? 1

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? ? y ? 2 ? log 1 x ? ? 2 log 1 x ? 1 ? 2 ? 2

?

?

1 1 2 2 故函数 y=2(log x)2-2log x+1 在区间(0, )上单调递减,在区间( ,+∞)上单调递增. 2 2 2 2 x1 11.已知定义在区间(0,+∞)上的函数 f(x)满足 f( )=f(x1)-f(x2),且当 x>1 时,f(x)<0. x2 (1)求 f(1)的值;(2)判断 f(x)的单调性;(3)若 f(3)=-1,解不等式 f(|x|)<-2. 解:(1)令 x1=x2>0,代入得 f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故 f(1)=0. x1 (2)任取 x1,x2∈(0,+∞),且 x1>x2,则 >1,由于当 x>1 时,f(x)<0, x2 x1 所以 f( )<0,即 f(x1)-f(x2)<0,因此 f(x1)<f(x2), x2 所以函数 f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数. x1 9 (3)由 f( )=f(x1)-f(x2)得 f( )=f(9)-f(3),而 f(3)=-1,所以 f(9)=-2. x2 3 由于函数 f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数, 由 f(|x|)<f(9),得|x|>9,∴x>9 或 x<-9.因此不等式的解集为{x|x>9 或 x<-9}. x2+ax+b 12.已知:f(x)=log3 ,x∈(0,+∞),是否存在实数 a,b,使 f(x)同时满足下列三个条件:(1)在 x (0,1]上是减函数,(2)在[1,+∞)上是增函数,(3)f(x)的最小值是 1.若存在,求出 a、b;若不存在,说明理 由. 1+a+b 解:∵f(x)在(0,1]上是减函数,[1,+∞)上是增函数,∴x=1 时,f(x)最小,log3 =1.即 a+b= 1 2. x12+ax1+b x22+ax2+b 设 0<x1<x2≤1,则 f(x1)>f(x2).即 > 恒成立. x1 x2 (x1-x2)(x1x2-b) 由此得 >0 恒成立. x1x2 又∵x1-x2<0,x1x2>0,∴x1x2-b<0 恒成立,∴b≥1. (x3-x4)(x3x4-b) 设 1≤x3<x4,则 f(x3)<f(x4)恒成立.∴ <0 恒成立. x3x4 ∵x3-x4<0,x3x4>0,∴x3x4>b 恒成立.∴b≤1.由 b≥1 且 b≤1 可知 b=1,∴a=1.∴存在 a、b,使 f(x) 同时满足三个条件.

第三节函数的性质
A组 1.设偶函数 f(x)=loga|x-b|在(-∞,0)上单调递增,则 f(a+1)与 f(b+2)的大小关系为________.
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解析: 由 f(x)为偶函数, 知 b=0, ∴f(x)=loga|x|, 又 f(x)在(-∞, 0)上单调递增, 所以 0<a<1,1<a+1<2, 则 f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以 f(a+1)>f(b+2).答案:f(a+1)>f(b+2) 2.定义在 R 上的函数 f(x)既是奇函数又是以 2 为周期的周期函数,则 f(1)+f(4)+f(7)等于________. 解析: f(x)为奇函数, 且 x∈R, 所以 f(0)=0, 由周期为 2 可知, f(4)=0, f(7)=f(1), 又由 f(x+2)=f(x), 令 x=-1 得 f(1)=f(-1)=-f(1)?f(1)=0,所以 f(1)+f(4)+f(7)=0.答案:0 3.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则 f(-25)、f(11)、f(80) 的大小关系为________. 解析:因为 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),所以 f(x-8)=f(x),所以函数是以 8 为周期的周期函数,则 f(- 25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3),又因为 f(x)在 R 上是奇函数,f(0)=0,得 f(80)=f(0)=0,f(-25)=f(- 1)=-f(1),而由 f(x-4)=-f(x)得 f(11)=f(3)=-f(-3)=-f(1-4)=f(1),又因为 f(x)在区间[0,2]上是增函 数,所以 f(1)>f(0)=0,所以-f(1)<0,即 f(-25)<f(80)<f(11). 答案:f(-25)<f(80)<f(11) 1 4.已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调增加,则满足 f(2x-1)<f( )的 x 取值范围是________. 3 1 1 1 2 解析: 由于 f(x)是偶函数, 故 f(x)=f(|x|), 由 f(|2x-1|)<f( ), 再根据 f(x)的单调性得|2x-1|< , 解得 <x< . 3 3 3 3 1 2 答案:( , ) 3 3 5. 已知定义在 R 上的函数 f(x)是偶函数, 对 x∈R, f(2+x)=f(2-x), 当 f(-3)=-2 时, f(2015)的值为________. 解析:因为定义在 R 上的函数 f(x)是偶函数,所以 f(2+x)=f(2-x)=f(x-2),故函数 f(x)是以 4 为周 期的函数,所以 f(2015)=f(3+503× 4)=f(3)=f(-3)=-2.答案:-2 6.已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的周期函数,周期 T=5,函数 y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数,又知 y=f(x) 在[0,1]上是一次函数,在[1,4]上是二次函数,且在 x=2 时函数取得最小值-5.(1)证明:f(1)+f(4)=0;(2) 求 y=f(x),x∈[1,4]的解析式;(3)求 y=f(x)在[4,9]上的解析式. 解:(1)证明:∵f(x)是以 5 为周期的周期函数,∴f(4)=f(4-5)=f(-1), 又∵y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数,∴f(1)=-f(-1)=-f(4),∴f(1)+f(4)=0. (2)当 x∈[1,4]时,由题意可设 f(x)=a(x-2)2-5(a>0),由 f(1)+f(4)=0,得 a(1-2)2-5+a(4-2)2-5 =0,∴a=2,∴f(x)=2(x-2)2-5(1≤x≤4). (3)∵y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数, ∴f(0)=0, 又知 y=f(x)在[0,1]上是一次函数, ∴可设 f(x)=kx(0≤x≤1), 而 f(1)=2(1-2)2-5=-3,∴k=-3,∴当 0≤x≤1 时,f(x)=-3x,从而当-1≤x<0 时,f(x)=-f(-x)=- 3x, 故-1≤x≤1 时, f(x)=-3x.∴当 4≤x≤6 时, 有-1≤x-5≤1, ∴f(x)=f(x-5)=-3(x-5)=-3x+15.当 6<x≤9 时,1<x-5≤4,∴f(x)=f(x-5)=2[(x-5)-2]2-5=2(x-7)2-5.
?-3x+15, 4≤x≤6 ? ∴f(x)=? . 2 ?2(x-7) -5, 6<x≤9 ?

B组 1.函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+1)与 f(x-1)都是奇函数,则下列结论正确的是________.
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①f(x)是偶函数 ②f(x)是奇函数 ③f(x)=f(x+2) ④f(x+3)是奇函数 解析:∵f(x+1)与 f(x-1)都是奇函数,∴f(-x+1)=-f(x+1),f(-x-1)=-f(x-1),∴函数 f(x)关于 点(1,0), 及点(-1,0)对称, 函数 f(x)是周期 T=2[1-(-1)]=4 的周期函数. ∴f(-x-1+4)=-f(x-1+4), f(-x+3)=-f(x+3),即 f(x+3)是奇函数.答案:④ 3 2. 已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=-f(x+ ), 且 f(-2)=f(-1)=-1, f(0)=2, f(1)+f(2)+…+f(2009) 2 +f(2010)=________. 3 解析:f(x)=-f(x+ )?f(x+3)=f(x),即周期为 3,由 f(-2)=f(-1)=-1,f(0)=2,所以 f(1)=-1, 2 f(2)=-1,f(3)=2,所以 f(1)+f(2)+…+f(2009)+f(2010)=f(2008)+f(2009)+f(2010)=f(1)+f(2)+f(3)=0. 答案:0 3.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(1)=1,若将 f(x)的图象向右平移一个单位后,得到一个偶函数的 图象,则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2010)=________. 解析:f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以 f(-x)=-f(x),将 f(x)的图象向右平移一个单位后,得到一个 偶函数的图象,则满足 f(-2+x)=-f(x),即 f(x+2)=-f(x),所以周期为 4,f(1)=1,f(2)=f(0)=0,f(3) =-f(1)=-1,f(4)=0,所以 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2010)=f(4)× 502+f(2)= 0.答案:0 4.已知函数 f(x)是 R 上的偶函数,且在(0,+∞)上有 f′(x)>0,若 f(-1)=0,那么关于 x 的不等式 xf(x)<0 的解集是________. 解析:在(0,+∞)上有 f′(x)>0,则在(0,+∞)上 f(x)是增函数,在(-∞,0)上是减函数,又 f(x)在 R 上 是偶函数,且 f(-1)=0,∴f(1)=0.从而可知 x∈(-∞,-1)时,f(x)>0;x∈(-1,0)时,f(x)<0;x∈(0,1)时, f(x)<0;x∈(1,+∞)时,f(x)>0.∴不等式的解集为(-∞,-1)∪(0,1)答案:(-∞,-1)∪(0,1). 5.已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于 x≥0,都有 f(x+2)=f(x),且当 x∈[0,2)时,f(x)=log2(x +1),则 f(-2009)+f(2010)的值为________. 解析:∵f(x)是偶函数,∴f(-2009)=f(2009).∵f(x)在 x≥0 时 f(x+2)=f(x),∴f(x)周期为 2.∴f(-2009) +f(2010)=f(2009)+f(2010)=f(1)+f(0)=log22+log21=0+1=1.答案:1 1 6.已知函数 f(x)是偶函数,并且对于定义域内任意的 x,满足 f(x+2)=- ,若当 2<x<3 时,f(x)=x,则 f(x) f(2009.5)=________. 解析: 由 f(x+2)=- 1 , 可得 f(x+4)=f(x), f(2009.5)=f(502× 4+1.5)=f(1.5)=f(-2.5)∵f(x)是偶函数, f(x)

5 5 ∴f(2009.5)=f(2.5)= .答案: 2 2 7.定义在 R 上的函数 f(x)在(-∞,a]上是增函数,函数 y=f(x+a)是偶函数,当 x1<a,x2>a,且|x1-a|<|x2 -a|时,则 f(2a-x1)与 f(x2)的大小关系为________. 解析:∵y=f(x+a)为偶函数,∴y=f(x+a)的图象关于 y 轴对称,∴y=f(x)的图象关于 x=a 对称.又
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∵f(x)在(-∞,a]上是增函数,∴f(x)在[a, +∞)上是减函数. 当 x1<a,x2>a, 且|x1-a|<|x2-a|时,有 a-x1<x2 -a,即 a<2a-x1<x2,∴f(2a-x1)>f(x2).答案:f(2a-x1)>f(x2) 8.已知函数 f(x)为 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x(x+1).若 f(a)=-2,则实数 a=________. 解析:当 x≥0 时,f(x)=x(x+1)>0,由 f(x)为奇函数知 x<0 时,f(x)<0,∴a<0,f(-a)=2,∴-a(-a +1)=2,∴a=2(舍)或 a=-1.答案:-1 9.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数.若方程 f(x)=m(m>0)在 区间[-8,8]上有四个不同的根 x1,x2,x3,x4,则 x1+x2+x3+x4=________. 解析:因为定义在 R 上的奇函数,满足 f(x-4)=-f(x),所以 f(4-x)=f(x),因此,函数图象关于直线 x=2 对称且 f(0)=0.由 f(x-4)=-f(x)知 f(x-8)=f(x), 所以函数是以 8 为周期的周期函数. 又因为 f(x)在区 间[0,2]上是增函数, 所以 f(x)在区间[-2,0]上也是增函数, 如图所示, 那么方程 f(x)=m(m>0)在区间[-8,8] 上有四个不同的根 x1,x2,x3,x4,不妨设 x1<x2<x3<x4.由对称性知 x1+x2=-12,x3+x4=4,所以 x1+ x2+x3+x4=-12+4=-8.答案:-8

10.已知 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x∈(-∞,0)时,f(x)=-xlg(2-x),求 f(x)的解析式. 解:∵f(x)是奇函数,可得 f(0)=-f(0),∴f(0)=0.当 x>0 时,-x<0,由已知 f(-x)=xlg(2+x),∴- f(x)=xlg(2+x),即 f(x)=-xlg(2+x) (x>0).
? ?-xlg(2-x) (x<0), ∴f(x)=? 即 f(x)=-xlg(2+|x|)(x∈R). ?-xlg(2+x) (x≥0). ?

11. 已知函数 f(x), 当 x, y∈R 时, 恒有 f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求证: f(x)是奇函数; (2)如果 x∈R , f(x)<0, 1 并且 f(1)=- ,试求 f(x)在区间[-2,6]上的最值. 2 解:(1)证明:∴函数定义域为 R,其定义域关于原点对称. ∵f(x+y)=f(x)+f(y),令 y=-x,∴f(0)=f(x)+f(-x).令 x=y=0,∴f(0)=f(0)+f(0),得 f(0)=0.∴f(x) +f(-x)=0,得 f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数. (2)法一:设 x,y∈R ,∵f(x+y)=f(x)+f(y),∴f(x+y)-f(x)=f(y). ∵x∈R ,f(x)<0,∴f(x+y)-f(x)<0,∴f(x+y)<f(x).∵x+y>x,∴f(x)在(0,+∞)上是减函数.又∵f(x) 1 为奇函数,f(0)=0,∴f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.∴f(-2)为最大值,f(6)为最小值.∵f(1)=- ,∴f(- 2 2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2[f(1)+f(2)]=-3.∴所求 f(x)在区间[-2,6]上的最大值为 1,最小值为 -3. 法二: 设 x1<x2, 且 x1, x2∈R.则 f(x2-x1)=f[x2+(-x1)]=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1). ∵x2-x1>0, ∴f(x2 1 -x1)<0.∴f(x2)-f(x1)<0.即 f(x)在 R 上单调递减.∴f(-2)为最大值,f(6)为最小值.∵f(1)=- ,∴f(-2) 2
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+ +



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=-f(2)=-2f(1)=1, f(6)=2f(3)=2[f(1)+f(2)]=-3.∴所求 f(x)在区间[-2,6]上的最大值为 1, 最小值为- 3. 12.已知函数 f(x)的定义域为 R,且满足 f(x+2)=-f(x). (1)求证:f(x)是周期函数; 1 1 (2)若 f(x)为奇函数,且当 0≤x≤1 时,f(x)= x,求使 f(x)=- 在[0,2010]上的所有 x 的个数. 2 2 解:(1)证明:∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x), ∴f(x)是以 4 为周期的周期函数. 1 (2)当 0≤x≤1 时,f(x)= x, 2 1 1 1 设-1≤x≤0,则 0≤-x≤1,∴f(-x)= (-x)=- x.∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴-f(x)=- x, 2 2 2 1 1 即 f(x)= x.故 f(x)= x(-1≤x≤1) 2 2 1 又设 1<x<3,则-1<x-2<1,∴f(x-2)= (x-2), 2 1 1 又 ∵ f(x - 2) =- f(2 - x) =- f[( - x) + 2] =- [ - f( - x)] =- f(x) , ∴ - f(x) = (x - 2) , ∴ f(x) =- (x - 2 2

?2x (-1≤x≤1) 2)(1<x<3).∴f(x)=? 1 ?-2(x-2) (1<x<3)
1 1 由 f(x)=- , 解得 x=-1.∵f(x)是以 4 为周期的周期函数. 故 f(x)=- 的所有 x=4n-1(n∈Z). 令 0≤4n 2 2 1 3 1 -1≤2010,则 ≤n≤502 ,又∵n∈Z,∴1≤n≤502(n∈Z),∴在[0,2010]上共有 502 个 x 使 f(x)=- . 4 4 2

1

第四节章末测试题

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第三章指数函数和对数函数 第一节指数函数
A组 1.若 a>1,b<0,且 a +a =2 2,则 a -a
b
-b

b

-b

b

-b

的值等于________.
- -2b

解析:∵a>1,b<0,∴0<a <1,a >1.又∵(ab+a b)2=a2b+a =a2b+a
-2b

+2=8,∴a2b+a

-2b

=6,∴(ab-a b)2


-2=4,∴ab-a b=-2.答案:-2


2.已知 f(x)=ax+b 的图象如图所示,则 f(3)=________. 解析:由图象知 f(0)=1+b=-2,∴b=-3.又 f(2)=a2-3=0,∴a= 3,则 f(3)=( 3)3-3=3 3- 3. 答案:3 3-3 1 -2 3.函数 y=( )2x x 的值域是________. 2 解析:∵2x-x2=-(x-1)2+1≤1, 1 -2 1 1 ∴( )2x x ≥ .答案:[ ,+∞) 2 2 2 4.若函数 f(x)=ax-x-a(a>0,且 a≠1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是________. 解析:函数 f(x)的零点的个数就是函数 y=ax 与函数 y=x+a 交点的个数,由函数的图象可知 a>1 时两 函数图象有两个交点,0<a<1 时两函数图象有惟一交点,故 a>1.答案:(1,+∞)

5.若函数 f(x)=ax-1(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[0,2],则实数 a 等于________. 0<a<1 a>1 ? ? ? 2 ? 0 解析:由题意知?a -1=0 无解或?a -1=0 ?a= 3.答案: 3 ? ? ?a0-1=2 ?a2-1=2 -2x+b 6.已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数.(1)求 a,b 的值; 2 +a (2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的取值范围. -1+b 解:(1)因为 f(x)是 R 上的奇函数,所以 f(0)=0,即 =0,解得 b=1. 2+a 1 - +1 2 -2x+1 -2+1 从而有 f(x)= x+1 .又由 f(1)=-f(-1)知 =- ,解得 a=2. 2 +a 4+a 1+a
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x

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-2 +1 1 1 (2)法一:由(1)知 f(x)= x+1 =- + x , 2 2 +2 2 +1 由上式易知 f(x)在 R 上为减函数, 又因 f(x)是奇函数, 从而不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0?f(t2-2t)<-f(2t2 -k)=f(-2t2+k). 因 f(x)是 R 上的减函数,由上式推得 t2-2t>-2t2+k. 1 即对一切 t∈R 有 3t2-2t-k>0,从而 Δ=4+12k<0,解得 k<- . 3 -2x+1 -2t -2t+1 -22t k+1 法二:由(1)知 f(x)= x+1 ,又由题设条件得 t2 2t+1 + 2- + <0 2 +2 2 - +2 22t k 1+2 即(22t
2-k+1 2 2-

+2)(-2t

2-2t

+1)+(2t

2-2t+1

+2)(-22t

2-k

+1)<0

整理得 2

3t2-2t-k

>1,因底数 2>1,故 3t2-2t-k>0

1 上式对一切 t∈R 均成立,从而判别式 Δ=4+12k<0,解得 k<- . 3 B组 1. 如果函数 f(x)=a +b-1(a>0 且 a≠1)的图象经过第一、 二、 四象限, 不经过第三象限, 那么一定有________. ①0<a<1 且 b>0 ②0<a<1 且 0<b<1 ③a>1 且 b<0 ④a>1 且 b>0
x

解析:当 0<a<1 时,把指数函数 f(x)=ax 的图象向下平移,观察可知-1<b-1<0,即 0<b<1.答案:② 2.若 f(x)=-x2+2ax 与 g(x)=(a+1)1 x 在区间[1,2]上都是减函数,则 a 的取值范围是________.


解析:f(x)=-x2+2ax=-(x-a)2+a2,所以 f(x)在[a,+∞)上为减函数,又 f(x),g(x)都在[1,2]上为减
?a≤1 ? 函数,所以需? ?0<a≤1.答案:(0,1] ?a+1>1 ?

f(1) 3.已知 f(x),g(x)都是定义在 R 上的函数,且满足以下条件①f (x)=ax· g(x)(a>0,a≠1);②g(x)≠0;若 + g(1) f(-1) 5 = ,则 a 等于________. g(-1) 2 f(x) f(1) f(-1) 5 5 1 1 - 解析:由 f(x)=ax· g(x)得 =ax,所以 + = ?a+a 1= ,解得 a=2 或 .答案:2 或 g(x) g(1) g(-1) 2 2 2 2
- - 1 4.已知函数 f(x)=ax(a>0 且 a≠1),其反函数为 f 1(x).若 f(2)=9,则 f 1( )+f(1)的值是________. 3

1 解析:因为 f(2)=a2=9,且 a>0,∴a=3,则 f(x)=3x= ,∴x=-1, 3
- 1 - 1 故 f 1( )=-1.又 f(1)=3,所以 f 1( )+f(1)=2.答案:2 3 3

1 5. 已知 f(x)=( )x, 若 f(x)的图象关于直线 x=1 对称的图象对应的函数为 g(x), 则 g(x)的表达式为________. 3 1 1 解析:设 y=g(x)上任意一点 P(x,y),P(x,y)关于 x=1 的对称点 P′(2-x,y)在 f(x)=( )x 上,∴y=( )2 3 3
-x

=3x 2.答案:y=3x 2(x∈R)
- -

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e +e 6.函数 y= x -x的图象大致为________. e -e

x

-x

e x+ex ex+e x 解析:∵f(-x)= -x x=- x -x=-f(x),∴f(x)为奇函数,排除④. e -e e -e
- -

ex+e x e2x+1 e2x-1+2 2 又∵y= x -x= 2x = 2x =1+ 2x 在(-∞, 0)、 (0, +∞)上都是减函数, 排除②、 ③.答案: e -e e -1 e -1 e -1


① 1 7.已知函数 f(x)满足:当 x≥4 时,f(x)=( )x;当 x<4 时,f(x)=f(x+1),则 f(2+log23)=________. 2 解析:∵2<3<4=22,∴1<log23<2.∴3<2+log23<4,∴f(2+log23) 1 1 1 1 - =f(3+log23)=f(log224)=( )log224=2 log224=2log2 = .答案: 2 24 24 24
? ?f(x),f(x)≤K, 8.设函数 y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义,对于给定的正数 K,定义函数 fK(x)=? 取函数 f(x) ?K, f(x)>K. ?

=2

-|x|

1 ,当 K= 时,函数 fK(x)的单调递增区间为________. 2
-|x |

2 ,x≥1或x≤-1, ? ? -|x| 1 解析:由 f(x)=2 ≤ 得 x≥1 或 x≤-1,∴fK(x)=?1 2 ?2,-1<x<1. ? 则单调增区间为(-∞,-1].答案:(-∞,-1] 9.函数 y=2|x|的定义域为[a,b],值域为[1,16],当 a 变动时,函数 b=g(a)的图象可以是________.

解析:函数 y=2|x|的图象如图. 当 a=-4 时,0≤b≤4, 当 b=4 时,-4≤a≤0,答案:② 10.已知函数 f(x)=a2x+2ax-1(a>0,且 a≠1)在区间[-1,1]上的最大值为 14,求实数 a 的值. 解:f(x)=a2x+2ax-1=(ax+1)2-2,∵x∈[-1,1], 1 1 (1)当 0<a<1 时,a≤ax≤ ,∴当 ax= 时,f(x)取得最大值. a a
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1 1 1 ∴( +1)2-2=14,∴ =3,∴a= . a a 3 1 (2)当 a>1 时, ≤ax≤a,∴当 ax=a 时,f(x)取得最大值. a 1 ∴(a+1)2-2=14,∴a=3.综上可知,实数 a 的值为 或 3. 3 -2 11.已知函数 f(x)= x-a .(1)求证:f(x)的图象关于点 M(a,-1)对称; 2 +1 (2)若 f(x)≥-2x 在 x≥a 上恒成立,求实数 a 的取值范围. 2 解:(1)证明:设 f(x)的图象 C 上任一点为 P(x,y),则 y=- x-a , 2 +1 P(x,y)关于点 M(a,-1)的对称点为 P′(2a-x,-2-y). -2· 2x a -2 -2 2 ∴-2-y=-2+ x-a = x-a = , -(x-a)= (2a-x)-a 2 +1 2 +1 1+2 2 +1


-2 说明点 P′(2a-x,-2-y)也在函数 y= x-a 的图象上,由点 P 的任意性知,f(x)的图象关于点 M(a, 2 +1 -1)对称. -2 2 - (2)由 f(x)≥-2x 得 x-a ≥-2x,则 x-a ≤2x,化为 2x a· 2x+2x-2≥0,则有(2x)2+2a· 2x-2· 2a≥0 在 x≥a 2 +1 2 +1 上恒成立.令 g(t)=t2+2a· t-2· 2a,则有 g(t)≥0 在 t≥2a 上恒成立.∵g(t)的对称轴在 t=0 的左侧,∴g(t)在 t≥2a 上为增函数. ∴g(2a)≥0.∴(2a)2+(2a)2-2· 2a≥0,∴2a(2a-1)≥0,则 a≥0.即实数 a 的取值范围为 a≥0. 12.若 f1(x)=3|x
-p1|

,f2(x)=2· 3|x

-p2|

,x∈R,p1、p2 为常数,且

? ?f1(x),f1(x)≤f2(x), f(x)=? (1)求 f(x)=f1(x)对所有实数 x 成立的充要条件(用 p1、p2 表示);(2)设 a,b 是 ?f2(x),f1(x)>f2(x). ?

两个实数,满足 a<b,且 p1、p2∈(a,b).若 f(a)=f(b),求证:函数 f(x)在区间[a,b]上的单调增区间的长 b-a 度之和为 (闭区间[m,n]的长度定义为 n-m). 2 解:(1)f(x)=f1(x)恒成立?f1(x)≤f2(x)?3|x
-p1|

≤2· 3|x

-p2|

?3|x

-p1|-|x-p2|

≤2

?|x-p1|-|x-p2|≤log32.(*)若 p1=p2,则(*)?0≤log32,显然成立;若 p1≠p2,记 g(x)=|x-p1|-|x-p2|, p1-p2,x<p2, ? ? 当 p1>p2 时,g(x)=?-2x+p1+p2,p2≤x≤p1, ? ?p2-p1,x>p1. 所以 g(x)max=p1-p2,故只需 p1-p2≤log32. p1-p2,x<p1; ? ? 当 p1<p2 时,g(x)=?2x-p1-p2,p1≤x≤p2; ? ?p2-p1,x>p2.

所以 g(x)max=p2-p1,故只需 p2-p1≤log32.

综上所述,f(x)=f1(x)对所有实数 x 成立的充要条件是|p1-p2|≤log32.
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(2)证明:分两种情形讨论. a+b ①当|p1-p2|≤log32 时, 由(1)知 f(x)=f1(x)(对所有实数 x∈[a, b]), 则由 f(a)=f(b)及 a<p1<b 易知 p1= . 2
?3p1 x,x<p1, ? a+b b-a 再由 f1(x)=? x-p1 的单调性可知,f(x)在区间[a,b]上的单调增区间的长度为 b- = . 2 2 ? ,x≥p1, ?3


②当|p1-p2|>log32 时,不妨设 p1<p2,则 p2-p1>log32.于是,当 x≤p1 时,有 f1(x)=3p1 x<3p2 x<f2(x),从
- -

而 f(x)=f1(x). 当 x≥p2 时,f1(x)=3x
-p1

=3p2
- p1

-p1

· 3x

-p2

>3log32· 3x


-p2

=f2(x),从而 f(x)=f2(x).
-p - 1=2· 3p2 x0,解得

当 p1<x<p2 时,f1(x)=3x p1+p2 1 标为 x0= + log32.① 2 2

及 f2(x)=2· 3p2 x,由方程 3x0

f1(x)与 f2(x)图象交点的横坐

1 显然 p1<x0=p2- [(p2-p1)-log32]<p2,这表明 x0 在 p1 与 p2 之间. 2
? ?f1(x),p1≤x≤x0, 由①易知 f(x)=? ?f2(x),x0<x≤p2. ? ? ?f1(x),a≤x≤x0, 综上可知,在区间[a,b]上,f(x)=? ?f2(x),x0<x≤b. ?

故由函数 f1(x)与 f2(x)的单调性可知,f(x)在区间[a,b]上的单调增区间的长度之和为(x0-p1)+(b-p2), 由于 f(a)=f(b),即 3p1 a=2· 3b
- -p

2,得

p1+p2=a+b+log32.② b-a 1 故由①②得(x0-p1)+(b-p2)=b- (p1+p2-log32)= . 2 2 b-a 综合①、②可知,f(x)在区间[a,b]上单调增区间的长度之和为 . 2

第二节对数函数
A组 1.若函数 y=f(x)是函数 y=a (a>0,且 a≠1)的反函数,其图象经过点( a,a),则 f(x)=________.
1 1 解析:由题意 f(x)=logax,∴a=logaa2= ,∴f(x)=log1x.答案:log1x 2 2 2 x

2.设 a=log3π,b=log2 3,c=log3 2,则 a、b、c 的大小关系是________. 1 1 1 1 解析:a=log3π>1,b=log2 3= log23∈( ,1),c=log3 2= log32∈(0, ),故有 a>b>c.答案:a>b>c 2 2 2 2

?? 1 ? x ?? ? , x ? [?1,0) 3.若函数 f(x)= ?? 4 ? ,则 f(log43)=________. ? x ?4 , x ? [0,1]
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解析:0<log43<1,∴f(log4 4.如图所示,若函数 f(x)=ax

3)=4log43=3.答案:3 1 的图象经过点(4,2),则函数 g(x)=loga 的图象是________. x+1

-1

解析:由已知将点(4,2)代入 y=ax 1,∴2=a4 1,即 a=23>1.
- -

1



1 是单调递减的,故 g(x)递减且过(0,0)点,∴④正确.答案:④ x+1

1 5.已知函数 f(x)=alog2x+blog3x+2,且 f( )=4,则 f(2010)的值为_. 2010 1 1 1 解析: 设 F(x)=f(x)-2, 即 F(x)=alog2x+blog3x, 则 F( )=alog2 +blog3 =-(alog2x+blog3x)=-F(x), x x x 1 1 ∴F(2010)=-F( )=-[f( )-2]=-2, 2010 2010 即 f(2010)-2=-2,故 f(2010)=0.答案:0 6.若 f(x)=x2-x+b,且 f(log2a)=b,log2f(a)=2(a>0 且 a≠1).(1)求 f(log2x)的最小值及相应 x 的值;(2)若 f(log2x)>f(1)且 log2f(x)<f(1),求 x 的取值范围. 解:(1)∵f(x)=x2-x+b,∴f(log2a)=(log2a)2-log2a+b=b,∴log2a=1,∴a=2.又∵log2f(a)=2,∴ f(a)=4.∴a2-a+b=4,∴b=2.∴f(x)=x2-x+2. 1 7 ∴f(log2x)=(log2x)2-log2x+2=(log2x- )2+ . 2 4 1 7 ∴当 log2x= ,即 x= 2时,f(log2x)有最小值 . 2 4
2 ? ? ?(log2x) -log2x+2>2, ?log2x<0或log2x>1, ? (2)由题意知? ∴ 2 2 ?log2(x -x+2)<2. ? ? ?0<x -x+2<4.

?0<x<1或x>2, ? ∴? ∴0<x<1. ?-1<x<2. ?

B组 x+3 1.为了得到函数 y=lg 的图象,只需把函数 y=lgx 的图象上所有的点________. 10 x+3 解析:∵y=lg =lg(x+3)-1,∴将 y=lgx 的图象上的点向左平移 3 个单位长度得到 y=lg(x+3) 10 的图象,再将 y=lg(x+3)的图象上的点向下平移 1 个单位长度得到 y=lg(x+3)-1 的图象. 答案:向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 2.对于函数 f(x)=lgx 定义域中任意 x1,x2(x1≠x2)有如下结论:①f(x1+x2)=f(x1)+f(x2);②f(x1· x2)=f(x1)+

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f(x2);③

f(x1)-f(x2) x1+x2 f(x1)+f(x2) >0;④f( )< .上述结论中正确结论的序号是________. 2 2 x1-x2

解析:由运算律 f(x1)+f(x2)=lgx1+lgx2=lgx1x2=f(x1x2),所以②对;因为 f(x)是定义域内的增函数,所 x1+x2 x1+x2 f(x1)+f(x2) lgx1+lgx2 x1+x2 x1+x2 以③正确; f( )=lg , = =lg x1x2, ∵ ≥ x1x2, 且 x1≠x2, ∴lg >lg x1x2, 2 2 2 2 2 2 所以④错误. 答案:②③
?a(a≤b) 3. 对任意实数 a、 b, 定义运算“*”如下: a*b=? , 则函数 f(x)=log1(3x-2)*log2x 的值域为________. ?b(a>b) 2

1 解析:在同一直角坐标系中画出 y=log (3x-2)和 y=log2x 两个函数的图象, 2

由图象可得 log x (0<x≤1) ? ? 2 f(x)=? 1 ,值域为(-∞,0].答案:(-∞,0] ?log2(3x-2) (x>1) ? 4.已知函数 y=f(x)与 y=ex 互为反函数,函数 y=g(x)的图象与 y=f(x)的图象关于 x 轴对称,若 g(a)=1, 则实数 a 的值为________. 解析: 由 y=f(x)与 y=ex 互为反函数, 得 f(x)=lnx, 因为 y=g(x)的图象与 y=f(x)的图象关于 x 轴对称, 1 故有 g(x)=-lnx,g(a)=1?lna=-1,所以 a= . e 1 答案: e 2 5.已知函数 f(x)满足 f( )=log2 x|x|,则 f(x)的解析式是________. x+|x| 2 1 1 解析:由 log2 x|x|有意义可得 x>0,所以,f( )=f( ),log2 x|x|=log2x,即有 f( )=log2x,故 f(x) x x x+|x| 1 =log2 =-log2x.答案:f(x)=-log2x,(x>0) x 6.若 x1 满足 2x+2x=5,x2 满足 2x+2log2(x-1)=5,则 x1+x2=________. 解析:由题意 2x1+2x1=5,①2x2+2log2(x2-1)=5,②所以 2x1=5-2x1,x1=log2(5-2x1),即 2x1= 2log2(5-2x1).令 2x1=7-2t,代入上式得 7-2t=2log2(2t-2)=2+2log2(t-1),∴5-2t=2log2(t-1)与② T 7 式比较得 t=x2,于是 2x1=7-2x2.∴x1+x2= .答案: 2 2 7.当 x∈[n,n+1),(n∈N)时,f(x)=n-2,则方程 f(x)=log2x 根的个数是________.
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解析:当 n=0 时,x∈[0,1),f(x)=-2; 当 n=1 时,x∈[1,2),f(x)=-1; 当 n=2 时,x∈[2,3),f(x)=0; 当 n=3 时,x∈[3,4),f(x)=1; 当 n=4 时,x∈[4,5),f(x)=2; 当 n=5 时,x∈[5,6),f(x)=3.答案:2 8.已知 lga+lgb=0,则函数 f(x)=ax 与函数 g(x)=-logbx 的图象可能是________.

1 1 - 解析:由题知,a= ,则 f(x)=( )x=b x,g(x)=-logbx,当 0<b<1 时,f(x)单调递增,g(x)单调递增, b b ②正确;当 b>1 时,f(x)单调递减,g(x)单调递减. 答案:② 9.已知曲线 C:x2+y2=9(x≥0,y≥0)与函数 y=log3x 及函数 y=3x 的图象分别交于点 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x12+x22 的值为________. 解析:∵y=log3x 与 y=3x 互为反函数,所以 A 与 B 两点关于 y=x 对称,所以 x1=y2,y1=x2,∴x12 +x22=x12+y12=9.答案:9 kx-1 10.已知函数 f(x)=lg (k∈R 且 k>0).(1)求函数 f(x)的定义域; x-1 (2)若函数 f(x)在[10,+∞)上是单调增函数,求 k 的取值范围. 1 x- k kx-1 1 解:(1)由 >0 及 k>0 得 >0,即(x- )(x-1)>0. k x-1 x-1 1 1 ①当 0<k<1 时,x<1 或 x> ;②当 k=1 时,x∈R 且 x≠1;③当 k>1 时,x< 或 x>1.综上可得当 0<k<1 k k 1 时,函数的定义域为(-∞,1)∪( ,+∞); k 1 当 k≥1 时,函数的定义域为(-∞, )∪(1,+∞). k 10k-1 1 (2)∵f(x)在[10,+∞)上是增函数,∴ >0,∴k> . 10 10-1 kx-1 k-1 k-1 又 f(x)=lg =lg(k+ ), 故对任意的 x1, x2, 当 10≤x1<x2 时, 恒有 f(x1)<f(x2), 即 lg(k+ )<lg(k x-1 x-1 x1-1 + k-1 k-1 k-1 1 1 1 1 1 ), ∴ < , ∴(k-1)· ( - )<0, 又∵ > , ∴k-1<0, ∴k<1.综上可知 k∈( , 10 x2-1 x1-1 x2-1 x1-1 x2-1 x1-1 x2-1

1).

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1+x 11.已知 f(x)=loga (a>0,a≠1).(1)求 f(x)的定义域; 1-x (2)判断 f(x)的奇偶性并给予证明;(3)求使 f(x)>0 的 x 的取值范围. 1+x 解:(1)由 >0 ,解得 x∈(-1,1). 1-x 1-x (2)f(-x)=loga =-f(x),且 x∈(-1,1),∴函数 y=f(x)是奇函数. 1+x 1+x 1+x (3)若 a>1,f(x)>0,则 >1,解得 0<x<1;若 0<a<1,f(x)>0,则 0< <1,解得-1<x<0. 1-x 1-x a - 12.已知函数 f(x)满足 f(logax)= 2 (x-x 1),其中 a>0 且 a≠1. a -1 (1)对于函数 f(x),当 x∈(-1,1)时,f(1-m)+f(1-m2)<0,求实数 m 的集合; (2)x∈(-∞,2)时,f(x)-4 的值恒为负数,求 a 的取值范围. 解:令 logax=t(t∈R),则 x=at,∴f(t)= a - (at-a t), a2-1

a a - - ∴f(x)= 2 (ax-a x).∵f(-x)= 2 (a x-ax)=-f(x), a -1 a -1 ∴f(x)是 R 上的奇函数. a - 当 a>1 时, 2 >0,ax 是增函数,-a x 是增函数,∴f(x)是 R 上的增函数; a -1 a - 当 0<a<1, 2 <0,ax 是减函数,-a x 是减函数,∴f(x)是 R 上的增函数. a -1 综上所述,a>0 且 a≠1 时,f(x)是 R 上的增函数. (1)由 f(1-m)+f(1-m2)<0 有 f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1), 1-m<m -1, ? ? ∴?-1<1-m<1, ? ?-1<m2-1<1.
2

解得 m∈(1, 2).

(2)∵f(x)是 R 上的增函数,∴f(x)-4 也是 R 上的增函数,由 x<2,得 f(x)<f(2), ∴f(x)-4<f(2)-4,要使 f(x)-4 的值恒为负数,只需 f(2)-4≤0, 即 a - (a2-a 2)-4≤0,解得 2- 3≤a≤2+ 3, a2-1

∴a 的取值范围是 2- 3≤a≤2+ 3且 a≠1.

第三节幂函数与二次函数的性质
A组 1.若 a>1 且 0<b<1,则不等式 alogb(x-3)>1 的解集为________. 解析:∵a>1,0<b<1,∴alogb(x-3)>1?logb(x-3)>0?logb(x-3)>logb1?0<x-3<1?3<x<4.

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答案:{x|3<x<4} 2.下列图象中,表示 y ? x 的是________.
2 3

解析:y=x = x 是偶函数,∴排除②、③,当 x>1 时,

2 3

3

2

x x
2 3

=x >1,∴x>x ,∴排除①.答案:④

1 3

2 3

3.若 x∈(0,1),则下列结论正确的是__________.
1 1 1 1

①2x>x 2 >lgx

②2x>lgx>x 2 ③x 2 >2x>lgx④lgx>x 2 >2x
1

解析:∵x∈(0,1),∴2>2x>1,0<x 2 <1,lgx<0.答案:① 4.函数 f(x)=|4x-x2|-a 恰有三个零点,则 a=__________. 解析: 先画出 f(x)=4x-x2 的图象, 再将 x 轴下方的图象翻转到 x 轴的上方, 如图,y=a 过抛物线顶点时恰有三个交点,故得 a 的值为 4.答案:4
1

5.方程 x2=logsin1x 的实根个数是__________.
1 2

解析:在同一坐标系中分别作出函数 y1=x 和 y2=logsin1x 的图象,可知只有惟一一个交点.答案:1

6.设 a 为实数,函数 f(x)=2x2+(x-a)· |x-a|. (1)若 f(0)≥1,求 a 的取值范围;(2)求 f(x)的最小值; (3)设函数 h(x)=f(x),x∈(a,+∞),直接写出(不需给出演算步骤)不等式 h(x)≥1 的解集. 解: (1)因为 f(0)=-a|-a|≥1, 所以-a>0, 即 a<0.由 a2≥1 知 a≤-1.因此, a 的取值范围为(-∞, -1]. a 2a ? ?3(x-3)2+ 3 ,x>a, ① 2 (2)记 f(x)的最小值为 g(a).则有 f(x)=2x +(x-a)|x-a|=? ? ?(x+a)2-2a2,x≤a, ② (ⅰ)当 a≥0 时,f(-a)=-2a2,由①②知 f(x)≥-2a2,此时 g(a)=-2a2. a 2 2 (ⅱ)当 a<0 时,f( )= a2.若 x>a,则由①知 f(x)≥ a2; 3 3 3
2

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2 2 若 x≤a,则 x+a≤2a<0,由②知 f(x)≥2a2> a2.此时 g(a)= a2. 3 3 -2a , a≥0, ? ? 2 综上,得 g(a)=?2a ? ? 3 , a<0. (3)(ⅰ)当 a∈(-∞,- (ⅱ)当 a∈[- (ⅲ)当 a∈(- 6 2 ]∪[ ,+∞)时,解集为(a,+∞); 2 2
2

a+ 3-2a2 2 2 , )时,解集为[ ,+∞); 2 2 3 a- 3-2a2 a+ 3-2a2 6 2 ,- )时,解集为(a, ]∪[ ,+∞). 2 2 3 3 B组

1 1.幂函数 y=f(x)的图象经过点(-2,- ),则满足 f(x)=27 的 x 的值是__________. 8 1 1 1 - 解析:设幂函数为 y=xα,图象经过点(-2,- ),则- =(-2)α,∴α=-3,∵x 3=27,∴x= .答 8 8 3 1 案: 3 2.已知幂函数 f(x)=xα 的部分对应值如下表: x f(x) 则不等式 f(|x|)≤2 的解集是__________. 解析:由表知
1 1 2 1α 1 =( ) ,∴α= ,∴f(x)=x2.∴(|x|)2≤2,即|x|≤4,故-4≤x≤4. 2 2 2

1 1

1 2 2 2

答案:{x|-4≤x≤4} 1 ? ?x(x>0), 3.设 k∈R,函数 f(x)=? F(x)=f(x)+kx,x∈R.当 k=1 时,F(x)的值域为__________. ?ex(x≤0), ? 1 解析:当 x>0 时,F(x)= +x≥2;当 x≤0 时,F(x)=ex+x,根据指数函数与幂函数的单调性,F(x)是单 x 调递增函数,F(x)≤F(0)=1,所以 k=1 时,F(x)的值域为(-∞,1]∪[2,+∞).答案:(-∞,1]∪[2,+∞)
? ?-2 4.设函数 f(x)=? 2 ?x +bx+c ?

(x>0), (x≤0),

若 f(-4)=f(0),f(-2)=0,则关于 x 的不等式 f(x)≤1 的解集为

__________.
?x≤0, ?x>0, ? ? 解析:由 f(-4)=f(0),得 b=4.又 f(-2)=0,可得 c=4,∴? 2 或? 可得-3≤x≤ ?x +4x+4≤1 ?-2≤1, ? ?

-1 或 x>0.答案:{x|-3≤x≤-1 或 x>0}
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? ?x +4x, x≥0, 5.已知函数 f(x)=? 若 f(2-a2)>f(a),则实数 a 的取值范围是__________. 2 ?4x-x , x<0. ? ?x2+4x,x≥0, ? 解析:函数 f(x)=? 的图象如图. 2 ?4x-x ,x<0, ?

知 f(x)在 R 上为增函数.∵f(2-a2)>f(a),即 2-a2>a.解得-2<a<1. 答案:-2<a<1 6.设函数 f(x)= ax2+bx+c(a<0)的定义域为 D,若所有点(s,f(t))(s,t∈D)构成一个正方形区域,则 a 的 值为__________. 4ac-b b 解析:由题意定义域 D 为不等式 ax2+bx+c≥0 的解集.∵ax2+bx+c=a(x+ )2+ ,∵a<0, 2a 4a ∴0≤y≤ 4ac-b2 ,∴所有点(s,f(t)),(s,t∈D)构成一个正方形区域,意味着方程 ax2+bx+c=0 的两根 4a 4ac-b2 4ac-b2 b2 4c b2-4ac ,由根与系数的关系知 = 2- = ,∴4a=-a2.∵a<0, 4a 4a a a a2
2

x1,x2 应满足|x1-x2|= ∴a=-4.答案:-4

?-2+x,x>0, ? 7 .已知函数 f(x) = ? 2 若 f(0) =- 2f( - 1) = 1 ,则函数 g(x) = f(x) + x 的零点的个数为 ? ?-x +bx+c,x≤0.

__________. 1 1 1 解析:∵f(0)=1,∴c=1.又 f(-1)=- ,∴-1-b+1=- ,∴b= .当 x>0 时,g(x)=-2+2x=0, 2 2 2 1 3 1 ∴x=1; 当 x≤0 时, g(x)=-x2+ x+1+x=0, ∴x2- x-1=0, ∴x=2(舍)或 x=- , 所以有两个零点. 答 2 2 2 案:2 8.设函数 f(x)=x|x|+bx+c,给出下列四个命题:①c=0 时,f(x)是奇函数;②b=0,c>0 时,方程 f(x)=0 只有一个实根; ③f(x)的图象关于(0, c)对称; ④方程 f(x)=0 至多有两个实根. 其中正确的命题是__________. 解析:c=0 时,f(-x)=-x|-x|+b(-x)=-x|x|-bx=-f(x),故 f(x)是奇函数;b=0,c>0 时,f(x)= x|x|+c=0,∴x≥0 时,x2+c=0 无解,x<0 时,f(x)=-x2+c=0,∴x=- c,有一个实数根.答案:① ②③ 9.对于区间[a,b]上有意义的两个函数 f(x)与 g(x),如果对于区间[a,b]中的任意数 x 均有|f(x)-g(x)|≤1, 则称函数 f(x)与 g(x)在区间[a,b]上是密切函数,[a,b]称为密切区间.若 m(x)=x2-3x+4 与 n(x)=2x-3 在某个区间上是“密切函数”,则它的一个密切区间可能是________. ①[3,4] ②[2,4] ③[2,3] ④[1,4]

解析:|m(x)-n(x)|≤1?|x2-5x+7|≤1,解此绝对值不等式得 2≤x≤3,故在区间[2,3]上|m(x)-n(x)|的值域 为[0,1],∴|m(x)-n(x)|≤1 在[2,3]上恒成立. 答案:③ 10.设函数 f(x)=x2+2bx+c(c<b<1),f(1)=0,方程 f(x)+1=0 有实根.
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(1)证明:-3<c≤-1 且 b≥0; (2)若 m 是方程 f(x)+1=0 的一个实根,判断 f(m-4)的正负并加以证明. c+1 c+1 1 解:(1)证明:f(1)=0?1+2b+c=0?b=- .又 c<b<1,故 c<- <1?-3<c<- .方程 f(x)+1=0 2 2 3 有实根, 即 x2+2bx+c+1=0 有实根, 故 Δ=4b2-4(c+1)≥0, 即(c+1)2-4(c+1)≥0?c≥3 或 c≤-1.又 c<b<1, 得-3<c≤-1, c+1 由 b=- 知 b≥0. 2 (2)f(x)=x2+2bx+c=x2-(c+1)x+c=(x-c)(x-1),f(m)=-1<0, ∴c<m<1,∴c-4<m-4<-3<c,∴f(m-4)=(m-4-c)(m-4-1)>0, ∴f(m-4)的符号为正. a b 3 11.设函数 f(x)=ax2+bx+c,且 f(1)=- ,3a>2c>2b,求证:(1)a>0 且-3< <- ;(2)函数 f(x)在区间(0,2) 2 a 4 内至少有一个零点;(3)设 x1、x2 是函数 f(x)的两个零点,则 2≤|x1-x2|< a 证明:(1)∵f(1)=a+b+c=- ,∴3a+2b+2c=0. 2 又 3a>2c>2b,∴3a>0,2b<0,∴a>0,b<0.又 2c=-3a-2b,由 3a>2c>2b, b 3 ∴3a>-3a-2b>2b.∵a>0,∴-3< <- . a 4 (2)∵f(0)=c,f(2)=4a+2b+c=a-c, a ①当 c>0 时,∵a>0,∴f(0)=c>0 且 f(1)=- <0, 2 ∴函数 f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点. a ②当 c≤0 时,∵a>0,∴f(1)=- <0 且 f(2)=a-c>0,∴函数 f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点.综合 2 ①②得 f(x)在(0,2)内至少有一个零点. b c (3)∵x1、x2 是函数 f(x)的两个零点,则 x1、x2 是方程 ax2+bx+c=0 的两个根,∴x1+x2=- ,x1x2= a a 3 b =- - ,∴|x1-x2|= (x1+x2)2-4x1x2= 2 a x2|< 57 . 4 b 3 b (- )2-4(- - )= a 2 a b b 3 ( +2)2+2.∵-3< <- ,∴ 2≤|x1- a a 4 57 . 4

12.已知函数 f(x)=ax2+4x+b(a<0,a、b∈R),设关于 x 的方程 f(x)=0 的两实根为 x1、x2,方程 f(x)=x 的两实根为 α、 β.(1)若|α-β|=1, 求 a、 b 的关系式; (2)若 a、 b 均为负整数, 且|α-β|=1, 求 f(x)的解析式; (3)若 α<1<β<2,求证:(x1+1)(x2+1)<7. 解:(1)由 f(x)=x 得 ax2+3x+b=0(a<0,a、b∈R)有两个不等实根为 α、β, 3 b ∴Δ=9-4ab>0,α+β=- ,α· β= .由|α-β|=1 得(α-β)2=1, a a

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9 4b 即(α+β)2-4αβ= 2- =1,∴9-4ab=a2,即 a2+4ab=9(a<0,a、b∈R). a a (2)由(1)得 a(a+4b)=9,∵a、b 均为负整数,
? ? ? ?a=-1 ?a=-9 ?a=-3, ∴? 或? 或? 显然 后两种 情况不 合题意, 应舍去 ,从而 有 ?a+4b=-9 ? ? ? ?a+4b=-1 ?a+4b=-3, ?a=-1, ?a=-1, ? ? ? ∴? ?a+4b=-9, ? ? ?b=-2.

故所求函数解析式为 f(x)=-x2+4x-2. 4 b 3 b 1 (3)证明:由已知得 x1+x2=- ,x1· x2= ,又由 α<1<β<2 得 α+β=- <3,α· β= <2,∴- <1,∴(x1 a a a a a b 4 +1)(x2+1)=x1· x2+(x1+x2)+1= - +1<2+4+1=7, a a 即(x1+1)(x2+1)<7.

第四节函数的图像特征
A组 1.命题甲:已知函数 f(x)满足 f(1+x)=f(1-x),则 f(x)的图象关于直线 x=1 对称.命题乙:函数 f(1+x) 与函数 f(1-x)的图象关于直线 x=1 对称.则甲、乙命题正确的是__________. 解析:可举实例说明如 f(x)=2x,依次作出函数 f(1+x)与函数 f(1-x)的图象判断.答案:甲 x x 2.函数 y= · a (a>1)的图象的基本形状是_____. |x|

?ax(x>0) ? 解析:先去绝对值将已知函数写成分段函数形式,再作图象即可,函数解析式:y=? ,由 ?-ax(x<0) ?

指数函数图象易知①正确. 答案:① 1 3.已知函数 f(x)=( )x-log3x,若 x0 是方程 f(x)=0 的解,且 0<x1<x0,则 f(x1)的值 5

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为__________(正负情况). 1 1x 解析:分别作 y=( )x 与 y=log3x 的图象,如图可知,当 0<x1<x0 时,( ) 1>log3x1, 5 5 ∴f(x1)>0.答案:正值 4.设 a<b,函数 y=(x-a)2(x-b)的图象可能是_____.

解析:∵x>b 时,y>0.由数轴穿根法,从右上向左下穿,奇次穿偶次不穿可知,只有③正确.答案: ③ 5.(原创题)已知当 x≥0 时,函数 y=x2 与函数 y=2x 的图象如图所示,则当 x≤0 时,不等式 2x· x2≥1 的解集 是__________. 解析:在 2x· x2≥1 中,令 x=-t,由 x≤0 得 t≥0, ∴2 t· (-t)2≥1,即 t2≥2t,由所给图象得 2≤t≤4,


∴2≤-x≤4,解得-4≤x≤-2. 答案:-4≤x≤-2

?3-x 2, x ∈[-1,2], 6.已知函数 f(x)= ? ? x-3, x ∈ (2,5].
(1)画出 f(x)的图象;(2)写出 f(x)的单调递增区间. 解:(1)函数 f(x)的图象如图所示.,

(2)由图象可知,函数 f(x)的单调递增区间为[-1,0],[2,5]. B组 1-x 1.函数 f(x)=ln 的图象只可能是__________. 1+x

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解析:本题中 f(x)的定义域为{x|-1<x<1},从而排除②③选项.又由于 u(x)=-1+ -1<x<1}内是减函数,而 g(x)=lnx 在定义域(0,+∞)内是增函数,从而 f(x)=ln 义域{x|-1<x<1}是减函数. 答案:①

2 在定义域{x| 1+x

1-x 2 =ln(-1+ )在定 1+x 1+x

2.家电下乡政策是应对金融危机、积极扩大内需的重要举措.我市某家电制造集团为尽快实现家电下乡 提出四种运输方案,据预测,这四种方案均能在规定时间 T 内完成预期的运输任务 Q0,各种方案的运输总 量 Q 与时间 t 的函数关系如下图所示.在这四种方案中,运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是

解析:运输效率是运输总量 Q 与时间 t 的函数的导数,几何意义为图象的切线,切线斜率的增长表明 运输效率的提高,从图形看,②正确. 答案:② 3.如图,过原点 O 的直线与函数 y=2x 的图象交于 A,B 两点,过 B 作 y 轴的垂线交函 数 y=4x 的图象于点 C,若 AC 平行于 y 轴,则点 A 的坐标是__________. 2a 4a 解析:设 C(a,4a),所以 A(a,2a),B(2a,4a),又 O,A,B 三点共线,所以 = ,故 a 2a 4a=2× 2a,所以 2a=0(舍去)或 2a=2,即 a=1,所以点 A 的坐标是(1,2).答案:(1,2) 4.已知函数 f(x)=4-x2,g(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,当 x>0 时,g(x) =log2x,则函数 y=f(x)· g(x)的大致图象为__________.

解析:f(x)为偶函数,g(x)是奇函数,所以 f(x)· g(x)为奇函数,图象关于原点对称,当 x→+∞时,f(x)→
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-∞,g(x)→+∞,所以 f(x)· g(x)→-∞答案:② 5.某加油机接到指令,给附近空中一运输机加油.运输机的余油量为 Q1(吨),加油 机加油箱内余油 Q2(吨),加油时间为 t 分钟,Q1、Q2 与时间 t 的函数关系式的图象 如右图. 若运输机加完油后以原来的速度飞行需 11 小时到达目的地, 问运输机的油 料是否够用?________. 解析: 加油时间 10 分钟, Q1 由 30 减小为 0.Q2 由 40 增加到 69, 因而 10 分钟时间内运输机用油 1 吨. 以 后的 11 小时需用油 66 吨.因 69>66,故运输机的油料够用.答案:够用 6 .已知函数 y ? f ? x ? ( x ? R) 满足 f ( x ? 2) ? f ? x ? ,且 x ? (?1,1] 时, f ? x?= x ,则 y ? f ? x? 与

y ? log7 x 的交点的个数为__________.

解析:由 f(x+2)=f(x)知函数 y=f(x)为周期为 2 的周期函数,作图. 答案:6 7.函数 y=x n (m,n∈Z,m≠0,|m|,|n|互质)图象如图所示,则下列结论正确的是__________. ①mn>0,m,n 均为奇数 ②mn<0,m,n 一奇一偶 ③mn<0,m,n 均为奇数 ④mn>0,m,n 一奇一偶 m 解析: 由于幂函数在第一象限的图象趋势表明函数在(0, +∞)上单调递减, 此时只需保证 <0, 即 mn<0, n 有 y=x n =x- |n| ;同时函数只在第一象限有图象,则函数的定义域为(0,+∞),此时|n|定为偶数,n 即为偶 数,由于两个数互质,则 m 定为奇数.答案:② 8.定义在 R 上的偶函数 f(x)的部分图象如图所示,则在(-2,0)上,下列函数中与 f(x)的单调性不同的是 ①y=x2+1 ②y=|x|+1
? ?2x+1,x≥0 ③y=? 3 ?x +1,x<0 ? ?ex,x≥0 ? ④y=? -x ? ?e ,x<0
m |m| m

解析:∵f(x)为偶函数,由图象知,f(x)在(-2,0)上为减函数,而 y=x3+1 在(-∞,0)上为增函数.答 案:③

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2

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9.(2010 年安徽合肥模拟)已知函数图象 C′与 C:y(x+a+1)=ax+a +1 关于直线 y=x 对称,且图象 C′ 关于点(2,-3)对称,则 a 的值为__________. 解析:∵C′与 C:y(x+a+1)=ax+a2+1 关于直线 y=x 对称, 1- a ∴C′为 x(y+a+1)=ay+a2+1.整理得,y+1+a= . x-a ∵C′关于点(2,-3)对称,∴a=2.答案:2 10.作下列函数的图象: 1-|x| 1 (1)y= ;(2)y=|x-2|(x+1);(3)y= ;(4)y=|log2x-1|;(5)y=2|x-1|. |x|-1 |1-x| 1 1 解: (1)定义域{x|x∈R 且 x≠±1}, 且函数是偶函数. 又当 x≥0 且 x≠1 时, y= .先作函数 y= 的图象, x x-1 并将图象向右平移 1 个单位,得到函数 y= 1 (x≥0 且 x≠1)的图象(如图(a)所示). x-1

1 又函数是偶函数,作关于 y 轴对称图象,得 y= 的图象(如图(b)所示). |x|-1

?(x-2) -4 (x≥2), (2)函数式可化为 y=? 1 9 ?-(x-2) +4 (x<2).
2 2

1

9

其图象如图①所示.

1+x ? ?1-x (3)函数式化为 y=? 1 ? ?-1

(x<0), (0≤x<1), (x>1). 其图象如图②所示.

(4)先作出 y=log2x 的图象,再将其图象向下平移 1 个单位长度,保留 x 轴上方的部分,将 x 轴下方的 图象翻折到 x 轴上方,即得 y=|log2x-1|的图象,如图③所示.

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x

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(5)先作出 y=2 的图象,再将其图象在 y 轴左边的部分去掉,并作出 y 轴右边的图象关于 y 轴对称的 图象,即得 y=2|x|的图象,再将 y=2|x|的图象向右平移 1 个单位长度,即得 y=2|x
-1|

的图象,如图④所示.

a 1 1 11.已知函数 f(x)=- x (a>0 且 a≠1).(1)证明:函数 y=f(x)的图象关于点( ,- )对称;(2)求 f(-2) 2 2 a+ a +f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值. 1 1 解:(1)证明:函数 f(x)的定义域为 R,任取一点(x,y),它关于点( ,- )对称的点的坐标为(1-x,- 2 2 1-y).由已知,y=- a a ax a a ,则- 1 - y =- 1 + =- .,f(1-x)=- 1-x =- =- a ax+ a ax+ a ax + a a + a + a ax

a· ax ax =- . a+ a· ax ax+ a 1 1 ∴-1-y=f(1-x).即函数 y=f(x)的图象关于点( ,- )对称. 2 2 (2)由(1)有-1-f(x)=f(1-x).即 f(x)+f(1-x)=-1. ∴f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1,f(0)+f(1)=-1. 则 f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3. x+b 1 1 3 1 12.设函数 f(x)= (x∈R,且 a≠0,x≠ ).(1)若 a= ,b=- ,指出 f(x)与 g(x)= 的图象变换关系以 a 2 2 x ax-1 及函数 f(x)的图象的对称中心;(2)证明:若 ab+1≠0,则 f(x)的图象必关于直线 y=x 对称. 3 x- 2 2x-3 1 3 1 解:(1)a= ,b=- ,f(x)= = =2+ , 2 2 1 x-2 x-2 x-1 2 ∴f(x)的图象可由 g(x)的图象沿 x 轴右移 2 个单位,再沿 y 轴上移 2 个单位得到,f(x)的图象的对称中 心为点(2,2). x0+b (2)证明:设 P(x0,y0)为 f(x)图象上任一点,则 y0= ,P(x0,y0)关于 y=x 的对称点为 P′(y0,x0).由 ax0-1 y0= x0+b y0+b 得 x0= .∴P′(y0,x0)也在 f(x)的图象上.故 f(x)的图象关于直线 y=x 对称. ax0-1 ay0-1

第五节章末测试题

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第四章函数应用 第一节一次函数、二次函数和复合函数
基础练习
1.若方程 x2-2mx+4=0 的两根满足一根大于 2,一根小于 2,则 m 的取值范围是____________. 解析:设 f(x)=x2-2mx+4,则题设条件等价于 f(2)<0,即 4-4m+4<0?m>2,答案:m>2 2.函数 f(x)=ax2+bx+c 与其导函数 f ′(x)在同一坐标系内的图象可能是( )

解析:若二次函数 f(x)的图象开口向上,则导函数 f ′(x)为增函数,排除 A;同理由 f(x)图象开口向下, 导函数 f ′(x)为减函数,排除 D;又 f(x)单调增时,f ′(x)在相应区间内恒有 f ′(x)≥0,排除 B,故选 C. 答案:C 3. (文)已知二次函数 f(x)图象的对称轴是 x=x0, 它在区间[a, b]上的值域为[f(b), f(a)], 则___________. 解析:∵f(x)在区间[a,b]上的值域为[f(b),f(a)],且 f(x)为二次函数,∴f(x)在[a,b]上单调递减,又 f(x) 对称轴为 x=x0,开口方向未知,∴x0≤a 或 x0≥b,即 x0?(a,b). 答案:x0?(a,b) (理)若方程 2ax2-x-1=0 在(0,1)内恰有一解,则 a 的取值范围为( A.a<-1 B.a>1C.-1<a<1 D.0≤a<1 )

解析:令 f(x)=2ax2-x-1,当 a=0 时,显然不合题意.∵f(0)=-1<0,f(1)=2a-2,∴由 f(1)>0 得 1 a>1,又当 f(1)=0,即 a=1 时,2x2-x-1=0 两根 x1=1,x2=- 不合题意,故选 B. 2 答案:B 4.函数 f(x)对任意 x∈R,满足 f(x)=f(2-x).如果方程 f(x)=0 恰有 2013 个实根,则所有这些实根之 和为_____________. 解析:∵x∈R 时,f(x)=f(2-x),∴f(x)的图象关于直线 x=1 对称,实根之和为 1× 2013=2013. 答案:2013 5.已知方程|x|-ax-1=0 仅有一个负根,则 a 的取值范围是( )

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解析:数形结合判断.

答案:a≥1
? ?x+2,x≤0, 6.已知函数 f(x)=? 则不等式 f(x)≥x2 的解集是____________. ?-x+2,x>0, ? ?x≤0 ?x>0 ? ? ? [解析] 依题意得? 或 2 2 ?-1≤x≤0 或 0<x≤1?-1≤x≤1. ?x+2≥x ?-x+2≥x ? ?

答案:-1≤x≤1 7.已知 y=f(x)是奇函数.若 g(x)=f(x)+2 且 g(1)=1,则 g(-1)=________. [解析] 本题考查了奇函数的定义及函数值的求法. ∵f(x)为奇函数,∴f(-1)=-f(1),∵g(1)=f(1)+2 g(-1)=4,∴g(-1)=4-g(1)=3. [答案] 3 [点评] 抓住已知条件 f(x)的奇函数是解决本题的关键. 8.若函数 f(x)=ax+b(a≠0)的一个零点是 1,则函数 g(x)=bx2-ax 的零点是________. [解析] 由题意知 ax+b=0(a≠0)的解为 x=1, ∴b=-a, ∴g(x)=-ax2-ax=-ax(x+1), 令 g(x)=0, 则 x=0 或 x=-1. [答案] 0 或-1 9.函数 f(x)=(a+1)x+2a 在[-1,1]上的值有正有负,则实数 a 的取值范围是________. 1 [解析] 由条件知,f(-1)· f(1)<0,∴(a-1)(3a+1)<0,∴- <a<1. 3 1 [答案] (- ,1) 3 10.(文)已知函数 f(x)=x2+2x+3 在[m,0]上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范围是________. [解析] f(x)=x2+2x+3=(x+1)2+2,对称轴 x=-1,开口向上,f(-1)=2,∴m≤-1. 又 f(0)=f(-2)=3,∴m≥-2,故 m∈[-2,-1]. [答案] [-2,-1] (理)设函数 f(x)=x2+(2a-1)x+4, 若 x1<x2, x1+x2=0 时, 有 f(x1)>f(x2), 则实数 a 的取值范围是________. 1-2a 1 [解析] 由题意得 >0,得 a< . 2 2 1 [答案] (-∞, ) 2
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①,g(-1)=f(-1)+2

②,∴①+②得 g(1)+

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能力拓展提升 11.已知命题 p:关于 x 的函数 y=x2-3ax+4 在[1,+∞)上是增函数,命题 q:函数 y=(2a-1)x 为减 函数,若“p 且 q”为真命题,则实数 a 的取值范围是____________. 3a 2 1 [解析] 命题 p 等价于 ≤1,即 a≤ .命题 q:由函数 y=(2a-1)x 为减函数得:0<2a-1<1,即 <a<1. 2 3 2 1 2 因为“p 且 q”为真命题,所以 p 和 q 均为真命题,所以 <a≤ . 2 3 1 2 答案: <a≤ 2 3 12.函数 f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),且 f(x+1)为奇函数,当 x>1 时,f(x)=2x2-12x+16, 则直线 y=2 与函数 f(x)图象的所有交点的横坐标之和是__________________. [解析] 该函数图象与直线 y=2 有三个交点(x1,2),(x2,2),(x3,2),x1=-1,x2+x3=6(其中(x2,2),(x3,2) 关于直线 x=3 对称),则横坐标之和为 5. 答案:5

13. 设二次函数 f(x)=ax2-2ax+c 在区间[0,1]上单调递减, 且 f(m)≤f(0), 则实数 m 的取值范围是_______. [解析] 二次函数 f(x)=ax2-2ax+c 在区间[0,1]上单调递减,则 a≠0,f ′(x)=2a(x-1)<0,x∈[0,1], 所以 a>0,即函数的图象开口向上,对称轴是直线 x=1.所以 f(0)=f(2),则当 f(m)≤f(0)时,有 0≤m≤2. 答案: ? 0, 2? 14.(文)已知函数 f(x)=x2-2x+2 的定义域和值域均为[1,b],则 b 等于________. [答案] 2 [解析] ∵f(x)=(x-1)2+1,∴f(x)在[1,b]上是增函数,f(x)max=f(b),∴f(b)=b,∴b2-2b+2=b,∴ b2-3b+2=0,∴b=2 或 1(舍). (理)已知函数 f(x)的自变量的取值区间为 A,若其值域也为 A,则称区间 A 为 f(x)的保值区间.函数 f(x) =x2 的形如[n,+∞)(n∈(0,+∞))的保值区间是________. [解析] 因为 f(x)=x2 在[n, +∞)(n∈(0, +∞))上单调递增, 所以 f(x)在[n, +∞)上的值域为[f(n), +∞), 若[n,+∞)是 f(x)的保值区间,则 f(n)=n2=n,解得 n=1. [答案] [1,+∞)
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2 x+2

15.(文)若函数 y=lg(3-4x+x )的定义域为 M.当 x∈M 时,求 f(x)=2 值. [解析] 要使函数 y=lg(3-4x+x2)有意义,应有 3-4x+x2>0, 解得 x<1 或 x>3,∴M={x<1 或 x>3}. f(x)=2x 2-3× 4x=4× 2x-3× (2x)2,


-3× 4 的最值及相应的 x 的

x

令 2x=t,∵x<1 或 x>3,∴t>8 或 0<t<2. 2 4 ∴y=4t-3t2=-3(t- )2+ (t>8 或 0<t<2), 3 3 由二次函数性质可知, 4 当 0<t<2 时,f(x)∈(-4, ]; 3 当 t>8 时,f(x)∈(-∞,-160); 2 2 4 当 2x=t= ,即 x=log2 时,y= . 3 3 3 2 4 综上可知,当 x=log2 时,f(x)取到最大值为 ,无最小值. 3 3 (理)已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)且满足 f(-1)=0,对任意实数 x,恒有 f(x)-x≥0,并且当 x∈ (0,2)时,有 f(x)≤? x+1?2 ? 2 ?.

(1)求 f(1)的值; (2)证明 a>0,c>0; (3)当 x∈[-1,1]时,函数 g(x)=f(x)-mx(x∈R)是单调函数,求证:m≤0 或 m≥1. [解析] (1)对 x∈R,f(x)-x≥0 恒成立,当 x=1 时,f(1)≥1,又∵1∈(0,2),由已知得 f(1)≤? ∴1≤f(1)≤1,∴f(1)=1. 1 1 (2)证明:∵f(1)=1,f(-1)=0,∴a+b+c=1,a-b+c=0,∴b= .∴a+c= .∵f(x)-x≥0 对 x∈R 2 2 a>0, ? ? ? ?a>0, 1 ? 恒成立,∴ax - x+c≥0 对 x∈R 恒成立,∴ ∴? 1 2 ?Δ≤0, ? ?ac≥16, ?
2

1+1?2 ? 2 ? =1,

∴c>0,故 a>0,c>0.

1 1 1 1 1 (3)证明:∵a+c= ,ac≥ ,由 a>0,c>0 及 a+c≥2 ac,得 ac≤ ,∴ac= ,当且仅当 a=c= 时, 2 16 16 16 4 取“=”. 1 1 1 1 1 ? 1 1 2 ∴f(x)= x2+ x+ .∴g(x)=f(x)-mx= x2+? ?2-m?x+4=4[x +(2-4m)x+1].∵g(x)在[-1,1]上是单 4 2 4 4 调函数,∴2m-1≤-1 或 2m-1≥1,∴m≤0 或 m≥1. *16.(文)(2011· 西安检测)设函数 f(x)=x2+|2x-a|(x∈R,a 为实数). (1)若 f(x)为偶函数,求实数 a 的值; (2)设 a>2,求函数 f(x)的最小值.
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[分析] (1)f(x)为偶函数?f(-x)=f(x)?a=0. (2)含绝对值的函数的实质是分段函数,可以通过对 x 取值的分类讨论,去掉绝对值符号,得到分段函 数. [解析] (1)由 f(x)为偶函数知,f(-x)=f(x),即|2x-a|=|2x+a|,解得 a=0.

?x +2x-a,x≥2a, (2)f(x)=? 1 ?x -2x+a,x<2a,
2 2

1

1 当 x≥ a 时,f(x)=x2+2x-a=(x+1)2-(a+1), 2 a? a2 1 1 由 a>2,x≥ a,得 x>1,故 f(x)在 x≥ a 时单调递增,f(x)的最小值为 f? ?2?= 4 ; 2 2 1 当 x< a 时,f(x)=x2-2x+a=(x-1)2+(a-1), 2 a 故当 1≤x< 时,f(x)单调递增,当 x<1 时,f(x)单调递减, 2 则 f(x)的最小值为 f(1)=a-1. ?a-2?2 a2 由 -(a-1)= >0,知 f(x)的最小值为 a-1. 4 4 x2+2x+a (理)已知函数 f(x)= ,x∈[1,+∞). x 1 (1)当 a= 时,求函数 f(x)的最小值; 2 (2)若对任意 x∈[1,+∞),f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围. 1 1 [解析] (1)当 a= 时,f(x)=x+ +2. 2 2x 1 ∵x≥1 时,f ′(x)=1- 2>0, 2x ∴f(x)在区间[1,+∞)上为增函数, 7 ∴f(x)在区间[1,+∞)上的最小值为 f(1)= . 2 (2)解法 1:在区间[1,+∞)上, x2+2x+a f(x)= >0 恒成立?x2+2x+a>0 恒成立?a>-x2-2x 恒成立?a>(-x2-2x)max,x≥1. x ∵-x2-2x=-(x+1)2+1, ∴当 x=1 时,(-x2-2x)max=-3, ∴a>-3. x2+2x+a 解法 2:在区间[1,+∞)上,f(x)= >0 恒成立?x2+2x+a>0 恒成立. x 设 y=x2+2x+a,x∈[1,+∞),
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∴y=x +2x+a=(x+1) +a-1 递增, ∴当 x=1 时,ymin=3+a, 当且仅当 ymin=3+a>0 时,函数 f(x)>0 恒成立, ∴a>-3. C 组 1.已知函数 y=x -2x+3 在闭区间[0,m]上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范围是( A.[1,+∞) [答案] C [解析] 如图所示. ∵f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2, ∵f(0)=3,f(1)=2,且 f(2)=3,可知只有当 m∈[1,2]时,才能满足题目的要求. 2.设 abc>0,二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象可能是( ) B.[0,2]C.[1,2] D.(-∞,2]
2

2

2

)

b b [解析] 若 a<0,则只能是 A 或 B 选项,A 中- <0,∴b<0,从而 c>0,与 A 图不符;B 中- >0, 2a 2a ∴b>0,∴c<0,与 B 图不符.若 a>0,则抛物线开口向上,只能是 C 或 D 选项,当 b>0 时,有 c>0 与 C、 b D 图不符,当 b<0 时,有 c<0,此时- >0,f(0)=c<0,故选 D. 2a [答案] D 3. 已知 f(x)=(x-a)(x-b)-2(a<b), 并且 α、 β 是方程 f(x)=0 的两个根(α<β), 则实数 a、b、α、β 的大小关系可能为____________________ [解析] 设 g(x)=(x-a)(x-b),则 f(x)=g(x)-2,分别作出这两个函数的 图象,如图所示,可得 ? ? a ? b ? ? 答案: ? ? a ? b ? ? 4.若 a<0,则下列不等式成立的是( 1 1 A.2a>( )a>(0.2)aB.(0.2)a>( )a>2? 2 2 ) 1 C.( )a>(0.2)a>2? 2 1 D.2a>(0.2)a>( )a 2

1 1 [解析] 若 a<0,则幂函数 y=xa 在(0,+∞)上是减函数,所以(0.2)a>( )a>0.所以(0.2)a>( )a>2a. 2 2 [答案] B 5.函数 f(x)= 1-2log6x的定义域为________. [ 解析 ] 1 要使函数有意义,应有被开方数大于或等于零.由题意知 1 - 2log6x≥0 ,∴ log6x≤ ,∴ 2

log6x≤log6 6,∴0<x≤ 6,∴函数的定义域为(0, 6]. [答案] (0, 6]
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6.已知关于 x 的函数 f(x)=x -2x-3,若 f(x1)=f(x2)(x1≠x2),则 f(x1+x2)等于________. x1+x2 b 解析:∵二次函数 f(x)=x2-2x-3 中,a=1,b=-2,c=-3,∴由 f(x1)=f(x2)得, =- =1, 2 2a 所以 x1+x2=2,则 f(x1+x2)=f(2)=-3. [答案] -3 7.已知函数 f(x)=x2+abx+a+2b(a>0,b>0),若 f(0)=4,则 f(1)的最大值为________. [解析] ∵f(0)=4,∴a+2b=4,∴f(1)=ab+a+2b+1=ab+5,∵a>0,b>0,∴4=a+2b≥2 2ab,

∴ab≤2,等号在 a=2b=2,即 a=2,b=1 时成立.∴f(1)=ab+5≤7. [答案] 7 8.已知函数 f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab(a≠0),当 x∈(-3,2)时,f(x)>0;当 x∈(-∞,-3)∪(2,+∞) 时,f(x)<0. (1)求 f(x)在[0,1]内的值域; (2)c 为何值时,不等式 ax2+bx+c≤0 在[1,4]上恒成立. [解析] (1)由题意得 x=-3 和 x=2 是函数 f(x)的零点且 a≠0,则
? ? ?-3?2+?b-8? ·? -3?-a-ab, ?0=a· ?a=-3 ? ? 解得 ,∴f(x)=-3x2-3x+18. ?0=a· ? 22+?b-8? ·2 -a-ab, ? ?b=5

(1)如图,由图象知,函数 f(x)在[0,1]内单调递减, ∴当 x=0 时,y=18,当 x=1 时,y=12, ∴f(x)在[0,1]内的值域为[12,18]. (2)解法 1:令 g(x)=-3x2+5x+c. 5 ? ∵g(x)在? ?6,+∞?上单调递减,要使 g(x)≤0 在[1,4]上恒成立,则需要 g(x)max=g(1)≤0, 即-3+5+c≤0,解得 c≤-2. ∴当 c≤-2 时,不等于 ax2+bx+c≤0 在[1,4]上恒成立. 解法 2:不等式-3x2+5x+c≤0 在[1,4]上恒成立, 即 c≤3x2-5x,在[1,4]上恒成立. 令 g(x)=3x2-5x,∵x∈[1,4], ∴g(x)在[1,4]上单调递增, ∴g(x)min=g(1)=3× 12-5× 1=-2,∴c≤-2.

第二节函数的应用
A组
? ?x(x+4),x<0, 1.已知函数 f(x)=? 则函数 f(x)的零点个数为________. ?x(x-4),x≥0. ?

解析:只要画出分段函数的图象,就可以知道图象与 x 轴有三个交点,即函数的零点有 3 个.答案:
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3 2.根据表格中的数据,可以判定方程 ex-x-2=0 的一个根所在的区间为___. x ex x+2 -1 0.37 1 0 1 2 1 2.72 3 2 7.39 4 3 20.09 5

解析:据题意令 f(x)=ex-x-2,由于 f(1)=e1-1-2=2.72-3<0,f(2)=e2-4=7.39-4>0,故函数在 区间(1,2)内存在零点,即方程在相应区间内有根. 答案:(1,2) 3.偶函数 f(x)在区间[0,a](a>0)上是单调函数,且 f(0)· f(a)<0,则方程 f(x)=0 在区间[-a,a]内根的个数 是__________. 解析:由题意函数 f(x)在区间[0,a](a>0)上是单调函数,且 f(0)· f(a)<0,根据零点存在定理知:在区间 [0,a]内函数 f(x)一定存在惟一零点且 f(0)≠0,又函数 f(x)是偶函数,故其在[-a,0]也惟一存在一个零点, 所以方程 f(x)=0 在区间[-a,a]内根的个数为 2.答案:2 4.某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价.该地区的电网销售电价表如下: 高峰时间段用电价格表 高峰月用电量 (单位:千瓦时) 50 及以下的部分 超过 50 至 200 的部分 超过 200 的部分 高峰电价 (单位:元/千瓦时) 0.568 0.598 0.668 低谷时间段用电价格表 低谷月用电量 (单位:千瓦时) 50 及以下的部分 超过 50 至 200 的部分 超过 200 的部分 低谷电价 (单位:元/千瓦时) 0.288 0.318 0.388

若某家庭 5 月份的高峰时间段用电量为 200 千瓦时,低谷时间段用电量为 100 千瓦时,则按这种计费 方式该家庭本月应付的电费为________元 解析:高峰时段电费 a=50× 0.568+(200-50)× 0.598=118.1(元). 低谷时段电费 b=50× 0.288+(100-50)× 0.318=30.3(元). 故该家庭本月应付的电费为 a+b=148.4(元).答案:148.4 5.(原创题)已知 f(x)=|x|+|x-1|,若 g(x)=f(x)-a 的零点个数不为 0,则 a 的最小值为________.

解析:作 f(x)的图象,如图,g(x)=f(x)-a=0,即 f(x)=a,当 a=1 时,g(x)有无数个零点;当 a>1 时,g(x) 有 2 个零点;∴a 的最小值为 1. 答案:1

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? ?0.1+15lna-x,x≤6, 6.有时可用函数 f(x)=? x-4.4 ? ? x-4 ,x>6,
描述学习某学科知识的掌握程度,其中 x 表示某学科知识的学习次数(x∈N*),f(x)表示对该学科知识 的掌握程度,正实数 a 与学科知识有关. (1)证明:当 x≥7 时,掌握程度的增长量 f(x+1)-f(x)总是下降; (2)根据经验,学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为(115,121],(121,127],(127,133].当学习某 学科知识 6 次时,掌握程度是 85%,请确定相应的学科. 0.4 解:(1)证明:当 x≥7 时,f(x+1)-f(x)= .而当 x≥7 时,函数 y=(x-3)(x-4)单调递增,且 (x-3)(x-4) (x-3)(x-4)>0,故 f(x+1)-f(x)单调递减. ∴当 x≥7,掌握程度的增长量 f(x+1)-f(x)总是下降. a a (2)由题意可知 0.1+15ln =0.85,整理得 =e0.05, a-6 a-6 e0.05 解得 a= 0.05 ·6≈20.50× 6=123.0,123.0∈(121,127]. e -1 由此可知,该学科是乙学科. B组 1.某学校开展研究性学习活动,一组同学获得了下面的一组试验数据: x y 1.99 1.5 3 4.04 4 7.5 5.1 12 6.12 18.01

a

现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是________ ①y=2x-2 1 1 ②y=( )x③y=log2x④y= (x2-1) 2 2

解析:代入点(2,1.5),(3,4)检验.答案:④ 2.函数 f(x)=2x+x-7 的零点所在的区间是____. ①(0,1) ②(1,2) ③(2,3) ④(3,4) 解析:因为 f(0)=-6<0,f(1)=2+1-7=-4<0,f(2)=22+2-7=-1<0,f(3)=23+3-7=4>0,所 以函数的零点在区间(2,3)内. 答案:③ 1 3.已知函数 f(x)=x+log2x,则 f(x)在[ ,2]内的零点的个数是______. 2 1 解析:易知 g(x)=x 与 h(x)=log2x 均为增函数,故函数 f(x)为增函数,且 f(2)· f( )<0,故函数有且只有 2 一个零点. 答案:1

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4.某种细胞在培养过程中正常情况下,时刻 t(单位:分钟)与细胞数 n(单位:个)的部分数据如下: t n 0 1 20 2 60 8 140 128
t t

根据表中数据,推测繁殖到 1000 个细胞时的时刻 t 最接近于________分钟. 解析: 由表格中所给数据可以得出 n 与 t 的函数关系为 n=220, 令 n=1000, 得 220=1000, 又 210=1024, 所以时刻 t 最接近 200 分钟.答案:200 5.某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批同意方可投入生产.已知该生产线连续生 1 产 n 年的累计产量为 f(n)= n(n+1)(2n+1)吨,但如果年产量超过 150 吨,将会给环境造成危害.为保护 2 环境,环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________年. 1 1 解析:由题知第一年产量为 a1= × 1× 2× 3=3;以后各年产量分别为 an=f(n)-f(n-1)= n· (n+1)(2n+ 2 2 1 1)- n· (n-1)(2n-1)=3n2(n∈N*),令 3n2≤150,得 1≤n≤5 2?1≤n≤7,故生产期限最长为 7 年.答案:7 2 6.某市出租车收费标准如下: 起步价为 8 元,起步里程为 3 km(不超过 3 km 按起步价付费);超过 3 km 但不超过 8 km 时,超过部 分按每千米 2.15 元收费; 超过 8 km 时, 超过部分按每千米 2.85 元收费, 另每次乘坐需付燃油附加费 1 元. 现 某人乘坐一次出租车付费 22.6 元,则此次出租车行驶了________km. 解析:设乘客每次乘坐出租车需付费用为 f(x)元,由题意可得:

?8 ? 1, x ? ? 0,3? ? f ? x ? ? ?9 ? ? x ? 3? ? 2.15, x ? ? 3,8? ? ?9 ? 5 ? 2.15 ? ? x ? 8? ? 2.85, x ? ?8, ?? ?
令 f(x)=22.6,解得 x=9.答案:9 7.一位设计师在边长为 3 的正方形 ABCD 中设计图案,他分别以 A、B、C、D 为圆 3 心,以 b(0<b≤ )为半径画圆,由正方形内的圆弧与正方形边上线段(圆弧端点在正方 2 形边上的连线 )构成了丰富多彩的图形,则这些图形中实线部分总长度的最小值为 ________. 解析:由题意实线部分的总长度为 l=4(3-2b)+2πb=(2π-8)b+12,l 关于 b 的一次函数的一次项系 数 2π-8<0,故 l 关于 b 的函数单调递减,因此,当 b 取最大值时,l 取得最小值,结合图形知,b 的最大 3 3 值为 ,代入上式得 l 最小=(2π-8)× +12=3π. 2 2 答案:3π 8.在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度 v m/s 和燃料的质量 M kg,火箭(除燃料外)的质量 m kg 的函数关系是 v=2000· ln(1+M/m). 当燃料质量是火箭质量的________倍时, 火箭的最大速度可达 12 km/s.

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M M 解析:由题意得 2000ln(1+ )≤12000,∴ ≤e6-1. m m 答案:e6-1 1 ? ?|x-1|, x≠1 1 9.定义域为 R 的函数 f(x)=? 若关于 x 的函数 h(x)=f2(x)+bf(x)+ 有 5 个不同的零点 x1, 2 ? ?1,x=1 x2,x3,x4,x5,则 x12+x22+x32+x42+x52 等于________. 1 解析:假设关于 t 的方程 t2+bt+ =0 不存在 t=1 的根,则使 h(x)=0 的 f(x)的值也不为 1,而显然方 2 程 f(x)=k 且 k≠1 的根最多有两个,而 h(x)是关于 f(x)的二次函数,因此方程 h(x)=0 的零点最多有四个, 1 3 3 1 1 与已知矛盾,可见 t=1 时 t2+bt+ =0,即得 b=- ,所以 h(x)=f 2(x)- f(x)+ = (f(x)-1)(2f(x)-1), 2 2 2 2 2 而方程 f(x)-1=0 的解为 x=0,1,2,方程 2f(x)-1=0 的解为 x=-1,3,由此可见五根分别为-1,0,1,2,3, 因此直接计算得上述五数的平方和为 15. 答案:15 10.某商场在促销期间规定:商场内所有商品按标价的 80%出售.同时,当顾客在该商场内消费满一定金额 后,按如下方案获得相应金额的奖券:, 消费金额(元)的范围 获得奖券的金额(元) [200,400) 30 [400,500) 60 [500,700) 100 [700,900) 130 … …

根据上述促销方法,顾客在该商场购物可以获得双重优惠.例如:购买标价为 400 元的商品,则消费 购买商品获得的优惠额 金额为 320 元,获得的优惠额为:400× 0.2+30=110(元).设购买商品的优惠率= . 商品的标价 试问: (1)购买一件标价为 1000 元的商品,顾客得到的优惠率是多少? 1 (2)对于标价在[500,800)(元)的商品,顾客购买标价为多少元的商品时,可得到不小于 的优惠率? 3 1000× 0.2+130 33 33 解:(1) = ,即顾客得到的优惠率是 . 1000 100 100 (2)设商品的标价为 x 元,则 500≤x<800.则消费金额满足 400≤0.8x<640. 0.2x+60 1 当 400≤0.8x<500, 即 500≤x<625 时, 由 ≥ 解得 x≤450, 不合题意; 当 500≤0.8x<640.即 625≤x<800 x 3 0.2x+100 1 时,由 ≥ 解得 625≤x≤725. x 3 1 因此,当顾客购买标价在[625,725](元)内的商品时,可得到不小于 的优惠率. 3 11.已知某企业原有员工 2000 人,每人每年可为企业创利润 3.5 万元.为应对国际金融危机给企业带来的 不利影响,该企业实施“优化重组,分流增效”的策略,分流出一部分员工待岗.为维护生产稳定,该企业
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决定待岗人数不超过原有员工的 5%,并且每年给每位待岗员工发放生活补贴 0.5 万元.据评估,若待岗员 81 工人数为 x,则留岗员工每人每年可为企业多创利润(1- )万元.为使企业年利润最大,应安排多少员 100x 工待岗? 解:设重组后,该企业年利润为 y 万元.依题意得 81 324 y=(2000-x)(3.5+1- )-0.5x=-5(x+ )+9000.81, 100x x 324 ∴y=-5(x+ )+9000.81(0<x≤100 且 x∈N), x 324 y=-5(x+ )+9000.81≤-5× 2 324+9000.81=8820.81, x 324 ∴当且仅当 x= ,即 x=18 时取等号,此时 y 取得最大值. x 即为使企业年利润最大,应安排 18 人待岗. 12.某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为 10 万元/辆,出厂价为 13 万元/辆,年销售量为 5000 辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车投入成本增加的比例 为 x(0<x<1),则出厂价相应提高的比例为 0.7x,年销售量也相应增加.已知年利润=(每辆车的出厂价-每 辆车的投入成本)× 年销售量. (1)若年销售量增加的比例为 0.4x,为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例 x 应在什么范围内? 5 (2)若年销售量 T 关于 x 的函数为 T=3240(-x2+2x+ ),则当 x 为何值时,本年度的年利润最大?最 3 大利润为多少? 解:(1)由题意得:上年度的利润为(13-10)× 5000=15000 万元; 本年度每辆车的投入成本为 10× (1+x)万元; 本年度每辆车的出厂价为 13× (1+0.7x)万元; 本年度年销售量为 5000× (1+0.4x)辆. 因此本年度的利润为 y = [13× (1 + 0.7x) - 10× (1 + x)]× 5000× (1 + 0.4x) = (3 - 0.9x)× 5000× (1 + 0.4x) = - 1800x2 + 1500x + 15000(0<x<1). 5 由-1800x2+1500x+15000>15000,解得 0<x< . 6 5 为使本年度的年利润比上年度有所增加,则 0<x< . 6 (2)本年度的利润为 5 f(x)=[13× (1+0.7x)-10× (1+x)]× 3240× (-x2+2x+ )=3240× (0.9x3-4.8x2+4.5x+5), 3 则 f′(x)=3240× (2.7x2-9.6x+4.5)=972(9x-5)(x-3).

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5 令 f′(x)=0,解得 x= 或 x=3(舍去). 9 5 当 x∈(0, )时,f′(x)>0,f(x)是增函数; 9 5 当 x∈( ,1)时,f′(x)<0,f(x)是减函数. 9 5 5 ∴当 x= 时,f(x)取得最大值,f(x)max=f( )=20000. 9 9 5 即当 x= 时,本年度的年利润最大,最大利润为 20000 万元 9

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第五章三角函数 第一节角的概念的推广与弧度制
A组 1. 点 P 从 (?1,0) 出发, 沿单位圆 x2 ? y 2 ? 1 顺时针方向运动

? 弧长到达 Q 点, 则 Q 点的坐标为________. 3

π 2π 解析:由于点 P 从(-1,0)出发,顺时针方向运动 弧长到达 Q 点,如图,因此 Q 点的坐标为(cos , 3 3 sin 2π 1 3 ),即 Q(- , ). 3 2 2 1 3 答案:(- , ) 2 2 2.设 α 为第四象限角,则下列函数值一定是负值的是________. α α α ①tan ②sin ③cos 2 2 2 ④cos2α

α α 解析:α 为第四象限角,则 为第二、四象限角,因此 tan <0 恒成立,应填①,其余三个符号可正可 2 2 负. 答案:① 3.若 sinα<0 且 tanα>0,则 α 是第_______象限的角. 答案:三 4.函数 y

| sin x | cos x | tan x | ? ? 的值域为________. sin x | cos x | tan x

解析:当 x 为第一象限角时,sinx>0,cosx>0,tanx>0,y=3; 当 x 为第二象限角时,sinx>0,cosx<0,tanx<0,y=-1; 当 x 为第三象限角时,sinx<0,cosx<0,tanx>0,y=-1; 当 x 为第四象限角时,sinx<0,cosx>0,tanx<0,y=-1. 答案:{-1,3} 5.若一个 α 角的终边上有一点 P(-4,a),且 sin ? ? cos ? ?
3 ,则 a 的值为________. 4

解析:依题意可知 α 角的终边在第三象限,点 P(-4,a)在其终边上且 sinα· cosα= 或 3 4 ,则 a=-4 3或- 3. 3 3 4 答案:-4 3或- 3 3 6.已知角 α 的终边上的一点 P 的坐标为(- 3,y)(y≠0),且 sinα=
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3 ,易得 tanα= 3 4

2 y,求 cosα,tanα 的值. 4

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解:因为 sinα=

2 y y= ,所以 y2=5, 4 (- 3)2+y2 6 15 ,tanα=- ; 4 3 6 15 ,tanα= . 4 3 B组

当 y= 5时,cosα=-

当 y=- 5时,cosα=-

1.已知角 α 的终边过点 P(a,|a|),且 a≠0,则 sinα 的值为________. 解析:当 a>0 时,点 P(a,a)在第一象限,sinα= 答案: 2 2 2 2 ;当 a<0 时,点 P(a,-a)在第二象限,sinα= . 2 2

2.已知扇形的周长为 6 cm,面积是 2 cm2,则扇形的圆心角的弧度数是_____. 2R+α· R=6 ? ? 解析:设扇形的圆心角为 α rad,半径为 R,则?1 2 α=2 ? ?2R · 答案:1 或 4 3.如果一扇形的圆心角为 120° ,半径等于 10 cm,则扇形的面积为________. 1 1 2 100 解析:S= |α|r2= × π× 100= π(cm2). 2 2 3 3 100 答案: π cm2 3 θ 4.若角 θ 的终边与 168° 角的终边相同,则在 0° ~360° 内终边与 角的终边相同的角的集合为__________. 3 答案:{56° ,176° ,296° } 5.若 α=k· 180° +45° (k∈Z),则 α 是第________象限. 解析:当 k=2m+1(m∈Z)时,α=2m· 180° +225° =m· 360° +225° ,故 α 为第三象限角;当 k=2m(m∈ Z)时,α=m· 360° +45° ,故 α 为第一象限角. 答案:一或三 6.设角 α 的终边经过点 P(-6a,-8a)(a≠0),则 sinα-cosα 的值是________. 解析:∵x=-6a,y=-8a,∴r= (-6a)2+(-8a)2=10|a|, y x -8a+6a -a 1 ∴sinα-cosα= - = = =± . r r 10|a| 5|a| 5 1 答案:± 5 y 7.若点 A(x,y)是 300° 角终边上异于原点的一点,则 的值为________. x y 解析: =tan300° =-tan60° =- 3. x
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,解得 α=1 或 α=4.

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答案:- 3 3π 3π 8.已知点 P(sin ,cos )落在角 θ 的终边上,且 θ∈[0,2π),则 θ 的值为________. 4 4 3π cos 4 3π 3π 7π 解析:由 sin >0,cos <0 知角 θ 在第四象限,∵tanθ= =-1,θ∈[0,2π),∴θ= . 4 4 3π 4 sin 4 7π 答案: 4 9. 已知角 α 的始边在 x 轴的非负半轴上, 终边在直线 y=kx 上, 若 sinα= 解析:设 α 终边上任一点 P(x,y),且|OP|≠0,∴y=kx, ∴r= x2+(kx)2= 1+k2|x|.又 sinα>0,cosα<0.∴x<0,y>0, y kx k 2 ∴r=- 1+k2x,且 k<0.∴sinα= = =- . 2,又 sinα= r - 1+k2x 5 1+k ∴- k 2 ,∴k=-2. 2= 5 1+k 2 , 且 cosα<0, 则 k 的值为________. 5

答案:-2 10.已知一扇形的中心角是 α,所在圆的半径是 R.若 α=60° ,R=10 cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形 面积. π 10 解:设弧长为 l,弓形面积为 S 弓,∵α=60° = ,R=10,∴l= π(cm), 3 3 1 10 1 2 π 3 S 弓=S 扇-S△= · π·10- · 10 sin60° =50( - )(cm2). 2 3 2 3 2 11.扇形 AOB 的周长为 8 cm. (1)若这个扇形的面积为 3 cm2,求圆心角的大小; (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长 AB. 解:设扇形 AOB 的半径为 r,弧长为 l,圆心角为 α, 2r+l=8, ? ? ? ? ?r=3, ?r=1 (1)由题意可得?1 解得? 或? ? ? ?l=2, ?l=6, ? ?2lr=3, l 2 l ∴α= = 或 α= =6. r 3 r (2)∵2r+l=2r+αr=8,∴r= 8 1 1 64 .∴S 扇= αr2= α· = 2 2 2+α (2+α)2 32 ≤4, 4 α+ +4 α

4 8 当且仅当 α= ,即 α=2 时,扇形面积取得最大值 4.此时,r= =2 (cm), α 2+2 ∴|AB|=2× 2sin1=4 sin1 (cm). 12.(1)角 α 的终边上一点 P(4t,-3t)(t≠0),求 2sinα+cosα 的值;
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(2)已知角 β 的终边在直线 y= 3x 上,用三角函数定义求 sinβ 的值. 解:(1)根据题意,有 x=4t,y=-3t,所以 r= (4t)2+(-3t)2=5|t|, 3 4 6 4 2 ①当 t>0 时,r=5t,sinα=- ,cosα= ,所以 2sinα+cosα=- + =- . 5 5 5 5 5 -3t 3 4t 4 ②当 t<0 时,r=-5t,sinα= = ,cosα= =- , 5 5 -5t -5t 6 4 2 所以 2sinα+cosα= - = . 5 5 5 (2)设 P(a, 3a)(a≠0)是角 β 终边 y= 3x 上一点,若 a<0,则 β 是第三象限角,r=-2a,此时 sinβ = 3a 3 =- ;若 a>0,则 β 是第一象限角,r=2a, 2 -2a 此时 sinβ= 3a 3 = . 2a 2

第二节正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式
A组 3 π 1.若 cosα=- ,α∈( ,π),则 tanα=________. 5 2 3 π 4 sinα 4 解析:cosα=- ,α∈( ,π),所以 sinα= ,∴tanα= =- . 5 2 5 cosα 3 4 答案:- 3 4 2.若 sinθ=- ,tanθ>0,则 cosθ=________. 5 4 3 解析:由 sinθ=- <0,tanθ>0 知,θ 是第三象限角,故 cosθ=- . 5 5 3 答案:- 5 π 3 π 3.若 sin( +α)= ,则 cos( -α)=________. 6 5 3 π π π π 3 3 解析:cos( -α)=cos[ -( +α)]=sin( +α)= .答案: 3 2 6 6 5 5 5sinx-cosx 4.已知 sinx=2cosx,则 =______. 2sinx+cosx 5sinx-cosx 5tanx-1 9 解析:∵sinx=2cosx,∴tanx=2,∴ = = . 2sinx+cosx 2tanx+1 5 9 答案: 5 5.若 cos2θ+cosθ=0,则 sin2θ+sinθ=________. 1 解析:由 cos2θ+cosθ=0,得 2cos2θ-1+cosθ=0,所以 cosθ=-1 或 cosθ= ,当 cosθ=-1 时,有 2
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1 3 sinθ=0,当 cosθ= 时,有 sinθ=± .于是 sin2θ+sinθ=sinθ(2cosθ+1)=0 或 3或- 3. 2 2 答案:0 或 3或- 3 60 π π 6.已知 sin(π-α)cos(-8π-α)= ,且 α∈( , ),求 cosα,sinα 的值. 169 4 2 解:由题意,得 2sinαcosα= 120 .①又∵sin2α+cos2α=1,② 169

289 49 ①+②得:(sinα+cosα)2= ,②-①得:(sinα-cosα)2= . 169 169 π π 又∵α∈( , ),∴sinα>cosα>0,即 sinα+cosα>0,sinα-cosα>0, 4 2 17 7 ∴sinα+cosα= .③sinα-cosα= ,④ 13 13 12 5 ③+④得:sinα= .③-④得:cosα= . 13 13 B组 1.已知 sinx=2cosx,则 sin2x+1=________. 2sin2x+cos2x 2tan2x+1 9 9 解析:由已知,得 tanx=2,所以 sin2x+1=2sin2x+cos2x= 2 = = .答案: 5 sin x+cos2x tan2x+1 5 10π 2.cos =________. 3 10π 4π π 1 1 解析:cos =cos =-cos =- .答案:- 3 3 3 2 2 3 π sin2α 3.已知 sinα= ,且 α∈( ,π),那么 2 的值等于________. 5 2 cos α 3 2× 5 4 sin2 α 2sin α cos α 2sin α 3 解析:cosα=- 1-sin2α=- , 2 = = = =- . 2 5 cos α cos α cosα 4 2 - 5 3 答案:- 2 sinα+cosα 4.若 tanα=2,则 +cos2α=_________________. sinα-cosα sinα+cosα sinα+cosα tanα+1 cos2α 1 16 16 解析: +cos2α= + 2 = + = .答案: 5 sinα-cosα sinα-cosα sin α+cos2α tanα-1 tan2α+1 5 π 5.已知 tanx=sin(x+ ),则 sinx=___________________. 2 5-1 5-1 π 解析:∵tanx=sin(x+ )=cosx,∴sinx=cos2x,∴sin2x+sinx-1=0,解得 sinx= .答案: 2 2 2 6.若 θ∈[0,π),且 cosθ(sinθ+cosθ)=1,则 θ=________. 解析: 由 cosθ(sinθ+cosθ)=1?sinθ· cosθ=1-cos2θ=sin2θ?sinθ(sinθ-cosθ)=0?sinθ=0 或 sinθ-cosθ

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π π =0,又∵θ∈[0,π),∴θ=0 或 .答案:0 或 4 4 π 1 7π 7.已知 sin(α+ )= ,则 cos(α+ )的值等于________. 12 3 12 7π π π π 1 解析:由已知,得 cos(α+ )=cos[(α+ )+ ]=-sin(α+ )=- . 12 12 2 12 3 1 答案:- 3 8.若 cosα+2sinα=- 5,则 tanα=________.

?cosα+2sinα=- 5, 解析:由? 2 ?sin α+cos2α=1,②



2 5 5 将①代入②得( 5sinα+2)2=0,∴sinα=- ,cosα=- ,∴tanα=2. 5 5 答案:2 3π sin(π-α)cos(2π-α)tan(-α+ ) 2 31π 9.已知 f(α)= ,则 f(- )的值为________. 3 cos(-π-α) sinα· cosα· cotα 31 π 1 1 解析:∵f(α)= =-cosα,∴f(- π)=-cos =- .答案:- 3 3 2 2 -cosα 2π 4π 10.求 sin(2nπ+ )· cos(nπ+ )(n∈Z)的值. 3 3 2π 4π 2π π 解:(1)当 n 为奇数时,sin(2nπ+ )· cos(nπ+ )=sin · cos[(n+1)π+ ] 3 3 3 3 π π π π 3 1 3 =sin(π- )· cos =sin · cos = × = . 3 3 3 3 2 2 4 2π 4π 2π 4π π π π π 3 (2)当 n 为偶数时, sin(2nπ+ )· cos(nπ+ )=sin · cos =sin(π- )·cos(π+ )=sin · (-cos )= × (- 3 3 3 3 3 3 3 3 2 1 3 )=- . 2 4 11.在△ABC 中,若 sin(2π-A)=- 2sin(π-B), 3cosA=- 2cos(π-B),求△ABC 的三内角.

?sinA= 2sinB, 解:由已知,得? ? 3cosA= 2cosB,②
2 ①2+②2 得:2cos2A=1,即 cosA=± . 2 (1)当 cosA= cosA=- 7 C= π. 12



2 3 π π 7 时,cosB= ,又 A、B 是三角形内角,∴A= ,B= ,∴C=π-(A+B)= π.(2)当 2 2 4 6 12

2 3 3 5 π π 时,cosB=- .又 A、B 是三角形内角,∴A= π,B= π,不合题意.综上知,A= ,B= , 2 2 4 6 4 6

12.已知向量 a=( 3,1),向量 b=(sinα-m,cosα).
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(1)若 a∥b,且 α∈[0,2π),将 m 表示为 α 的函数,并求 m 的最小值及相应的 α 值;(2)若 a⊥b,且 m π cos( -α)· sin(π+2α) 2 =0,求 的值. cos(π-α) π 解:(1)∵a∥b,∴ 3cosα-1· (sinα-m)=0,∴m=sinα- 3cosα=2sin(α- ). 3 π 又∵α∈[0,2π),∴当 sin(α- )=-1 时,mmin=-2. 3 π 3 11 此时 α- = π,即 α= π. 3 2 6 (2)∵a⊥b,且 m=0,∴ 3sinα+cosα=0.∴tanα=- 3 . 3

π cos( -α)· sin(π+2α) 2 sinα· (-sin2α) ∴ = =tanα· 2sinα· cosα cos(π-α) -cosα 2sinα· cosα 2tanα 1 =tanα· 2 =tanα· = . sin α+cos2α 1+tan2α 2

第三节正弦函数与余弦函数的图像与性质
A组 π 1.已知函数 f(x)=sin(x- )(x∈R),下面结论错误的是. 2 π ①函数 f(x)的最小正周期为 2π②函数 f(x)在区间[0, ]上是增函数 2 ③函数 f(x)的图象关于直线 x=0 对称④函数 f(x)是奇函数 π 解析:∵y=sin(x- )=-cosx,y=-cosx 为偶函数, 2 π ∴T=2π,在[0, ]上是增函数,图象关于 y 轴对称.答案:④ 2 π 2.函数 y=2cos2(x- )-1 是________. 4 ①最小正周期为 π 的奇函数 π 期为 的偶函数 2 π π 解析:y=2cos2(x- )-1=cos(2x- )=sin2x,∴T=π,且为奇函数. 4 2 答案:① π 3.若函数 f(x)=(1+ 3tanx)cosx,0≤x< ,则 f(x)的最大值为________. 2 sinx π 解析:f(x)=(1+ 3· )· cosx=cosx+ 3sinx=2sin(x+ ), cosx 6
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π ②最小正周期为 π 的偶函数 ③最小正周期为 的奇函数 ④最小正周 2

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π π π 2π π π ∵0≤x< ,∴ ≤x+ < ,∴当 x+ = 时,f(x)取得最大值 2.答案:2 2 6 6 3 6 2 π 4.已知函数 f(x)=asin2x+cos2x(a∈R)图象的一条对称轴方程为 x= ,则 a 的值为________. 12 π π π π 3 解析:∵x= 是对称轴,∴f(0)=f( ),即 cos0=asin +cos ,∴a= . 12 6 3 3 3 答案: 3 3

π 5.设 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象关于直线 x= 对称,它的最小正周期是 π,则 f(x)图象上的一个 3 对称中心是________(写出一个即可). 2π π π 解析:∵T= =π,∴ω=2,又∵函数的图象关于直线 x= 对称,所以有 sin(2× +φ)=± 1,∴φ=k1π ω 3 3 π π π π π π - (k1∈Z),由 sin(2x+k1π- )=0 得 2x+k1π- =k2π(k2∈Z),∴x= +(k2-k1) ,当 k1=k2 时,x= , 6 6 6 12 2 12 π π ∴f(x)图象的一个对称中心为( ,0).答案:( ,0) 12 12 6.设函数 f(x)= 3cos2x+sinxcosx- 3 . 2

(1)求函数 f(x)的最小正周期 T,并求出函数 f(x)的单调递增区间; (2)求在[0,3π)内使 f(x)取到最大值的所有 x 的和. 解:(1)f(x)= 3 1 3 3 1 π (cos2x+1)+ sin2x- = cos2x+ sin2x=sin(2x+ ), 2 2 2 2 2 3

π π π 5 π 故 T=π.由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z),得 kπ- π≤x≤kπ+ , 2 3 2 12 12 5 π 所以单调递增区间为[kπ- π,kπ+ ](k∈Z). 12 12 π π π π (2)令 f(x)=1,即 sin(2x+ )=1,则 2x+ =2kπ+ (k∈Z).于是 x=kπ+ (k∈Z),∵0≤x<3π,且 k∈ 3 3 2 12 π π π 13π Z,∴k=0,1,2,则 +(π+ )+(2π+ )= . 12 12 12 4 13 ∴在[0,3π)内使 f(x)取到最大值的所有 x 的和为 π. 4 B组 2 π 2 1.函数 f(x)=sin( x+ )+sin x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________. 3 2 3 2x 2x 2x π 2π T 解析:f(x)=cos +sin = 2sin( + ),相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期,T= =3π,∴ 3 3 3 4 2 2 3 = 3π 3π .答案: 2 2

π 2.给定性质:a 最小正周期为 π;b 图象关于直线 x= 对称.则下列四个函数中,同时具有性质 ab 的是 3
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________. x π ①y=sin( + ) 2 6 π ②y=sin(2x+ ) 6 π ③y=sin|x| ④y=sin(2x- ) 6

2π π π π π 解析:④中,∵T= =π,∴ω=2.又 2× - = ,所以 x= 为对称轴. ω 3 6 2 3 答案:④ π π 3.若 <x< ,则函数 y=tan2xtan3x 的最大值为__. 4 2 π π 2tan4x 2(t+1) 1 解析: <x< ,tanx>1,令 tan2x-1=t>0,则 y=tan2xtan3x= =-2(t+ +2)≤-8, 2 = 4 2 t 1-tan x -t 故填-8.答案:-8 2 4.函数 f(x)=sin2x+2cosx 在区间[- π,θ]上的最大值为 1,则 θ 的值是________. 3 2π 解析:因为 f(x)=sin2x+2cosx=-cos2x+2cosx+1=-(cosx-1)2+2,又其在区间[- ,θ]上的最大 3 π π 值为 1,可知 θ 只能取- .答案:- 2 2 2π 2π 5.若函数 f(x)=2sinωx(ω>0)在[- , ]上单调递增,则 ω 的最大值为________. 3 3 2π 2π 3 3 3 解析:由题意,得 ≥ ,∴0<ω≤ ,则 ω 的最大值为 .答案: 4ω 3 4 4 4 π π 6.设函数 y=2sin(2x+ )的图象关于点 P(x0,0)成中心对称,若 x0∈[- ,0],则 x0=________. 3 2 π π π 解析:因为图象的对称中心是其与 x 轴的交点,所以由 y=2sin(2x0+ )=0,x0∈[- ,0],得 x0=- . 3 2 6 π 答案:- 6 π π 7.已知函数 y=Asin(ωx+φ)+m 的最大值为 4,最小值为 0,最小正周期为 ,直线 x= 是其图象的一条 2 3 对称轴,则下面各式中符合条件的解析式是________. π π π π ①y=4sin(4x+ )②y=2sin(2x+ )+2③y=2sin(4x+ )+2 ④y=2sin(4x+ )+2 6 3 3 6
? ?A+m=4 2π 解析:因为已知函数的最大值为 4,最小值为 0,所以? ,解得 A=m=2,又最小正周期为 ω ?m-A=0 ?
2

π π π π 4π = ,所以 ω=4,又直线 x= 是其图象的一条对称轴,将 x= 代入得 sin(4× +φ)=± 1,所以 φ+ =kπ 2 3 3 3 3 π 5π π + (k∈Z),即 φ=kπ- (k∈Z),当 k=1 时,φ= .答案:④ 2 6 6 π 8.有一种波,其波形为函数 y=sin x 的图象,若在区间[0,t]上至少有 2 个波峰(图象的最高点),则正整 2 数 t 的最小值是________.

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π 5 解析:函数 y=sin x 的周期 T=4,若在区间[0,t]上至少出现两个波峰,则 t≥ T=5.答案:5 2 4 9.已知函数 f(x)= 3sinωx+cosωx(ω>0),y=f(x)的图象与直线 y=2 的两个相邻交点的距离等于 π,则 f(x) 的单调递增区间是________. π 解析:∵y= 3sinωx+cosωx=2sin(ωx+ ),且由函数 y=f(x)与直线 y=2 的两个相邻交点间的距离为 6 2π π π π π π 知,函数 y=f(x)的周期 T=π,∴T= =π,解得 ω=2,∴f(x)=2sin(2x+ ).令 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ (k ω 6 2 6 2 π π π π ∈Z),得 kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z).答案:[kπ- ,kπ+ ](k∈Z) 3 6 3 6 10.已知向量 a=(2sinωx,cos2ωx),向量 b=(cosωx,2 3),其中 ω>0,函数 f(x)=a· b,若 f(x)图象的相邻 π π 两对称轴间的距离为 π.(1)求 f(x)的解析式;(2)若对任意实数 x∈[ , ],恒有|f(x)-m|<2 成立,求实数 m 6 3 的取值范围. π 解:(1)f(x)=a· b=(2sinωx,cos2ωx)· (cosωx,2 3)=sin2ωx+ 3(1+cos2ωx)=2sin(2ωx+ )+ 3.∵相邻 3 2π 1 两对称轴的距离为 π,∴ =2π,∴ω= , 2ω 2 π ∴f(x)=2sin(x+ )+ 3. 3 π π π π 2π (2)∵x∈[ , ],∴x+ ∈[ , ],∴2 3≤f(x)≤2+ 3.又∵|f(x)-m|<2, 6 3 3 2 3 π π ∴-2+m<f(x)<2+m.,若对任意 x∈[ , ],恒有|f(x)-m|<2 成立,则有 6 3

?-2+m≤2 3, 解得 3≤m≤2+2 3. ? ?2+m≥2+ 3,
11.设函数 f(x)=a· b,其中向量 a=(2cosx,1),b=(cosx, 3sin2x+m). (1)求函数 f(x)的最小正周期和在[0,π]上的单调递增区间; π (2)当 x∈[0, ]时,f(x)的最大值为 4,求 m 的值. 6 π 解:(1)∵f(x)=a· b=2cos2x+ 3sin2x+m=2sin(2x+ )+m+1, 6 ∴函数 f(x)的最小正周期 T= 2π =π. 2

π 2π 在[0,π]上的单调递增区间为[0, ],[ ,π]. 6 3 π π (2)当 x∈[0, ]时,∵f(x)单调递增,∴当 x= 时,f(x)取得最大值为 m+3,即 m+3=4,解之得 m= 6 6 1,∴m 的值为 1. 12.已知函数 f(x)= 3sinωx-2sin2 ωx +m(ω>0)的最小正周期为 3π,且当 x∈[0,π]时,函数 f(x)的最小值 2
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2

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为 0.(1)求函数 f(x)的表达式;(2)在△ABC 中,若 f(C)=1,且 2sin B=cosB+cos(A-C),求 sinA 的值. π 解:(1)f(x)= 3sinωx+cosωx-1+m=2sin(ωx+ )-1+m. 6 2π 2 依题意,函数 f(x)的最小正周期为 3π,即 =3π,解得 ω= . ω 3 2x π ∴f(x)=2sin( + )-1+m. 3 6 π 2x π 5π 1 2x π 当 x∈[0,π]时, ≤ + ≤ , ≤sin( + )≤1, 6 3 6 6 2 3 6 2x π ∴f(x)的最小值为 m.依题意,m=0.∴f(x)=2sin( + )-1. 3 6 2C π 2C π (2)由题意,得 f(C)=2sin( + )-1=1,∴sin( + )=1. 3 6 3 6 π 2C π 5π 2C π π π π 而 ≤ + ≤ ,∴ + = ,解得 C= .∴A+B= . 6 3 6 6 3 6 2 2 2 π 在 Rt△ABC 中,∵A+B= ,2sin2B=cosB+cos(A-C). 2 -1± 5 5-1 ∴2cos2A-sinA-sinA=0,解得 sinA= .∵0<sinA<1,∴sinA= . 2 2

第四节函数 f ? x ? ? Asin(?x ? ?) 的图像
A组 1.已知 a 是实数,则函数 f(x)=1+asinax 的图象不可能是________.

2π 解析:函数的最小正周期为 T= ,∴当|a|>1 时,T<2π.当 0<|a|<1 时,T>2π,观察图形中周期与振幅 |a| 的关系,发现④不符合要求.答案:④ π 2. 将函数 y=sinx 的图象向左平移 φ(0≤φ<2π)个单位后, 得到函数 y=sin(x- )的图象, 则 φ 等于________. 6 π π 11π 11π 解析:y=sin(x- )=sin(x- +2π)=sin(x+ ).答案: 6 6 6 6 3.将函数 f(x)= 3sinx-cosx 的图象向右平移 φ(φ>0)个单位,所得图象对应的函数为奇函数,则 φ 的最小 值为________. π 解析:因为 f(x)= 3sinx-cosx=2sin(x- ),f(x)的图象向右平移 φ 个单位所得图象对应的函数为奇函 6 5π 数,则 φ 的最小值为 . 6
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5π 答案: 6 4.如图是函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<π),x∈R 的部分图象,则下列命题中,正确命题的 序号为________. π ①函数 f(x)的最小正周期为 ; 2 ②函数 f(x)的振幅为 2 3; 7 ③函数 f(x)的一条对称轴方程为 x= π; 12 π 7 ④函数 f(x)的单调递增区间为[ , π]; 12 12 2 ⑤函数的解析式为 f(x)= 3sin(2x- π). 3 T 5π π 7π 7π 解析:据图象可得:A= 3, = - ?T=π,故 ω=2,又由 f( )= 3?sin(2× +φ)=1,解得 φ 2 6 3 12 12 2π 2π 2π =2kπ- (k∈Z), 又-π<φ<π, 故 φ=- , 故 f(x)= 3sin(2x- ), 依次判断各选项, 易知①②是错误的, 3 3 3 7π π 7π 由图象易知 x= 是函数图象的一条对称轴,故③正确,④函数的单调递增区间有无穷多个,区间[ , ] 12 12 12 只是函数的一个单调递增区间,⑤由上述推导易知正确.答案:③⑤ 5. 已知函数 f(x)=sinωx+cosωx, 如果存在实数 x1, 使得对任意的实数 x, 都有 f(x1)≤f(x)≤f(x1+2010)成立, 则 ω 的最小值为________. 解析: 显然结论成立只需保证区间[x1, x1+2010]能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可, 且 f(x) 2π ω π π π =sinωx+cosωx= 2sin(ωx+ ),则 2010≥ ?ω≥ .答案: 4 2 2010 2010 π 6.已知函数 f(x)=sin2ωx+ 3sinωx· sin(ωx+ )+2cos2ωx,x∈R(ω>0),在 y 轴右侧的第一个最高点的横坐 2 π 标为 . (1)求 ω; 6 π (2)若将函数 f(x)的图象向右平移 个单位后, 再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的 4 倍, 纵坐标 6 不变,得到函数 y=g(x)的图象,求函数 g(x)的最大值及单调递减区间. 解:(1)f(x)= 3 1 3 π 3 sin2ωx+ cos2ωx+ =sin(2ωx+ )+ , 2 2 2 6 2

π π π 令 2ωx+ = ,将 x= 代入可得:ω=1. 6 2 6 π 3 (2)由(1)得 f(x)=sin(2x+ )+ , 6 2 1 π 3 经过题设的变化得到的函数 g(x)=sin( x- )+ , 2 6 2

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4 5 当 x=4kπ+ π,k∈Z 时,函数取得最大值 . 3 2 π 1 π 3 令 2kπ+ ≤ x- ≤2kπ+ π(k∈Z), 2 2 6 2 4π 10 ∴4kπ+ ≤x≤4kπ+ π(k∈Z). 3 3 4π 10 即 x∈[4kπ+ ,4kπ+ π],k∈Z 为函数的单调递减区间. 3 3 B组 1.已知函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π≤φ<π)的图象如图所示,则 φ=________. T 3 解析:由图可知, =2π- π, 2 4 5 2π 5 4 ∴T= π,∴ = π,∴ω= , 2 ω 2 5 4 ∴y=sin( x+φ). 5 4 3 又∵sin( × π+φ)=-1, 5 4 3 ∴sin( π+φ)=-1, 5 3 3 ∴ π+φ= π+2kπ,k∈Z. 5 2 9 9 ∵-π≤φ<π,∴φ= π.答案: π 10 10 2.已知函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的图象如图所示,则 φ=________. 2π π 解析:由图象知 T=2( - )=π. 3 6 2π π π π π π ∴ω= =2,把点( ,1)代入,可得 2× +φ= ,φ= .答案: T 6 6 2 6 6 π 3.已知函数 f(x)=sin(ωx+ )(x∈R,ω>0)的最小正周期为 π,为了得到函数 g(x)=cosωx 的图象,只要将 y 4 =f(x)的图象________. π 解析:∵f(x)=sin(ωx+ )(x∈R,ω>0)的最小正周期为 π, 4 ∴ 2π =π,故 ω=2. ω

π π π π 又 f(x)=sin(2x+ )∴g(x)=sin[2(x+ )+ ]=sin(2x+ )=cos2x. 4 8 4 2 π 答案:向左平移 个单位长度 8 π 2 4.已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ) 的图象如图所示,f( )=- ,则 f(0)=________. 2 3

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T 11 7 π 2π 解析: = π- π= ,∴ω= =3. 2 12 12 3 T 7 又( π,0)是函数的一个上升段的零点, 12 7 3π π ∴3× π+φ= +2kπ(k∈Z),得 φ=- +2kπ,k∈Z, 12 2 4 π 2 2 2 2 代入 f( )=- ,得 A= ,∴f(0)= . 2 3 3 3 2 答案: 3

π π 5.将函数 y=sin(2x+ )的图象向________平移________个单位长度后所得的图象关于点(- ,0)中心对 3 12 称. π π π 解析:由 y=sin(2x+ )=sin2(x+ )可知其函数图象关于点(- ,0)对称,因此要使平移后的图象关于 3 6 6 (- π π π ,0)对称,只需向右平移 即可.答案:右 12 12 12

?a1 a2?=a a -a a ,将函数 f(x)=? 3 cosx?的图象向左平移 m 个单位(m>0),若 6.定义行列式运算:? ? ? ? ?a3 a4? 1 4 2 3 ?1 sinx ?
所得图象对应的函数为偶函数,则 m 的最小值是________. 解析:由题意,知 f(x)= 3sinx-cosx=2( 3 1 π sinx- cosx)=2sin(x- ), 2 2 6

π π π 其图象向左平移 m 个单位后变为 y=2sin(x- +m),平移后其对称轴为 x- +m=kπ+ ,k∈Z.若为 6 6 2 2π 2π 2π 偶函数,则 x=0,所以 m=kπ+ (k∈Z),故 m 的最小值为 .答案: 3 3 3 π π π 7.若将函数 y=tan(ωx+ )(ω>0)的图象向右平移 个单位长度后,与函数 y=tan(ωx+ )的图象重合,则 ω 4 6 6 的最小值为________. π π π π π 解析:y=tan(ωx+ )向右平移 个单位长度后得到函数解析式 y=tan[ω(x- )+ ],即 y=tan(ωx+ - 4 6 6 4 4 πω π πω π 1 ),显然当 - = +kπ(k∈Z)时,两图象重合,此时 ω= -6k(k∈Z).∵ω>0,∴k=0 时,ω 的最小 6 4 6 6 2 1 1 值为 .答案: 2 2 π π 3π 3π 8.给出三个命题:①函数 y=|sin(2x+ )|的最小正周期是 ;②函数 y=sin(x- )在区间[π, ]上单调递 3 2 2 2 5π 5π 增;③x= 是函数 y=sin(2x+ )的图象的一条对称轴.其中真命题的个数是________. 4 6 π π π 解析:由于函数 y=sin(2x+ )的最小正周期是 π,故函数 y=|sin(2x+ )|的最小正周期是 ,①正确;y 3 3 2 3π 3π 5π 5π 5π 5π π =sin(x- )=cosx, 该函数在[π, )上单调递增, ②正确; 当 x= 时, y=sin(2x+ )=sin( + )=sin( 2 2 4 6 2 6 2 + 5π 5π 3 5π 5π )=cos =- ,不等于函数的最值,故 x= 不是函数 y=sin(2x+ )的图象的一条对称轴,③不正 6 6 2 4 6
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确.答案:2 πx 9.当 0≤x≤1 时,不等式 sin ≥kx 恒成立,则实数 k 的取值范围是________. 2 πx 解析:当 0≤x≤1 时,y=sin 的图象如图所示,y=kx 的图象在[0,1]之间的部 2 分应位于此图象下方,当 k≤0 时,y=kx 在[0,1]上的图象恒在 x 轴下方,原不等式 成立. πx 当 k>0,kx≤sin 时,在 x∈[0,1]上恒成立,k≤1 即可. 2 πx 故 k≤1 时,x∈[0,1]上恒有 sin ≥kx.答案:k≤1 2 2π 10. 设函数 f(x)=(sinωx+cosωx)2+2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为 .(1)求 ω 的值; (2)若函数 y=g(x)的图象 3 π 是由 y=f(x)的图象向右平移 个单位长度得到,求 y=g(x)的单调增区间. 2 π 解:(1)f(x)=sin2ωx+cos2ωx+2sinωx· cosωx+1+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx+2= 2sin(2ωx+ )+2,依 4 2π 2π 3 题意,得 = ,故 ω= . 2ω 3 2 π π 5π (2)依题意,得 g(x)= 2sin[3(x- )+ ]+2= 2sin(3x- )+2. 2 4 4 π 5π π 2 π 2 7π 由 2kπ- ≤3x- ≤2kπ+ (k∈Z),解得 kπ+ ≤x≤ kπ+ (k∈Z). 2 4 2 3 4 3 12 2 π 2 7π 故 g(x)的单调增区间为[ kπ+ , kπ+ ](k∈Z). 3 4 3 12 π 2π 11.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中 A>0,ω>0,0<φ< )的周期为 π,且图象上一个最低点为 M( , 2 3 -2). π (1)求 f(x)的解析式;(2)当 x∈[0, ]时,求 f(x)的最值. 12 2π 2π 2π 解:(1)由最低点为 M( ,-2)得 A=2.由 T=π 得 ω= = =2. 3 T π 2π 4π 4π 由点 M( ,-2)在图象上得 2sin( +φ)=-2,即 sin( +φ)=-1, 3 3 3 ∴ 4π π 11π π π +φ=2kπ- (k∈Z),即 φ=2kπ- ,k∈Z.又 φ∈(0, ),∴φ= , 3 2 6 2 6

π ∴f(x)=2sin(2x+ ). 6 π π π π π π π π (2)∵x∈[0, ],∴2x+ ∈[ , ],∴当 2x+ = ,即 x=0 时,f(x)取得最小值 1;当 2x+ = ,即 12 6 6 3 6 6 6 3 π x= 时,f(x)取得最大值 3. 12

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π 12.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ),其中 ω>0,|φ|< . 2 π 3π (1)若 cos cosφ-sin sinφ=0,求 φ 的值; 4 4 π (2)在(1)的条件下,若函数 f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 ,求函数 f(x)的解析式;并求 3 最小正实数 m,使得函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数是偶函数. π 3π π π 解:法一:(1)由 cos cosφ-sin sinφ=0 得 cos cosφ-sin sinφ=0, 4 4 4 4 π π π 即 cos( +φ)=0.又|φ|< ,∴φ= . 4 2 4 π T π 2π (2)由(1)得,f(x)=sin(ωx+ ).依题意, = ,又 T= ,故 ω=3, 4 2 3 ω π ∴f(x)=sin(3x+ ).函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数为 4 π π π g(x)=sin[3(x+m)+ ],g(x)是偶函数当且仅当 3m+ =kπ+ (k∈Z), 4 4 2 kπ π π 即 m= + (k∈Z).从而,最小正实数 m= . 3 12 12 法二:(1)同法一. π T π 2π (2)由(1)得,f(x)=sin(ωx+ ).依题意, = .又 T= ,故 ω=3, 4 2 3 ω π ∴f(x)=sin(3x+ ). 4 π 函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数为 g(x)=sin[3(x+m)+ ]. 4 g(x)是偶函数当且仅当 g(-x)=g(x)对 x∈R 恒成立, π π 亦即 sin(-3x+3m+ )=sin(3x+3m+ )对 x∈R 恒成立. 4 4 π π ∴sin(-3x)cos(3m+ )+cos(-3x)· sin(3m+ ) 4 4 π π =sin3xcos(3m+ )+cos3xsin(3m+ ), 4 4 π π π π kπ π 即 2sin3xcos(3m+ )=0 对 x∈R 恒成立.∴cos(3m+ )=0,故 3m+ =kπ+ (k∈Z),∴m= + (k 4 4 4 2 3 12 π ∈Z),从而,最小正实数 m= . 12

第五节三角函数章末测试

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第六章三角恒等变形 第一节同角三角函数的基本关系
A组 1.已知 sinα= 5 10 ,sin(α-β)=- ,α、β 均为锐角,则 β 等于________. 5 10

π π 3 10 解析:∵α、β 均为锐角,∴- <α-β< ,∴cos(α-β)= 1-sin2(α-β)= . 2 2 10 ∵sinα= 5 ,∴cosα= 5 1-( 5 2 5 )2= . 5 5 2 . 2

∴sinβ=sin[α-(α-β)]=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)= π π π ∵0<β< ,∴β= .答案: 2 4 4

π 3 3 2.已知 0<α< <β<π,cosα= ,sin(α+β)=- ,则 cosβ 的值为________. 2 5 5 π π π 3 4 4 解析:∵0<α< , <β<π,∴ <α+β< π.∴sinα= ,cos(α+β)=- , 2 2 2 2 5 5 4 3 3 4 24 24 ∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=(- )× +(- )× =- .答案:- 5 5 5 5 25 25 sin(α+β) 3.如果 tanα、tanβ 是方程 x2-3x-3=0 的两根,则 =________. cos(α-β) sin(α+β) sinαcosβ+cosαsinβ tanα+tanβ 3 3 解析:tanα+tanβ=3,tanαtanβ=-3,则 = = = =- . 2 cos(α-β) cosαcosβ+sinαsinβ 1+tanαtanβ 1-3 3 答案:- 2 π 4 7π 4.已知 cos(α- )+sinα= 3,则 sin(α+ )的值是___. 6 5 6 解析:由已知得 3 1 4 1 3 4 cosα+ sinα+sinα= 3,即 cosα+ sinα= , 2 2 5 2 2 5

π 4 7 π 4 4 得 sin(α+ )= ,sin(α+ π)=-sin(α+ )=- .答案:- 6 5 6 6 5 5 π π 5.定义运算 a?b=a2-ab-b2,则 sin ?cos =________. 12 12 π π π π π π π π 1 π π 解析:sin ?cos =sin2 -sin cos -cos2 =-(cos2 -sin2 )- × 2sin cos 12 12 12 12 12 12 12 12 2 12 12 1+2 3 π 1 π =-cos - sin =- . 6 2 6 4 1+2 3 答案:- 4

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π α α 6 6.已知 α∈( ,π),且 sin +cos = . 2 2 2 2 3 π (1)求 cosα 的值;(2)若 sin(α-β)=- ,β∈( ,π),求 cosβ 的值. 5 2 α α 6 1 π 3 解:(1)因为 sin +cos = ,两边同时平方得 sinα= .又 <α<π.所以 cosα=- . 2 2 2 2 2 2 π π π π π (2)因为 <α<π, <β<π,所以-π<-β<- ,故- <α-β< . 2 2 2 2 2 3 4 又 sin(α-β)=- ,得 cos(α-β)= . 5 5 cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=- B组 1. cos2α 1+tanα · 的值为________. 1+sin2α 1-tanα
2 2 cos2α 1+tanα cos α-sin α 1+tanα cosα-sinα 1+tanα 1-tanα 1+tanα 解析: · = · = · = · =1. 1+sin2α 1-tanα (sinα+cosα)2 1-tanα sinα+cosα 1-tanα 1+tanα 1-tanα

4 3+3 3 4 1 3 ×+ × (- )=- . 2 5 2 5 10

sin2x-2sin2x π 3 2.已知 cos( +x)= ,则 的值为________. 4 5 1-tanx π 3 3 解析:∵cos( +x)= ,∴cosx-sinx= 2, 4 5 5 sin2x-2sin2x 2sinx(cosx-sinx) 18 7 7 ∴1-sin2x= ,sin2x= ,∴ = =sin2x= . 25 25 25 1-tanx cosx-sinx cosx π π 3.已知 cos(α+ )=sin(α- ),则 tanα=________. 3 3 π π π 1 3 π π π 1 3 解析: cos(α+ )=cosαcos -sinαsin = cosα- sinα, sin(α- )=sinαcos -cosαsin = sinα- cosα, 3 3 3 2 2 3 3 3 2 2 1 3 1 3 由已知得:( + )sinα=( + )cosα,tanα=1. 2 2 2 2 π 3π π π 3 3π 5 4.设 α∈( , ),β∈(0, ),cos(α- )= ,sin( +β)= ,则 sin(α+β)=________. 4 4 4 4 5 4 13 π 3π π π π 3 π 4 解析:α∈( , ),α- ∈(0, ),又 cos(α- )= ,∴sin(α- )= . 4 4 4 2 4 5 4 5 π 3π 3π 3π 5 3π 12 ∵β∈(0, ),∴ +β∈( ,π).∵sin( +β)= ,∴cos( +β)=- , 4 4 4 4 13 4 13 π 3π π 3π π 3π 3 12 4 ∴sin(α+β)=-cos[(α- )+( +β)]=-cos(α- )· cos( +β)+sin(α- )· sin( +β)=- × (- )+ 4 4 4 4 4 4 5 13 5 5 56 × = , 13 65 56 即 sin(α+β)= . 65

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1 1 π 5.已知 cosα= ,cos(α+β)=- ,且 α,β∈(0, ),则 cos(α-β)的值等于________. 3 3 2 π 1 7 4 2 解析: ∵α∈(0, ), ∴2α∈(0, π). ∵cosα= , ∴cos2α=2cos2α-1=- , ∴sin2α= 1-cos22α= , 2 3 9 9 π 2 2 而 α,β∈(0, ),∴α+β∈(0,π),∴sin(α+β)= 1-cos2(α+β)= ,∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]= 2 3 7 1 4 2 2 2 23 cos2αcos(α+β)+sin2αsin(α+β)=(- )× (- )+ × = . 9 3 9 3 27 π 1+ 2cos(2α- ) 4 3 6.已知角 α 在第一象限,且 cosα= ,则 =________. 5 π sin(α+ ) 2 3 4 解析:∵α 在第一象限,且 cosα= ,∴sinα= ,则 5 5 2cos2α+2sinαcosα 4 3 14 =2(sinα+cosα)=2( + )= . cosα 5 5 5 π 2 π 7.已知 a=(cos2α,sinα),b=(1,2sinα-1),α∈( ,π),若 a· b= ,则 tan(α+ )的值为________. 2 5 4 2 3 π 解析:a· b=cos2α+2sin2α-sinα=1-2sin2α+2sin2α-sinα=1-sinα= ,∴sinα= ,又 α∈( ,π), 5 5 2 4 3 π tanα+1 1 ∴cosα=- ,tanα=- ,∴tan(α+ )= = . 5 4 4 1-tanα 7 8. tan10° tan70° 的值为______. tan70° -tan10° +tan120° 解析:由 tan(70° -10° )= tan70° -tan10° = 3, 1+tan70° · tan10° π 2 2 1+ 2cos(2α- ) 1+ 2( cos2α+ sin2α) 4 2 2 = = π cosα sin(α+ ) 2

故 tan70° -tan10° = 3(1+tan70° tan10° ),代入所求代数式得: tan70° tan10° tan70° tan10° tan70° tan10° 3 = = = . 3 3(1+tan70° tan10° )+tan120° 3(1+tan70° tan10° )- 3 3tan70° tan10° π sin(α+ ) 4 9.已知角 α 的终边经过点 A(-1, 15),则 的值等于________. sin2α+cos2α+1 π sin(α+ ) 4 1 2 解析:∵sinα+cosα≠0,cosα=- ,∴ = =- 2. 4 sin2α+cos2α+1 4cosα cos20° 10.求值: · cos10° + 3sin10° tan70° -2cos40° . sin20° cos20° cos10° + 3sin10° cos20° cos20° cos10° 3sin10° sin70° 解:原式= + -2cos40° = -2cos40° sin20° cos70° sin20° = cos20° (cos10° + 3sin10° ) 2cos20° (cos10° sin30° +sin10° cos30° ) -2cos40° = -2cos40° sin20° sin20°
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2cos20° sin40° -2sin20° cos40° =2. sin20°

x x 11.已知向量 m=(2cos ,1),n=(sin ,1)(x∈R),设函数 f(x)=m· n-1. 2 2 (1)求函数 f(x)的值域;(2)已知锐角△ABC 的三个内角分别为 A,B,C,若 f(A)= 的值. x x x x 解:(1)f(x)=m· n-1=(2cos ,1)· (sin ,1)-1=2cos sin +1-1=sinx. 2 2 2 2 ∵x∈R,∴函数 f(x)的值域为[-1,1]. 5 3 5 3 (2)∵f(A)= ,f(B)= ,∴sinA= ,sinB= . 13 5 13 5 12 4 ∵A,B 都为锐角,∴cosA= 1-sin2A= ,cosB= 1-sin2B= . 13 5 5 4 12 3 56 56 ∴f(C)=sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= × + × = .∴f(C)的值为 . 13 5 13 5 65 65 π π 1 4 12.(2010 年南京调研)已知:0<α< <β<π,cos(β- )= ,sin(α+β)= . 2 4 3 5 π (1)求 sin2β 的值;(2)求 cos(α+ )的值. 4 π π π 2 2 1 解:(1)法一:∵cos(β- )=cos cosβ+sin sinβ= cosβ+ sinβ= , 4 4 4 2 2 3 ∴cosβ+sinβ= 2 2 7 ,∴1+sin2β= ,∴sin2β=- . 3 9 9 5 3 ,f(B)= ,求 f(C) 13 5

π π 7 法二:sin2β=cos( -2β)=2cos2(β- )-1=- . 2 4 9 π π π 3π π 3π π (2)∵0<α< <β<π,∴ <β- < , <α+β< ,∴sin(β- )>0,cos(α+β)<0. 2 4 4 4 2 2 4 π 1 4 π 2 2 3 ∵cos(β- )= ,sin(α+β)= ,∴sin(β- )= ,cos(α+β)=- . 4 3 5 4 3 5 π π π π 3 1 4 2 2 ∴ cos(α + ) = cos[(α + β) - (β - )] = cos(α + β)cos(β - ) + sin(α + β)sin(β - ) =- × + × = 4 4 4 4 5 3 5 3 8 2-3 . 15

第二节两角和与差及二倍角的三角函数
A组 3 π π 5π 1.若 sinα= ,α∈(- , ),则 cos(α+ )=________. 5 2 2 4 π π 3 4 5π 2 解析:由于 α∈(- , ),sinα= 得 cosα= ,由两角和与差的余弦公式得:cos(α+ )=- (cosα 2 2 5 5 4 2

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-sinα)=-

2 . 10 1 1 + 2 2 1 1 + cosθ=________. 2 2 1 1 + 2 2 1 1 + cosθ= 2 2 1 1 + 2 2 θ cos2 = 2 1 1 θ θ - cos =sin . 2 2 2 4

3 2.已知 π<θ< π,则 2

3π π θ 3π π θ 3π 解析:∵π<θ< ,∴ < < , < < . 2 2 2 4 4 4 8 cos10° + 3sin10° 3.计算: =________. 1-cos80°

cos10° + 3sin10° 2cos(10° -60° ) 2cos50° 解析: = = = 2. 2 2sin 40° 2sin40° 1-cos80° 4.函数 y=2cos2x+sin2x 的最小值是__________________. π 解析:y=2cos2x+sin2x=sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+1= 2sin(2x+ )+1≥1- 2. 4 1 1 5.函数 f(x)=(sin2x+ )(cos2x+ )的最小值是________. 2010sin2x 2010cos2x (2010sin4x+1)(2010cos4x+1) 20102sin4xcos4x+2010(sin4x+cos4x)+1 解析:f(x)= = 20102sin2xcos2x 20102sin2xcos2x 2011 2 2 =sin2xcos2x+ - ≥ ( 2011-1). 20102sin2xcos2x 2010 2010 π π 6.已知角 α∈( , ),且(4cosα-3sinα)(2cosα-3sinα)=0. 4 2 π π (1)求 tan(α+ )的值;(2)求 cos( -2α)的值. 4 3 解:∵(4cosα-3sinα)(2cosα-3sinα)=0, π π 4 4 3 又 α∈( , ),∴tanα= ,sinα= ,cosα= , 4 2 3 5 5 π 4 tanα+tan +1 4 3 π (1)tan(α+ )= = =-7. 4 π 4 1-tanαtan 1- 4 3 7 24 (2)cos2α=2cos2α-1=- ,sin2α=2sinαcosα= , 25 25 π π π 1 7 3 24 24 3-7 cos( -2α)=cos cos2α+sin sin2α= × (- )+ × = . 3 3 3 2 25 2 25 50 B组 2 π 1 π 1.若 tan(α+β)= ,tan(β- )= ,则 tan(α+ )=_____. 5 4 4 4 π π 解析:tan(α+ )=tan[(α+β)-(β- )]= 4 4 π 2 1 tan(α+β)-tan(β- ) - 4 5 4 3 = = . π 2 1 22 1+tan(α+β)tan(β- ) 1+ × 4 5 4

2.若 3sinα+cosα=0,则

1 的值为________. cos2α+sin2α
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2 2 2

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解析:由 3sinα+cosα=0 得 cosα=-3sinα,则 3.设 a=sin14° +cos14° ,b=sin16° +cos16° ,c=

sin α+cos α 9sin2α+sin2α 10 1 = 2 = = . cos α+sin2α cos α+2sinαcosα 9sin2α-6sin2α 3

6 ,则 a、b、c 的大小关系是 2

解析:a= 2sin59° ,c= 2sin60° ,b= 2sin61° ,∴a<c<b. 1 3 1 3 3 或 a2=1+sin28° <1+ = ,b2=1+sin32° >1+ = ,c2= ,∴a<c<b. 2 2 2 2 2 4. 2+2cos8+2 1-sin8的化简结果是________. 解析:原式= 4cos24+2 (sin4-cos4)2=|2cos4|+2|sin4-cos4|=-2sin4. 1 10 π π π 5.若 tanα+ = ,α∈( , ),则 sin(2α+ )的值为_________. tanα 3 4 2 4 1-tan2α π 2 2tanα 3 解析:由题意知,tanα=3,sin(2α+ )= (sin2α+cos2α),而 sin2α= = 2 = ,cos2α= 4 2 1+tan α 5 1+tan2α 4 π 23 4 2 - .∴sin(2α+ )= ( - )=- . 5 4 2 5 5 10 6.若函数 f(x)=sin2x-2sin2x· sin2x(x∈R),则 f(x)的最小正周期为________. 1 2π π 解析:f(x)=sin2x(1-2sin2x)=sin2xcos2x= sin4x,所以 T= = . 2 4 2 2cos5° -sin25° 7. 的值为________. cos25° 2cos(30° -25° )-sin25° 3cos25° 解析:由已知得:原式= = = 3. cos25° cos25° 8.向量 a=(cos10° ,sin10° ),b=(cos70° ,sin70° ),|a-2b|=________________. 解析: |a-2b|2=(cos10° -2cos70° )2+(sin10° -2sin70° )2=5-4cos10° cos70° -4sin10° sin70° =5-4cos60° =3,∴|a-2b|= 3. 1-cos2α 1 9.已知 =1,tan(β-α)=- ,则 tan(β-2α)=________. sinαcosα 3 1-cos2α 1-tan2α 1 2tanα 1 解析:因为 =1,即 1- 2 = × 2 ,所以 2tanα=1,即 tanα= ,所以 tan(β-2α) sinαcosα 2 2 1+tan α 1+tan α 1 1 - - 3 2 tan(β-α)-tanα =tan(β-α-α)= = =-1. 1 1+tan(β-α)tanα 1- 6 sin2α+cos2(π-α) π 10.已知 tanα=2.求(1)tan(α+ )的值;(2) 的值. 4 1+cos2α π 1+tanα π 1+2 解:(1)∵tan(α+ )= ,tanα=2,∴tan(α+ )= =-3. 4 1-tanα 4 1-2 sin2α+cos2(π-α) 2sinαcosα+cos2α 2sinα+cosα 1 5 (2) = = =tanα+ = . 2cos2α 2cosα 2 2 1+cos2α 11.如图,点 A,B 是单位圆上的两点,A,B 两点分别在第一、二象限,点 C 是圆
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3 4 与 x 轴正半轴的交点,△AOB 是正三角形,若点 A 的坐标为( , ),记∠COA=α. 5 5 (1)求 1+sin2α 的值;(2)求|BC|2 的值. 1+cos2α

3 4 4 3 解:(1)∵A 的坐标为( , ),根据三角函数的定义可知,sinα= ,cosα= , 5 5 5 5 ∴ 1+sin2α 1+2sinαcosα 49 = = . 2cos2α 18 1+cos2α

(2)∵△AOB 为正三角形,∴∠AOB=60° . 3 1 4 3 3-4 3 ∴cos∠COB=cos(α+60° )=cosαcos60° -sinαsin60° .= × - × = , 5 2 5 2 10 3-4 3 7+4 3 ∴|BC|2=|OC|2+|OB|2-2|OC|· |OB|cos∠COB=1+1-2× = . 10 5 12.△ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,tanC= 若 S△ABC=3+ 3,求 a,c. 解:(1)因为 tanC= sinA+sinB sinC sinA+sinB ,即 = , cos C cosA+cosB cosA+cosB sinA+sinB ,sin(B-A)=cosC.(1)求角 A,C.(2) cosA+cosB

所以 sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB, 即 sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB, 得 sin(C-A)=sin(B-C), 所以 C-A=B-C,或 C-A=π-(B-C)(不成立), π 2π 即 2C=A+B,得 C= ,所以 B+A= . 3 3 1 π 5π 又因为 sin(B-A)=cosC= ,则 B-A= 或 B-A= (舍去), 2 6 6 π 5π π π 得 A= ,B= .故 A= ,C= . 4 12 4 3 6+ 2 1 a c a c (2)S△ABC= acsinB= ac=3+ 3,又 = ,即 = , 2 8 sinA sinC 2 3 2 2 得 a=2 2,c=2 3.

第三节章末测试

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第七章解三角形 第一节正弦定理与余弦定理
1.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 c= 2 ,b= 6 ,B=120° ,则 a 等于 () A. 6 答案 D 2.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB= 3 ac,则角 B 的值为( A.
? 6

B.2

C. 3

D. 2

)

B.

? 3

C.

? 5? 或 6 6

D.

2? ? 或 3 3

答案 D 3.下列判断中正确的是 ()

A.△ABC 中,a=7,b=14,A=30° ,有两解 B.△ABC 中,a=30,b=25,A=150° ,有一解 C.△ABC 中,a=6,b=9,A=45° ,有两解 D.△ABC 中,b=9,c=10,B=60° ,无解 答案 B 4. 在△ABC 中,若 2cosBsinA=sinC,则△ABC 一定是 A.等腰直角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 答案 B 5.在△ABC 中,A=120° ,AB=5,BC=7,则 A.
8 5
sin B 的值为 sin C

() D.等边三角形

() D.
3 5

B.

5 8

C.

5 3

答案 D 6.△ABC 中,若 a4+b4+c4=2c2(a2+b2),则∠C 的度数是 A.60° 答案 B 7.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a=1,b= 7 ,c= 3 ,则 B=. 答案
5? 6

() D.30°

B.45° 或 135°

C.120°

8.在△ABC 中,A=60° ,AB=5,BC=7,则△ABC 的面积为. 答案 10 3 9. 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c.若( 3 b-c)cosA=acosC,则 cosA=.
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答案

3 3

10. 在△ABC 中,已知 a= 3 ,b= 2 ,B=45° ,求 A、C 和 c. 解∵B=45° <90° 且 asinB<b<a,∴△ABC 有两解. 由正弦定理得 sinA= 则 A 为 60° 或 120° . ①当 A=60° 时,C=180° -(A+B)=75° , c=
2 sin 75? b sin C = = sin B sin 45?
2 sin( 45? ? 30?) 6? 2 = . sin 45? 2

3 sin 45? a sin B 3 = = , b 2 2

②当 A=120° 时,C=180° -(A+B)=15° , c=
2 sin 15? b sin C = = sin B sin 45? 2 sin( 45? ? 30?) 6? 2 = . sin 45? 2 6? 2 6? 2 或 A=120° ,C=15° ,c= . 2 2
cos B b =. cos C 2a ? c

故在△ABC 中,A=60° ,C=75° ,c=

11.在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A,B,C 的对边,且

(1)求角 B 的大小;(2)若 b= 13 ,a+c=4,求△ABC 的面积. 解(1)由余弦定理知:cosB= 将上式代入
a2 ? c2 ? b2 a2 ? b2 ? c2 ,cosC= . 2ac 2ab

a2 ? c2 ? b2 2ab b b cos B =得: · 2 2 2 =cosC 2a ? c 2ac a ?b ?c 2a ? c a 2 ? c 2 ? b 2 ? ac 1 = =2 ac 2 2ac

整理得:a2+c2-b2=-ac∴cosB= ∵B 为三角形的内角,∴B= (2)将 b= 13 ,a+c=4,B=

2 ?. 3

2 2 2 2 2 2 ? 代入 b =a +c -2accosB,得 b =(a+c) -2ac-2accosB 3
2

3 3 1 1? ∴b2=16-2ac ? . ?1 ? ? ,∴ac=3.∴S△ABC= acsinB=
? 2?

4

12.在△ABC 中,a、b、c 分别表示三个内角 A、B、C 的对边,如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B), 判断三角形的形状.
2 2 解方法一: 已知等式可化为 a[ sin (A-B) -sin (A+B) ] =b[ -sin (A+B) -sin(A-B)] ∴2a2cosAsinB=2b2cosBsinA

由正弦定理可知上式可化为:sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA ∴sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0∴sin2A=sin2B,由 0<2A,2B<2 ? 得 2A=2B 或 2A= ? -2B,即 A=B 或 A=
? -B,∴△ABC 为等腰或直角三角形. 2

方法二同方法一可得 2a2cosAsinB=2b2sinAcosB
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由正、余弦定理,可得 a2b

b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c2 ? b2 = b2a ∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2) 2bc 2ac

即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0∴a=b 或 a2+b2=c2∴△ABC 为等腰或直角三角形. 13.已知△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若△ABC 的面积为 S,且 2S=(a+b)2-c2,求 tanC 的值. 解依题意得 absinC=a2+b2-c2+2ab,由余弦定理知,a2+b2-c2=2abcosC. 所以,absinC=2ab(1+cosC),即 sinC=2+2cosC,所以 2sin
C 化简得:tan =2.从而 tanC= 2 C C cos 2 2

=4cos2

C 2

C 2 =- 4 . C 3 1 ? tan 2 2 2 tan

14.已知△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a、b、c 成等差数列,且 2cos2B-8cosB+5=0, 求角 B 的大小并判断△ABC 的形状. 解方法一∵2cos2B-8cosB+5=0,∴2(2cos2B-1)-8cosB+5=0. ∴4cos2B-8cosB+3=0,
1 2 3 2

即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.
1 2

解得 cosB= 或 cosB= (舍去).∴cosB= .∵0<B< ? ,∴B=
a2 ? c2 ? (

? . 3

a2 ? c2 ? b2 ∵a,b,c 成等差数列,∴a+c=2b.∴cosB= = 2ac

a?c 2 ) 1 2 = , 2 2ac

化简得 a2+c2-2ac=0,解得 a=c.又∵B=

? ,∴△ABC 是等边三角形. 3

方法二∵2cos2B-8cosB+5=0,∴2(2cos2B-1)-8cosB+5=0. ∴4cos2B-8cosB+3=0,即(2cosB-1)(2cosB-3)=0. 解得 cosB= 或 cosB= (舍去).∴cosB= ,∵0<B< ? ,∴B=
1 2 3 2 1 2

? , 3 ? = 3. 3

∵a,b,c 成等差数列,∴a+c=2b.由正弦定理得 sinA+sinC=2sinB=2sin ∴sinA+sin ? ?
3 2
2? 2? 2? ? cos A -cos sin A = 3 . ? A? = 3 ,∴sinA+sin 3 3 3 ? ?

化简得 sinA+ ∴A+

3 ?? cosA= 3 ,∴sin ? ? A ? ? =1. 2 6? ?

? ? ? ? = ,∴A= ,∴C= ,∴△ABC 为等边三角形. 6 2 3 3
A? B 7 -cos2C= . 2 2

15.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 a+b=5,c= 7 ,且 4sin2 (1)求角 C 的大小;(2)求△ABC 的面积. 解(1)∵A+B+C=180° ,由 4sin2
A? B 7 7 C -cos2C= ,得 4cos2 -cos2C= , 2 2 2 2

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∴4·

1 ? cos C 7 1 -(2cos2C-1)= ,整理,得 4cos2C-4cosC+1=0,解得 cosC= , 2 2 2

∵0° <C<180° ,∴C=60° . (2)由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcosC,即 7=a2+b2-ab,∴7=(a+b)2-3ab, 由条件 a+b=5,得 7=25-3ab,ab=6,∴S△ABC= absinC= × 6×
1 2 1 2

3 3 3 = . 2 2

第二节正弦定理、余弦定理的应用
1.从 A 处望 B 处的仰角为 ? ,从 B 处望 A 处的俯角为 ? ,则 ?、 ? 的关系为() A. ? > ? 答案 B 2.已知 A、B 两地的距离为 10 km,B、C 两地的距离为 20 km,现测得∠ABC=120° ,则 A、C 两地的距离为 () A.10 km 答案 D 3. 为测量某塔 AB 的高度,在一幢与塔 AB 相距 20 m 的楼顶处测得塔顶 A 的仰角为 30° ,测得塔基 B 的 俯角为 45° ,那么塔 AB 的高度是 A. 20(1 ? 答案 A 4.如图,位于港口 O 正东 20 海里 B 处的渔船回港时出现故障.位于港口 南偏西 30° ,距港口 10 海里 C 处的拖轮接到海事部门营救信息后以 30 海 里/小时的速度沿直线 CB 去营救渔船, 则拖轮到达 B 处需要________小时. 解析:由余弦定理得 BC= 202+102-2× 10× 20cos120° =10 7,从而需 答案: 7 3 7 小时到达 B 处. 3
3 ) m 3

B. ? = ? C. ? + ? =90°

D. ? + ? =180°

B. 3 km

C. 10 5 km

D.10 7 km

() C. 20(1 ? 3 ) m D.30 m

B. 20(1 ?

3 ) m 2

5.如图,海岸线上有相距 5 海里的两座灯塔 A,B,灯塔 B 位于灯塔 A 的正南方向.海 上停泊着两艘轮船,甲船位于灯塔 A 的北偏西 75° ,与 A 相距 3 2海里的 D 处;乙船 位于灯塔 B 的北偏西 60° 方向,与 B 相距 5 海里的 C 处.则两艘轮船之间的距离为 ________海里. 解析:连结 AC.则 AC=5,在△ACD 中,AD=3 2,AC=5,∠DAC=45° ,由余 弦定理得 CD= 13.答案: 13 6.一船向正北方向匀速行驶, 看见正西方向两座相距 10 海里的灯塔恰好与该船在同一
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直线上,继续航行半小时后,看见其中一座灯塔在南偏西 60° 方向上,另一灯塔在南偏西 75° 方向上,则该 船的速度是________海里/小时. 解析: 假设该船从 A 处航行到了 D 处, 两座灯塔分别在 B、 C 位置, 如图, 设 AD 长为 x, 则 AB=xtan60° , 5 AC=xtan75° , 所以 BC=xtan75° -xtan60° =10, 解得 x=5, 所以该船的速度 v= =10(海里/小时). 答案: 0.5 10 7.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为 120° 的扇形 AOB,C 是该小区的一个出入 口, 且小区里有一条平行于 AO 的小路 CD.已知某人从 O 沿 OD 走到 D 用了 2 分钟, 从 D 沿着 DC 走到 C 用了 3 分钟.若此人步行的速度为每分钟 50 米,则该扇形的 半径为________米. 解析:连结 OC,在三角形 OCD 中,OD=100,CD=150,∠CDO=60° ,由余弦定理可得 OC2=1002 1 +1502-2× 100× 150× =17500,∴OC=50 7.答案:50 7 2 8.在 Rt△ABC 中,斜边 AB=2,内切圆的半径为 r,则 r 的最大值为________. a+b-c a+b (a+b)2 解析:∵r= = -1,∵4=a2+b2≥ ,∴(a+b)2≤8,∴a+b≤2 2,∴r≤ 2-1.答案: 2 2 2 2-1 9.如图,A、B、C、D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B、D 为两岛上 的两座灯塔的塔顶, 测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75° 、 30° ,于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60° ,AC=0.1 km.试探究图 中 B、D 间距离与另外哪两点间距离相等,然后求 B、D 的距离(计算结果 精确到 0.01 km, 2≈1.414, 6≈2.449). 解:在△ACD 中,∠DAC=30° , ∠ADC=60° -∠DAC=30° , 所以 CD=AC=0.1.又∠BCD=180° -60° -60° =60° , 故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线,所以 BD=BA. AB AC ACsin60° 3 2+ 6 在△ABC 中, = ,所以 AB= = . sin15° 20 sin∠BCA sin∠ABC 3 2+ 6 同理,BD= ≈0.33(km), 20 故 B、D 的距离约为 0.33 km.

第三节章末测试

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第八章数列 第一节数列的概念
A组 1.设数列{(-1) }的前 n 项和为 Sn,则对任意正整数 n, Sn ? _____________________.
n

[ 解 析 ]

因 为 数 列 {? ( 1)n

是 首 项 与 公 比 均 为 - 1 的 等 比 数 列 , 所 以 }

?1 ? (?1)n ? ? ?1? (?1)n ? 1 Sn ? ? . 1 ? ? ?1? 2
2n 2.(文)已知数列{an}的通项公式是 an= ,那么这个数列是( 3n+1 A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列 [答案] A 2 2 [解析] an= - ,∵n∈N*,∴an 随 n 的增大而增大,故选 A. 3 an+3 1 [点评] 上面解答过程利用了反比例函数 y=- 的单调性,也可以直接验证 an+1-an>0. x (理)已知数列{an}的通项公式是 an=n2+kn+2,若对任意 n∈N*,都有 an+1>an 成立,则实数 k 的取值 范围是______________________. [解析] 由 an+1>an 知道数列是一个递增数列,又因为通项公式 an=n2+kn+2,可以看作是关于 n 的 k 3 二次函数,考虑到 n∈N*,所以- < ,即得 k ? ?3 . 2 2 答案: k ? ?3 3. (文)已知整数按如下规律排成一列: (1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (2,2), (3,1), (1,4), (2,3), (3,2), (4,1), …… 则第 60 个数对是_______________. [解析] 根据题中规律知,(1,1)为第 1 项,(1,2)为第 2 项,(1,3)为第 4 项,…,(1,11)为第 56 项,因此 第 60 项为(5,7). 答案:(5,7) (理)将数列{3n 1}按“第 n 组有 n 个数”的规则分组如下:(1),(3,9),(27,81,243),…,则第 100 组中的


)

第一个数是________________________. [解析] 由“第 n 组有 n 个数”的规则分组中,各组数的个数构成一个以 1 为首项,公差为 1 的等差数 ?1 +99? 99 列,前 99 组数的个数共有 =4950 个,故第 100 组中的第 1 个数是 34950. 2 答案:34950 4.已知正数数列{an}对任意 p,q∈N*,都有 ap+q=ap· aq,若 a2=4,则 a9=_____________. [解析] 依题意得 a2=a1· a1=4, a1=2(a1=-2 舍去), a4=a2· a2=16, a8=a4· a4=16× 16=256, a9=a1· a8

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=2× 256=512. 答案:512 n 5.已知数列{an}的通项公式为 an=log3 (n∈N*),设其前 n 项和为 Sn,则使 Sn<-4 成立的最小自 n+1 然数 n 等于__________________. [解析] ∵an=log3 n =log3n-log3(n+1), n+1

∵Sn=log31-log32+lo g32-log33+…+log3n-log3(n+1)=-log3(n+1)<-4,解得 n>34-1=80. 答案:80 → → → 6. (文)在数列{an}中, 已知 an+1+an-1=2an(n∈N+, n≥2), 若平面上的三个不共线的向量OA、 OB、 OC, → → → 满足OC=a1005OA+a1006OB,三点 A、B、C 共线,且直线不过 O 点,则 S2010 等于____________. [解析] 由条件知{an}成等差数列,∵A、B、C 共线,∴a1005+a1006=1,∴S2010= 1005(a1005+a1006)=1005. 答案:1005 (理)设数列{an}满足 a1+2a2=3, 且对任意的 n∈N*, 点列{Pn(n, an)}恒满足 PnPn+1=(1,2), 则数列{an} 的前 n 项和 Sn 为____________________. [解析] 设 Pn+1(n+1,an+1),则 PnPn+1=(1,an+1-an)=(1,2),即 an+1-an=2,所以数列{an}是以 2 1 4 为公差的等差数列.又 a1+2a2=3,所以 a1=- ,所以 Sn=n(n- ). 3 3 4 答案:Sn=n(n- ) 3 1 1 7.已知数列{an}中,a1= ,an+1=1- (n≥2),则 a16=________. 2 an 1 1 1 1 [解析] 由题可知 a2=1- =-1, a3=1- =2, a4=1- = , ∴此数列是以 3 为周期的周期数列, a1 a2 a3 2 1 ∴a16=a3×5+1=a1= . 2 [答案] 1 2 2010?a1+a2010? = 2

8.(文)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n-3,则数列{an}的通项公式为________.
?-1,n=1 ? - [解析] 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n 1,当 n=1 时,a1=S1=-1,所以 an=? n-1 . ? ?2 ,n≥2 ? ?-1,n=1 [答案] an=? n-1 ?2 ,n≥2 ?

(理)(2011· 湖南湘西联考)设关于 x 的不等式 x2-x<2nx(n∈N*)的解集中整数的个数为 an,则数列{an} 的前 n 项和 Sn=________.
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2

[解析] 由 x -x<2nx(n∈N )得 0<x<2n+1,则 an=2n,所以 Sn=n +n. [答案] n2+n(n∈N*) 9.(文)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,对于所有 n∈N*,Sn= [解析] a4=S4-S3=40a1-13a1=27a1=54,∴a1=2. [答案] 2 (理)(2010· 山东济宁模拟)已知数列 2008,2009,1,-2008,-2009,…这个数列的特点是从第二项起, 每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前 2011 项之和 S2011 等于________. [解析] 由题意 an+1+an-1=an(n≥2),an+an+2=an+1,两式相加得 an+2=-an-1, ∴an+3=-an,∴an+6=an, 即{an}是以 6 为周期的数列. ∵2011=335× 6+1,a1+a2+a3+a4+a5+a6=0, ∴a1+a2+…+a2011=335× 0+a1=2008. [答案] 2008 10.(文)已知数列{an}的各项均为正数,Sn 为其前 n 项和,对于任意的 n∈N*满足关系式 2Sn=3an-3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{bn}的通项公式是 bn= 1 ,前 n 项和为 Tn,求证:对于任意的正数 n,总有 Tn<1. log3an· log3an+1
n a1? 3 -1? ,且 a4=54,则 a1=______. 2

2

*

?2Sn=3an-3 ? [解析] (1)由已知得? (n≥2). ?2Sn-1=3an-1-3 ?

故 2(Sn-Sn-1)=3an-3an-1,故 an=3an-1(n≥2). 故数列{an}为等比数列,且公比 q=3. 又当 n=1 时,2a1=3a1-3,∴a1=3.∴an=3n. 1 1 1 (2)证明:bn= = - . n?n+1? n n+1 1? ?1 1? 1 ?1- 1 ? ∴Tn=b1+b2+…+bn=? ?1-2?+?2-3?+…+?n n+1?=1-n+1<1. 2 (理)已知数列{an}满足前 n 项和 Sn=n2+1,数列{bn}满足 bn= ,且前 n 项和为 Tn,设 cn=T2n+1 an+1 -Tn. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)判断数列{cn}的增减性. [解析] (1)Sn=n2+1,∴an=Sn-Sn-1=(n2+1)-[(n-1)2+1]=2n-1(n≥2), 当 n=1 时,a1=S1=2, 2 2 2 ∵bn= ,∴b1= = , an+1 a1+1 3

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2 1 n≥2 时,bn= = , ?2 n-1?+1 n

?3 ∴b =? 1 ?n
n

2

?n=1? . ?n≥2?

(2)由题设知,Tn=b1+b2+…+bn,T2n+1=b1+b2+…+b2n+1, ∴cn=T2n+ 1-Tn=bn+1+bn+2+…+b2n+1, ∴cn+1-cn=(bn+2+bn+3+…+b2n+3)-(bn+1+bn+2+…+b2n+1)=b2n+2+b2n+3-bn+1= 1 1 1 1 < + - =0, n+1 2n+2 2n+2 n+1 ∴cn+1<cn,即数列{an}为递减数列. C组 11.(文)下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案,则按此规律第 n 个图案中需用黑 色瓷砖的块数为(用含 n 的代数式表示)( ) 1 1 + - 2n+2 2n+3

A.4n

B.4n+1 D.4n+8

C.4n-3 [答案] D

[解析] 第(1),(2),(3)个图案黑色瓷砖数依次为 3× 5-3=12;4× 6-2× 4=16;5× 7-3× 5=20,代入 选项验证可得答案为 D. (理)(2011· 福州一模)把 1,3,6,10,15,21 这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点子可以排成一个正 三角形(如图所示).

则第七个三角形数是____________________. [分析] 观察三角形数的增长规律,可以发现每一项与它的前一项多的点数正好是本身的序号,所以 根据这个规律计算即可. [解析] 根据三角 形数的增长规律可知第七个 三角形数是 1+2+3+4+5+6+7=28. 答案:28 12.设 a1,a2,…,a50 是从-1,0,1 这三个整数中取值的数列,若 a1+a2+…+a50=9,且(a1+1)2
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2 2

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+(a2+1) +…+(a50+1) =107,则 a1,a2,…,a50 中数字 1 的个数为__________________. A.24 C.14 B.15 D.11

[答案] A
?a1+a2+…+a50=9 ? 2 2 [解析] ? ?a2 1+a2+…+a50=39. 2 2 2 ? ? a + 1 ? + ? a + 1 ? + … + ? a + 1 ? = 107 ? 1 2 50

故 a1,a2,…,a50 中有 11 个零,
? ? ?x+y=39 ?x=24, 设有 x 个 1,y 个-1,则? ?? 故选 A. ?x-y=9 ?y=15. ? ?

13.(文)(2011· 辽宁大连模拟)数列{an}中,a1=2,且 an+1=an+2n(n∈N*),则 a2010=( A.22010-1 B.22010C.22010+2 D.22011-1 [答案] B [解析] 由条件知 an+1-an=2n,a1=2, ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2 2n,∴a2010=22010.
n-1

)

+2

n- 2

n 1 2× ?2 -1? +…+2 +2+2 = +2= 2-1


2

f?x? f? 1? (理)(2011· 大同市模拟)已知定义在 R 上的函数 f(x),g(x)满足 =ax,且 f ′(x)g(x)<f(x)g′(x), g?x? g? 1? + f?-1? 5 f?n? 31 = ,若有穷数列{ }(n∈N*)的前 n 项和等于 ,则 n 等于( g?n? 32 g?-1? 2 A.4 [答案] B f ′?x?g?x?-f?x?g′?x? f?x? [解析] f ′(x)g(x)<f(x)g′(x)? <0?[ ]′<0?0<a<1, 2 [g?x? ] g?x? f? 1? f?-1? 5 5 1 - + = ?a+a 1= ?2a2-5a+2=0?a= 或 a=2(舍去), g? 1? g?-1? 2 2 2 ∴ f?n? 1 n =( ) , g?n? 2 B.5 C.6 D.7 )

f?n? 1 1 ∴{ }(n∈N*)是以 为首项, 为公比的等比数列. g?n? 2 2 1 1 [1-? ?n] 2 2 31 ∴ = , 1 32 1- 2 1 1 ∴( )n= ,∴n=5.故选 B. 2 32 πx 14.(文)已知 f(x)=sin ,an=f(n)+f ′(n),数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S2013=________. 2 [答案] 1
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π πx nπ π nπ π π [解析] f ′(x)= cos ,an=sin + cos ,∴a1=1,a2=- ,a3=-1,a4= ,且{an}的周期为 4, 2 2 2 2 2 2 2 又 2013=503× 4+1 且 a1+a2+a3+a4=0, ∴S2013=503× 0+a1=1. an (理)(2011· 山西忻州市联考)数列{an}中,a1=35,an+1-an=2n-1(n∈N*),则 的最小值是________. n [答案] 10 [解析] 由 an+1-an=2n-1 可知,当 n≥2 时, an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1=[2(n-1)-1]+[2(n-2)-1]+[2(n-3) -1]+…+(2× 1-1)+35=2[1+2+3+…+(n-1)]-(n-1)+35=n2-2n+36.
2 an n -2n+36 36 ∴ = =n+ -2≥2× n n n

36 n· -2=10, n

当且仅当 n=6 时,取等号. 15.(文)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,且 3an+1+2Sn=3(n 为正整数). (1)求出数列{an}的通项公式; (2)若对任意正整数 n,k≤Sn 恒成立,求实数 k 的最大值. [解析] (1)∵3an+1+2Sn=3① ∴当 n≥2 时,3an+2Sn-1=3② 由①-②得,3an+1-3an+2an=0. ∴ an+1 1 = an 3 (n≥2).

1 又∵a1=1,3a2+2a1=3,解得 a2= . 3 1 ∴数列{an}是首项为 1,公比 q= 的等比数列. 3 1?n-1 - ∴an=a1qn 1=? ?3? (n 为正整数) 1 3 (2)由(1)知,∴Sn= ? 1-? ?n? 2? ?3? ? 1 3 由题意可知,对于任意的正整数 n,恒有 k≤ ? 1-? ?n?, 2? ?3? ? 1?n? ? 2 ?单调递增,当 n=1 时,数列取最小项为 ,∴必有 k≤1,即实数 k 的最大值为 1. ∵数列?1-? 3 ? ? 3 ? ? (理)(2011· 福建厦门一模)已知二次函数 f(x)=ax2+bx 的图象过点(-4n,0),且 f ′(0)=2n,n∈N*. (1)求 f(x)的解析式; 1 1 (2)若数 列{an}满足 =f ′( ),且 a1=4,求数列{an}的通项公式; an an+1 4 (3)记 bn= anan+1,数列{bn}的前 n 项和 Tn,求证 : ≤Tn<2. 3

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高中数学 Gaozhongshuxue ? ?b=2n, [解析] (1)由题意及 f ′(x)=2ax+b 得? 2 ?16n a-4nb=0, ?

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1 ? ?a=2, 1 解之得? 即 f(x)= x2+2nx(n∈N*). 2 ?b=2n, ? 1 1 1 1 (2)由条件得 = +2n,∴ - =2n, an+1 an an+1 an [2+2?n-1? ]×? n-1? 2 1 1 累加得 - =2+4+6+…+2(n-1)= =n -n, an 4 2 1 1 ∴ =(n- )2, an 2 1 4 所以 an= = (n∈N*). 1 2 ?2 n-1?2 ?n- ? 2 (3)bn= anan+1= 4 1 1 =2( - ), ?2 n-1? ? 2 n+1? 2n-1 2n+1

1 1 1 1 1 则 Tn=b1+b2+…+bn= a1a2+ a2a3+…+ anan+1=2[(1- )+( - )+…+( - )]=2(1 3 3 5 2n-1 2n+1 - 1 )<2. 2n+1 1 4 4 ∵2n+1≥3,故 2(1- )≥ ,∴ ≤Tn<2. 3 2n+1 3 C组 1.数列{an}的前 n 项和 Sn=n +2n+1, 则{an}的通项公式为( A.an=2n-1 [答案] D [解析] a1=S1=4,n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n+1,
? n=1 ?4 ∴an=? . ?2n+1 n≥2 ? ?4 n=1 ? B.an=2n+1C.an=? ? ?2n-1 n≥2
2

)

?4 n=1 ? D.an=? ? ?2n+1 n≥2

f? 2? f? 4? f? 6? f? 2012? 2.如果 f(a+b)=f(a)· f(b)(a,b∈R)且 f(1)=2,则 + + +…+ 等于( f? 1? f? 3? f? 5? f? 2011? A.2009 [答案] D [解析] 令 a=n,b=1,f(n+1)= f(n)· f(1),∴ =2012. 1 1 3.已知数列{an}中,a1=1,且 = +3(n∈N*),则 a10=( an+1 an ) B.2010C.2011 D.2012

)

f?n+1? f? 2? f? 2012? =f(1)=2,∴ +…+ =2× 1006 f?n? f? 1? f? 2011?

86

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A.28

B.33C.

1 33

1 D. 28

[答案] D 1 1 ?1? 1 1 [解析] ∵ - =3, ∴数列?a ?是首项为 =1, 公差为 3 的等差数列, ∴ =1+3(n-1)=3n-2, a1 an ? n? an+1 an 1 1 ∴an= ,∴a10= . 28 3n-2 4.由 1 开始的奇数列,按下列方法分组:(1),(3,5),(7,9,11),…,第 n 组有 n 个数,则第 n 组的首 项为( ) B.n2-n+1C.n2+n D.n2+n+1

A.n2-n [答案] B

?n-1? ? n-1+1? n?n-1? [解析] 前 n-1 组共有 1+2+…+(n-1)= = 个奇数,故第 n 组的首 2 2 n?n-1? 项为 2× +1=n2-n+1. 2 [点评] 可直接验证,第 2 组的首项为 3,将 n=2 代入可知 A、C、D 都不对,故选 B. )

5.已知数列{an}满足 a1=0,an+1=an+2n,那么 a2011 的值是( A.2008× 2009 [答案] C B.2009× 2010C.2010× 2011 D.2011× 2012

[解析] 解法 1:a1=0,a2=2,a3=6,a4=12,考虑到所给结论都是相邻两整数乘积的形式,可变形 为: a1=0× 1 a2=1× 2 a3=2× 3 a4=3× 4 猜想 a2011=2010× 2011,故选 C. 解法 2:an-an-1=2(n-1), an-1-an-2=2(n-2), … a3-a2=2× 2, a2-a1=2× 1. ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1 =2[(n-1)+(n-2)+…+1]. ?n-1? ? n-1+1? =2 =n(n-1). 2 ∴a2011=2010× 2011. 6.如图所示的程序框图,如果输入值为 2010,则输出值为________.

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[答案] -4 [解析] 此程序框图计算数列{an}的第 n 项,并输出,其中 a1=1,a2=5,an+2=an+1-an 依次计算可 得数列的项为:1,5,4,-1 ,-5,-4,1,5,4,故该数列周期为 6,又 2010=335× 6,∴a2010=a6=-4. 2 7.(2011· 浙江文,17)若数列{n(n+4)( )n}中的最大项是第 k 项,则 k=_ _______. 3 [答案] 4
? ?ak≥ak+1 [解析] 由题意可列不等式组? ?ak≥ak-1 ?

?k?k+4? ?3? ≥?k+1? ?k+5? ?3? 即? 2 2 ?k?k+4? ?3? ≥?k-1? ?k+3? ?3?
k k 2 ?k ≥10 ? 化简可得? 2 解之得 10≤k≤1+ 10 ?k -2k-9≤0 ?

2

2

k+1

k-1

又∵k∈Z,∴k=4.

第二节等差数列
1.(文)若 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,a2+a10=4,则 S11 的值为( A.12 [答案] C 11? a 4 1+a11? 11? a 2+a10? 11× [解析] 根据等差数列的性质可知 S11= = = =22,故选 C. 2 2 2 (理)已知数列{an}为等差数列,Sn 是它的前 n 项和.若 a1=2,S3=12,则 S4=( A.10 [答案] C [解析] S3=3a2,又 S3=12,∴a2=4,∴d=a2-a1=2,∴a4=a1+3d=8,S4= 选 C.
88

)

B.18

C.22

D.44

)

B.16

C.20

D.24

4? a 1+a4? =20,故 2

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2.(文)等差数列{an}的前 n 项和 为 Sn,若 a2+a6+a7=18,则 S9 的值是( A.64 B.72 C.54 [答案] C [解析] 由 a2+a6+a7=3a1+12d=3a5=18,得 a5=6. 9? a 1+a9? 所以 S9= =9a5=54. 2 D.以上都不对

)

(理)已知等差数列{an}的公差为 d(d≠0),且 a3+a6+a10+a13=32,若 am=8,则 m 为( A.12 [答案] B [解析] 由等差数列性质知,a3+a6+a10+a13=(a3+a13)+(a6+a10)=2a8+2a8=4a8=32, ∴a8=8. ∴m=8.故选 B. B.8 C.6 D.4

)

3.(文)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=-11,a3+a7=-6, 则当 Sn 取最小值时,n 等于( A.8 [答案] C B.7 C.6 D.9

)

a5-a1 [解析] 设等差数列{an}的公差为 d,依题意得 a3+a7=2a5=-6,∴a5=-3,∴d= =2,∴an 5-1 =-11+(n-1)× 2=2n-13.令 an>0 得 n>6.5,即在数列{an}中,前 6 项均为负数,自第 7 项起以后各项均 为正数,因此当 n=6 时,Sn 取最小值,选 C. (理)设数列{an}为等差数列,其前 n 项和为 Sn,已知 a1+a4+a7=99,a2+a5+a8=93,若对任意 n∈ N*,都有 Sn≤Sk 成立,则 k 的值为( A.22 [答案] C [解析] 设等差数列{an}的公差为 d,则有 3d=93-99=-6,∴d=-2;∴a1+(a1+3d)+(a1+6d)= 3a1+9d=3a1-18=9 9,∴a1=39,∴an=a1+(n-1)d=39-2(n-1)=41-2n.令 an=41-2n>0 得 n<20.5, 即在数列{an}中,前 20 项均为正,自第 21 项起以后各项均为负,因此在其前 n 项和中,S20 最大.依题意 得知,满足题意的 k 值是 20,选 C. 4.(文)已知不等式 x2-2x-3<0 的整数解构成等差数列{an}的前三项,则数列{an}的第四项为( A.3 [答案] D [解析] 由 x2-2x-3<0 及 x∈Z 得 x=0,1,2. ∴a4=3 或-1.故选 D. 1 (理)已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0 的四个根组成一个首项为 的等差数列,则|m-n|=( 4 3 1 A.1 B. C. 4 2
89

) D.19

B.21 C.20

)

B.-1 C.2

D.3 或-1

)

3 D. 8

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[答案] C [解析] 设 x2-2x+m=0 的根为 x1,x2 且 x1<x2, 1 x2-2x+n=0 的根为 x3,x4 且 x3<x4,且 x1= , 4 7 又 x1+x2=2,∴x2= , 4 又 x3+x4=2,且 x1,x3,x4,x2 成等差数列, 17 1 1 3 5 ∴公差 d= ( - )= ,∴x3= ,x4= . 34 4 2 4 4 1 7 3 5 1 ∴|m-n|=| × - × |= ,故选 C. 4 4 4 4 2 5.已知数列 2,x,y,3 为等差数列

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