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平面几何入门教学


平面几何入门教学
序 为了大面积提高初中数学教学质量,为国家培养各级各类的合格人才,1982 年,常州市教 研室的杨裕前同志,与教师中有志于改革的积极分子,针对当时几何教学造成大批学生数学成 绩严重下降的情况,首先成立了“平面几何教学研究小组” ,并以它为核心,团结起全市数学教 师,开展了全市性的改革几何教学的研究试验活动。 他们从分析学生学习几何的困难入手,发现学生的困难虽然是在学习“三角形”一章的证 明时才开始表现出来的,但它是从学习几何开始起就逐渐积累下来的。因为在证题时,尽管是 刚开始做证明题,至少要具备以下知识和技能: 1.对题目中各个概念有清晰而正确的理解,能想象出概念所反映的图形,以及它具有的性 质(特别是本质属性); 2.能够看懂图形,能把复杂图形分解成各种简单图形,能找出图形中的各个元素,以及各 个元素之间的关系; 3.能够口头叙述、尤其是书面表述概念、性质和定理; 4.掌握推理的基本规律和书面表述的规范格式。 在开始做“三角形”一章的证明题时,虽然用到的知识是少量的,技能的要求也只是初步 的、浅显的,但毕竟都是必需的,而且表现为一种综合运用的能力,缺少哪一方面或在哪一方 面稍有缺陷,都将影响证明的完成。他们发现,学生对所需的知识和技能掌握得并不好,包括 几何开始时的一些基本概念。于是他们又进一步从学习的内容和方法的转变,即从数到形、从 运算到论证的转变,以及心理的准备等方面,分析了学生的情况。 基于对学习内容和学生状况的分析,他们提出了研究几何入门教学的任务,研究从几何的 第一课开始怎样引起学生喜爱学几何的欲望,怎样使学生逐步掌握知识,特别是怎样训练这些 技能。比如,怎样引起学生学习几何的兴趣,怎样培养学生学好几何的信心,怎样进行几何概 念的教学,怎样训练学生看图、画图以及几何语言的表述的技能,怎样使学生掌握推理论证的 规律,以及怎样进行证明、作图的书写格式规范的训练,等等。 由于他们是紧密结合教学实际来进行研究的,更由于这种研究是有广大教师直接参加的, 因而不仅能够集中群众的智慧,使问题抓得准,分析得透,更为重要的是调动了广大教师为提 高教学质量、进行教学改革实践的主动性和积极性,把研究的结果用之于教学实践并进行检验、 改进,从而在当年就取得了大面积提高平面几何教学质量的可喜结果。1983 年春,中国教育学 会数学教学研究会在烟台召开了“大面积提高初中数学教学质量座谈会” 。在这个座谈会上,杨 裕前同志介绍了他们的经验,受到了与会代表的重视。代表们不仅认识到大面积提高初中数学 教学质量的重大意义,而且树立了一种信心:学生数学成绩不好不是必然的,通过改进教学, 绝大多数学生是可以学好的。 常州的同志并没有满足于已取得的经验和成绩。他们结合教改实践学习教育学、心理学,

把已有的经验提高到理论上来认识,并在理论的指导下进一步改进平面几何入门教学的实践。 这样,常州全市近几年来的几何教学成绩持续达到大面积的高质量,并且写出了这本理论与实 践相结合的《平面几何入门教学》 。 本书的出版,对大面积提高我国数学教学质量无疑会起到促进作用。由于本书讲的是教学 实际,内容生动具体,对从事初中几何教学的教师来说,可以直接作为进行教学的参考;对其 他从事数学教学和研究的人员来说,本书提供了可资借鉴和研究的真实材料。所以本书对数学 教育的实践和理论的研究都是有价值的。 几何难学、难教,难在什么地方?归相结底,主要不是在几何事实的认识和应用,而是在 于它的严密的科学体系。长期以来,人民之重视几何,说是为了学习几何的实际知识,毋宁说 是为了学习它的这个科学体系,也就是说,学习几何主要在于使学生的思维受到严格的逻辑推 理的训练,并从中掌握科学的思想方法和科学的体系。因为这种方法和体系,以及推理论证的 能力,对于从事脑力劳动,尤其是从事科学研究的人来说是必不可少的。这种教育观点,至少 在实科教育兴起之前是这样。其实,在实科教育兴起之后,这种观点仍然强烈地影响着数学教 育。 几何的科学体系,通常是指欧几里得几何的公理体系。它是人们经过了漫长的岁月,积累 了丰富的关于几何事实的知识及其相互间的关系的认识之后,到了两千多年之前,才由欧几里 得完成的。欧氏几何是人类完成科学体系的第一门学科,是人类认识史上的一次伟大飞跃。我 以为,人的认识能力的发展过程与人类认识能力的发展过程存在着一致性。所以,第一,学生 学习和掌握这个尽管还不是严密的欧氏几何体系,确实不是一件轻而易举的事;第二,它又毕 竟是人类完成的第一个科学体系,比起晚近出现的其他更为抽象的体系——比如抽象代数的公 理体系来,又是轻易于为学生所理解和掌握的一个体系,因为它可以借助于图形的直观。因此, 欧氏几何有对学生早期进行系统的推理论证训练、学习科学思想方法和体系的优点,不过,在 初中学习几何仍有“化难为易”的必要。20 世纪初期,就有人主张在“理论几何”之前增加一 门“实验几何” ,即先学习一些几何事实的知识,再学习公理体系的论证几何。我国自 1933 年 公布《初级中学算学课程标准》起到解放前,采用的就是这种主张。不过当时更多学校采用“三 S” 几何课本进行教学, 是一本把实验几何与论证几何结合起来的课本, 受到了当时教者的欢迎。 1978 年的中学数学教学大纲,对初中几何除了精简只起训练思维作用的繁琐内容、强调知识的 实用性外,在安排上采用扩大的公理体系,也就是把实验几何与论证几何结合起来的体系。现 在,常州市以及其他一些地区和学校的经验证明,采用扩大公理体系的方法是可行的;同时, 他们的经验更说明,在入门阶段的几何教学,确实需要有一个小步训练、逐级渐进的过程。所 以, 《平面几何入门教学》一书,不仅对研究教学方法有积极的意义,而且对改进教材的编写也 提供了经验。 现在,教育改革已进入了一个新的阶段,初中教育已属于义务教育。无论是几何教材的内 容,还是教学方法,都要从教育改革的新阶段和义务教育的要求来加以重新考虑;另外,有不 少学校在初中一年级进行几何教学的试验也取得了有益的经验。所以,我们也要从这个要求和

经验来看待《平面几何入门教学》 。实践、认识,再实践、再认识,这是认识的规律。因此,我 们广大数学教师要在不断的实践中,不断地创造新经验,为大面积提高数学教学质员,为建立 数学教育学作出贡献。 张孝达 1988 年 10 月



“入门教学”的特点 平面几何教学普遍存在“入门难”的问题。为解决这个问题,首先有必要研究平面几何的 入门教学,即起始阶段的教学具有的一些特点。 1.每一门新的教学科目,它研究的对象往往与以前的有所不同。 《几何》主要研究图形及 其性质。在初中《几何》教学以前的小学数学和初一代数,主要是研究数量关系。也就是说, 平面几何这门学科使中学数学进入了一个新的领域, “新”在研究对象发生了根本的变化,这是 平面几何教学带根本性的一个特点。 2.研究对象的变化,必然使研究方法也随之发生变化,平面几何不再用学生较为熟悉的运 算的方法,而是用学生还很陌生的说理、推理、论证的研究方法。这种新的方法,学生在以往 的学习中没有得到系统的训练。因此,研究方法是新的,也是平面几何教学中一个重要的特点。 3.从教学内容看,平面几何入门教学又有“基础知识多而集中,难度虽不大,但对整个几 何教学具有本源性”这样的特点。在平面几何的起始阶段教学中,作为这门学科的最基础的知 识,如基本概念、名词术语、符号等都将集中出现。这些知识从表面上看似乎不难,实际上并 非如此,它们是这门学科知识的本源,以它们为基础才能逐步形成整个平面几何的知识结构。 在实际教学中,这个特点往往不被教与学的两方面充分认识。从“学”的方面看,学生常 常对集中出现又无明显联系的一大堆知识感到枯燥乏味,加之知识难度不大,因而往往表现在 学习中掉以轻心;再从“教”的方面看:教师也常常感到起始阶段教学内容零碎难教,远不如 进入推理阶段的教学那样得心应手,因而也可能产生尽量压缩教时,尽早进入平面几何教学的" 华彩乐章”的想法。教与学两方面可能存在的这种“轻视”心理,对搞好平面几何的教学是十 分不利的。 4.从技能和能力的要求看,平面几何教学需要学生逐步具备识图、画图、作图,正确地理 解和表述几何语言、运用三段论证的方法进行演绎推理的技能和能力,以及逐步了解并掌握图 形变换的思想、分析的方法、反证法的思想方法等等。这些技能、能力和思想方法,学生在学 习平面几何以前没有得到过系统的训练和培养。因此,平面几何教学在技能、能力和思想方法 的要求上,具有“突变性”的特点。 把第 3,4 两个特点结合起来考虑,我们清楚地看到:应该利用平面几何入门教学阶段知识 难度不大的时机,有计划有重点地逐步训练学生掌握学好几何所必须具备的技能、能力和思想

方法,而不应急于进入推理论证教学。同时,不宜把这些训练安排在平面几何教学进入核心阶 段——推理论证后去进行。因为推理论证阶段已是诸种技能和能力的综合运用阶段。到那时再 开始进行上述训练,就为时太晚了。 5.在入门教学阶段,由于研究对象、方法的变化,以及技能、能力和思想方法上的突变性, 学生在起始阶段的学习中,一般需要有一个调整学习方法、改变学习习惯的过程。比如,由于 种种原因,不少学生在代数学习中仍常用背诵的方法学习基础知识,解题时又习惯于套用程式, 这种不好的学习方法和习惯在几何学习中尤需改变,因为学习几何更加要求重理解、会思考。 又如,他们在由运算转变为论证时,对解题的书写格式也会不习惯等等。因此入门教学中必须 考虑学生这样一个调整的过程。 6.学生的学习动机、兴趣、意志、情感、注意,乃至态度、理想等非智力因素,在入门教 学中具有重大的作用。学生刚开始学习一门新学科时,往往有新奇感,并表现出一定的兴趣。 但是,如果起始阶段教学趣味性不强,或由于各种原因使学生在学习中遇到了较大的困难,学 生又不能以坚强的意志和毅力克服这些困难,那么他们便可能丧失学习的兴趣和信心。 因此,入门阶段的教学关系到能否帮助学生形成“乐学——学懂——更乐学”的良性循环, 还是相反地出现学习上的恶性循环。1983 年 5 月,人民教育出版社的有关同志在常州一所学生 基础差的学校召开了一次座谈会, 问参加座谈会的九名留级生: “为什么你们去年没有学好几何, 今年都学得很好(当时,初二下学期期中考试成绩,一人 80 分以上,余均在 90 分以上)”?这几 位学生说: “现在学几何有趣,学得懂,上课就认真听讲,所以就学好了。 ”这正是非智力因素 发挥了积极作用,从而使智力因素得到较好发展的—个例证。可以这样说:能否在入门阶段调 动学生的非智力因素,促进教学的良性循环的形成,对每一门新学科的整体教学具有决定性的 影响。 7.新学科的教学与以前学科教学之间必然存在着迁移,这也是入门教学中必须认真研究的 一个特点。在初中平面几何教学前,学生在小学“简单的形体知识”教学中,已经了解了诸如 直线、射线、线段、垂线、平行线、两点间距离、等腰三角形、等边三角形等名称,学会了某 些特殊四边形、圆和简单几何体的有关计算等。这些对初中平面几何教学都有着可利用的正迁 移作用。但是,由于小学生的年龄特征和知识面的限制,小学数学没有也不可能用说理的方法 去导出这些形体知识,而是大量地借助直观。这种以“直现”代替“论证”的获取知识的过程, 常常会使学生对平面几何教学中论证的必要性认识不足,甚至产生排斥的心理,这就将给初中 平面几何的教学带来很多困难。 比如,一位小学生在作业本上计算图 1 的面积时,列出式子(3+6)×4÷2,显然,他把图 1 看作为直角梯形(注:原题意中没有说明这一点)。 下面是家长与该生的一段对话: 问: “你怎么知道长度为 4 的那条线段是梯形的高呢?” 答: “如果它不是梯形的高,我怎么能做这道题呢?” 学生的回答令人啼笑皆非,但似乎又是合乎情理的。因为他们只能借助图形直观,看看图

形象什么,就认为它是什么。这使我们想到:初中学生在几何论证中不也常常杜撰条件(比如, 角的内部有一条过角的射线,就把它当成角的平分线)导致错误吗? 我们再来看这位学生在初二年级学习了“直线的基本性质”以后,家长与他的另一段对话: 问: “今天《几何》课上,你们学习了“两条直线相交,只有一个交点吗?” 答: “学习了。 ” 问: “这个‘直线的基本性质’是怎样说理的?”(注:课本在这个性质的说理中用了反证法 的思想方法,家长问话的本意是想了解学生能否粗浅地了解这种方法。) 答: “我觉得老师用一大段话去说明这个性质,是多余的。 ” 问: “怎么会是多余的呢?” 答: “老师讲这个性质之前,讲‘经过两点有一条直线并且只有一条直线’时,先在黑板上 过两点画出一条直线,再过这两点画直线,画不出第二条直线,所以把那个结论作为‘公理’ 。 那么,两条直线相交,无论怎样画也总只有一个交点,为什么却要说理呢?” 是啊!初学几何的学生尚不清楚,平面几何要有若干条公理,然后在公理和定义的基础上, 用说理的方法去论证一系列的几何命题和定理。由此可见,用直观代替乃至取消论证这种获取 知识的方法和习惯,对初中几何教学造成了很大的障碍。不注意到这一点,便会使平面几何起 始阶段的教学中,教师与学生总也想不到一块儿去!教师想的是如何讲才能使学生听懂道理, 学生想的却是不需要讲道理。不解决这一问题,怎么能取得好的教学效果呢? 针对入门教学的以上特点,平面几何起始阶段的教学应注意以下几点。 第一,要明确本学科教学的根本目的。 近几十年来,平面几何这门学科一直是教学内容改革的对象。国内外对这门古老的学科在 中学数学中的地位和作用,有着很多的争论。但是,至今它仍在中学数学中占有一席之地。这 些现象说明了什么呢?毫无疑问,随着当代科学技术的发展,在两千多年前开始形成的几何这门 学科,它的某些内容确实已经失去了实用的价值,有的也过于繁难,因此平面几何教学内容要 改革是合理的。那么经历了多次改革和冲击,平面几何作为中学数学的一门学科仍被保留下来, 这又说明它必然有着独特的作用,即它对培养初中学生的逻辑思维能力有效,目前尚未有更好 的办法去替代它的这种作用。因此,平面几何的教学必须在教给学生有用的知识的同时,把培 养学生分析、综合、演绎、归纳等逻辑思维能力作为其根本的目的。 为此,平面几何教学要注重知识的应用价值,要着眼于使学生会思考、会学习,而不应以 证题术为中心。逻辑思维能力的培养也不一定需要搞大量的难题,用大量的一般难度题(课本中 的习题)和少量的难题同样可以达到这个目的。关键在于如何在解题过程中教会学生思考问题的 方法。 第二,教学要求必须恰当。 教学要求恰当,是平面几何教学中始终应当注意的,在入门阶段的教学中显得尤为重要。 我们认为,每门学科的教学要求应考虑以下几个不同的层次: 大纲规定的要求;

本学科教学的要求; 章节或单元的教学要求,或某个知识系统、某种数学思想方法在整个学科教学中的要求; 每堂课教学的具体要求。 它们的关系是前者决定后者,局部服从于整体并为整体服务;它们既有区别,不能等同, 又是相互紧密相连的。 既搞清了不同层次的教学要求,又承认学生之间实际存在的差异,才能做到面向多数,克 服教学要求任意拔高,教学内容任意膨胀的做法,把握好教学分寸。 第三,在起始阶段的教学中,要注重经常的、细致的调查研究。 应当承认,许多有经验的教师对学生学习中的困难和问题存比较正确的估计和了解。但是, 教学不可能是一成不变的,它要受时空、对象变化的影响。同时,应考虑到初中学生身心发展 的特点,他们的性格表现出越来越强的独立性,部分学生性格趋于内向,不轻易地表露个人的 想法(包括几何学习中的困难)。因此,在平面几何入门教学中,教师应通过课堂教学、批改作 业、个别谈话、书面调查等多种形式,深入了解并力求真正摸清学生学习中的具体困难和问题, 从而确立好教学的基点,使入门教学更具针对性。 第四,要十分注意培养学生的学习兴趣,激发他们的学习积极性 (本书第三部分将详细论 述)。 第五,要用辩证法的思想观点处理好入门阶段教学内容多而集中的矛盾。突出重点,有轻 有重,有主有从,不要求全。 “在有利于继续学习的前提下,信息量愈少,需要记住的事实愈少就愈经济” ,这是提高教 学效率的重要原则。根据这个原则,入门教学中大量的知识不应该也不可能都作为重点,只有 切实抓好对平面几何教学有重大影响的那些知识的教学,才能使整个教学较为顺利,取得好的 效果。 第六,要在学生调整、改变学习方法和习惯的同时,改进教学方法,以帮助学生尽快适应 几何教学的要求。 要根据几何学科的特点,按照学生的认识规律进行教学。比如,几何概念的形成往往要经 过直观形象、形象(图形)抽象、本质抽象这样几个阶段。这与代数概念的教学是不尽相同的。 因此,不能简单地搬用代数概念教学方法教几何概念。 在入门教学阶段要注重使用“渗透的教学方法” 。所谓“渗透”就是采用教者有意、学者无 心的办法,经过多次反复,日积月累,逐步使学生形成某种技能,粗浅地了解某种数学思想方 法,以求得“水到渠成”的效果。 此外,还可选择适当的教学内容,采用教师引导、学生探索并获取知识的方法进行教学。 这种教法不是由教师在课堂上抛出一个又一个结论,使学生应接不暇,来不及思考,而是把教 学作为一个过程,使学生在主动获取知识的过程中,既学会了数学的思想方法,训练了技能, 发展了能力,又养成了思维的习惯,因为“数学知识,不仅是那个高度抽象的结论,得出那个 结论的过程同样是十分重要的” , “在这个过程中, 往往具体体现了数学的基本方法和重要思路” 。

第七,要在注重基础知识的同时,十分注重技能的训练。 如前所述,入门教学具有“知识的本源性和技能、能力的突变性”这样的特点。数学技能 是发展数学能力的基础。我们不能脱离知识来发展学生的能力,也不能脱离技能的训练来谈发 展学生的能力。 因此,在平面几何入门教学中,应加强对学生进行识图、画图、作图、几何语言的理解、 表述和翻译,以及推理等技能的渗透性训练,应在通盘考虑平面几何教学中技能训练序列的基 础上,有计划、有层次地把技能训练渗透在各个阶段的教学之中。 必须指出:这里的“训练” ,不能片面地理解为解题。一般地说,课堂教学中的训练应包括 以下几个方面: 基础知识(概念、定理)的简单应用; 各种基本技能的训练; 数学思想方法的渗透; 非智力的心理素质的训练; 为后续教学可能做好的各种准备等。 同时,这里的“训练”这个词语,还包含了根据教学对象的差异,在要求、方法和数量等 方面都可以有所不同的意思。 二 重视非智力因素的作用,培养学生的学习兴趣 教育心理学认为: “学习”是一个含义极广的概念,学生在学校里, “不仅学习知识,而且 也学习技能,形成良好的态度与习惯,还要改变不良的行为习惯” 。学习, “不仅指文化知识的 学习,也指思想品质和行为习惯的学习” 。教学实践也证明,知识、品质、行为习惯的学习是相 互影响、相互促进的。 在日常的教学活动中,往往狭义地把“学习”理解为知识、技能和能力的学习。即使就这 种意义的学习而言,它也是一种复杂的心理过程。在这种过程中的心理成分可分为两类:一类 是认知过程本身所涉及的,如感知、记忆、思维、想象等,即所谓智力因素;另一类是与激发 学习积极性有关的,如动机、兴趣、注意、意志、情感、态度等,即所谓非智力因素。长期以 来,我们在教学活动中往往偏重于研究智力因素,而不重视非智力因素对教学的影响和作用。 事实上,只有不仅注重前者,而且同样注重后者,使学生生动活泼、主动地学习,教学才能取 得最优效果,在一门学科起始阶段的教学中则尤为如此。 在诸种非智力因素的心理成分中,兴趣是一种十分活泼的因素,它对其他各种心理成分有 着重大的影响。对此,古今中外著名的教育家、科学家有许多精辟的论述。我国古代教育家孔 子说: “知之者, 不如好之者; 好之者, 不如乐之者” 。宋朝程颐说: “教人未见其趣,必不乐学” 。 爱因斯坦说过: “热爱是最好的老师。赞可夫说: “对所学知识内容的兴趣可能成为学习动机” 。 苏联心理学博士彼得罗夫斯基指出: “对某种对象或活动具有兴趣,是决定注意高度集中之所以 能持久的一系列条件之一” 。由此可见,注意培养学生的学习兴趣,就能激发他们的学习热情, 调动他们学习的积极性。做到乐好、好学、学会、会学。

应当看到,平面几何是一门趣味性较强的学科(至少在中学数学的各门学科中如此)。但是, 这里所说的“兴趣”主要是指平几教学进入推理阶段后,学生解出难题后得到自我激励所产生 的乐趣。因此,这种“兴趣”只是部分学生的兴趣。事实上,学习兴趣是可以培养的。我们这 里强调的是从平面几何教学一开始就要培养全体学生的学习兴趣。 但是,在平面几何起始阶段教学中,培养全体学生的学习兴趣有着一些不利的因素: 教学内容较为零碎,抽象的名词、概念多,学生往往感到枯燥乏味; 由“数”到“形”引起的突变,学生常常不能适应; 部分学生有“几何难学”的畏难情绪,缺乏学好几何的自信心; 基础较差的学生往往意志薄弱,有自卑感,自制力也差。他们对几何学习或采取无所谓的 态度,或由于对几何这门学科不了解而产生“神秘感” ,如引导不当也可能转化为畏难情绪。 当然,初二学生的好奇心强,对新事物容易发生兴趣(尽管这种兴趣并不稳定 );平面几何 作为一门新的学科,既可能在早期出现两极分化,同时它又给包括差生在内的全体学生提供了 同等的机会,即差生也可以赶上去,这些都是平面几何入门教学中培养学生学习兴趣的有利条 件。 那么,怎样在平面几何入门教学中培养学生的学习兴趣呢? 学习兴趣的“第一个源泉,第一颗火星”在于教师对要讲的材料和要分析的事实所抱的态 度和采取的办法。 《几何》开头的引言课介绍了体、面、线、点等概念名称,有些叙述与学生熟 悉的日常的生活经验相差甚远,如“体是由面围成的” , “面没有厚薄” , “面和面相交于线” , “线 没有粗细” , “点没有大小”等。因此,学生可能产生“ 《几何》这门课很‘玄’ ,生活中本来很 清楚的事情在几何中反而糊涂了”这种想法。如果学生真的这样想,那对《几何》教学是十分 不利的。要使几何教学的“趣味性”从一开始就能体现出来,就应当把“引言课”的教学设计 得直观、有趣。 “引言课”的教学内容可作如下安排。 首先,简要介绍平面几何这门学科随着生产、生活实际的需要而产生、发展的历史,讲一 些有趣的故事,特别要介绍我国古代在几何学上的光辉成就。如《周髀算经》中就写了‘勾三 股四弦五” ,祖冲之在圆周率的计算上达到了相当精确的程度等,以激发学生的爱国主义热情, 激励学生为实现祖国四化而勤奋学习。 其次,要结合学生的实际,选编一些趣味性强、与几何知识又有一定联系的实际问题,让 学生解决,从中培养起学习几何的兴趣。这类问题大致有以下几类: 1.折纸 比如让学生“把一张长方形的纸裁成一个正方形” 。然后,我们可以告诉学生,这样的动作 中包含了《几何》中的三个知识:(1)第一条折痕把长方形的一个直角分成一样大小的两部分, 这条拆痕是一条重要的线(即角的平分线);(2)第二条折痕实际上比较出了长方形的长比宽长多 少,这就是《几何》中将要学习的“比较两条线段大小”的方法;(3)把图 2 中的阴影部分裁去, 又可以看作在长方形的“长”上截取一条较短的线,使它的“长”与“宽”一样长,这就是《几

何》中的一种基本作图——作一条线段使它等于已知线段。 这样讲解,学生便会感到,他们十分熟悉的简单的动作中就包含了不少几何知识, 《几何》 这门学科并不难学。 又如,要求学生“从一张纸片上剪下一个等腰三角形” 。开始时,学生往往凭观察,徒手剪 下一个“等腰”三角形,这时可让学生量一量,是否真正“等腰” 。然后,引导学生先把纸对折, 再剪下一个直角三角形,最后把剪下的直角三角形摊平,就得到一个真正的等腰三角形。 这不仅可以让学生认识到单凭观察常常不精确,又可使学生体会等腰三角形这种图形的特 性,为后续有关内容的教学准备一点感性材料。 再如, “把两张长方形的纸片拼成一个凸字形,并使竖放的一张纸在横放的那张纸片的正中 间” 。学生解决此题,常有三种不同办法: (1)单凭眼睛观察,移动竖放的纸片使其居中,这是 不精确的;(2)在第一种办法的基础上,再用刻度尺量竖放的纸片两旁,并随时移动调整位置, 这种方法是准确的,但费时间,又需要有刻度尺;(3)把两张纸片分别沿横向和纵向对折,然后 把它们届展平叠合在一起,并使两条折痕对齐,显然这种方法既省时又精确。最后可以向学生 介绍, “折纸”在《几何》中就是一种对称变换,也称为翻折变换。是研究几何图形性质的一种 重要方法。 2.拼搭图形 比如, “用火柴棒搭一个等边三角形” ; “怎样用五根火柴棒搭两个等边三角形”(如图 3—— (1)、(2),其中出现“公共边”的直观形象);然后, “搭六个这样的等边三角形,看谁用的火柴 棒最少” ,这时,搭成图 4——(1)共用 13 根火柴棒;而搭成图 4——(2)只需用 12 根火柴棒,这 种更优的办法必将激起全体学生很大的兴趣。同时,图 4——(2)表明的“正六边形是由六个同 样大小的等边三角形拼合而成的”这一点,又是《几何》中将要介绍的一个重要性质。 再如,先让学生剪好两块同样大小的直角三角形,教师示范,把这两块直角三角形拼合成 一个平行四边形,然后由学生自己动手采用不同的拼合方法,看看可以拼出些什么形状的图形。 学生将拼合出等腰三角形,长方形,另一种形状的平行四边形,以及一条对角线垂直平分另一 条对角线的四边形等图形。在这个过程中,学生不仅感知到各类图形的结构,而且不知不觉地 接触、了解了图形拼合的思想方法。 3.观察、判断与思考 观察是人们感知事物的重要途径,但是由于生理上的原因,观察并不总是可靠的,同时如 前所述学生在小学“形体知识”学习中,又形成了仅仅依赖直观作出判断的习惯。因此,我们 应该设计一些会产生视错觉的图形, “诱使”学生作出错误的判断,进而帮助学生纠正。 比如,让学生判断“图 5 中的两条线段哪一条长一些” 。生理学研究表明:经过同样的距离, 视线 “从上到下” 观察停留的时间要比 “从左到右” 观察长一些, 因而会产生竖着的线段要 “长” 一些的错觉。当学生作出这种错误判断时,教师可以用圆规度量,验证两条线段一样长。同时, 向学生指明,今后学习《几何》这门学科,要学会观察认识图形,而观察的结果有时是错误的, 有待于验证和说理证明。因此,学好《几何》必须要学会说理、论证,从而防止和克服小学“形

体知识”教学对《几何》教学可能产生的负迁移影响。 如果学生由于其他原因(比如高年级同学事先告诉了他们图 5 中两条线段一样长)自觉排除 了视错觉,从而避免判断的错误时,则可以将图 5 中竖着的线段再稍为画短一点,如图 6,再 让学生观察并判断。实践证明,几乎没有一个学生能仅仅凭观察得出“竖着的线段较短”的正 确结论,这样的效果甚至更佳。此时,学生对于“学习几何要注重说理”这样的话才能心悦诚 服,真正听得进去。 象这类容易产生视错觉的图形还有很多,比如图 7——(1)中线段 AE 与 DE 实际一样长, 看起来长度不相等;图 7——(2)两组图形的中间两个圆,被小圆所衬托的那个圆似乎“大” 一些。其实,这都是由于“背景” (如图 7——(2)中周围的若干个较小或较大的圆)对“对象” (图 7——(2)的中间两个圆)产生了干扰而引起的。 “背景”与“对象”的关系在几何教学中的应用, 以后还将有所论述。 4.欣赏图案 几何图案简明(由弧线和线段组成)、和谐、美观并被广泛地应用于生产和生活实际中。教学 中让学生欣赏一些漂亮的几何图案(图片和相片),实地观察建筑物、印花布上的各种图案,不 仅可以对学生进行美学的教育,以图案美激发他们学习几何的兴趣,而且也有助于训练学生的 识图技能。 此外,可以用一张白纸和一张透明的纸分别画上简单的几何图形。然后把它们叠合在一起, 再通过平移(或旋转等)透明纸的方法组成各种花色的图案。还可以与初一、初二年级的美术 课结合起来,让学生画一些花边图案等。 课后,可要求学生自己设计一些漂亮的图案(如窗花)。他们在兴趣盎然的画图过程中,不 仅学习了作图工具的使用方法,而且不自觉地体验了图形的位置关系,这些对平面几何的教学 都会产生良好的作用。 引言课的实践性、趣味性,成了激发学生学习兴趣的“第一颗火星” 。据 1982 年 10 月份的 调查统计,92%的学生感到学习几何“有兴趣”或“很有兴趣” 。兴趣是入门的先导,学生学习 兴趣的提高将为平面几何的教学创造十分有利的条件。 当然,我们应当清醒地认识到:引言课激发出学生的这种兴趣主要是由于他们的好奇心得 到满足和所设计的问题有较强的趣味性而产生的,还处于较低级的阶段,也是不稳定的,这就 要求教师在后继的教学中“以知识本身的价值吸引学生,使学生感到认识事物的乐趣” ,千方百 计使学生的学习兴趣趋于稳定,并逐步转化为较高级的“志趣” 。 从课本第一章起,教学中可以采用如下手段,进一步培养学生的学习兴趣。 1.充分挖掘教材的实践性、趣味性,把教学内容与实际联系起来。 数学是抽象、严密的科学,因而它有着广泛的应用。数学又来源于生产、生活实践。但是 数学的抽象性、严密性往往掩盖了它的实践性和趣味性。因此,在中学数学(特别是初中数学) 教学中,要采用各种方法使数学“回到”学生熟悉的生活实际中去,这样便能使全体学生(包括 对数学学习态度冷漠的学生)兴致勃勃地学习、思考。

比如,讲授“点到直线的距离”这个起始阶段难教的重要概念时,可以测量跳远成绩为实 例作如下的说明:测量跳远成绩时,先把皮尺的始端放在落点处,再把皮尺拉直,皮尺与起跳 线的交点就是垂足,皮尺上的读数就是跳远的成绩。这个实例可以抽象成为数学问题:把起跳 线看成—条直线,沙坑里的落点即直线外一点,测量跳远成绩就是度量直线外一点到直线的距 离。这样,学生感到通俗易懂,生动有趣,从而能较好地掌握这个概念。 事实上,几何教学内容与实际有较为广泛的联系。比如,线段的概念可以用“两地间造一 条直路”形象地比喻;用“四地中每两地之间都要造一条直路,要造几条路”引导学生画图、 识图;用比较筷子长短的实例介绍“线段大小比较”的办法;以时针的转动、做广播操的踢腿 动作引出旋转所成角的概念;用练习本的横线描述平行线,用“田” 、 “中” 、 “喜”等汉字来导 入轴对称概念等。这样教学可使学生体会到几何知识与日常生活有着紧密的联系,并不玄。 在借助实例揭示知识的实践性、趣味性的同时,还要注重用知识本身的价值去吸引学生。 比如,为什么射击瞄准时,用手托住枪杆(此时枪杆与弯曲的手臂构成三角形)可以保持稳定, 而银行的铁门总是做成平行四边形才能开关?为什么车轮都是圆形的?又如, 在公路两侧有村庄 A,B,怎样造一个汽车站 P,使 PA+PB 最小?如何利用太阳照射的影子测量物体的高度?怎样用 长 90cm,宽 45cm 的矩形木板拼接成长 120cm,宽 30cm 的矩形木板,既要拼接的次数少,又 使拼成的木板美观牢固?等等。 2.运用简易教具演示或实验,激发学生的学习兴趣。 教具的直观形象,常常使学生感到生动有趣,同时又有助于他们理解、掌握有关的知识。 比如,用折纸的方法讲“线段的中点” 、 “角平分线” 、 “线段的垂直平分线” ,以及探求等腰三角 形的性质等。还可以利用教具演示图形的运动变化,处理如下的“一般——特殊”的关系:两 线相交(斜交)——两直线垂直;两条相交直线(借助第三条直线)——两条平行直线;平行四边 形——矩形或菱形——正方形等等。 又如,讲授三角形按角分类时,可以先制作锐角三角形、直角三角形、钝角三角形纸片各 一张,然后任取其中一张,出示这张三角形纸片含锐角的那一部分,其余部分用别的纸遮住, 问学生能否判断这张纸片是什么三角形?(不能!因为有一个角是锐角的三角形,可能是锐角三角 形,也可能是直角三角形或钝角三角形。)如果出示含钝角(或直角)的那一部分,那么能否判断 呢?(能!因为有一个角是钝角或直角的三角形,可以断定它是钝角三角形或直角三角形 )这样 辨析概念比单纯用“三个角都是锐角” 、 “有一个角是钝角(或直角)”等词语强化概念,趣味性 更强,效果也更好! 3.进行简单的图形变换。图形变换是研究几何图形性质的重要思想方法,也是激发学生学 习兴趣的有效手段。因为通过变换不断地改变学生感知的图形,使主体(学生)的活动在相当时 间内没有变化,而客体(图形)却发生更迭。这样能使学生在集中注意的同时产生注意的转移, 而注意的转移可以防止疲劳的产生,从而使学生表现出较高的学习兴趣和热情。 图形变换还有助于学生在克服困难之中发展学习兴趣。比如,用三角形内角和定理的推论 证明图 8——(6)中的∠BPC>∠A。当时由于学生没有系统进行论证训练,证明此题普遍感到困

难。为此,教学中可以用竹针、橡皮泥搭出图 8——(1),并变式成图 8——(2),再添一根竹针 成图 8——(3), 指出这三个图形中都有∠ ? >∠2, 对此学生不难掌握。 然后, 仿照图 8——(3)(其 特征是在三角形内把一个顶点与对边上的一点连结起来) ,用较短的竹针搭出图 8——(4);再 把图 8——(4)叠合到图 8——(3)中,得图 8——(5),这时学生不难知道∠ ? >∠ ? ,∠ ? >∠ A,最后从图 8——(5)中抽去那根短竹针,便得图 8——(6),证明∠BPC>∠A 的方法也就 不言而明。这样使学生在带有趣味的活动中不知不觉地突破了论证的困难,又感知了图形叠合 的方法。 不过这样的演示过程也有不足之处,即学生没有得到独立探究的训练。为弥补这一点不妨 让学生思考:还有什么别的方法也可以证明图 8——(6)中的∠BPC>∠A 呢?教师可给予适当的 提示:抓住如图 8——(3)这类图形的特征,能否用另外的方法把图 8——(6)中的△ABC 分成两 个类似的图形。当学生想到连结 AP 并延长交 BC 于点 D(如图 8——(7)) 的方法证明时,他们 更能享受到自己取得成功的喜悦。并且这种新的证法又体现了图形拼合的思想方法。 4.引导学生自己探索、猜想并获取知识。在平面几何入门教学阶段,尽管学生的知识面较 窄,技能和能力也正在逐步发展,但是仍然可以选择恰当的教学内容,采用创设问题情境的办 法,引导学生自己去获取知识。这种尝试的成功,将使学生增强学习的自信心,提高学习的内 部动机,也会使学习兴趣向高级的方向转化。 笔者曾作过如下的尝试。 在讲多边形的有关概念和性质时,先给出图 9,并指出:AC 是四边形 ABCD 的一条对角 线,AD 是五边形 ABCDE 的一条对角线,AD 是六边形 ABCDEF 的一条对角线。然后要求学 生观察图形,概括多边形对角线的特征后,由他们自己给出多边形对角线的定义。 一位学生说: “连结不相邻顶点的直线(应改为线段)叫多边形的对角线。 ” 我们认为:这种由学生自己从观察具体图形入手,经过概括并用较正确的语言表述定义的 过程,不仅使学生获取了知识,面且得到了相应技能的训练,它比学生直接阅读书本并背诵定 义的方法效果可能更好一些。 接着,这堂课上从四边形、五边形、六边形到 n 边形,由学生探索以下结论: 从同一顶点出发的对角线的条数; 多边形所有对角线的条数; 多边形内角和的度数; 多边形外角和的度数等。 当时,在探索多边形所有对角线条数的结论时,有一位学生说: “六边形有 8 条对角线。其 理由是: “四边形有 2 条对角线,五边形有 5 条对角线,说明(不完全归纳)当多边形的边数增加 1 时,对角线增加 3 条。所以五边形变为六边形时,对角线共有 5+3=8 条。 ”我们不妨仔细地 分析一下这位学生的回答。尽管他的结论是错误的,但他的思维过程有可取之处,即他已尝试 用归纳的方法去探索结论。从这个例子也可以看出;研究教学不能仅注重结果,同时也要注重

“过程” 。 这堂课后,学生们说: “像这样上课,先由我们自己总结(得出)定义,让我们自己去探索规 律,然后再看课本,很有趣!而且(对所学知识的)印象深刻,全记在脑子里。 ”可见,当学生克 服了困难,完成了学习任务后,必然会产生精神上的满足感,从而激发出更高的学习兴趣。 当然,这种探索、猜想并获取知识的难度不能过高,要接近学生能力的邻近区域;也不要 把它作为硬性的要求,以保护包括中等程度以下学生在内的全体学生的积极性。 5.一题多解(证),一图多用、多变,这些传统教学中经常使用且行之有效的方法,也有利 于激发学生的兴趣。应当注意的是:不要单纯地追求多种证法,而要使学生把寻求新的方法, 并不断地优化方法成为一种自我需要,这样去一题多解、一题多变,才会成为一种趣事。 6.注意练习的多样化。心理学研究表明:单调的、长时间的、无创造性的工作会减弱注意 的集中。大量的没有变化的重复练习,会使学生情绪低落,丧失兴趣,产生厌倦心理。练习中 注意题型的变化,尽量避免过量的机械重复,增加练习的新异性,则能调节学生练习时的情绪, 激发他们认真练习的兴趣。 现行课本在这方面已有所改进,除常规形式的练习题外,增加了一定数量结合实际的说理 题,读句画图、看图写话题,判断题,各种类型的填空题,以及文字语言与结合图形的符号语 言的互译题,等等。此外,教学中可根据学生实际情况,补充选编一些。 7.教学要求恰当,这是关系到能否激发学生学习兴趣,增强学生学习自信心的重要问题。 事实上,学生总是对经过努力能胜任的任务表现出较大的兴趣和热情。教学要求过高,会使学 生丧失信心,使—部分本来可以跟得上的学生掉队,加剧几何教学中的两极分化;反之,教学 要求过低,也会使学生失去学习的积极性,知识、技能和能力得不到应有的提高。 什么样的教学要求才是恰当的呢?我们认为,没有也不应该有一个绝对的标准,但有相对 的标准。这里的“相对”包括两层意思:一是大纲和通用教材体现的要求即为相对恰当的要求; 二是从具体的教学对象实际出发,确定教学要求。赞可夫在阐述其“高难度教学原则”时也说 过: “困难的程度要靠掌握难度的分寸来调节,初看起来可能等于取消了这一原则本身,然而这 是一种误解,因为难度的分寸不是绝对的,而是具有相对性” 。这里的“相对” ,与我们传统教 学中提倡的“因材施教” 、 “可接受性”教学原则,在相对于学生的实际把握教学要求这一点上, 是有共同之处的。 为使平面几何的入门教学要求恰当,一般应注意以下几点。 (1)教学进度的安排宜先慢后快。 从几何知识的结构看,入门阶段的教学慢一点,有利于多数学生掌握好平面几何的最基础 的知识。只有这样才能在后续的教学中,使学生掌握好整体的几何知识,并搞清知识间纵向的 系统性和横向的连通性。 (2)教学内容的处理宜铺设阶梯,减缓坡度,通过小步子,常反复,早渗透,多层次的方法, 帮助学生克服几何学习中的各种困难,尽快适应几何学习的要求,逐步发展几何学习所必需的 技能。

(3)要善于利用教学的反馈。学习的反馈即对学习结果的认识。如果处理得当,不仅可以对 学习中的动力因素起强化作用,而且可以矫正学习行动,使之得到调节、改善。因此,教师在 课堂教学中应为不同程度的学生提供各种各样的机会,使他们都能得到学习中成功的体验,意 识到自己学习中的进步,并受到老师的鼓励和表扬。这样,就能不断地使学生产生新的自我要 求,这种要求又将成为进一步学习的有效诱因,从而形成学习中的良性循环。 (4)教学评价中要多一些鼓励,少一些批评,避免指责和惩罚。教师在课堂提问,批改作业、 练习和试卷,与学生谈话等教学活动中、随时随地对学生进行着评价。这种评价既要考虑教学 本身的要求,又要从具体学生的实际出发,有较强的针对性。比如,对基础较差的学生应多对 其进行“自我比较”的评价,课堂上学生回答问题发生困难或错误时,应挖掘可取的因素,并 加以启发引导,切忌讽刺挖苦;批改作业宜多写鼓励性的评语,对于学生做错的题可以推迟判 断,让学生改正后再批改;即使对学生违犯纪律的行为进行批评教育时,也要启发他的自重、 自尊、自强等。 特别要提及的是,通过考试来评价学生,是调节教学的一种重要手段。考试应控制试题的 难度,不要脱离课本要求和学生实际去任意拔高要求,应使尽可能多的学生获得好的或较好的 成绩,使他们通过考试看到自己学会了什么,激发他们奋发向上。试图通过提高考试难度来教 训学生、惩罚学生的做法实在不可取。这样做无异于把相当一部分学生推到教师的对立面去。 当学生受到这种不公正的训斥甚至惩罚的时候,也就可能丧失了学习的自信和兴趣。众所周知, 当一个学生不愿意花工夫去学习的时候,要教会这样的学生又是何等的困难啊! 8.积极开展多种形式的课外活动。在培养全体学生学习兴趣的同时,必须承认学生之间客 观存在的差异,兼顾学得较好的那部分学生的培养。这部分学生在学得一定的学科知识并建立 了稳定的兴趣以后,就会不满足于课堂学习的内容,进而把注意力转向课外。因此要结合课堂 教学内容,适当加深拓宽,开设专题讲座,组织小型竞赛活动和小论文报告会等,使学有余力 的学生也兴趣盎然地得到较充分的发展。 总之,兴趣是一门学科入门教学能否成功的重要因素。兴趣不是天生的,而是可以培养的。 培养学生学习兴趣的途径又是多种多样的。教师应当注意培养、发现、巩固和发展学生的学习 兴趣,激发起尽可能多的学生的学习动机和积极性,从而大面积提高平面几何的教学质量。 三 几何概念的教学 概念是反映一类对象共同的本质属性的思维形式,它是在对感觉、知觉、表象所反映的事 物的属性,经过分析、综合、概括后形成的,是形象思维过渡到抽象思维的第一要素。只有正 确地理解和运用概念,才能进行正确的判断、推理。否则,概念理解的模糊和错误,将使论证 发生困难,甚至导致错误。因此,几何概念是平面几何知识的基础,是入门教学的关键,决不 能以为入门阶段概念简单而掉以轻心。 1.几何概念教学的特点 平面几何主要研究图形及其性质。为了区别各种不同的图形,就必须概括图形的本质属性 并用确切的词语表述为几何概念的定义。因此,几何概念与图形、语言是紧密相联的。几何概

念又是几何论证的重要依据之一。这就说明,几何概念的教学绝不能等同于概念定义的教学, 更不是要求学生机械的背诵,几何概念的教学将涉及多种技能,具有一定的综合性。 正确地理解、掌握一个几何概念,至少应达到以下几方面的要求: 会表述:能正确地叙述概念的定义; 会画图:会画出表示概念的图形(包括变式图形),熟练地掌握概念的标注法和读法; 会识图:能在复杂图形中正确识别表示某个几何概念的那部分图形: 会“翻译” :学会把概念定义的文字语言翻译成为结合图形的符号语言; 会应用:会运用概念进行简单的判断、推理、计算。 由此可见几何概念的教学与代数概念的教学相比较,要求更高,地位更重要,作用和影响 更大。这是几何概念教学最主要的一个特点。 其次, 《几何》作为一门其自身的逻辑性很强,前后联系十分紧密的学科,必然要把大量的 概念和概念名称集中地编排在入门教学阶段,这就形成了几何概念教学多而集中的特点。仅以 课本第一课为例,黑体字标出的概念就有 30 多个,未以黑体字标出的有关名称、术语就更多。 同时,由于众多的概念集中出现,较为零碎,它们还不能形成系统,因此,学生容易感到 乏味,又往往分不清概念之间的区别和联系,可能出现混淆概念的现象。 第三,几何概念与日常生活中的概念既有联系又有区别。几何概念来源于生活实际,对此, 学生常常有一定的感性认识。比如“线段”这个概念,可以用日常生活中拉紧的“一段线”来 形象地描述。但是,科学的几何概念又与日常生活中的概念有所区别,学生则常常忽视这—点。 比如生活中常常说: “把两段线接起来成为一段较长的线。 ”这个实例抽象成为几何问题就是两 条线段相加,这时的几何图形应看成有三条线段,而不仅仅是一条较长的线段。再如,生活中 “角” 的概念常常与 “带一个尖儿” 的形象联系在一起, 但几何中角的概念并不包含这种特征(如 “平角”就不带尖儿)等。 2.学生学习几何概念的通病 初学几何的学生,由于受过去某些不良的学习习惯和方法的影响,往往用机械记忆、背诵 定义的方式学习几何概念,这是—种通病。 从学生对几何概念的理解、表述、记忆、运用等几方面看,他们总是偏重于用死记硬背的 办法表述定义,并且自以为“背得出” ,就算学懂了;他们对几何概念的理解常常达不到本质抽 象的水平,因而在概念的运用上困难就较为明显。如果教学中不注意帮助学生克服这种毛病, 甚至也仅仅强调对概念定义的背诵,并以此来评价学生学习概念的优劣,那么将给整个几何教 学中运用概念进行判断、推理造成极大的障碍。 近几年, 我们对 10 所学校的 300 多名学生进行了多次的调查: 在事先不通知学生的情况下, 要求学生默写“线段中点” 、 “线段的中垂线”等 10 个概念的定义,画出表示概念的图形,并结 合图形运用概念进行简单推理(填空)。据统计,默写的正确率在 40%——80%之间不等,波动较 大;画图及推理填空的正确率一般在 80%以上,且较为稳定。对这组数据我们作出如下分析。 “默写”的正确率较低,并不表明学生不背诵,而恰恰说明机械记忆必然造成遗忘。因为

调查是在 10 月下旬进行的,其中很多概念的定义已学了一个多月的时间,学生早已遗忘。 “画图”和“推理填空”的正确率高于“默写” ,这正说明“背诵”概念的定义在整个概念 的学习过程中并不起决定性作用。 再从 10 个概念各别的默写正确率看。据统计,默写“互余” 、 “互补”定义的正确率分别高 达 81.8%和 79.2%,其原因是这两个概念定义的语句简单易记。可见学生表述概念定义的困难 主要来自于语言的障碍。因此,作为熟悉几何术语的一种手段,要求学生背诵某些几何概念也 是必要的。 但是,必须再次指出,会背并不等于会用几何概念。仍以“互余” 、 “互补”两个概念为例。 第一册课本的第 30 页上的练习第 3 题是: “如 图 10,∠EOC=∠A0C=∠BOD=Rt∠,在图中 找出分别与∠AOB,∠BOC 互余的角,有与∠BOC 互补的角吗?”据统计,许多学生答∠BOC 与∠AOB 互余,而不能经过简单的推理指出∠DOE 也与∠AOB 互余,只有不到十分之一的学生 指出∠BOC 有补角,它是∠AOD。这就充分说明,尽管 80%左右的学生能正确叙述定义,但是 90%以上的学生不能在图 10 这种较为复杂的图形中识别表示互补概念的图形, 而运用概念识图 在几何教学中却是十分重要的。所以概念教学的重点应是理解和应用。 3.针对几何概念的特点和学生中的通病,应该如何搞好几何概念的教学呢? 首先,要对多而集中的概念,按照各自的特点及其对后续教学影响的大小,区别对待,做 到有轻有重,有主有次,突出重要概念的教学,不必“求全” 。 我们感到,诸如线段的中点、角平分线、互余、互补、垂线、中垂线、平行线、对顶角、 三线八角、两点距离、点到直线的距离等这些重要概念,在几何教学中应用较多,影响较大, 所以必需要求学生对这些概念的学习达到“会表述、画图、识图、翻译、运用”的要求。 对于那些只加描述的原始概念或名称,如直线、点等图形的名称,连结、截取、延长等画 图术语,相邻、同旁、重合、内部、外部等表示位置关系的词语,以及等量、等角、任意长等 表示数量关系的名词,教学中可结合学生熟悉的实际事例,让学生多加意会,一般不宜过多的 “言传(描述) ” 。当然,对于表示位置关系的那些词语,应结合具体图形让学生搞清词义,对 于那些表示画图动作的术语,应要求学生能听懂,并正确地根据语句回出图形。 诸如端点、角的顶点、角的边这类概念名称,它们随着教学内容的深入,可以逐步转化为 常识,因而不是入门阶段概念教学的重点。同时,对其中的某些概念名称,过分地强化反而可 能使学生形成一些糊涂观念。以“角的边”为例,如果教学中强化了角的边是“射线” ,不是直 线或线段,不仅没有必要,而且将对后续教学带来麻烦:有的学生因而认为一个三角形哪里有 三个内角呢?这类问题在其他概念的学习中也时有发生。 其实这里主要涉及的是几何概念定义中 “数”与“形”的关系。如果一个几何概念的定义主要是规定了图形位置关系的内涵,那么它 与组成图形的元素本身的数量就没有什么关系。比如“角”的定义主要是揭示两条射线有公共 端点这种形的特征, “角”的数量(大小)也是由两条射线的位置关系确定的,因而组成“角”这 种图形的两条射线本身画得长一些或短一些对概念就没有影响。实际上它们也可以是线段或直 线。之所以选用射线来定义,是因为其具有一般性,由此可见,过分强调角的边是射线,是不

必要的。 在分清概念主次的基础上,要着力搞好重要概念的教学。通常一个重要概念的教学过程是: 丰富感知、把感知精确化并揭示概念的定义,把概念定义的文字语言转化为结合图形的符号语 言,以及运用概念进行简单的判断、推理、计算。下面我们对过程中的各个阶段分别加以讨论。 (1)丰富感知 概念来源于实践,从感知始。初中学生的思维正从形象思维向抽象思维过渡,因此,概念 教学必须联系实际,让学生对概念所描述的对象有尽可能多的感知。否则,感知贫乏将使概念 的形成缺少形象思维的支持,学生便难于识记和理解。 丰富感知,就要借助实物、教具、图片等,让学生动用眼、耳、口、手等多种感官,通过 看、画、听、说等多种形式,共同参与识记某个概念的活动。这种联合传递能强化进入大脑的 信息并建立多种联系的通道。感知可以从生活实践中来,也可以从已往的学习积累及观察、实 验、操作中产生。 (2)把感知精确化 直观是领会知识的起点,而不是终点。在丰富感知的同时,必须强化概念本质属性的刺激 强度,从而引导学生把感知精确化。 初中学生的感知常常是不十分精确的,他们往往被事物的某些强烈的现象所吸引,而这种 现象并不一定是事物的本质特征。概念教学中必须注意考虑学生的这种心理特征。为此,要利 用心理学的一些研究成果,采用各种有效的方法,引导学生精确地感知概念的本质属性。 心理学研究表明,在固定的背景中,运动着的对象很容易被感知;利用感知的这种特点设 计概念教学的方式,常常能取得好的效果,比如,讲授“三角形的角平分线、中线和高”这些 概念,由于前面已经讲了角的平分线、线段中点、垂线等类似概念,三角形的这几个主要线段 的概念的教学已经有了基础。但是学生常常不易分清它们与相近概念之间的区别。例如“三角 形的角平分线”是一条线段,它有数量(长度)的特征,而一个角的平分线是射线,无长度的特 征等。为了使学生能精确感知新概念的新的本质属性,可以按如下方法进行教学。 先在黑板上画一个锐角△ABC,用一个图钉将一根牛皮筋的一端固定在点 A 处,然后把牛 皮筋的另一端沿着线段 BC 从点 B 移动到点 C,这样就形成了背景(ABC)是固定的,要学生精 确感知的对象(三条主要线段)在运动中出现的情境。从而让学生观察:牛皮筋在运动过程中, 形成了多少条不同位置的线段?这无数条线段中有哪些线段的位置是特殊的?这时学生不难发 现三角形的角平分线、中线、高这些特殊线段,并对它们都有长度这个新的本质特征也能精确 感知,为正确理解三角形主要线段的定义奠定了基础. 为突破钝角三角形的高这个教学难点,可以进而把△ABC 改画成 A 为钝角的三角形(或设 计边 BC 可以移动的教具),再用同样的方法演示后,问:此时运动中出现了三角形的角平分线、 中线,但是“高”到哪里去了呢?再引导学生发现,只要把牛皮筋沿着线段 BC 的延长线继续 移动,就会出现“高” 。这种运动中出现的直观形象将使学生真正搞清钝角三角形中钝角边上的 高为什么在形外的道理。

心理学研究还表明:在复杂的图形中,如果对象与背景差异越大 (颜色、形状、大小等 ), 那么这种对象也越容易被精确感知。我国语言中的很多成语都说明了这种原理。比如, “万绿丛 中一点红” ,这是颜色的强烈差异,使“红”(对象)极易被感知; “鹤立鸡群” ,这是高矮的差异, 使人一眼就看到了鹤。这种原理同样可以运用到精确感知几何概念的教学中。比如图 11 中,如 果把直线 AOB 与直线 COD 用彩色描出,使它们作为对象与作为背景的其余部分图形造成色彩 的强烈差异, 学生便能正确地判断出图中仅有∠AOC 与∠BOD, ∠AOD 与∠BOC 两组对顶角, 当然这种突出对象,把它从背景中分离出来的过程,应逐步地由学生自己去完成。 此外,有些概念的某种本质属性,并不能借助上述方式让学生精确感知,而要借助语言的 辨析与反例的衬托。比如“互为余角”这个概念有三个本质属性,应逐步地由学生自己去完成 即“两个角” 、 “和” 、 “90°” 。其中,后两个属性对学生的刺激较强烈,也容易被精确感知,而 第一个本质属性则常常被学生忽视从而造成“90°的角是余角”等概念的混淆。为此,教学中 除了强调“两个角”这个词语外,还可用反例“∠l+∠2+∠3=90°” 、 “∠1,∠2,∠3 互为余 角,对吗?” 、 “∠A=90°,∠A 是余角吗”等,以反衬互余概念中“两个角”这个本质属性, 使学生精确感知。 概念感知的精确化,不仅要想方设法强化本质属性对学生的刺激,同时要排除非本质属性 的干扰。比如,学生常常把“互余”概念中两个角是否相邻这种非本质属性当成本质属性,扩 大了概念的内涵,使外延缩小,从而不能正确识别图 10 中互余、互补的角。为排除两个角位置 “相邻”对互余概念的影响,不妨举一个能给学生强刺激的例子:常州市一位教师在黑板上画 出∠A=40°,北京市一位教师画了∠B=50°,那么这两位老师画出的两个角相隔几千里,它 们是否互余呢?从而使学生排除非本质属性的干扰,能根据概念正确地认识图形。 还有一些概念的本质属性,借助图形,反例仍不能清楚地揭示。比如“点到直线的距离” 概念的一个本质属性——长度,即距离具有数量特征这一属性,学生常常不能精确感知,因而 认为“画出点 P 到直线 l 的距离”这样的语句是正确的。为使学生避免这种错误,讲授“点到 直线的距离” 的定义后, 要对定义的语句进行剖析, 找出其主要成分并简缩为 “??长度是?? 距离” ,从而使学生从语言的变式中看清距离是数量,而不是指图形本身。 同样地,加强语言、词义的教学,也能帮助学生精确地理解概念。比如,教学射线的表示 法时,对“射线用表示它的端点和射线上任意一点的大写字母来表示”这句话,可引导学生注 意“任意一点”的含义,从而避免图 12 中射线 OA 与射线 0B 是两条射线的错误,再如,考虑 到学生在“过已知点画已知直线”的垂线时经常发生困难,因此,对“两条直线相交成直角, 这两条直线互相垂直”这句话,有必要强调判断两条直线是否垂直,首先要使它们“相交” 再 看是否“成直角” 。因此,画垂线时如有必要,则应画出线段的延长线或把直线画得长一些,以 使所画的直线(垂线)与之相交成直角。 总之,采用各种各样的手段和方法引导学生对概念的感知精确化,是概念教学的核心。只 有这样,学生才能真正理解概念,概念的运用也才有了坚实的基础。 (3)在揭示概念的定义后,要及时地把概念定义的文字语言翻译成结合图形的符号语言,从

而帮助学生克服死记硬背的毛病,把概念学活。 教学每一个重要概念后,可以要求学生创作一张卡片,例如表一: 概念名称 定 义(文字语言) 图形 符号语言 线 段 的 中 将一条线段分成两 AM=BM, 点 条相等线段的点, M 是线段 AB 的中点。 叫线段的中点。 M 是线段 AB 的中点, AM=BM。 互为余角 两个角的和等于直 ∠1+∠2=90°, 角,这两个角互为 ∠1 与∠2 互为余角。 余角 ∠1 与∠2 互为余角, ∠1+∠2=90°。

这样做,将使学生对概念有整体性的认识,有助于他们弄清词义,理解定义,真正掌握概 念的内涵,并且把概念学活,为运用概念打好基础。 (4)在概念的运用中,逐步使学生牢固地掌握概念 由于概念的定义揭示了概念的本质属性,因而它是充要的,并有判定和性质两种作用。因 此,运用概念本身可以直接进行简单的判断或推理。比如,在表一的“符号语言”一栏中写出 “∵” , “∴” ,即得判断如下: ∵ AM=BM,M 在 AB 上, ∴ M 是线段 AB 的中点。 又∵ ∠1 与∠2 互余, ∴ ∠1+∠2=90°。 如果在结论后面再写上判断的依据,就形成了一次三段论证的推理。如, ∵ ∠1 与∠2 互余(已知), ∴ ∠1+∠2=90°。(互余的定义)。 这是几何概念最基本、最常用的一种推理形式,实质上又是推理教学的渗透。 其次, 几何概念也常常用于计算。 如图 13, 已知: AB∥CD, ∠DAB=70°, AC 平分∠DAB, ∠B=80°。 求:∠ACB 的度数。 解题中先根据“角平分线”的定义,得∠2=35°;再由“内错角”的定义及平行线性质得 ∠3=36°;最后由“同旁内角”的定义及平行线性质,得∠ACB=65°。一般地,学生解答这 类计算题的困难不大,因而教学中更应该突出概念在计算中的作用。 此外, 还可经常地运用概念进行辨析。 比如, “∠A 的余角一定比∠A 的补角小吗?为什么?”

这里先要根据∠A 有余角,判定∠A 一定是锐角,再运用互余、互补的概念,判定∠A 的余角 是锐角,∠A 的补角是钝角,最后根据锐角小于钝角,肯定题中的结论。 以上谈了每一个重要概念教学的四个阶段,此外,几何概念教学中还有两点亦应予以重视。 (5)一个概念的教学常常不是一次完成的,往往需要多次深化才能完成。以“线段”这个基 本概念为例。第一次教学时,用学生熟悉的实例直观地描述线段的形象,并让学生动手连结两 点成线段,再揭示线段是“直的” 、 “有两个端点”的特性;第二次在教线段的度量时,再借助 实例和图形叠合的方法,使学生懂得线段有数量的特征,可以比较大小,并有两点之间线段最 短的性质,这时学生对“线段”的认识有了深化;第三次通过线段的和差画法及其计算的教学, 学生进而能从定性到定量地理解线段的概念,并学会在复杂图形中判断线段的大小关系等,在 后续的有关内容(如三角形的主要线段)的教学中继续深化对线段概念的认识。 (6)适时地对概念进行分类,防止概念的混淆,并使学生逐步把零碎的概念形成越来越完整 的、清晰的概念系统,从而在系统中更好地掌握各别的概念。 比如,在入门教学中有关“角”的概念很多,其中如“互余的角” 、 “余角”与“直角” , “互 补的角” 、 “补角”与“平角”等这些本质不同又有一定联系的概念常被混淆。为此,可对“角” 进行如下分类:按一个角的大小定义的有:直角、锐角、钝角、平角、周角等;按两个角的数 量关系定义的有:互余的角,互补的角;按两个角的位置关系定义的有:邻角、对顶角、同位 角、内错角、同旁内角等;按两个角的数量和位置关系定义的角有:邻补角。还可以列成表二 进行比较。

表二 名称 直角 平角 周角 锐角

顶点、边的位置关系 大小(关系) 两边互相垂直 90° 两边成一直线 180° 两边重合 360° 与直角比较: 一边与直角边重合,另一边在直角边 小于 90°,大于 0° 内部

钝角 互为余角 互为补角 对顶角 邻角

与直角比较: 一边与直角边重合,另一边在直角边 外部

一个角的两条边分别是另一角两边的反向延长线 两个角顶点公共, 一对边重合,另一对边在公共边 两侧 同位角 两角顶点不同, 一对边共线同向,另一对边在公共 边同侧 内错角 顶点不同, 一对边共线异向,另一对边在公共边两 侧 同旁内角 顶点不同, 一对边共线异向,另一对边在公共边同 侧 邻补角 顶点公共,一对边重合,另一对边反向延长线 和为 180° 四 识图技能的训练 平面几何是研究图形性质的一门学科,因而图形教学是它的中心环节。识图教学有助于学 生的形象思维与抽象思维同步发展,正确而清晰的识图是推理论证图形性质的先导。 所谓 “识图” , 就是要结合基本概念, 认识表示几何概念的图形, 能进行图形的分解和组合, 分清各种图形之间的区别和联系,并进而能识别复杂图形和变式图形。这种识图技能的训练应 从平面几何教学一开始就予以充分的重视,并贯穿在教学的始终。 识图技能的训练,主要有以下三种形式: 1.图形的组合和分解 在起始阶段,要加强简单图形的教学,并在此基础上由简到繁 (图形的组合),从简单图形 过渡到复杂图形进行识图训练,从而逐步要求学生能化繁为简(图形的分解),正确认识复杂图 形。 比如,教学线段、角的概念,学生认识了表示线段、角的简单图形(图 14——(1))后,应进 而训练学生有条不紊地识别出图 14——(2)中有三条线段、三个角,图 14——(3)中有六条线段、 六个角。 在教学线段的和差、角的和差后,再结合图 14——(3)进行如下的识图和判断的训练。 要求学生回答:图 14——(3)中,线段 AD 与线段 BC,∠AOC 与∠BOD 各有什么关系?并 练习: “若 AC=BD,则 AD=__;若∠AOB=∠DOC,则∠AOC=∠__。 ”从而为今后的论 证教学扫除识图和简单判断中可能存在的障碍。这样,在“全等三角形判定”的教学中,学生 就能较顺利地识别并证明图 15——(1)中(已如 AC∥DF, AC=DF, AD=BE), △ABC≌△DEF;

大于 90°,小于 180° 两个角的和等于 90° 两个角的和等于 180° 相等

图 15——(2)中(已知 OA=OD,OB=OC,∠1=∠2),△OAC≌△ODB。也只有这样,教师才 能把课堂教学的重点放在推理论证上,即集中力量去教会学生如何运用三角形全等的判定进行 思考、论证(包括书写格式)。否则就会矛盾集中,顾此失彼,致使学生不能顺利地过好推理论 证的难关。 图形的分解与组合对训练学生的识图技能是有效的。 “如图 16——(1),DE∥AB,DF∥AC, 有多少对相等的同位角、内错角?多少对互补的同旁内角?”要正确回答这个问题,必须掌握分 解图形的方法,即把图形分解为如图 16——(2)那样的六个简单图形,逐一识别。 这种训练实际上是从复杂图形中分解出若干个基本图形,从而排除暂不需要的那些线或角 (即背景)的干扰。据调查,这种训练对初学者普遍有效,对基础较差的学生尤为有效,教学中 应根据学生的实际灵活地运用。当然,这种训练只能是帮助初学者识图的“拐棍” ,最终应要求 学生能不画出分解后的图形,直接认识复杂图形。 图形的组合则是分解的逆过程,若把图 17——(1) , (2)两种形式的相似三角形的简单图 形(其中 AD∥CF,AG∥CD)组合在一起,并延长 CF 交 AG 于点 B,如图 17——(3),显然, DE AE EG AE DE EG 由图 17——(1)知, = ; 如图 17—— (2) 知, = , 利用 “中间比” , 不难发现 = , EF EC DE EC EF DE 于是稍加改编,得到如下的问题: 已知:如图 17—一(3),ABCD 是平行四边形,点 G 在 AB 的延长线上,DG 分别交 AC, BC 于点 E,F。求证:DE 是 EF,EG 的比例中项。 出此可见,从识图的角度看、几何论证题的编制依赖于图形的组合,论认的过程则首先要 掌握图形分解的方法。 2.在加强标准位置图形教学的基础上,注重图形的变式 标准位置的图形,既反映了图形的本质特征且易于认识(比如学生对“水平”与“铅垂”这 类垂直的图形是十分熟悉的),又是变式的基础,因此要充分重视标准位置图形的识图训练。 但是,标准位置的图形常常掺杂着一些非本质属性。为了排除这些非本质属性,必须有针 对性地进行图形变式的训练。比如,图 18——(1)是直线 AB,CD 互相垂直的标准位置图形, 为了排除 AB,CD 分别处于水平、铅垂位置的非本质属性,必须给出如图 18——(2),(3)这种 变式图形才能突出“互相垂直”中“相交成 90°”的本质。 又如,图 19——(1)中两直线被第三条直线所截,∠1 与∠2 是同旁内角,学生仅能认识这 样的图形是不够的,应将两条直线处于“平放”位置这种非本质现象进行变式,正确认识图 19 ——(2)中的∠1 与∠2 也是同旁内角,还要对图 19——(1)中两条直线不画出交点的非本质现象 进行变式,画成如图 19——(3)那样封闭的图形。据调查统计,有 36%的学生不能指出图 19— —(3)中∠1 与∠2 是同旁内角。 尽管几何教学中进行大量的变式图形训练,学生认识变式图形的困难仍是明显的,错误也 是经常的,其原因不仅在于他们对图形的本质感知不深刻,而且也在于日常生活中大量的物体 处于“平稳、正直”位置这种现象,潜移默化地对识图产生着负迁移影响。这种影响是十分顽

固的。充分认识到这种不利因素,不仅要加强识别变式图形的训练,还要千方百计采取各种辅 助性措施。 比如,尽可能地借助实物或教具的演示(而不是单独地画图) ,对标准位置的图形进行变式, 使学生能借助直观正确认识变式后的图形,并把它与变式前的图形有机地联系起来。 又如, 在进行图形变式前, 先用几何语言复述这类图形的本质属性, 以改变学生感知的形式, 再根据语言概括的本质属性画出各种变式图形,也有助于学生较快地认识变式图形。例如,图 20 是标准位置的直角三角形。 语言概括图 20 的特征:有一个角是直角的三角形是直角三角形。 变式后的直角三角形,如图 21。 再如,在变式图形的画图中,要设计不同难度的层次进行训练。例如,先让学生在图 22— —(1)中画出点 C 到直线 AB 的垂线段,接着结合这种标准位置图形,总结画垂线段的方法;然 后要求学生用同样的方法在图 22——(2)中画出点 C 到 AB 的垂线段,进而画出射线 AC,连结 BC?让学生分别在图 22——(3),(4),(5)中画出点 C 到 AB 的垂线段这样就有可能突破在变式 图形中画出点到直线的垂线这个难点。 3.从多方面感知图形的训练 所谓 “从多方面感知图形” , 就是在一个较复杂的图形中, 置某一元素于不同的部分图形中, 使之具有不同的“身份” 。比如,图 23 中的∠ADC 可以被看作为: △ADC 的一个内角(或△ADC 中 AC 边的对角); △ABD 的一个外角; ∠ADB 的邻补角; ?? 感知图形常常受观察者主观意识等原因的影响,而从不同方面感知图形又将导致解题方法 的不同。比如,仍以图 23 为例,已知∠ADC=84°,AD=BD,求∠B 的度数。我们发现部分 学生的解题过程是: 84°→96°→84°→42°。 其中,由 84°→96°是把∠ADC 感知为∠ADB 的邻补角;由 96°→84°是改变了∠ADB 的身份把它感知为△ABD 的一个内角,并用了三角形内角和定理,算出∠B,∠BAD 这两个内 角之和;由 84°→42°,又把∠B 与∠BAD 感知为等腰三角形 DAB 的两个底角,显然这种解 法较繁。如果首先把∠ADC 感知为△ABD 的一个外角,解题过程将得到简缩。 从这个简单的例子中可以看出,训练学生从多方面感如图形,将为他们从不同的途径去思 考与解决问题创造有效的前提,并进而能对不同的方法进行比较和择优。 例如,图 24 中 ABCD 是正方形,E 在 BC 的延长线上,且 CE=AC,AE 交 CD 于 F 点。 我们来观察∠AFC 有多少种不同的身份呢? 它是:(1)直角梯形 ABCF 的一个内角;(2)△ACF 的一个内角;(3)Rt△AFD 或 Rt△CEF 的 一个外角,(4) ∠DFE 的对顶角;(5)∠AFD、∠CFE 的邻补角??

如果要计算图 24 中∠AFC 的度数,便有很多种解法。通过比较,选择如下解法(把∠AFC 看作△CEF 的一个外角)较优: ∠ACB=45°→∠E=22.5°→∠AFC=∠FCE 十∠E=90°十 22.5°=112.5°; 另外,从各个不同的方面感知图形,并不一定都能寻求到正确的解题途径。从这个意义上 讲,能否从尽可能多的方面去感知图形,不仅影响到解题方法的优劣,而且也关系到解题的成 败。 如图 25,BD,CE 是△ABC 的两条高,M 是 BC 的中点,求证:MD=ME。 若学生不能首先感知 BC 既是△ABC 的一条边,又是 Rt△BDC 的斜边,也是 Rt△CEB 的 斜边,那么就可能误入证明△BME≌△CMD(仅把 MD,ME 感知为这两个三角形的边)的歧途, 导致失败或错误。反之,若能感知 BC 的多种身份,便可能迅速地运用“直角三角形斜边上的 1 1 中线性质” ,由 MD= BC(将 BC 看作 Rt△BDC 的斜边),ME= BC(将 ME 看作 Rt△CEB 的 2 2 斜边),得 MD=ME。 又如图 26,过菱形 ABCD 的顶点 C 的直线,分别交 AB,AD 的延长线于点 E,F,且 AE =12,AF=10,EF=14,求 CE,CF。 解答此题的关键在于,首先感知菱形 ABCD 的对角线 AC 平分∠BAD,紧接着又把 AC 看 84 70 作为∠EAF 的平分线,便不难利用三角形平分线性质定理,解得 CE= ,CF= 。如果仅仅感 11 11 知图形中的平行线,试图用平行线分线段成比例定理去求解,将会发生较多的困难。 多方面感知图形导出多种多样的思考方法和解题途径,这也将有助于使学生的思维变得更 灵活,更易于发散。下面我们看一个这样的例子。 如图 27——(1),已知:AB=AC,以 AB 为直径的圆交 BC 于点 D,点 E 为 AD 的中点,延 1 长 BE 交 AC 于点 F,求证:AF= FC。 2 证明此题涉及几何中的多种知识、技能和能力。现在我们仅从“多方面感知图形”这一点 分析思考过程。 首先,要多方面感知∠ADB 的身份,而正确的选择是把∠ADB 看作直径上的圆周角,所 以∠ADB=90°。 接着,由 AD⊥BC,转而感知 AD 为等腰△ABC 底边上的高,也是底边上的中线,顶角的 平分线。 然后,以下的感知将发生相异的情况,但是“殊途同归” 。 (1)若把点 E 感知为 A,D 两点的对称中心,则作 DM∥AC,即△AFE 绕点 E 旋转 180°, 1 由△AEF≌△DEM,得 AF=DM= FC(如图 27——(2))。 2 (2)若把 E,D 两点分别感知为 AD,BC 的中点,则作 DN∥BF,可由 AF=FN,CN=NF,

得 AF=

1 FC(如图 27 一(2))。 2 HC 1 AF = 。 从而, HB 3 AC

(3)若把 AE 感知为△BAF 的角平分线, 则作 EH∥AC, 由 DH=HC, 得 =

AF EF HC 1 = = = 得证(如图 27——(3))。 AB HB 3 EB (4)若把 BE 看成△ABD 的中线,为了利用三角形重心定理,可再作△ABD 的中线 DG,交 AF GM 1 BE 于点 M,则 M 为△ABD 的重心,从而 = = (如图 27——(3))。 ?? AC 2 MD 以上解法中以(1)与(2)较优。 上面阐述了识图技能训练的三种方法。最后需要说明的是,训练的方法可以是多样的,也 不一定仅限于这三种。另外,训练学生的识图技能,选取什么样的图形呢?训练的要求如何才算 得当呢?一般应遵循如下两条原则;一是要选用教学中经常使用的图形,以提高识图训练的针 对性和效率;二是要随时通过调查,摸清各个阶段多数学生识图技能的实际水平,使识图训练 切实可行,确有成效。 五 图形变换思想的渗透 图形变换是一种近代的数学思想,也是研究几何图形性质的有力工具。 所谓“图形变换” ,就是按照某种对应法则,将图形 F 变为另一个图形 F′。若 F′与 F 可 以完全重合(即它们的形状、大小都相同),这种图形变换称为合同变换。若图形 F′与 F 形状相 同,大小不一定相同,这种图形变换称为相似变换。合同变换又称为保距变换,相似变换又称为 保角变换。实质上,平面几何这门学科就是研究在这两种变换下图形的不变性质。 合同变换包括平移、翻折(对称)、旋转三种。若变换后的图形 F′与原来图形 F 的对应线段 分别平行,这种合同变换叫做平移。若 F′与 F 关于某直线成轴对称,这种交换叫做翻折(对称) 变换。若图形 F′是由图形 F 绕着某定点旋转一个定角而得到,这种变换叫做旋转变换。这三 类变换只改变图形的位置, 不改变图形的形状和大小, 因此变换后的图形 F′与变换前的图形 F 可以“合同” 。图形 F 与 F′的各种对应元素大小不变,位置关系不变。初中《几何》课本第一 册以全等形为核心,就是研究在这种变换下图形的形状、大小的不变性质。 具体地说,若将图形 F 的每一点 X 与定点 P 连结,并在射线 PX(或其反向延长线)上取点

Q(或 Q′) , 使

PX PX (或 )的值=k 一定, 由这样的点 Q(或 Q′)组成的图形 F′(或 F″)一定与 PQ P Q,

F 相似,且是一种特殊的相似——位似(F′与 F 称为顺位似,F″与 F 称为逆位似),这样的变 换叫做位似变换。它实质上就是图形的放大或缩小。一般的相似变换并不一定有对应点的连线 交于同一个定点 P 的特征,因此,它可以看成先将图形进行位似变换,再把变换后的图形进行 平移、 翻折、 旋转等合同变换的复合过程。 在相似变换下, 变换后的图形 F′与变换前的图形 F,

具有对应角大小不变,对应线段的比值(=k)不变等性质。初中《几何》课本第二册从“相似形” 开始,就是研究在相似变换下图形的不变性质。 如果用图形变换的思想方法来处理平面几何的教学内容, 很多定理的证明将变得简洁明了, 许多命题(习题)的传统证明方法也可以简化。 比如, “等腰三角形的性质”及有关的一系列命题,均可用折纸(翻折变换)的方法去探究。 如图 28,把等腰三角形纸片的顶角∠BAC 折成两个等角,得折痕 AD 即为∠BAC 的平分线。 因为 AB=AC,所以点 C 与点 B 重合,于是△ACD 与△ABD 完全重合,从而不难发现: (1)∠B=∠C,即得“等腰三角形底角相等” 。 (2)BD=DC,∠ADB=∠ADC(Rt∠),即得“等腰三角形顶角平分线垂直平分底边” 。 若在 AD 上任取一点 P,连结 BP,CP 并延长交 AC,AB 于点 E,F(如图 29),用上述的翻 折变换方法,又不难发现 PB=PC,即“等腰三角形顶角平分线上一点到底边两端的距离相等” , 还能发现 PE=PF,AE=AF,∠APE=∠APF 等结论。 若设 M 1 ,M 2 分别是等腰三角形两腰 AB,AC 上的中点,那么仍用上述折纸的方法进行翻 折变换,易知点 C 与点 B 重合,M 2 与 M 1 重合,于是 B M 2 =C M 1 ,即“等腰三角形两腰上的 中线相等” 。用同样的方法,我们不难得出“等腰三角形两腰上的高相等”和“等腰三角形两底 角的平分线相等”这些结论。 其实,平面几何中各种轴对称图形 (如矩形、菱形、正方形以及圆等)的有关性质,比如圆 的“切线长定理” , “相交两圆的连心线垂直平分公共弦”等,都可以用翻折变换的方法探求得 到,此处不再赘述。 再如,平行四边形是中心对称图形,我们把它看成(如图 30)是由一个三角形(△ABC)绕着 它一边(AC)的中点(点 0)旋转 180°后得到的三角形(△CDA)与原来的三角形(△ABC)拼合而成 的图形。利用旋转变换的思想,很容易得到平行四边形的对边平行、对边相等、对角相等、对 角线互相平分等性质。 不仅如此,我们还可以简化如下一类命题的证明。 已知:如图 30,O 是平行四边形 ABCD 对角线的交点,过点 O 的直线分别交 AB,CD 于 点 E,F。 求证:0E=OF。 不采用传统方法(证两次或一次三角形全等)证明,只需说理如下: 点 O 是平行四边形的对称中心, 过点 O 的直线与对应线段的交点 E,F 是对称点, 对称点的连结线段被对称中心平分,即得 OE=OF。 当然,考虑到我国目前初中教学的实际状况,以及采用传统的演绎推理的方法处理几何教 学内容在初步培养学生逻辑思维能力方面的独持作用,现行初中《几何》课本未以图形变换思

想为主线来编写。但现行课本明显地加强了图形变换思想的渗透,突出地反映在“轴对称”部 分介绍了“对应点的连线被对称轴垂直平分”和“对应线段或其延长线的交点在对称轴上”这 两条性质;在“中心对称” 部分也增加了类似的两条性质,并编排了少量利用图形对称性质证 题的练习。从几何教学内容的改革来看,这是有益的尝试。我们在近几年的教学实践中也感到, 对初中学生来说,图形变换的思想方法并不是高不可攀的。恰恰相反,他们往往对此表现出较 高的学习兴趣。只要讲究合理的训练序列和要求,初中学生是能够初步掌握并运用这种思考方 法去处理问题的,并且也有助于直觉思维和逻辑思维的同步发展。 怎样在初中平面几何教学中渗透图形变换的思想,逐步训练学生掌握图形变换的方法呢? 1.结合简单图形的教学,初步介绍图形变换的基本思想。 平面几何起始教学中,可尽早开始渗透图形的平移、翻折、旋转等思想方法。本书第二部 分试述引言课教学时选编的一些问题就体现了这一点。从课本第一章起, “角”是可以渗透变换 思想方法的一种较为合适的图形。比如,可以让学生用硬纸片做一个角,再按下列方法进行变 换: (1)把角的纸片平放在另一张白纸上, 并画出∠AOB,然后用直尺紧靠 OB 边再把纸片向下(或 向上)移动到新的位置∠A′O′B′(如图 31——(1)) ,这就是角的平移。 不妨让学生观察图 31——(1)中 0B 与 O′B′的位置关系,从而为平行线判定公理的教学 提供感性材料。 (2)把角 (∠AOB) 的纸片对折,那么折痕 OC 就是∠AOB 的平分线;或把∠AOB 沿着 OB 翻折到∠A′OB 的位置,那么 0B 是∠AOA′的平分线(如图 31——(2))。顺便指出, “角平分 线是角的对称轴”这一最简单的几何性质在论证中有着较广泛的应用。 (3)把角(∠AOB)的纸片绕着顶点 O 旋转一定的角度,使它变到∠A′0B′的位置 (如图 31——(3)),然后让学生识别图中有几个角?思考:因为∠AOB 与∠A′OB′大小相等,所以∠ AOA′与∠BOB′又有什么关系? 若图 31——(3)中的∠AOB=Rt∠, 那么从∠AOA′=∠BOB′,可以作出“同角的余角 相等”的猜想和判断。 若∠AOB 绕着顶点 O 旋转 180°变到了∠A′0B′的位置, 此时, 0A′与 0A 成一条直线, 0B′与 0B 也成一条直线。 于是∠A′0B′与∠A0B 成为一组对顶角, 这样∠A′0B′=∠A0B, 实质上已说明了“对顶角相等”的道理。 以上通过角的变换推导出某些结论的方法直观生动,可以作为课本有关性质教学的一种有 效的辅助。 又如,教学“全等三角形判定”前,为了进一步训练学生识图的技能,可以专门安排一堂 图形变换课。课前,可用纸板或铁丝、塑料线制作两个全等的三角形。课堂上先把这两个三角 形放置成各种不同的位置,由学生观察并指出:如何变换其中一个三角形的位置后可使它与另 —个三角形重合;还可让学生把两个三角形重合在一起后,用各种方法(平移、翻折、旋转)变 换其中一个的位置,使它们分离并呈现各种不同形状。接着,可以把课本“全等三角形”这一

大节中出现的各种图形,按平移、翻折、旋转及它们的复合变换进行分类后分别画在黑板上, 由学生指出,各个图中的两个三角形通过什么样的变换可以完全重合,并说明它们的元素之间 的对应关系等(参阅本书附录 3《图形变换课堂教学实录》)。 实践证明,这堂课的教学效果很好。老师们说: “这堂课为全等三角形判定的教学扫除了识 图的障碍,奠定了基础。 ”有的学生说: “这堂课使我知道了几何图形通过平移、翻折、旋转变 换出各种各样的形状,很有趣。 ” 2.结合定理和命题的教学,不断加强图形变换思想的渗透。 在学生初步了解图形变换的思想方法的基础上,应在有关定理和命题的教学中,引导学生 探究证法的实质,突出图形变换思想在证题中的作用,从而帮助学生逐步掌握这种思想方法, 现略举数例如下。 (1)在“等腰三角形的性质定理”及有关命题的证明中,往往要添置顶角平分线这条辅助线。 其实质就是利用图形翻折变换的原理。类似地利用这种方法,可以证明定理“在同一个三角形 中,大边对大角” 。如图 32,在△ABC 中,AB>AC,沿∠BAC 的平分线 AD 将△ADC 翻折变 换到△ADC′的位置。显然,∵AB>AC,∴点 C′落在 AB 线段上。于是,∠C=∠AC′D> ∠B。用这种证法较为直观简明。 运用这种方法,还很容易证明如下一类命题: “若 AD 是△ABC 的角平分线,且 AB= AC+CD,则∠C=2∠B。 ”利用图形变换的思想方法不难找到如下的证法。 把△ACD 沿 AD 翻拆变换到△AC′D,点 C′必落在 AB 上,由 C′D=CD=AB—AC′ =C′B, 得∠C=∠AC′D=∠B+∠C′DB=2∠B。 (2)在“三角形中位线定理”的证明中,需延长中位线 DF 到 F,使 EF=DE,从证明四边形 BCFD 是平行四边形入手,得到 DE=BC(如图 34)。这种证法的实质就是把△ADE 绕着点 E 旋 转 180°,即进行了一次旋转变换后,使三角形变换为平行四边形。 “延长 DE 到 F,使 EF=DE” 这种添辅助线的方法,不能仅仅简单地归结为“看到中点(或中线)常常要把有关线段(或中线) 延长一倍” 。这种具体的解题经验只是解题思想的“流” ,而不是“源” 。实质上,这样添辅助线 是为了在图 34 中造出关于点 E 对称的另一组对称点 D,F,再利用 A,C 关于点 E 的对称性, 构成了可以通过旋转变换重合的两个全等的三角形(△ADE 与△CFE)。因此,利用“中点”或 “中线”的条件,常常可以把有关线段延长一倍,是为了进行图形的旋转变换,这才是此类解 题思想的“源” 。 这种思想方法在许多命题的证明中被采用。 例如图 35 中,若△ABC 是圆内接正三角形,P 为弧 BC 上的一点,则 PA=PB 十 PC。 略证:在 PA 上截取 PD=PB,由∠BPD=60°,知△BPD 为等边三角形,然后,由∠ABC= ∠PBD=60°,得∠ABD=∠CBP,从而△ABD≌△CBP(SAS)。 人们常常把这类问题(求证一条线段等于两条线段之和 )证明的方法归结为:先在较长的那 一条线段上截取一条线段,使它等于两条线段中的一条,再证截剩下来的线段等于另一条线段。 这种归结没有揭示解题思想的实质。从图形变换的观点看,这种添辅助线方法的实质是进行了

一次图形的旋转变换。即把△BPC 绕着点 B 旋转 60°后,点 C 必落在点 A 上,点 P 必落在 AP 上的一点 D 处(因为∠BCP=∠BAP),而且由于 BP=BD,∠BPD=60°,所以△BPD 为等边三 角形,因而 PB=PD,AD=PC,即得 PA=PB 十 PC。 指出下述两点是必要的: 这里的旋转变换所起的效果是把折线段 PB、 PC 变换成直线段 PA; 线段 BP 绕着它的一端点 B 旋转 60°到 BD 的位置,不难看出△BPD 是一个等边三角形,这些 都是在解题中经常会用到的。 (3)现在,再来看平移变换在证明中的应用。比如证明“等腰梯形两底角相等” ,只需过点 D 作 AB 的平行线交 BC 于点 E(如图 36),这实际上就是利用 AD∥BC 的条件,将线段 AB 平 移变换到 DE。教学这个性质定理时,向学生指明这一点,将有助于学生运用这种变换思想寻求 论证下述命题的方法。 “如图 37,CD 为 Rt△ABC 斜边上的高,AE 平分∠BAC 交 CD 于点 F,FG∥AB,求证: CF=GB。 ” 思路一:利用 FG∥AB 的条件,可将 GB 平行移动到 FH(作 FH∥AB)的位置,由∠ACF= ∠B=∠AHF,易证△AHF≌△ACF,从而得 GB=FH=CF。 思路二:也可以利用角平分线 AE 是∠BAC 的对称轴这一性质,将△AFC 沿着 AE 翻折变 换到△AHF 的位置(在 AB 上截取 AH=AC),由∠AHF=∠ACF=∠B,易证 FH∥BC,从而得 CF=FH=GB。 3.从学生的实际出发,运用各种方式激发学生用图形变换的思想方法解题的乐趣,使努力 掌握这种方法成为学生的自觉要求。 (1)某些问题貌似难解,实质上用图形变换思想很容易解决。选编这类问题让学生练习,不 仅有一定的趣味性,而且也能使学生体会到图形变换方法的优越性。 例如,有两块土地,一块是圆形的,一块是平行四边形的,若要造一条直的渠道穿过这两 块地,怎样才能使渠道把两块地都分成等积的两小块? 事实上,利用圆可以沿任何一条直径翻折,平行四边形可以绕其对角线交点旋转的特性, 不难知道只须沿着过圆心和平行四边形对角线交点的直线修筑渠道即可。 又如,有两决同样大小的正方形纸片,把其中一块的一个顶点放在另一块正方形的中心, 这样叠合(如图 38)后,重叠部分(即图 38 中的阴影部分)的面积不变。 如果把上面的正方形纸片绕着 0 点旋转变到图 38 中虚线所画的位置(0A′⊥AA′) , 易证, △A0A′≌△OBB′,所以阴影部分的面积等于原正方形面积的四分之一。 (2)向学生揭示如何利用图形变换编拟习题,这也既有趣味,又有助于学生掌握图形变换的 思想方法。 如图 39 所示,图(1)象一个直立的矩形向右“倒下来"(即绕着点 B 顺时针旋转 90°),那么 图中两个矩形的两条对角线必互相垂直。若把图(1)中水平放置的矩形向左平移成图 (2)。那么 CE⊥BH。于是,稍加改变即可编出如下不难证明的命题: “如图 39——(3),已知 E,F,G,H 分别是正方形 ABCD 各边的中点,连结 AG,CE,

BH,DF,它们相交于点 M,N,P,Q,求证 MNPQ 是正方形。 ” 若在图 39——(3)中连结 AC 交 BH 于点 K,显然△AHK 沿 AC 翻折变换后必与△AEK 重 合,从而∠BEC=∠AHK=∠AEK。然后,只要保留图(3)中△ABC 那部分,去掉△ADC 那部分 图形,便得到如下的命题: “如图 39——(4),CE 是等腰直角三角形一腰 AB 上的中线,过点 B 作 CE 的垂线,垂足 为 D,延长 BD 交 AC 于点 K,连结 EK,求证∠AEK=∠BEC。 ” 从上述变换的逆过程中,不难找到此命题的证明方法,即只需过点 A 作 AB 的垂线交 BK 的延长线于点 H。 象这样用图形变换的方法逆向地解剖一个命题,向学生交待编拟习题的“诀窍” ,无疑有助 于学生掌握图形变换的思路方法,添置辅助线论证命题的思维能力也得到提高。 (3)用同一种变换图形的方法编拟类似的习题,让学生归纳并探究其解法的共同本质。 比如图 40——(1)中, 以△ABC 的 AC, BC 为一边分别向形外作等边△ACD 和△BCE, AE, BD 相交于点 O,则 AE=BD,∠AOD=60°,这与图 40——(2)中,以△ABC 的 AC,BC 为 一边向形外作正方形 ACDF 和 BCEG,AE,BD 相交于点 O,则 AE=BD,且∠AOD=90°(或 AE⊥BD), 证明的共同实质都是△ACE 绕着点 C 旋转定角。 后与△DCB 重合 (前者中∠ ? =60°, 后者中∠ ? =90°)。 若把图 40——(2)中的△ABC 改成平行四边形,仍以 AC,BC 为边向形外作正方形?.显 然同样有 AE=BD, AE⊥BD 的结论, 且证法毫无变化, 其实质仍是△ACE 置绕点 C 旋转了 90° 后与△DCB 重合。 4.在学生基本掌握图形变换思想方法的基础上,紧密联系课本例题和习题提出一些难度较 大的问题,供学生思考。 例如, “点 M,N 在直线 l 的同侧,怎样在 l 上找一点 P,使 PM 十 PN 最小”这个问题,学 生会用翻折变换的方法找出点 M 关于直线 l 的对称点 M′,再连结 M′N,它与直线 l 的交点 即为所求之点 P(图 41——(1))。那么, “在△ABC 的所有内接三角形中,以什么样的三角形的 周长为最短呢?”这个问题的难度较大,但其解法的实质仍是利用翻折变换,现简要分析如下。 如图 41——(2),为了使 DE+EF+FD 为最小,常常可以利用“两点之间线段最短”这个公 理,先应设法把这三条线段组成的折线段变换为直线段。为此,仿照图 41——(1)找出点 D 关 于 AB,AC 的对称点 D′,D〃(即分别进行一次翻折变换),连结 D′D〃分别交 AB,AC 于点 F,E,这样,△DEF 的周长等于线段 D′D〃。 于是问题转化为“如何确定点 D 的位置,使线段 D′D〃(随点 D 位置变化而变化)的长度 最小?”为比,再连结 AD,AD′,AD〃。可以证明,△AD′D〃中,∠D′AD〃=∠D′ AD+∠DAD〃=2∠BAD+2∠CAD=2∠BAC 为定值, 又 AD′= AD =AD〃,所以 △AD′D〃 是顶角大小一定的一个等腰三角形,D′D〃为其底边。 容易知道,顶角一定的所有的等腰三角形申,腰长越小底边长也越小。因此,要使 D′D〃 最小,就应使 AD(等于腰长)最小,故点 D 应为垂足。从而探究得出结论:—个三角形的内接三

角形中,以垂足三角形(三个垂足连结而成的三角形)的周长为最短。 又如, “怎样在锐角三角形 ABC 内找一点 P,使 PA+PB+PC 最小” ,解决这个问题同样要把 PA,PB,PC 三条线段变换位置,使它们在同一条直线上。把图 42 中的△BPA 绕着点 B 旋转 60°到△BP′A′的位置,如前所述,△BPP′是等边三角形,于是 PA=P′A′,PB=PP′, 这样 PA+PB+PC=A′P′+P′P 十 PC。 于是,问题转化为怎样确定点 P 的位置,可以使 A′P′,P′P,PC 这三条线 段 恰在同 一条直线上。由∠BP′P=60°,可知∠A′P′B=120°,因 而 ∠APB=120°。同样地∠ BPP′=60°,得∠BPC=120°( 于是∠APC=l20°)。因此,点 P 的位置应按如下方法确定: 分别以 AB,BC 为弦,在△ABC 内部画两条弓形角为 120°的弓形弧,两条弓形弧的交点即为 所求的点 P。 总之,图形变换是研究几何图形性质的重要思想方法,让学生了解并初步掌握它不仅是必要 的,而且也是可能的,关键在于教学中从学生实际出发,由易到难地精心渗透,不急于求成, 耐心诱导,科学训练。 六 几何语言的训练 语言是保存、传授与领会社会历史经验,交流思想和进行智力活动的工具。语言也是一切 教学活动得以顺利进行的必备工具。 各门学科的教学,除了使用一般的文字语言外,还常常需要使用这门学科特有的语言。这 种特殊的语言又往往在入门教学阶段大量出现,学生对这类语言则较为陌生。 在平面几何教学中,正确地理解、表述几何语言对掌握概念、识别图形、正确而顺利地进 行推理论证,都有着重要的作用。近年来我们在平面几何教学研究的实践中深深感到,由于种 种原因,初学几何的学生在几何语言学习上的问题很多,困难很大,语言已成为几何教学中的 一大障碍。 近几年,我们先后在常州市区各校的部分学生中进行多次教学情况调查。学生的主观反映 和调查统计的客观数据两方面都证实了这一点。下面列举部分调查内容及统计数据。 (1)“你学习几何觉得什么最困难? (A)几何概念; (B)几何语言的理解和叙述; (C)认识图形; (D)讲清道理; (E)没有什么因难。 ” 据 1982,1983 年分别对 500 名学生的调查统计,选择(B)的占 28.76%,仅次于选择(D) 的 38.17%,而选择(A),(C),(E)的分别占 5.11%,12.9%和 15.06%。 (2) “过 A, B, C 三点(不在同一条直线上, 给出图形)中每两点画直线, 可以画几条直线?” 学生能正确画图,但据 1982 年统计,13.2%的学生答“可以画一条直线。 ” (3)读句画图, “三条直线两两相交。 ” 据 1983 年统计有 20. 8%的学生不能正确画图。 (4)“任作直线 AB,在 AB 任取一点 C,在 AB 外任取一点 D,分别过 C,D 两点画 AB 的 垂线。 ” 据 1983 年统计,30%的学生画成如图 43。

(5)27%的学生误认为“直线外一点到直线的垂线段,叫做这个点到这条直线的距离”这句 话是正确的。 (6)不能改正“过一点有且只有一条直线平行已知直线”这句错话的学生占 47%。 我们认为,学生几何语言学习产生困难的原因主要有以下四点。 首先,由于教学内容从数到形的突变,引起了数学语言从代数语言到几何语言的变化。 在小学数学和初一代数中,大量使用的语言主要表述数量及其运算关系。课本在表述时, 往往可以借助“字母表示数”这个得力的工具,同时给出“文字语言”和“符号语言”两种形 式,且常常以符合语言为主。 比如,代数中常常借助符号或式子给出概念的描述性定义,以便于学生进行从具体到抽象 1 1 的概括。例如“像+6 和—6,2 和—2 ??这样只有符号不同的两个数,其中一个数是另一 2 2 个数的相反数” ; “像 ab,a+b,40t,vt??这样用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子叫代数式” ; “像 s=ab,4-x=7??这种表示相等关系的式子叫等式”等。 借助字母,代数中表述运算律、运算法则和定理的文字语言也易于翻译成为符号语言。例 如,有理数减法运算法则——“减去一个数等于加上这个数的相反数” ,可以表述为: a- b=a+(-b)。 同样地, “同底数幂相乘,底数不变,指数相加”可以表述为:a m ·a n =a m ? n 。 “一元二次方程根与系数的关系”定理则可以表述为: “如果方程 ax 2 +bx+c=0(a≠ 0)的两
b c ,x 1 ·x 2 = ” 。 a a 从这些例子可以看出,由于采用“字母表示数” ,代数中的大量文字语言易于转化为符号语 言,从而使数量关系表达得更一般、更简明,学生易懂易记,应用方便。但是,几何中表述图 形及其位置、大小关系的文字语言,由于图形有变式,标注同种图形时使用的字母又没有作出 统一的约定或规定,因而就难以用“一般化”的模式把它们转化为符号语言。这样,学生就可 能把几何中的文字语言与结合图形的符号语言割裂开来, 用背诵文字语言的方式学习几何概念、 定理等,不会进行两种形式语言之间的“翻译” ,因而也就不能灵活地运用这些概念和定理进行 判断和推理论证。 其次,象每门学科一样,平面几何在起始阶段的教学中就引进并使用了大量的几何语言, 它们又往往更简炼、更严密,学生一时也难以适应、熟悉。平面几何入门阶段使用的几何语言 主要有以下几种: (1)常用的几何术语。如“每两点” 、 “两两(相交)” 、 “任意(取、画)” 、 “任何一个” 、 “分别” 、 “有且只有”等,学生常常不能正确理解这些术语。例如, “任意画一条直线垂直于已知直线”

个根是 x 1 ,x 2 ,那么 x 1 + x 2 =-

这句话中, “任意”画并不完全是“随便”画的意思;而“在射线 OP 上取一点 A”中, “取” 即是“任意取”的意思。对此,学生有时分不清楚。 (2)表示图形位置或大小关系的词语。如“相邻” 、 “互相” 、 “互为” 、 “等角” 、 “等量” 、 “等 边”等,学生则常常分不清这些词语表述几个图形或几个量。比如他们分不清“互为余角”表 示的是两个角(不是一个角,也不是多于两个角)的关系。又如他们也搞不清“等角的余角相等” 这句话涉及到几个角。 (3)表示画图、作图动作的语句。如“连结” 、 “延长” 、 “反向延长” 、 “过点×作直线× ×, 使它平行(垂直)于直线× ×”等,学生难以根据这类文字语言做出正确的画图动作;把画图过 程表述为文字语言时,又往往不会使用规范的语句。 第三,日常生活语言对几何语言可能产生的负迁移,也是学生几何语言学习产生因难的原 因之一。 生活中的某些词语,如相邻、同旁、同侧等,被移植作为几何语言时,词义并不发生明显 变化,这对几何语言的教学能产生正迁移,教学中应加以利用。但是,更要注意防止日常生活 语言对几何语言可能产生的负迁移。这种负迁移的产生大致有以下几种情况: (1)由于数学的严谨性,使几何语言与相类似的生活语言产生了差异。学生对“有且只有” 的理解是一个十分典型的例子。他们在学习直线的基本性质——“经过两点有一条直线,并且 只有一条直线”时,总以为“有一条直线,并且”这几个字是多余的。他们认为,这句话只需 说成“经过两点只有一条直线”就可以了。究其原因,就是因为日常生活中说“我只有一支钢 笔”这句话,既包含了‘我有一支钢笔” ,也包含了“我只有一支钢笔”的意思,无需说成“我 有且只有一支钢笔” 。生活中把“有”与“只有”这两层意思混同在一起的语言习惯,与几何中 要把它们分开表述的严谨性是不同的。因此教学“直线的基本性质”时,试图要求多数学生理 解“有”表示存在性, “只有”表示唯一性是不切实际的。这时,只能向学生指明,不能用生活 中对这类词语的理解去“套”类似的几何语言,两者是有区别的。至于为什么几何语言中要把 “有”与“只有”的意思分开叙述,只有在以后的教学中学生才能逐步弄懂。 (2)由于几何概念的本质属性引起了几何语言与生活语言的差异。 比如图 44——(1), 如果把 直线 l 和 P 点看作生活中的一条马路和一间房于,那么人们常说: “这间房子不在马路上” 。但 是,图 44——(1)作为一个几何图形,因为直线是向两方无限延伸的,所以就不能断定“点 P 不 在直线 l 上” 。事实上,只要把直线 l 画得长一些,不难发现点 P 恰恰在直线 l 上。就是由于这 种原因,一些学生在“读句画图” 时,就把“点 D 在直线 EF 上,但在直线 GH 外”画成了如 图 44——(2)。实际上,图中的直线 EF,GH 是一条直线,故点 D 仍在直线 GH 上,从而导致 了错误。 (3)生活语言中使用的词语,其含义往往只需“意会” ,而几何中使用的词语则一般需规定其 确定的意义,这种理解词义上的偏差也会使生活语言对几何语言产生负迁移。比如,用“位置 相同”描述同位角的定义时,课本对“位置相同”这个词语的数学意义作了精确的阐述,即这 两个角“分别在两条直线相同的一侧,并且都在第三条直线的同旁” 。学生往往不仔细阅读这些

语句,却以日常生活中对这个词语的不精确的理解去识别图形、进行判断,因而把图 45 中的∠ 1 与∠2 误认为是“位置相同”的同位角。 第四,初二学生的语言、语法知识不能适应几何教学的要求,这是学生几何语言学习产生 困难的又一个原因。这种“不适应”突出地表现在以下两点: (1)有些初二学生还分不清较长的简单句中的主要成分和次要成分。比如, “求证:等腰三 角形两个底角的平分线的交点到底边的两端距离相等” 。学生如不能抓住“距离相等”来分析这 个句子,读句以后便无法理解题意。有的学生甚至还不能正确地掌握句子的意群,阅读中不会 作出正确的停顿, 那么读句后更是不知所云, 当然也就谈不上根据题意正确画图, 分清 “已知” 、 “求证”并加以证明了。 (2)初二学生尚未系统学习把单句改写为复句的语法知识,而几何中命题的改写实际上就 是要进行这种句式的变换。这种不同学科知识横向的不衔接,造成了学生改写命题时的困难。 如把“对顶角相等”改写为“如果对顶角,那么相等”的这类错误更是普遍的。 针对学生几何语言学习中的困难、问题及其原因,平面几何教学中可采用以下的办法加强 语言的训练。 (1)严格要求学生认真阅读课本,并进行必要的复述和背诵,从而使学生熟悉常用的重要几 何术语,这是带有启蒙性的基础训练。 (2)用比较通俗的语言作铺垫, 引导出规范化的几何语言。 比如前述调查的第 2 题, 回答 “可 以画一条直线”的那部分学生认为, “每两点”仍然是“两点” ,经过两点只能画一条直线。所 以,他们虽然画出了三条直线,但是只“敢”回答“可以画一条直线” 。这显然是对过“每两点” 画直线, “可以画”几条就是“一共可以画几条”的意思不理解。1983 年重新用这题进行调查 时,就把问句改为“一共可以画几条?”这样的语言较通俗,学生答题时就不再发生错误。接着, 在学生做完此题后,再向学生指明,问句中的“一共”两字是可以省略的,从而使学生弄懂这 种较为规范化的语言。 (3)简练的几何语言,应在正确表述的前提下,将语言由繁到简地逐次简缩才能得到。如调 查中第 4 题,学生画成如图 43 的主要原因是,对含有“分别”这个词语的句子理解不清,同时 又受垂线“唯一性”的影响。因此,可先把“分别”句改为两句话: “过点 G 画 AB 的垂线,过 点 D 画 AB 的垂线” 。当学生能正确理解句子并画出图形后,再向他们说明,用“分别”这个词 使两句话合并成一句话,较为简练。 (4)必要时,应帮助学生分析几何语句的成分,使他们能学会抓住句字的主要成分去理解句 子所表述的意思。比如训练学生把“点到直线的距离”的定义缩句为“长度是距离” ,不仅有助 于学生对这个概念本质属性的理解,而且也可以避免解答调查第 5 题时的错误。 另外,在教学“命题的改写”时,可以“对顶角相等”为范例,给学生讲一点有关单句变 换为复句的语法知识,弥补学生语法基础知识的不足。也就是说,几何课应承担一点语言教学 的任务。 (5)针对几何语言的特点,加强文字语言与结合图形的符号语言之间的互译训练,这是几何

语言训练的重点。如上文所述,学生对文字语言的复述、背诵有时是必要的,但又是远远不够 的,必须要求学生学会语言的翻译,因为“言语的理解也是翻译过程的完成阶段” 。 这种互译训练主要有以下几种形式: ①把概念定义的文字语言翻译为结合图形的符号语言 (本书第三节中已经述及 )。在此基础 上,可进而训练学生对命题进行同样的翻译。这对于克服推理教学中语言翻译的障碍,顺利地 根据文字命题画出图形,分清“已知”项与“求证”项,从而克服论证的困难,是大有益处的。 ②“读句画图”和“听画”(即要求学生根据教师口述的语句画出图形)。 “读句画图”与上 述第①种训练是类似的, “听画”训练的要求更灵活,也更高。 比如,教师可口述下列语言,要求学生画出图形: 任意画一个钝角∠AOB; 画出∠AOB 的邻补角∠BOC;分别画∠AOB 和∠B0C 的平分 线 0D,0E;在射线 OE 上任取一点 P;过点 P 分别作 OB,0A 的垂线,垂足是 F,G;分别量出 点 P 到 OD,OA,OB 及点 O 的距离。 这样的“听画”训练,教师可以根据实际情况灵活地掌握训练的量和难度。学生完成这样 的训练,则必须熟悉常用的几何术语,理解有关的概念,并具有较为敏捷的听力和语言翻译能 力。 ③“看图说话” ,即把图形所示的性质概括成为文字语言。比如,让学生根据图 46 分别说 出“AB 垂直 CD,B 是垂足” ; “MN 垂直平分线段 AB 于点 0” ; “线段 AB,CD 互相平分”等。 ④在“看图说话”的基础上,进而要求学生根据图形及符号语言,用准确且尽可能简练的 文字语言概括相应的几何事实(如命题、定理等)。进行这种高要求的训练应当铺设层次和阶梯。 比如,可以让学生概括“三角形内角和” 、 “三角形三边关系”等语句较为简单的定理。在 教学 “等腰三角形性质” 后可与学生约定(参阅图 47), 凡用红色笔标出的( “等腰” 、 “平分底边” ) 作为已知条件,用蓝色笔标出的(平分顶角、垂直底边)是结论。那么根据图 47,可以得出命题 “等腰三角形底边上的中线平分顶角、垂直底边”等。 再如,根据图 48——(1),(2)及其相应的符号语言表述的条件和结论,可以分别概括得如下 命题: ①“等腰三角形两腰上的高相等” 。 已知:如图 48——(1),在△ABC 中,AB=AC,BD⊥AC,D 为垂足,CE⊥AB,E 为垂 足。 求证:BD=CE。 ②“两条平行直线被第三条直线所截,同位角的平分线平行” 。 已知:如图 48——(2), AB∥CD,∠1=∠2,∠3=∠4。 求证:EG∥FH。 上述四种形式的训练中,第一、二 种是文字语言——图形及符号语言的翻译,这种语言的 翻译过程与思维过程的综合(顺向)相类似;第三、四种则是图形及符号语言——文字语 言的 翻译,与思维过程中的分析(逆推)相类似。比如,在图 48——(1)所示的训练题中,正确的语

言概括过程大致可分解如下: 符号语言 文字语言 BD=CE; 两条线段相等 (BD=CE) BD⊥AC, CE⊥AB; 两条垂直线段相等 △ABC 中,(BD=CE, BD⊥AC, CE⊥AB) ; 三角形中的两条高相等 △ABC 中,AB=AC, (BD=CE,BD⊥AC, CE⊥AB) 等腰三角形两腰上的高相等 从心理学的角度看,前两种翻译是把感知的言语转化为意义的符号的分析阶段的翻译,是 语言物化的过程。后两种翻译则是在思维(分析)过程中,由难度较小的言语任务逐步过渡到难 度较大的言语任务,由依靠较多的外部支柱过渡到较少的外部支柱,直至最后脱离外部 (图形) 的支柱,形成正确简练的语言。因此,这种语言训练对思维能力的发展起着促进的作用。 (6)不断提高学生理解、使用几何语言的精确性的训练。这对入门教学阶段学生言语能力 的发展有普遍的意义。心理学研究表明:这种(言语)知觉的进行,在不同的场合是不同的,其 区别首先依赖知觉的任务,同样也依赖所感知的(口头的或书面的)言语的内容,知觉的条件和 个人的经验。教学实践也证明,在平面几何教学中,学生对几何语言的知觉是不相同的,有些 学生对某些几何语言的理解常常是不精确的。 如前述调查第 6 题中列举的错误, 就是由于对 “平 行公理”的文字语言理解不精确而产生的。与此类似,当要求学生根据垂线的性质——“过一 点有且只有一条直线垂直于已知直线” 画出图形时, 约有 80%的学生仅画出一种位置(点在直线 外)的图形。这说明学生对“平行公理”中为什么要写出“过直线外”几个字与“垂线性质”中 为什么无需指明“直线外”这二者的细微又重要的区别不甚注意,即理解语言不精确、不准确。 语言理解、表述的精确化训练,就是要帮助学生分辨语句的正确与错误。适当地运用反例, 进行如下的语言比较、辨析、判断,对提高学生几何语言的精确性是有效的。 ①几何术语的辨析。 例如,比较下述两句话中, “任”字的含义有什么区别: “任作射线 AP” ; “已知线段 AB,任作射线 AP” 。 让学生判断下列语句中,是否要用“任”字,使用了“任”字的又是否正确: “过一点任作 一条直线垂直于已知直线” ; “任作一条直线平分已知直线” ; “过一点任作—条直线平分已知线 段” ; “三角形的外角大于任何一个内角” ; “三角形两边之和大于第三边” 。 ②概念定义的辨析。 例如,判断下列定义是否正确?如果不正确,怎样改正? “到一条线段的两端距离相等的点叫线段的中点” ; “∠1 与∠2 的和是直角,∠1 叫做余角” ;

“三角形一个顶点到它的对边所在直线的垂线,叫做三角形的高” 。 ③作图语句的辨析。 例如,判断下列作图语言是否正确、合理: “过一点作已知线段的垂直平分线” ; “延长线段 AB 到点 C,使 AB=BC” ; “过两条平行直线 AB、CD 外一点 E,作一条直线 MN,使 MN∥AB,MN∥CD” 。 ④语言逻辑性的辨析。 . 例如,判断下列语句的逻辑顺序是否正确: “两腰相等的三角形是等腰三角形” ; “斜边平方等于两直角边平方和的三角形是直角三角形。 ” 此外教师课堂用语的良好示范和对学生阅读课本的认真指导,对提高学生理解、表述几何 语言的精确性起着潜移默化的重要作用;比如,有的学生常说, “直线可以向两方无限延伸” , “线段不可以延长” 。这种不准确的语言对有关内容的教学都可以产生负迁移。为此,应引导学 生仔细阅读课本,纠正上述语言中的错误,把前句中的“可以”改为“是” ,后句中的“不可以” 改为“可以” 。又如,教学“平行公理”后,应要求学生把它与“垂线的性质”作对照,并通过 比较找出这两句话的相同和不同之处。 在平面几何起始阶段教学中,教师应充分利用自身语言的示范作用去悉心引导学生,课堂 用语一般不应使用课本上尚未出现的词语,以免学生产生不必要的困难。 (7)适时地进行归类,使学生掌握的几何语言逐步系统化。 帮助学生将几何语言系统化,不是简单罗列学生已学过的术语、语句,而是为了帮助学生 更好地理解各别的词句。语言的系统化可在日常教学中分散进行,也可以结合章节复习集中进 行。比如,课本前两章和第三章开头部分中使用的几何语言可以作如下的归类: ①表示“任意” 性的词语,有表示画图动作任意性的“任取一点” , “取一点” , “画直线× ×” , “任意画射线××”以及“任意画一个钝角”等;有表示在几个图形中任意选取一个或几 个的,如“过三点中的任意两点(或每两点)画直线” , “三角形的任何两边之差小于第三边”等。 ②表示两个几何图形位置、大小关系的词语,如两条直线“互相垂直(平行)” ,两个角“互 为余角(补角、同位角)” 等。这些同时表述两个图形关系的语句,都应与表述其个一个相对于 另一个的称谓区分开来。又如,同一个三角形中, “相邻的两边(角)” , “(一个)角(边)的对边(角)” 等表示图形中元素间关系的词语,应该图文对照,语言训练与识图训练同步。 ③表示“有”与“只有”的术语,除“垂线的性质”和“平行公理”中两次用到“有且只 有”外,还可在教学等腰三角形的定义——“有两边相等的三角形是等腰三角形”时,让学生 思考:这个定义中的“有”能否改成“有且只有”?(显然不能!否则等腰三角形定义的外延将 缩小); 同样地, “有一个角是直角(或钝角)的三角形叫直角(钝角)三角形” , 从这个定义中的 “有” , 是否可以推断出“只有”?如果可以,为什么不把定义叙述为“有且只有一个角是直角的三角 形叫直角三角形”(“且只有”可由“有”推证而得,故不是概念的本质属性 )。通过这样的归

类比较,学生才有可能理解“有且只有”这个数学术语的真正含义及其用法。 ④为了简缩语言,怎样正确使用“分别”等一类词语。为此,可向学生指出,为了把两个 类似的画图动作或图形名称或图形性质合并起来叙述,常常在句子中使用“分别”这个词语, 另外,当有些句子中有多层“分别”的意思时,还可省略后面层次中的“分别”两字。比如, 在“过点 P 分别作直线 l 1 ,l 2 的垂线,垂足(分别)为 M,N; (分别)量出点 P 到直线 l 1 ,l 2 的 距离”这类语句中,有时甚至一次也不用“分别”这个词语;有时则用“各”代替“分别”等。 此外,画图语言、推理语言,也可以分别加以归类比比较,这里不再一一详述。 七 推理论证教学的设计 推理是一种思维的形式,它是从概念出发,通过—次或若干次判断,不断地得出新结论的 过程。平面几何教学以推理论证为主线,在研究几何图形性质的同时,培养学生的逻辑思维能 力。 推理的两种基本形式是归纳和演绎,归纳是从特殊事例到一般原理的推理;演绎则是从一 般原理到特殊事例的推理。平面几何中的论证大多采用演绎推理的方式,最常用的形式是三段 论证。实质上,平面几何中的大量论证是一连串的三段论。 如前所述,运用概念进行判断是推理的初级阶段,但学生在概念学习中又往往重记忆、轻 判断。初学平面几何的学生对三段论证为主要形式的推理(包括这种形式以及书写格式 )都很陌 生,一时不能适应;无论是概念的表述、运用还是判断、推理,都离不开正确的几何语言;判 断和推理又在相当程度上以正确的识图为先导。因此,推理论证教学无疑是平面几何教学的核 心,它必须以概念、图形、语言教学为基础,与思维能力的培养和发展相辅相成,这几方面的 教学和训练是相互渗透、相互影响的。 可见,平面几何起始阶段(特别是前两章)的教学中,必须十分注重概念的教学,及识图、 语言等技能的训练,不应急于把平面几何教学推向核心阶段——推理论证。几何中的推理论证 是各种知识和诸种基本技能的综合运用。过早地进入推理论证教学阶段,并试图以它来带动各 种技能训练的做法,既不符合《几何》课本的知识结构和对技能、能力训练的要求,也会脱离 多数学生认识发展的一般规律,因而是不可取的。但是,这并不意味着在入门教学阶段不要去 涉及有关推理论证的一切内容,恰恰相反,应该在这个阶段采用“早渗透”的办法,尽早在教 学中渗透推理的思想和方法(包括具体的推理模式),以便为推理论证教学作好充分的准备。 我们根据《几何》课本第一册的编排体系,编写了《几何入门阶段推理论证教学设计一览 表》(参阅附表三),现作如下说明。 1.三段论证的演绎推理教学可采用如下的办法进行“早渗透” 。 (1)结合早期概念教学,从线段的中点开始,以教师示范为主,尽早使用三段论证的推理形 式。比如, ∵M 是线段 AB 的中点, ∴AM=BM,

1 AB,AB=2AM(线段中点的定义)。 2 反之,∵AM=BM,点 M 在线段 AB 上, ∴M 是线段 AB 的中点(线段中点的定义)。 这种训练不仅可以让学生尽早接触三段论证的形式,而且 (如前所述)也是帮助学生理解概 念,学会从文字语言到结合图形的符号语言翻译的一种有效手段。 如表三中所列,这种训练可结合一系列概念进行。从“线段的中点”开始到“三角形全等 判定”止,在长达近两个月的教学中反复地进行这种训练,由教师口述、书面示范逐步过渡到 由学生模仿叙述及书写,必将使多数学生在进入系统的推理教学之前就熟悉了三段论的基本形 式,这无疑是十分有益的。 1983、1984 年,我们用“线段的中点” 、 “角平分线” 、 “互余” 、 “线段的中垂线”等 10 个 概念进行了调查,要求学生用这些概念进行上述形式的三段论证,正确率(因、果和推理依据三 项全部正确)达 80%以上。 (2)从“角”这一大节开始,可把课本中有关角度计算的问题推理化,使学生尽早地接触一 连串三段论证的模式。 这种训练,应由教师写出推理计算的过程,留出一些计算和填注推理结果或依据的空格让 学生填写。 比如(课本 32 页第 10 题): “如图 49,已知 AOB 是直线,∠AOC=73°,∠BOD=58°, 求∠COD 的大小。 ”可要求学生解答(填空)如下: ∵AOB 是直线( ), ∴∠AOB=_____°( ), 即∠AOC 十∠COD 十∠DOB=______° ∵∠AOC=73°,∠B0D=58°( ) , ∴73°十∠COD 十 58°=_______°( ) 。 ∴∠COD=______°—73°—58°( ) =_______°。 仿此,还可选编类似的练习。例如: “如图 50, 已知直线 AB,CD 相交于点 O,∠AOC=40°,OP 平分∠AOC,OQ 平分∠ BOD,求∠BOD 的度数。 ” 1 “如图 51,己知∠AOB=Rt∠,OC 平分∠AOB, ∠2= ∠1,求∠2 的度数。 ” 2 这种训练还可结合有关对顶角、垂线、同位角、内错角、同旁内角等计算问题进行。必须 指出,考虑到此时学生尚未学习“证明” ,因此不宜要求学生自己写出推理计算的过程,以控制 这种渗透推理的要求。 (3)结合命题(证明)的教学,加强推理中的说理训练,并严格要求学生做到“言必有据” 。

或 AM=

课本从“同角的余角相等”到“平行线的判定、性质” ,有层次地精心编排,渗透了“命题 的证明”如下: 在导出“同角的余角相等”时,采用文字语言叙述的形式渗透了命题的证明。把这些文字 语言改写为符号语言,就是“证明” : ∵∠1 与∠2 互余,∠1 与∠3 互余(已知), ∴∠l 十∠2=90°,∠1 十∠3=90°(互余的定义)。 ∴∠1 十∠2=∠1 十∠3(等量代换)。 ∴∠2=∠3(等式性质)。 紧接着,课本在“对顶角相等”后,正式使用了“∵??,∴??( )”这种形式。 在“平行线判定 2,3”中,课本在第 53 页实质上已经给出命题证明的全过程,只是没有 写出“证明”两字。教材的编排的意图是十分明确的,即尽早渗透,但不急于进入正式的论证。 一般地说,在这一阶段教学中,不必要求学生独立完成“证明” 。但是,作为以后系统进行 推理教学的一项重要准备,这里必须要求学生能分清因果关系,学会有根据地正确说理。为此, 课本在相应的练习、习题中配置了大量的说理训练题。处理这些习题宜多采用课堂讨论的方式, 以增加每一个学生练习说理的机会,使他们能通过练习不断修正错误,提高说理的能力。 (4)在“命题”的教学中,加强把命题的文字语言翻译成为结合图形的符号语言这种训练, 为今后论证文字命题的教学扫除障碍。 数学命题大多是假言判断,它们能改写成“如果??,那么??”的形式。这种从文字— —文字的命题改写是很必要的,因为它标志着学生是否搞清了命题的结构,以及是否正确地区 分了题设与结论。 但是,教学中仅仅要求学生学会这种形式的翻译是不够的。考虑几何论证主要使用符号语 言表述这种特点, 命题教学还要加强文学语言——结合图形的符号语言的翻译(这一点在第六节 中已经述及)。现举例如下: 根据命题“线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等” ,画出图形,并结合图形用符号语 言写出“已知”(题设) 和“求证”(结论),不必证明。 已知:如图 52,MN⊥AB,O 是垂足,AO=BO,点 P 在 MN 上。 求证:PA=PB。 根据调查发现,许多学生在“已知”中漏写了“点 P 在 MN 上”一项,这是由于过多地借 助直观而造成的。学生在此时的“翻译”中发生一些差错是正常的,教学中恰好可以针对学生 的困难和问题采取措施,尽早予以解决,从而为今后的教学铺平道路。 此外, “条件句” 与 “结论句” 不是截然分开的一类命题, 学生改写成 “如果??, 那么??” 的形式时也常常发生错误。比如,对命题“两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角的平分 线互相垂直” ,学生常常改写成“如果两条平行直线被第三条直线所截,那么同旁内角的平分线 互相垂直” 。这种改写没有从本质上分清题设和结论,即把“平分(一对)同旁内角”的题设混同 在结论中。如果要求学生根据这个命题画出图形、并结合图形用符号语言写出“题设”和“结

论,则往往能避免上述错误。所以,从这个意义上讲,命题的“文字语言——图形和符号语言” 的改写对“文字——文字”的改写起着辅助的作用。 实践证明,命题的“文字语言——图形和符号语言”的改写训练,不仅能帮助学生克服今 后论证中语言翻译的困难,而且也是学生力所能及的。据调查统计,在“命题”教学时,89% 的学生能正确地完成这种改写。 应用以上几种渗透方法后,几何教学进入系统推理论证阶段时,学生的困难将明显减小。 尽管如此,集中进行推理论证教学时,也仍然要由浅入深、由易到难、 “多层次”地进行。 推理论证教学的“多层次”设计,首先应体现在“全等三角形判定”的教学中。考虑到判 定两个三角形全等的论证过程,将运用到许多知识,需要多种技能和能力,因此,可以从以下 几个方面设计若干个阶梯: (1)论证两个三角形全等,可以直接运用的条件(直接条件)应由多到少,间接条件则应由少 到多; (2)论证应由一次全等过渡到两次全等; (3)图形应由简到繁,由两个全等三角形互相分离到互相交叉叠合; (4)论证的结论应从“证全等”到“证线段(角)相等”或“证平行(垂直)”等,逐步递进; (5)从不需要辅助线过渡到需要添常规的辅助线; (6)命题应先以“图形和符号语言”形式直接给出,再过渡到以文字语言给出的形式。 这样,推理论证教学层次分明,坡度平缓,便于学生拾级而上,而不是要他们一步登天。 这样不仅使大多数学生能顺利地跨好演绎推理的第一步,同时也有利于他们进一步确立学好平 面几何的自信心,巩固和提高学习兴趣。一般地说,这时学生能保持的学习兴趣,往往是较为 稳定且易于提高的。 下面试以应用判定三角形全等的“边角边定理”为例,给出一组不同要求的论证题,作为 “多层次”推理论证教学设计的一个具体说明。 例 1.已知:如图 53,直线 AB,CD 相交于点 O,A0=BO,CO=DO。 求证:△AOC≌△BOD。 此题判定三角形全等时有两个直接条件,仅一个间接条件,且间接条件用于判定时,可以 与直接条件一并书写。 例 2.已知,如图 54,B,E,F,D 在同一直线上, AB=CD,∠B=∠D,BF=DE。 求证:△ABE≌△CDF。 此题判定三角形全等时,也有两个直接条件,一个间接条件,但间接条件要先转化成直接 条件,然后再用于判定之中,书写格式也与上题不同。 例 3.(把例 2 中△CDF 绕 BD 向下翻折而成)已知:如图 55,B,E,F,D 在一直线上, AB=CD,BF=DE,∠B=∠D。 求证:AE∥CF。 此题中条件及判定过程与例 2 相同,但结论递进了一步,因而既要判定三角形的全等,又

要用全等三角形的性质。 例 4.仅将例 3 中条件“∠B=∠D”改为 AB∥CD,其他不变。这样判定三角形全等时就 只有一个直接条件,而有两个间接条件(且均需先证后用),结论又是证三角形全等后再递进一 步的。 把图 55 中△CDF 沿着 DB 平移, 使点 F 与点 E 重合, 此时图形回覆到图 53, 继而把∠CDF 沿着 EA 向上平移,使点 F 与点 A 重合,便得下题: 例 5.已知:如图 56,AB∥CD,AB=CD。求证:AD=BC,AD∥BC。 例 6.擦去例 5 的图 56 中的线段 AC,其他不变,例 6 便成了需要添辅助线的问题。 如有可能,教师不妨把例 6 概括为一个文字命题: “如果四边形的一组对边平行且相等,那 么另一组对边也平行且相等” 。并由此过渡到“等腰三角形顶角平分线垂直底边且平分底边”等 文字命题的证明。 最后,必须指出的是,上述设计只是力求说明“多层次”进行推理教学的想法,其具体内 容不一定也不可能完全适用于各类教学班。事实上, “多层次”进行推理教学的主旨正在于从学 生实际出发,设计切实可行的教学方案。 2.在“早渗透,多层次”地进行演绎(顺向)推理训练,使学生初步学会综合法论证的同 时,必须注意“执果索因”(逆向)的分析法思想的渗透。 综合与分析这两种直接论证的方法常常是不可分割的。但是, “分析”作为一种逆向思维能 力来培养,一般要比“综合(顺向思维)慢一步,在平面几何入门阶段, “分析”的渗透性训练大 体上有以下几个层次。 (1) 分析法思想的早期渗透,首先体现在概念的形成与辨析之中,也反映在运用概念进行 的判断之中。 比如, 在比较图 57 中各个图形的异同以后, 判断图 57——(3)中的∠AOC 与∠BOD 是对顶角,就隐含着分析的思想方法。 课本在由公理“同位角相等,两直线平行”出发,推证“平行线判定 2,3”时,第一次正 式渗透了分析的思想方法。课本第 53 页写了如下的一段话(参阅图 58): “由同位角∠1=∠2,就可以推出 AB∥ CD。所以只要找出在什么情形下,∠1=∠2 就可 以了。 ” 若把这段话改用符号语言叙述,便成如下形式: ∵_________________, ∴∠1=∠ 2, ∴AB∥CD。 不难看出,这就是“执果素因”的分析法。对此,教学中应细心体会并予以充分重视。 事实上,课本早在“同位角、内错角、同旁内角”一节中,已精心编排了这样的例题: “如图 59,直线 DE,BC 被 AB 所截,如果∠l=∠4,那么∠1 和∠2 相等吗?” 教学中可把此题改为“∠1 与∠2 的大小有什么关系时,就有∠1=∠4” ,并写出如下的形 式,让学生填空练习:

∵∠1____∠2(已知), ∠4=∠2( ), ∴∠1=∠4( )。 这与课本第 53 页的分析就可以更好地衔接,为分析法思想的首次渗透铺平道路。 此外,配合平行线判定和性质的教学,课本在习题四第 12 题中编排了这类“执果索因”的 练习,也应值得重视。 必须指出,这一阶段仅仅是开始渗透分析法的思想,教学中宜采用“教者有心,学者无意” 的方式,不必正式提出“分析法”的名称,更不应要求学生都能掌握这种方法。这一阶段学生 顺向演绎推理尚未过关,若过早进行分析法的系统训练,有可能使学生的思维产生混乱。 (2) 在“三角形全等的判定”的教学中,应逐步把综合法与分析法结合起来,从教师指导、 示范分析向以学生为主进行分析过渡。 从这一大节的教学内容以及对学生进行技能训练的要求看,如前所述,综合法演绎推理论 证要初步过关,这里又提出了分析法要有一个“过渡” ,教学任务确是较重的。但是,考虑到这 一大节教学时间较长(将持续约三周),结合“三角形全等的判定”进行分析时,思路又比较单 一,即逆向寻求解题途径时“叉路口”比较少,学生易于掌握分析的思想方法;同时,紧接着 将进行的“等腰三角形”的教学又要求学生初步掌握分析的方法。所以,在“三角形全等的判 定”的教学中,集中进行分析法的渗透教学是必要的,也是可能的。 当然,这种分析法的渗透性教学仍应有层次地进行。比如,首先可以配合三角形全等的四 种判定,让学生完成如下一类填空练习(空格处有多少种不同的填法就写多少种)。 如图 60,AB,CD 相交于点 O,在△AOD 和△BOC 中, AO=BO(已知), ∠AOD=∠B0C( ), ____________(已知), ∴△AOD=△BOC( )。 如图 61,B,E,C,F 在一直结上,在△ABC 与△DEF 中, BC=EF(已知), ∠A=∠D(己知), ___________(已知), ∴△ABC=△DEF。 这种训练既能帮助学生熟悉基本定理,又渗透了分析法的思想方法。 其次,教师可结合课本例题给出示范的分析,并把它与课本的综合法证明相对照。通过多 次示范,让学生从模仿向自己尝试分析过渡,从而帮助学生逐步了解分析的方法,同时提高他 们演绎推理论证的条理性和逻辑性。 在“全等三角形的判定”教学的后阶段,则可以给出论证题,要求学生写出“证明”或“分 析” 。例如:

已知:如图 62,点 D 在 AB 上,点 E 在 AC 上,BE,CD 相交于点 O, AB=AC,∠B =∠C。 求证:OB=OC。 分析: OB=OC ↑ △OBD≌△OCE ____________↑_____________ ∠B=∠C ∠BOD=∠COE BD=CE (已知) (对顶角相等)_____↑_____ AB=AC AD=AE (已知) ↑ △ADC≌△AEB __________ ↑______________ AB=AC ∠B=∠C ∠A=∠A (已知) (已知) (公共角) (3)从“等腰三角形”开始,证题的方法将越来越多样化。同时考虑到此时学生已在“三角 形全等的判定”中初步学会了综合法论证,所以论证教学可逐步加大分析法的份量。要引导学 生学会“要(证)什么,就要有什么(条件) ;缺什么找什么,靠拢已知条件(题设及定义、公理、 定理等)”的方法,从结论出发,逆推寻找使结论成立的充分条件,直至追索到已知条件,寻得 论证的途径。 比如,结合课本习题八第 18 题,可引导学生通过分折,探求多种证法,并从中择优(下面 仅列出最优方法): 已知:如图 63,点 D,E 在 BC 上,∠BAD=∠CAE,∠B=∠C。 求证:AD=AE。 分析: AD=AE ↑ ∠ADE=∠AED ____________↑__________ ∠BAD=∠CAE ∠B=∠C (已知) (已知) 类似地,图 62 所示的论题,在教学了“等腰三角形”后,可重新简化分析的过程如下: 连结 BC,于是 OB=OC ↑ ∠OBC=∠OCB ______________↑______________

∠ABC=∠ACB ↑ AB=AC (已知) 分析与综合都是论证的重要方法。综合法便于叙述论证过程,但有时难于找出论证的方向; 分析法易于探求论证的途径,但叙述繁琐。所以,在实际论证教学中,应把两者有机地结合起 来,不可偏废。要使学生既注重分析,又要会综合,还要会联合运用这两种方法去思考和论证。 比如: 已知:如图 64,△ABC 中,∠ABC=45°,H 是高 AD 和 BE 的交点。 求证:BH=AC。 一般地,此题的思考过程如下: 分析法 综合法 BH=AC ∠ADB=90°,∠ABC=45° ↑ ↓ △BHD≌△ACD △ABD 为等腰直角三角形 _____________↑_______________ ↓ ∠BDH=∠ADC ∠HDB=∠CAD (?) BD=AD =Rt∠ ↑ ↑______∣ ∠HBD 十∠C=∠CAD 十∠C=90° 在以上 1,2 两部分中,我们仅对几何入门阶段综合法(三段论证的演绎推理论证)和分析法 的渗透教学提出了一些设想。事实上,这两种直接论证的教学决非短期内可以完成,应在后续 的教学中不断地训练,才能使学生真正掌握。 3.关于反证法的渗透性教学。 反证法是一种间接论证的方法,由证明反论题之假来确定原论题之真的证明方法。也就是 说,证明反论题“若 A 则 B”为假,便能肯定原论题“若 A 则 B”为真。反证法的理论根据是 形式逻辑的排中律,即“同一对象在同一时间内和同一关系下,或者是具有某种性质,或者不 具有某种性质,两者必居其一,不能有第三种情形” 。 在现行中学数学教材中, “反证法”是首先编排在初中《几何》课本里的。为了使学生能在 中学数学的学习中初步掌握反证法,我们有必要来研究“反证法”教学的特点。 反证法作为一种科学的论证方法,与逻辑知识有着密切的联系,因此掌握这种方法需要一 定的逻辑推理能力;反证法又是一种间接论证的方法,掌握它需要形成与直接论证不同的思维 方法,初中学生的认知结构和思维能力尚不能完全适应这些要求;同时,反证法在中学数学各 分支学科中都有着广泛的应用,运用它进行论证(特别是在“归谬”过程中)将涉及很多知识, 因而反证法的教学必然是—个长期的过程,这与学生可以在较短时间内掌握某些简单知识的教 学过程是不相同的。因此,我们认为反证法的教学应有如下的特点:在正式讲授这种方法之前,

∠ABE=∠ACD (已知)

要尽可能多地反复渗透,力求使学生对这种方法有一定的感性认识和粗浅的了解,然后在适当 的时机结合某个教学内容(如《几何》第二册“圆的内接四边形” )正式介绍这种方法,使学生 对它的基本思想和论证形式有较清晰而正确的认识;此后,对反证法进一步在理论上加以完善、 深化,在应用中使学生真正掌握。 现行中学数学教材正是根据反证法教学的这种特点精心编排的。明确了教材的体系及其意 图,我们既能把握好反证法教学在各个不同阶段的具体要求。比如, 《几何》课本第一册中已编 排了许多运用反证法说理、证明的内容。但从反证法教学的全过程看,这些都是渗透性的。渗 透性教学的最根本的特点就是教学要求有很大的弹性,即能有多一点的学生懂,懂得多一点最 好,学生暂时不懂也不要急于求成。如果不是这样“留有余地”地进行教学,而不切实际地要 求学生在初二年级都能掌握反证法,就会操之过急,使师生双方产生过分的焦虑。这样,不仅 不能取得好的教学效果,而且会使学生产生畏难或畏惧心理,丧失学习信心,这是不可取的。 下面我们结合平面几何入门阶段的教学内容,谈谈如何进行反证法的渗透性教学。 (1)以实例引导,注重反证法的首次渗透。 《几何》课本第一册,在证明“两条直线相交,只有一个交点”时,首次渗透了反证法。 这时,学生刚刚开始学习平面几何,连三段论证尚未见过,当然不应要求学生掌握反证法。 反证法作为一种科学的论证方法是严密的、抽象的。但是,日常生活中用反证法的思想说 理是屡见不鲜的。因此,教学中应以实例引导。比如,节假日前夕,在办公室的门窗上贴上封 条,假日后检查封条都没有被撕破、便可断定假日里没有人进入办公室。人们对这种判断习以 为常,从未去深究理由。其实,这种判断就是不自觉地运用了反证法。教学中,可用此实例与 “两条直线相交,只有一个交点”的说理过程进行对比。见表四: 有 “两条直线相交,只有一个交点。 ” “放假前在办公室门窗上贴上封条, 待 假期后封条没有被撕破,所以假期里 说 没有人进入办公室。 ” 理 的 事 实 说 假如两直线相交有两个交点,那么 假如假期里有人进入过办公室,那么 理 经过两点就有两条直线。 封条要被撕破。 的 这与“经过两点只有一条直线”是 这与“封条没有被撕破”的事实是不 过 不符合的。 相符合的。 程 所以“两条直线相交有两个交点” 所以“假期里有人进入过办公室”是 是不可能的。 不可能的。 所以“两条直线相交,只有一个交 所以“假期里没有人进入过办公室。 点” 。

这样教学,实例的引导虽不十分严密,但有助于学生初步了解反证法的思想,趣味性也较 强。 (2) 从学生实际出发,逐步提高渗透性教学的要求。 推证“如果两条直线和第三条直线平行,那么这两条直线也平行”时,课本再一次渗透了 反证法。这时,可以让学生试述“假如两条直线不平行” ,进行初步的反设训练。另外,说理时 需要把两条平行直线画成相交于一点,这种歪曲事实的图形想象能力,也是用反证法论证几何 命题时所必须的。 在证明“两直线平行,同位角相等”时,课本第三次渗透了反证法。这时学生不难作出假 设,但如何归谬应加以引导。由“同位角不等”出发,可以重新画一条直线使同位角相等。然 后让学生思考:这可以推导出与什么(平行公理或已知条件)不相符的结果? 这里,还可根据学生实际,提出如下问题:假如同位角不等(∠1≠∠2),那么这两个角∠1 与∠2 的大小关系有几种情形呢?课本对∠1<∠2 的情形进行了说理论证,对∠1>∠2 的情形 又如何说理呢?这样实质上已隐含了穷举法的思想。 (3)适当增加渗透的频率。 配合以上三次反证法的渗透,课本编排了一定数量的练习题,教学中都应利用来渗透反证 法思想。例如: “互补的两个角能不能都是锐角、直角、钝角?互余的两个角呢?” “一个三角形中,能否有两个内角是钝角或直角?为什么?” “已知等腰三角形的—边等于 4,一边等于 9,求它的周长。 ” 除此之外,还可将某些定理的证明改用反证法。例如: “如果两条直线都和第三条直线垂直,那么这两条直线平行。 ”若假设这两条直线不平行, 便与垂线的基本性质(唯一性)矛盾。 “大角对大边”定理,可以利用已经证明的“等边对等角”和“大边对大角”定理,用穷 举法证明。 (4)在学生多次接触反证法后,可以适时地对反证法的主要步骤作一小结 (不必正式介绍反 没、归谬、结论等步骤的名称),以使学生对这种方法有初步的但较为完整的认识。 关于“反设”(假如??),可选编一些练习,训练学生从结论的反面去思考问题以及用正 确的语言表述“反设” ,并注意结论的“反面”有多少种可能的情形。 对于“归谬”(那么??这与??不相符合),可指出,从“反设”出发的推理本身必须正 确无误。通过这种推理,可能得到与公理不相符合的结果,也可能推出与已知条件、学过的定 义、定理等不相符合的结果。 对于“结论”(所以??),则应着重强调结论之所以成立,是因为证明了“结论不成立是 不对的” 。 实践证明,只要我们理清教材的脉络,坚持从学生的实际出发,把握好有弹性的教学要求, 精心渗透,逐步引导,反证法的教学一定会水到渠成,瓜熟蒂落,取得成功的。1984 年,笔者

曾以用反证法证明“大角对大边”为例进行调查,据统计,能用穷举法正确证明的学生达 80% 以上。1984 年常州市中考试题中, “用反证法证明:等腰三角形的底角必为锐角”的得分率达 87%,此题得零分的学生仅占 7%。1985、1986 年常州市在“圆的内接四边形”的教学中,对 课本正式运用反证法证明“如果一个四边形的一对对角互补,那么这个四边形内接于圆”进行 了研究,课堂教学的实录(参阅本书附录 5)表明,经过较长时间的反复渗透,初三年级学生是能 够较好地掌握反证法的。 附表三 几何入门阶段推理论证教学设计一览表 推理教学“早渗透,多层次“的设计 反证法教学的渗 透 § “两条直线相 交,只有一个交 点”的说理是反 证法第一次渗透 Ⅰ.结合定义渗透推理 线段中点定义: ∵M 是线段 AB 的中 点, ∴ AM = BM = 1 AB(中点定义) 2 周角、 平角、 直角的定 义。如: ∵AOB 是一直线, ∴∠ AOB=180 °(平 角的定义)。 角平分线的定义: Ⅱ.角的计 ∵OC 平分∠AOB,∴ 算推理化, ∠AOC=∠BOC 有关角的和 (角平分线定义)。 差计算。 互余、 互补的定义。 如: Ⅲ命题证明教 ∵∠1 与∠2 互余, 学的渗透。 “等 ∴∠1+∠2=90° (互余 角 的 余 角 相 的定义)。 等” 。若将课本 叙述改用 “∵? ∴?”的书写,

即为证明。 有 关 对 顶 对顶角相等。 课 角、角平分 本 首 次 在 说 理 线计算。 中用了“∵? ∴?”形式。 垂线的定义。如: ∵∠AOD=90°, ∴AB⊥CD



平面几何中的思维训练 思维是一种复杂的心理过程,它以感性认识为基础,与语言有着密切的联系,贯穿于探索、 发现和解决问题的始终。思维过程的本质是从已知事物与未知事物的联系中,找出越来越多的 新东西。 思维活动与其他的心理和生理过程有着极为密切的关系。人们通常把它分为若干个层次或 阶段,如感觉、知觉、表象、概括以及理性认识等,在方法上分为分析、综合、抽象、概括、 演绎、归纳、判断、推理等。然而实际上,不同水平和层次的思维活动是不能截然分开的。著 名科学家钱学森指出:思维是有规律的, “因为思维也是一种客观现象,而—切客观的东西及其 运动都有自己的规律,思维当然也不例外” 。钱学森教授又指出:思维科学最终要靠脑科学来阐 明它的机理。但那是“最终” ,不是现在。如果现在就要用脑科学来阐明思维,那只有等待了, 只好无所作为了。人的思维过程已有大量的观察结果,是宏观的观察。思维科学也要从宏观开 始。这是实事求是的科学态度。 在这一部分,我们当然不是、也不可能去探讨思维科学本身的问题,仅想从对平面几何教 学这种“宏观的”认识活动的观察中,初探在教师作用下,学生在平面几何学习中思维发展的 一般过程、可能存在的问题或障碍,以及怎样促进学生思维能力的发展。 1.从思维发展的阶段性看,初中学生的思维正从以形象思维为主向以抽象思维为主过渡。 形象思维和抽象思维是两种不同的思维方式,前者用形象材料对事物进行概括;后者则运用抽 象的材料(数字、概念、理论等)进行思维,是对事物间接的、概括的认识。 平面几何是研究图形及其性质的学科,几何图形能提供大量的形象材料,因此学生在平面 几何学习中经常地以形象思维的方式思考问题。同时,平面几何教学又以培养学生的逻辑思维 (抽象思维)能力为其根本目的,这又要求学生的思维方式不断地从形象思维过渡到抽象思维, 在越来越少地依赖形象材料(图形直观)的基础上,认识图形本质的、抽象的特性,从而不断发 展抽象思维的能力。从平面几何教学的这个特点不难看出,在平面几何教学活动中,形象思维 与抽象思维是相辅相成的,不注重形象思维必将使抽象思维发生困难,甚至寸步难行;而不加

强抽象思维的训练,又会使学生的思维能力得不到较好的发展,无法达到平面几何教学的根本 目的。因此,如何在平面几何教学的思维训练中处理好这两种思维的关系,促进它们的同步发 展,是值得研究的重要问题。 众所周知,概念是抽象思维的一种形式。正确地掌握概念是进行判断、推理的前提,但是, 概念的形成又应以丰富的感知为基础,因为借助实物、教具、图形,学生易于以这些形象材料 为支持,实现形象思维到抽象思维的飞跃。 比如,用折纸的方法演示 OP 是∠AOB 的平分线(如图 65),有助于学生借助形象材料理解 角平分线的概念。若再在图中画出射线 0C,OD,且使∠AOC=∠B0D,那么学生可以运用抽象 思维的方式进而判断 OP 又是∠COD 的平分线: ∵OP 平分∠AOB, ∴∠AOP=∠BOP。 又∵∠AOC=∠B0D, ∴∠COP=∠D0P, ∴OP 平分∠COD。 某些几何定理的教学,也应有这种“形象——抽象”的类似过程。比如, “三角形三边 关系”定理的教学,若先用长度不同的若干根小木棒搭三角形,学生仅能感知到“不是任意三 根小木棒总能搭成一个三角形” ,尚不能正确地概括三角形三边之间的关系,只有在实践活动的 基础上,联想到“两点之间线段最短”这个已学过的知识,才能提出三角形三边关系的猜想并 加以说理论证,从而达到对事物本质的认识。继而,让学生判断下列哪些数组可以表示同一个 三角形的边长:(1)3,4,5;(2)4,4,8;(3)18,5,12, ;(4)9,6,4。这种判断则要求学生摆 脱实物的直观形象,实现向抽象思维的飞跃。 几何命题的论证中,更是经常地交替使用形象思维与抽象思维两种形式思考问题。如果教 学中处理不当,或学生不能自觉地发展自己的思维能力,那么学生的两种思维便不能协调发展。 下面试举笔者在听课和调查中遇到的两个事例。 (1)某堂课上,老师讲授了“直角三角形的两个锐角互余”后画出图 66,0 是 Rt△ABC(∠C =Rt∠)内一点,问:△AOB 是什么三角形? 某学生:钝角三角形。 教师:为什么? 学生:(沉默不语)。 教师:什么样的三角形叫钝角三角形? 学生:有一个角是钝角的三角形。 教师:△AOB 中哪一个角是钝角? 学生:∠AOB 是钝角。 ‘ 教师:为什么? 学生:(沉默不语)。

接着,另一位学生正确地进行说理论证。 以上对话明显地反映,第一位学生的思维停留在形象思维的水平(仅能借助∠AOB 的直现 形象判断它为钝角),没有发展到抽象思维的水平。 (2)(个案调查)某学生学习了“平行四边形”后,请他论证如下问题。 已知:如图 67,ABCD 是平行四边形,AE⊥AD,AE=AD,AF⊥AB,AF=AB。 求证: EF=AC。 该生在约五分钟内没有找到论证的方法。其原因是:图 67 并不常见,他无法借助以往识图 (形象思维)的经验观察出△AEF 与△DAC 全等的关系。笔者又向该生指出:若△AEF 绕着点 A 旋转,使 AF 与 AB 重合,再把它沿着 AD 向上平移,那么△AEF 与△DAC 可能重合吗?该生 立即正确地进行了论证。 以上过程说明:识图(形象思维)是论证(抽象思维)的先导,没有形象思维的支持,抽象思维 就寸步难行。 事实上,以上这种事例在平面几何教学中是屡见不鲜的。因此,我们必须在大量的命题论 证中,有意识地把形象思维与抽象思维有机地结合起来,进行如下一类训练。 如图 68, 已如 AB∥CD, BC∥AD, 那么图中有哪几对全等的三角形(学生回答并依次编号)? 若要一一证明这几对三角形全等,应该先证_______或_______;再证_______和_______。 又如图 69,若AB=AC,AD=AE,那么, (1)图中有几对全等的三角形(一一依次编号)? (2)如果要证明OE=OD那么正确的证明顺序(用编号填写)为口→口。 如果要证明∠1=∠2,那么正确的证明顺序为口→口→口。 以上两例的前半部分训练学生的形象思维能力,正确解答后半部分则更依赖于抽象(逻 辑)思维能力。 应当指出,并非在任何情况下,几何图形的直观形象都为学生进行抽象思维创造有利的前 提。恰恰相反,图形的直观形象有时也会干扰学生的抽象思维,下面列举的论证错误便是一例。 已知:如图70,BD 和 CE是△ABC 的两条高,且BD=CE,H 是BD,CE的交点。 求证:BH=CH。 此题没有给出AB=AC(尽管可以证明)的条件,但学生借助图形直观,没有根据地把△A BC是等腰三角形当作已知条件,从而进行了如下的错误论证: ∵BD=CE(已知), ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)。 ∴BH=CH(等角对等边)。 由此可见,几何作为一门推理论证的学科,在教学中不断发展学生的抽象(逻辑)思维能力 尤为重要。 2.抽象思维的逻辑形式是概念、判断、推理,平面几何中的推理又主要采用演绎的方式。 因此,演绎推理是平面几何教学中最基础的思维训练。初学者不掌握这种思维方法,教学中便

难以进行其他形式的思维训练。 关于平面几何入门教学阶段演绎推理的训练,本书第七部分已有所述。在后续教学中应继 续注重训练学生这种思维的条理性和逻辑性。 3。平面几何中的多数命题是以“已知??,求证??”的形式给出的。因此,无论是用演 绎,还是用分析的方法去论证,思维的出发点和目标常常是明确的(两种思维方式的区别仅在于 方向是相反的) ,这种思维常常是封闭的,不利于发展学生思维的广阔性。同时,在实际教学过 程中,学生又往往只是跟着教师亦步亦趋,从“出发点”到达“目标” ,思维的独立性也得不到 较充分的发展,这是平面几何教学中进行思维训练的又一个值得注意的问题。 为了发展学生思维的广阔性和独立性,应注重引导学生参与知识发生的过程,让他们自己 去探索并获取知识。 初中《几何》课本已经对此作了较为精心的安排。比如,课本对不少几何定理证明的编排, 改变了传统教材“先出定理,再依次写出已知、求证和证明”的方式,采用了“从图形出发, 根据已经学过的知识进行探索(即论证),从而揭示新的图形性质”的顺序,这种编排方式无疑 有助于发展学生思维的广阔性和独立性。 据统计,仅《几何》课本第一册中,按这种方式编排的定理及推论就有 20 多条。主要有: 平行线判定定理 2,3,平行线性质定理 2,3; 三角形三边关系定理; 直角三角形斜边上中线定理及其推论; 轴对称和中心对称的性质定理; 多边形内角和定理及其推论; 平行四边形性质定理 1,2 及推论; 矩形及菱形性质定理 1; 等腰梯形判定定理; 平行线等分线段定理的推论 2。 对于课本这些内容的编排方式及其意图,教学中应仔细体会,并相应地改进教法。 此外,教学中进行如下训练也将有助于发展学生思维的广阔性和独立性: (1)提出不给结论的问题,让学生从已知图形中逻辑地导出应有的(尽可能多的)结论。 这种训练在起始阶段的教学中便可进行。比如图 71——(1)中,AOB 是一条直线,∠AOC =50°(由学生得∠BOC=130°);在图 71——(1)中再画射线 0D,且∠B0D=20°,如图 71 ——(2)(由学生得出∠COD=110°),若把图 71——(1)中的射线 0C 反向延长成图 71——(3)(由 学生算出∠BOC,∠B0D,∠AOD 的度数,并探求出∠A0C=∠BOD,∠A0D=∠BOC 的结论, 从而发现“对顶角相等”的性质);若在图 7l——(1)中分别画出∠AOC,∠BOC 的平分线 0D, 0E, 学生不仅可以自己算出图 71——(4)中各角的度数, 而且可以发现 OD⊥OE, 进而概括为 “邻 补角的平分线互相垂直”的结论等。 这种训练也可以结合定理的应用进行。

如图 72,在△ABC 中,∠B>∠C,D 为 BC 边上一点,那么 AB,AC,AD 两两之间的大 小关系如何? 显然,学生不难得出 AB,AC 的结论,但是 AD 与 AC 的大小关系需要独立去探索,即由 ∠ADC>∠B, ∠B>∠C, 得∠ADC>∠C, AD<AC; 探索 AD 与 AB 的大小关系(不确定) 时, 学生往往会受图 72 中实际画出的∠ADB 是比∠B 大,还是比∠B 小的影响,作出错误的判断。 因此,这类训练也有助于提高学生思维的素质。 (2)指导学生自己编题,这也是发展学生思维广阔性和独立性的有效方法。 比如,计算三角形三个内角度数,学生常对没有给出任何一个具体度数的一类习题困惑不 解,束手无策,不会应用三角形内角和定理。为此,可以让学生思考:计算一个三角形三个内 角的大小,需要有几个条件?然后,让学生根据下列要求自编一个问题:所需的两个条件中,一 个是两个内角间的倍分关系,另一个是两内角的和差关系。 在等腰三角形内角度数计算中,则可要求学生以与底角相邻的外角与顶角的关系为条件编 题,此时若学生编出错题(如“已知等腰三角形中,与底角相邻的外角比顶角大 90°,求这个等 腰三角形各角的度数”),则又可以从另一个侧面使学生掌握“等腰三角形的底角必为锐角”的 性质。 这类训练也可以在其他的几何计算和论证中进行,比如,让学生自编一个证明三角形全等 的题,要求判定三角形全等的三个条件中,一个是直接条件,另外两个是间接的条件。当然, 这种训练要求较高,但作为发展学生思维能力的一种方法,教学中是可以试用的。 (3)从某些基本图形入手,先让学生探索这种图形的特征和论证的一般规律,然后进行图形 变式,使之呈现不同的形状,由学生独立论证类似的结论。 比如,图 73 中,若∠l=∠2,AD∥BC,则 AB=AC。论证后让学生探索:题设中有角平 分线和两线平行的条件,常可以证得等腰三角形的结论。 由此,可以变换出图 74(图中∠1=∠2,两线标注箭头表示平行),让学生发现并论证各图 中哪一个三角形是等腰三角形(其中图(5)可由 AB=AC,EF⊥BC,证得 AD=AF)。 必须指出,这种训练应把侧重点放在引导学生自己去探索这类图形的共同特征,井能独立 地进行论证,以发展学生思维的广阔性和独立性,不应搞成单纯的题型归类,反复练习,那样 反而会使学生的思维僵化。 (4)经常地引导学生联想。联想与探索是思考问题的重要方法,联想的基础是知识间的本质 联系,通过探索则能获得更多的新知识,从而在加深对知识理解的同时,发展思维的广阔性和 独立性。 比如图 75——(1)。梯形 ABCD 中,AD∥BC,AD+BC=AB,MD=MC。求证:(1)AM,BM 分别平分∠BAD,∠ABC;(2)AM⊥BM。 证法一: 延长 AM 交 BC 的延长线于点 E, 不难由△AMD≌△EMC 知, BE=BC+CE=BC+AD =AB, 且 AM=EM,从而证得本题的两个结论。 证法二:作梯形的中位线 MN。

1 1 (AD 十 BC)= AB=NA=NB, 得∠AMB=Rt∠, ∠DAM=∠AMN=∠MAB, 2 2 ∠CBM=∠BMN=∠MBA,从而证得本题的两个结论。 现在我们观察图 75——(1)中的△ABE,它与图 74——(2)是类似的:都有两线平行(MN ∥BC 与 DE∥BC), 区别仅在于图 74——(2)中, 有 BD 平分∠ABC, 可证△EBD 为等腰三角形; 图 75——(1)中,则先有△EBD 是等腰三角形,再证得 BM 平分∠ABC。这两者实际上是互逆 命题。 还可以作如下的联想和探索。 若把图 75——(1)中,ABCD 改为直角梯形(CD⊥BC),那么除了已证得的结论(1),(2)外, 1 还有 MN= AB,且 MN⊥CD,于是有结论(3):以 AB 为直径的圆切 CD 于点 M(参阅图 75— 2 —(2))。 若再在图 75——(2)中,作 ME⊥AB,E 为垂足,则又可由 Rt△AME≌Rt△AMD,得 ME =MD=MC,于是得结论(4):以 CD 为直径的圆切 AB 于点 E;若连结 DE,EC,则∠DEC=

由 MN=

90°。又可由 AM⊥DM,ME⊥AB, 知 ME 2 =AE·BE,即得结论(5):ME 2 =AD·BC。这 样,就使原来的命题与圆的有关内容发生了广泛的联系,在这种探索过程中,学生不仅掌握了 知识的联系,而且思维也变得较为广阔。 现在,我们不妨再从图 75——(2)出发,作进一步的联想: 若分别以 A,B 为圆心,AD,BC 为半径作圆,则两圆必外切于点 E,此时 CD 将成为两 圆的外公切线,ME 是两圆的内公切线。于是,上述五个结论便成为两圆外切时的一些性质, 而题设条件将变得较为隐蔽,重新标注字母以后便得到如下的命题: 如图 75——(3),已知⊙O 1 与⊙O 2 外切于点 E,AB 为两圆的外公切线,A,B 为切点(以上 题设隐含了条件:A O 1 ∥B O 2 ,AB⊥O 1 A, O 1 A+ O 2 B= O 1 O 2 ),过点 E 作两圆的公切线交 AB 于点 M(此题设隐含了 MA=MB 的条件)。求论(1) O 1 M,O 2 M 分别平分∠A O 1 B O 2 O 1 ;(2) O 1 M⊥O 2 M;(3)以 O 1 O 2 ,∠

O 2 为直径的圆切 AB 于点 M,(4)以 AB 为直径的圆切

O 1 O 2 于点 E,(5)ME 2 =R·r(R,r 分别为⊙O 1 ,⊙O 2 的半径) 。 显然,运用圆的有关定理,易于直接证明以上结论,无须重复初始的证明过程,这正从另 一角度说明了知识的联系和发展。 同样地,这种联想与探索的训练,也应当把提高学生思维的广阔性作为重点,还应考虑学

生的实际水平,把握好训练的难度和要求。 4.初中学生的抽象思维正从“经验型”向“理论型”发展。因此,他们在平面几何学习中, 还常常偏重于背诵知识的结论,死记论证的方法,习惯于套用这些结论和方法进行思考,表现 出思维的定势。 思维定势有其积极的意义。我们经常把“使学生熟练掌握某定理并能正确地应用”作为几 何教学的要求,这种要求实质上包含了形成思维定势的意思。因为形成思维定势才标志着学生 熟练地掌握了某种知识和方法。比如,通过“全等三角形的判定”的教学,多数学生能熟练地 利用三角形全等论证几何命题,形成了较为强烈的思维定势,这无疑对平面几何的教学有着积 极的作用。 但是,思维定势也会产生消极作用。因为思维定势的形成又将使学生思考问题时偏向于某 种模式,这必然会影响学生思维灵活性的发展。 平面几何教学中,学生思维定势的形成及其消极作用,表现为多种形式。 比如,在日常生活中,人们普遍感觉封闭的图形和谐、完美。这种习惯使学生在平面几何 的学习中,产生了倾向于在封闭图形内部思考解决问题的定势。因而,在解答问题“已知一个 多边形的每个外角都等于 60°,求这个多边形的边数”时,不少学生列出方程(n—2)·180°= n·120°,再解得 n=6,而不会利用多边形外角和定理直接算出 360÷60=6,这反映了思维定 势使解题过程变得较为繁复的消极作用。 又如,由于“三角形全等的判定”的教学,集中地进行较长时间的演绎推理论征训练,在后 续教学中也常用三角形全等的方法论证命题,这种反复进行的强化训练,使学生产生了平面几 何学习中展为强烈的思维定势。这种“利用三角形全等”进行论证的思维定势也可能产生消极 作用。 例如,初三学生在论证过程中需要用到“角平分线上一点到角的两边距离相等”时,常常 仍去证明两个直角三角形全等,即重复证明了角平分线的性质定理,也使论证过程变得冗长繁 复。 利用“三角形全等”进行论证的思维定势还会使学生的思维陷入困境,甚至导致错误。试 举两例如下。 如图 76,在四边形 ABCD 中,AB 为最大边,CD 为最小边,试证∠C﹥∠A。 学生常常连结 BD 后陷入困境。究其原因,显然是为了把∠A,∠C 放在两个三角形中,这 正是证三角形全等时常用的思考方法。 又如图 77,△ABC 的角平分线 BD,CE 交于点 I,∠A=60°,求证 ID=IE。 初三学生证此题时,常常连结 AI 后,试图证明△AIE≌△AID。其中有的学生发现无法证 明而陷入困境,有的则根据所谓“两边一角”定理,错误地判定△AIE=△AID。 再如,由于平面几何主要以推理论证的方法研究图形性质,计算处于次要的地位,这又会 使学生在几何学习中产生只思考“论证”而忽视“计算”的思维定势。 例如,要证明图 77 中 ID=IE,恰恰应舍弃三角形全等的论证,而应先计算 ∠BIC =90°

+l/2∠A=120°,得∠DIE+∠DAE=180°。从而由 A,E,I,D 四点共圆证得 ID=IE。 以上说明了在平面几何教学中,各种形式的思维定势的消极作用确是严重地存在着的。因 此,如何防止和克服思维定势的消极作用,也是平面几何思维训练中必须认真研究解决的问题。 我们认为,进行如下形式的训练有助于防止和克服思维定势的消极作用。 (1)从多方面感知图形的训练(参阅本书第四部分)。只有从多方面观察、识别图形,感知图 形中元素的多种身份,才能产生丰富的形象思维,从而通过多种途径(而不只是一种途径)去思 考解决问题。 (2)加强知识的逆向运用的训练。比如,多边形内角和定理的应用,应让学生多练习“已知 多边形的内角和(甚至已知多边形的外角和与内角和的关系等 ),求多边形的边数”这类问题, 以训练学生思维的双向性。又如,加强逆命题的编制及逆定理的应用,强化分析法论证的训练 等,都有助于发展学生的逆向思维能力,打破倾向思维的定势。对此,教学中亦应予以足够的 重视。 (3)改变问题的条件,让学生发现并论证变化了的结论,这种训练也有助于克服思维定势的 消极作用。 比如,图 78——(1)中,由 AB∥CD,BE 平分∠ABC,CF 平分∠BCD,可证得 BE∥CF; 图 78——(2)中,由 AB∥CD,EG 平分∠MEB,FH 平分∠MFD,可证得 FG∥FH;那么,图 78——(3)中,由 AB∥CD,∠BEF 和∠DFE 的平分线交于点 G,可以证得什么结论呢? 还可以变换图形的位置,以引起论证的变化。比如,图 79——(1)中,C 是线段 AB 上一点, 若分别以 AC,BC 为边,在 AB 的同侧作等边三角形 ACM 和 BCN,则 AN=BM。 若分别以 AC,BC 为边,在 AB 的两侧作正三角形(如图 79——(2) )呢? 若分别以 AB,BC 为边,在 AB 的同侧作正三角形(如图 79——(3) )呢? 若分别以 AB,BC 为边,在 AB 的两侧作正三角形(如图 79——(4) )呢? 显然,(1),(2)两图中均可证明 AN=BM;(3),(4)两图中可证 AN=CM。图(1)与图(3) 类似,图(2)与图(4)类似,但结论不同,(l)与(2)的结论相同, (3)与(4)的结论相同,但图(1)与(4) 中两个全等三角形是旋转后重合的,图(2)与(3)中全等的三角形则应翻折变换后才能重合。这四 道题的论证利用了思维定势的积极作用,引导得当,又能防止思维定势的消极作用。 (4)寻求多种解题方法,并从中比较各种方法的优劣。这种“多解择优”训练本身就要求打 破思维的定势,克服其消极作用。 这里所说的“一题多解” ,主要是指在不同的教学阶段解决同一个问题的不同层次的方法。 由于这多种解法在不同的层次上,它们往往表现为越来越优,因而,较高层次的解法可以打破 前几层次解法形成的思维定势。 比如, “图 80 中,若 AB=AD,CB=CD,AC,BD 相交于点 O,则 AC⊥BD,D0=B0” 这个命题的证明,随着教学内容的扩展,有以下三种不同层次的方法。 第一次(教学了“全等三角形的判定”后): 两次证明三角形全等。即先证△ABC≌△ADC(SSS),再证△AOB≌△AOD(SAS)。

第二次(教学了“等腰三角形性质”后): 只需证一次三角形全等(△ABC≌△ADC),然后由∠l=∠2,直接得出结论,使证法得到了 简化。 必须指出,如果此时学生仍用第一次的方法证明,就表现为“证全等三角形”的思维定势 已产生了消极作用(不会直接应用等腰三角形性质),应予以指出并纠立。 第三次(教学了“线段垂直平分线性质定理及逆定理”后): 无须证明三角形全等,直接由条件知,A,C 两点都在线段 BD 的垂直平分线上,从而证得 结论成立。这时的证明已完全舍弃了“三角形全等’的方法,使证法变得更为简洁。 事实上,教学了圆的有关定理后,若分别以 A,C 为圆心,AB,CB 为半径画圆,那么 AC 便是两圆的连心线,BD 为公共弦。此命题即为定理“两圆相交,连心线垂直平分公共弦” ,可 以直接应用,无须再加证明。 这样引导学生体会:随着知识的深化,同一个问题的证法也不断地优化,因而必须不断地 打破旧有的思维模式,学会越来越好的新方法。这也正是克服思维定势消极作用的根本所在。 教学实践反复证明, “证三角形全等”的思维定势是很顽固的。因而除了上述这种“多解择 优”的训练外,必要时还可采用强制性的措施,以强迫学生打破这种思维定势,克服其消极作 用。 比如, “三角形全等的判定” 以后的有关内容的教学中, 要求学生不利用 “判定三角形全等” 的方法证明下列各题: ①“一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形” 。 ②已知:如图 81,AD=AE,∠1=∠2,B,D,E,C 在一条直线上。 求证:∠B=∠C。 ③“两条高相等的三角形是等腰三角形” 。 (5)练习要讲究科学性,练习的目的不仅在于熟练掌握知识,更重要的在于训练思想方法, 发展学生的思维能力。 熟练掌握知识和方法需要一定数量的练习,这是毫无疑义的。但是,过量的重复练习又会 使思维定势得到过份的强化,甚至使不正确的思维方式也形成定势,这是十分有害的,比如, “三角形全等”确实是平面几何教学中十分关键的内容,但是训练过量又将给后续教学产生各 种消极影响。我们认为,从大面积教学看, “全等三角形”一大节练习的数量不宜过大,课本配 备的习题份量较为恰当;相反地,在这种证明方法基本熟练并形成思维定势后,应适当进行打 破这种思维定势的训练。既要努力帮助学生形成思维定势,又要及时地帮助他们打破思维定势, 这是教学中的辩证观点。 (6)思维定势消极作用的防止和克服,不仅要靠教师纵览平面几何教学的全局,进行各种形 式的训练,而且要有学生的自觉。因此,应使学生在思考过程中经常地进行自我评价,不断发 展自己思维的批判性。这是使学生自觉地克服思维定势的有效途径。 比如,上文提到的学生在论证图 77 中 ID=IE 时,往往会陷入“证全等三角形”的定势。

若学生的思维具有一定的批判性,能进行如下的自我判断:若图 77 中△AID≌△AIE,那么 AD =AE 且又可证明△CDI=△BEI,于是 CD=BE,那就有 AB=AC。显然题设中无此条件,因而 证明△AID=△AIE 是不可能的,应该另辟新的证明途径。这这样便能从定势中“自拔” ,才可 能找到正确的证法。 为了提高学生思维的自我评价能力,教学中可以有意识地设置这类诱使学生误入“歧途” 的问题,并要求他们能“自拔” ,而能否达到这种效果,又在很大程度上依赖于当时教学的特定 情境。仍以证明图 77 中 ID=IE 为例,若此题在教学“圆内接四边形的判定”中使用,用“证 三角形全等”的方法思考的学生就可能少一些;若此题作为初三几何系统复习“三角形”时使 用,则误入“证三角形全等”的歧路的学生便明显增多。这就是课堂教学特定的情境(暗示着学 生用什么知识和方法去思考问题)对学生思维的定向作用。教学中尽量减少和排除这种客观的干 扰,对于帮助学生克服思维定势的消极作用,发展学生思维的灵活性,有着十分重要的作用。 5.在平面几何教学中,学生的抽象思维不断地得到发展的同时,还常常不够周密、细致, 出现思维不缜密的现象。思维的缜密性是思维素质的一个重要标志。因此,不断提高学生思维 的缜密性也是思维训练的重要方面。 在平面几何教学中,学生的思维出现不缜密的原因是多种多样的,相应的训练方法也不尽 相同。 (1)由于对知识的理解不深,记忆也不完整,因而搞不清它的适用范围,使推理论证中论据 不足,甚至胡乱地套用定理。 如图 82,已知平行四边形 ABCD 中,∠1>∠2,求证∠4>∠3。 学生错误地证明如下: ∵∠1>∠2, ∴BC>CD(大角对大边)。 ∴∠4>∠5(大边对大角)。 ∵AD∥BC, ∴∠5=∠3。 ∴∠ 4>∠3。 显然,在由∠l>∠2 ? BC>CD 时,没有仔细考虑“大角对大边”的结论仅适用于“同一个 三角形中” 。 又如,错误地应用 SAS 定理,在“两边一角分别相等”的条件下,不考虑是否“对应相等” 而判定两个三角形全等,更是司空见惯的。纠正学生思维的这种不缜密现象,必须强调完整地 记忆定理,不能为了简化记忆而舍本逐末,不顾定理的条件;适当地运用反例,帮助学生准确 地理解定理,也是纠正思维不缜密的有效方法。 比如,命题“两角和一边分别相等的两个三角形全等”是真命题吗?实践证明:绝大多数学 生错误地作出肯定的回答。事实上,这是一个假命题。图 83 (∠B=∠E,∠C=∠F,BC=DE) 便 是反例。这是因为∠B=∠E,∠C=∠F,但 BC 是∠B,∠C 的夹边,DE 不是∠E,∠F 的夹边,

虽然有 BC=DE,但它们不是对应相等。这样学生便能深刻理解“角角边定理” ,避免应用这个 定理论证时的错误。 (2)由于过多地借助图形直观,又没有进行必要的论证,从而使论据不足,这也是思维不缜 密的一种表现。 1 比如图 84,梯形 ABCD 中,AD∥BC,E,F 为 BD,AC 的中点,求证:EF= (BC—AD)。 2 学生常常发生如下的错误。 1 1 证法一:作 EG∥AD 交 CD 于点 G,则 G 为 CD 的中点,且 EG= BC。再由 FG= AC,得 EF 2 2 1 =EG 一 FG= (BC—AD)。显然,这里没有先证明 EG∥BC,推断“G 是 CD 的中点”的理由不充 2 分。同时,又未证明 E,F,G 三点在一直线上。 1 1 证法二:作 FG∥AD 交 CD 于点 G,则 G 为 CD 的中点,且 FG= AD。再由 EG= BC,得 EF 2 2 1 =EG 一 FG= (BC-AD)。 2 同样地,这里未证明 E,F,G 三点共线,论证的依据不足。纠正这类思维不缜密的现象, 就必须强调论证中每步都应有依据,不能以直观代替论证。 (3)由于对论题(特别是文字语言叙述的论题)的意义理解不清,因而根据论题画图时,以 特殊图形代替一般图形,从而使论证不具有一般性,甚至是错误的。 比如,求证“有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等时,有的学生画 出图 85,把题设的两个直角三角形拼合在一起。论证 Rt△ABD≌Rt△ACD 时,又添加了 AD=AD 这个条件,而未用原来题设中的条件 DE=DF。 对此,教学中应注重反复讲清特殊与一般的关系,同时还应对这类文字命题加强语言的精 确理解和翻译的训练。 (4)由于思维的逻辑错误而导致循环论证,也是思维不缜密的一种表现。 比如,图 86 中,AB=AC,D 是 BC 延长线上一点,E 是 AB 边上一点,DE 交 AC 于点 F,求证 AE<AF。 学生有如下的错误证明: 以 E 为顶点,EF 为一边,作∠FEG,使∠FEG=∠EFA 从而 GE=GF,又 AG 十 GE>AE 所以 AE <AF。 上述证法中,添置的辅助线 EG 画在∠AEF 的内部,并有∠GEF=∠EFA。这实际上默认了∠ AEF>∠AFE,即 AE<AF。因此,这种证明是一种循环论证。这种错误很隐蔽,又涉及到几何论 证中借助直观所允许的程度的问题,因而学生往往不能纠正。 防止这类错误的办法是强调 “画(指添辅助线) 应有据” 比如, 可引导学生认真阅读课本 “在

同一个三角形中,大边对大角”的证明过程,并强调指出:在△ABC 中,由 AB>AC,证明∠C >∠B 时,必须写明 AB>AC 的条件后,才能在 AB 上截取 AD,使 AD=AC;没有 AB>AC 的条件, 就不能断定点 D 在线段 AB 上,从而论证就没有依据。 (5)由于学生在思考问题时,常常不自觉地把问题限制在某种情形内,不合理地排斥其他可 能的情形,从而造成解题错误或不完整。 比如,对于命题“两边及其中一边上的高相等的三角形全等” ,绝大多数学生仅限于考虑图 87——(1)(两个三角形是锐角三角形)的情形,从而由 Rt△ABD≌Rt△A′B′D′(HL) 得∠B=∠B′,进而错误地断定这个命题为真。这样思考就排斥了图 87——(2)所示的情形, 图中的△ABC 与△A′BC 亦有 AB=A′B,BC=BC,AD=A′D′,但△ABC 与△A′BC 不全等,因 而这个命题是假命题。 为帮助学生学会周密地思考问题的各种可能情形,克服以偏概全的思维不缜密现象,在日 常教学中应加强分类思想的训练。 比如, “若圆内有两条等弦,则以这两弦的端点为顶点的四边形是什么四边形?” 正确解答这个问随,应考虑以下几种情形: 若两等弦都是直径,那么当它们相交成直角时,该四边形是正方形,当它们相交不成直角 时,该四边形是矩形。 若两等弦都是非直径的弦,那么当它们相交成直角时,该四边形是等腰梯形,当它们相交 不成直角时,该四边形仍是等腰梯形,当它们平行时,该四边形是矩形。


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