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高考数学复习2函数概念与基本初等函数 (1)


函数概念与基本初等函数
考纲导读 (一)函数 1.了解构成函数的要素,了解映射的概念,会求一些简单函数的定义域和值域. 2.理解函数的三种表示法:解析法、图象法和列表法,能根据不同的要求选择恰当的方法表 示简单的函数。 3.了解分段函数,能用分段函数来解决一些简单的数学问题。 4.理解函数的单调性,会讨论和证明一些简单的函数的单调性;理解函数奇偶性的含义,会 判断简单的

函数奇偶性。 5.理解函数的最大(小)值及其几何意义,并能求出一些简单的函数的最大(小)值. 6.会运用函数图像理解和研究函数的性质. (二)指数函数 1.了解指数函数模型的实际背景。 2.理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算。 3.理解指数函数的概念,会求与指数函数性质有关的问题。 4.知道指数函数是一类重要的函数模型。 (三)对数函数 1. 理解对数的概念及其运算性质, 知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数; 了解对数在简化运算中的作用。 2.理解对数函数的概念;会求与对数函数性质有关的问题. 3.知道对数函数是一类重要的函数模型. 4.了解指数函数 与对数函数 互为反函数( )。 (四)幂函数 1.了解幂函数的概念。 2.结合函数 的图像,了解它们的变化情况。 (五)函数与方程 1.了解函数零点的概念,结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根的联系。 2.理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。能利用函数的图象和性质判别函 数零点的个数. (六)函数模型及其应用 1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。知道直线上升、指数增长、对数增长等 不同函数类型增长的含义。

-1-

2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函 数模型)的广泛应用。 3.能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。

知识网络
定义域 定 义 对应法则 值域 映 射 函 数 性 质 奇偶性 对数的性质 单调性 周期性 对数 反 函 数 互为反函数的 函数图像关系 对 数 函 数 对数函数的图像和性质 对数恒等式 和不等式 常用对数 自然对数 积、商、幂与 根的对数 指 数 函 数 区间 一元二次函数 一元二次不等式

根式

分数指数 指数方程 对数方程

指数函数的图像和性质

高考导航 根据考试大纲的要求,结合 2009 年高考的命题情况,我们可以预测 2010 年集合部分在选择、 填空和解答题中都有涉及,高考命题热点有以下两个方面:一是集合的运算、集合的有关述 语和符号、集合的简单应用等作基础性的考查,题型多以选择、填空题的形式出现;二是以 函数、方程、三角、不等式等知识为载体,以集合的语言和符号为表现形式,结合简易逻辑 知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力,题型常以解答题的形式出现. 函数是高考数学的重点内容之一, 函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程, 包 括解决几何问题.在近几年的高考试卷中,选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数 试题,而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势. 考试热点:①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图 象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念,通过对实际问题的抽象分析,建立相应 的函数模型并用来解决问题,是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和 解决问题,渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.
-2-

第 1 课时
基础过关 一、映射

函数及其表示

1.映射:设 A、B 是两个集合,如果按照某种对应关系 f,对于集合 A 中的 合 B 中都有 作 . 元素和它对应,这样的对应叫做 到

元素,在集 的映射,记

2.象与原象:如果 f:A→B 是一个 A 到 B 的映射,那么和 A 中的元素 a 对应的 象, 二、函数 1.定义:设 A、B 是 的 ,记作 、 、 叫做原象。

叫做

,f:A→B 是从 A 到 B 的一个映射,则映射 f:A→B 叫做 A 到 B . ,两个函数当且仅当 分别相同时,二者才

2.函数的三要素为 能称为同一函数。 3.函数的表示法有 典型例题







例 1.下列各组函数中,表示同一函数的是( ). x A. y ? 1, y ? B. y ? x ? 1? x ? 1, y ? x2 ? 1 x C. y ? x, y ? 3 x3 D. y ?| x |, y ? ( x )2

式训练 1:下列函数中,与函数 y=x 相同的函数是 ( A.y=
x x
2

)?
x

?B.y=( x ) ?

2

C.y=lg10

D.y= 2lo g2 x ?

例 2.给出下列两个条件: (1)f( x +1)=x+2 x ;?(2)f(x)为二次函数且 f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2. 试分别求出 f(x)的解析式.? 解:

-3-

变式训练 2: (1)已知 f( ? 1 )=lgx,求 f(x) ;? (2)已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求 f(x) ;? (3)已知 f(x)满足 2f(x)+f( 解:
1 )=3x,求 f(x).? x

2 x

例 3. 等腰梯形 ABCD 的两底分别为 AD=2a, BC=a, ∠BAD=45°, 作直线 MN⊥AD 交 AD 于 M, 交折线 ABCD 于 N,记 AM=x,试将梯形 ABCD 位于直线 MN 左侧的面积 y 表示为 x 的函数,并写出函数的定义域.? 解:

? ?x 2 , ? ?1, 变式训练 3:已知函数 f(x)= ? 1 ?? , ? x

x ? 0, x ? 0, x ? 0.

(1)画出函数的图象; (2)求 f(1),f(-1),f ? f (?1)? 的值. 解:

小结归纳 1.了解映射的概念,应紧扣定义,抓住任意性和唯一性. 2.函数的解析式常用求法有:待定系数法、换元法(或凑配法) 、解方程组法.使用换元法 时,要注意研究定义域的变化. 3.在简单实际问题中建立函数式,首先要选定变量,然后寻找等量关系,求得函数的解析式, 还要注意定义域.若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同,可用分段函数来表示.
-4-

第 2 课时
基础过关 一、定义域: 1.函数的定义域就是使函数式 2.常见的三种题型确定定义域: ① 已知函数的解析式,就是

函数的定义域和值域

的集合.

. 域是外函数 f (x)的

② 复合函数 f [g(x)]的有关定义域,就要保证内函数 g(x)的 域. ③实际应用问题的定义域,就是要使得 二、值域: 1.函数 y=f (x)中,与自变量 x 的值 2.常见函数的值域求法,就是优先考虑 的集合. ,取决于

有意义的自变量的取值集合.

,常用的方法有:

①观察法;②配方法;③反函数法;④不等式法;⑤单调性法;⑥数形法;⑦判别式法;⑧ 有界性法;⑨换元法(又分为 例如:① 形如 y=
1 2? x
2

法和

法)
3x ? 2 3

2

,可采用

法;② y= 2 x ? 1 ( x ? ? 2 ) ,可采用 法; ④ y=x- 1 ? x , 可采用
2 ? cos x

法或 法;

法; ③ y=a[f (x)] +bf (x)+c, 可采用 ⑤ y=x- 1 ? x 2 ,可采用 典型例题 例 1. 求下列函数的定义域:? (1)y= 解:
( x ? 1)0 | x | ?x

法;⑥ y= sin x 可采用

法等.

;?

(2)y=

1
3

x ?3
2

? 5 ? x2 ;

?(3)y= x ? 1· x ? 1 .?

变式训练 1:求下列函数的定义域:? (1)y= 解:
lg(2 ? x) 12 ? x ? x 2

+(x-1) ;

0

(2)y=

x2 0 +(5x-4) ; lg(4 x ? 3)

(3)y= 25 ? x +lgcosx;?
2

-5-

例 2. 设函数 y=f(x)的定义域为[0,1] ,求下列函数的定义域.? (1)y=f(3x); (3)y=f( x ? ) ? f ( x ? ) ;? 解:
1 3 1 3

(2)y=f(

1 );? x

(4)y=f(x+a)+f(x-a).??

变式训练 2:若函数 f(x)的定义域是[0,1] ,则 f(x+a)?f(x-a)(0<a< )的定义域是 ( A. ? ? 解:? 例 3. 求下列函数的值域:? (1)y= 解:
x2 ? x ; x ? x ?1
2

1 2



B.[a,1-a]?

C.[-a,1+a]?

D.[0,1]?

(2)y=x- 1 ? 2 x ;?

(3)y=

ex ?1 .? ex ?1

-6-

变式训练 3:求下列函数的值域:? (1)y= 解:
1? x ;? 2x ? 5

(2)y=|x| 1 ? x .?
2

例 4.若函数 f(x)= x -x+a 的定义域和值域均为[1,b] (b>1) ,求 a、b 的值.? 解:

1 2

2

变式训练 4:已知函数 f(x)=x -4ax+2a+6 (x∈R).? (1)求函数的值域为[0,+∞)时的 a 的值;? (2)若函数的值均为非负值,求函数 f(a)=2-a|a+3|的值域.? 解:

2

. 小结归纳 1.求函数的定义域一般有三类问题:一是给出解释式(如例 1) ,应抓住使整个解式有意义的 自变量的集合;二是未给出解析式(如例 2) ,就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域; 三是实际问题,此时函数的定义域除使解析式有意义外,还应使实际问题或几何问题有意义. 2.求函数的值域没有通用方法和固定模式,除了掌握常用方法(如直接法、单调性法、有界 性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法)外,应根据问题的不同特点,综合 而灵活地选择方法.

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第 3 课时
基础过关

函数的单调性

一、单调性 1.定义:如果函数 y=f (x)对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、 、x2, 当 x1、<x2 时,①都有 个 数的一个 ;②都有 . . ,则称 f (x)在这个区间上是增函数,而这个区间称函数的一 ,则称 f (x)在这个区间上是减函数,而这个区间称函

若函数 f(x)在整个定义域 l 内只有唯一的一个单调区间,则 f(x)称为 2.判断单调性的方法: (1) 定义法,其步骤为:① ;② ;③ .

(2) 导数法,若函数 y=f (x)在定义域内的某个区间上可导,①若 在这个区间上是增函数;②若 二、单调性的有关结论 1.若 f (x), g(x)均为增(减)函数,则 f (x)+g(x) 2.若 f (x)为增(减)函数,则-f (x)为 3.互为反函数的两个函数有 的单调性; ; 函数; ,则 f (x)在这个区间上是减函数.

,则 f (x)

4.复合函数 y=f [g(x)]是定义在 M 上的函数,若 f (x)与 g(x)的单调相同,则 f [g(x)] 为 ,若 f (x), g(x)的单调性相反,则 f [g(x)]为 . .

5.奇函数在其对称区间上的单调性 典型例题
x

,偶函数在其对称区间上的单调性

例 1. 已知函数 f(x)=a + 证明

x?2 (a>1),证明:函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数.? x ?1

-8-

变式训练 1:讨论函数 f(x)=x+ 解:

a (a>0)的单调性.? x

例 2. 判断函数 f(x)= x ? 1 在定义域上的单调性.?
2

解:

变式训练 2:求函数 y= log (4x-x )的单调区间.?
1 2

2

解:

-9-

例 3. 求下列函数的最值与值域:? (1)y=4- 3 ? 2 x ? x ; (2)y=x+
2

4 ;(3)y= x2 ? 1 ? (2 ? x)2 ? 4 .? x

解:

变式训练 3:在经济学中,函数 f(x)的边际函数 Mf(x)定义为 Mf(x)=f(x+1)-f(x).某公司每月 最多生产 100 台报警系统装置,生产 x(x>0)台的收入函数为 R(x)=3 000x-20x (单位:元), 其成本函数为 C(x)=500x+4 000(单位:元) ,利润是收入与成本之差.? (1)求利润函数 P(x)及边际利润函数 MP(x) ;? (2)利润函数 P(x)与边际利润函数 MP(x)是否具有相同的最大值?? 解:
2

例 4. (2009?广西河池模拟)已知定义在区间(0,+∞)上的函数 f(x)满足 f( 当 x>1 时,f(x)<0. (1)求 f(1)的值;? (2)判断 f(x)的单调性;? (3)若 f(3)=-1,解不等式 f(|x|)<-2.?

x1 ) =f(x1)-f(x2),且 x2

- 10 -

解:

变式训练 4:函数 f(x)对任意的 a、b∈R,都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当 x>0 时,f(x)>1.? (1)求证:f(x)是 R 上的增函数;? (2)若 f(4)=5,解不等式 f(3m -m-2)<3.? 解:
2

. 小结归纳 1.证明一个函数在区间 D 上是增(减)函数的方法有:(1) 定义法.其过程是:作差——变形 ——判断符号,而最常用的变形是将和、差形式的结构变为积的形式的结构;(2) 求导法.其 过程是:求导——判断导函数的符号——下结论. 2.确定函数单调区间的常用方法有:(1)观察法;(2)图象法(即通过画出函数图象,观察图 象,确定单调区间) ;(3)定义法;(4)求导法.注意:单调区间一定要在定义域内. 3.含有参量的函数的单调性问题,可分为两类:一类是由参数的范围判定其单调性;一类是 给定单调性求参数范围,其解法是由定义或导数法得到恒成立的不等式,结合定义域求出参 数的取值范围.

- 11 -

第 4 课时
基础过关

函数的奇偶性

1.奇偶性: ① 定义:如果对于函数 f (x)定义域内的任意 x 都有 若 有 ,则称 f (x)为偶函数. ,则称 f (x)为奇函数;

如果函数 f (x)不具有上述性质,则 f (x)不具 .

. 如果函数同时具有上述两条性质,则 f (x)

② 简单性质: 1) 图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于 是偶函数的充要条件是它的图象关于 对称. 对称. 对称;一个函数

2) 函数 f(x)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于 2.与函数周期有关的结论:

①已知条件中如果出现 f ( x ? a) ? ? f ( x) 、 或 f ( x ? a ) f ( x) ? m ( a 、m 均为非零常数,

a ? 0) ,都可以得出 f ( x) 的周期为



② y ? f ( x) 的图象关于点 (a,0), (b,0) 中心对称或 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a, x ? b 轴对称,均可以得到 f ( x) 周期 典型例题

例 1. 判断下列函数的奇偶性.? (1)f(x)= x ? 1 ? 1 ? x ;?
2 2

(2)f(x)=log2(x+ x ? 1 ) (x∈R);?
2

(3)f(x)=lg|x-2|.? 解: (1)∵x -1≥0 且 1-x ≥0,∴x=±1,即 f(x)的定义域是{-1,1}.? ∵f(1)=0,f(-1)=0,∴f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1),? 故 f(x)既是奇函数又是偶函数.? (2)方法一 易知 f(x)的定义域为 R,? 又∵f(-x)=log2[-x+ (? x) ? 1 ]=log2
2

2

2

1 x ? x ?1
2

=-log2(x+ x ? 1 )=-f(x),?
2

∴f(x)是奇函数.? 方法二 易知 f(x)的定义域为 R,? 又∵f(-x)+f(x)=log2[-x+ (? x) ? 1 ]+log2(x+ x ? 1 )=log21=0,即 f(-x)=-f(x),?
2
2

- 12 -

∴f(x)为奇函数.? (3)由|x-2|>0,得 x≠2.? ∴f(x)的定义域{x|x≠2}关于原点不对称,故 f(x)为非奇非偶函数.? 变式训练 1:判断下列各函数的奇偶性:? (1)f(x)=(x-2) (2)f(x)=
2? x ;? 2? x

lg(1 ? x 2 ) ;? | x 2 ? 2 | ?2

?x ? 2 (3)f(x)= ? ?0 ?? x ? 2 ?

( x ? ?1), (| x |? 1), (x ? 1 ) .

解: (1)由 (2)由 ?

2? x ≥0,得定义域为[-2,2) ,关于原点不对称,故 f(x)为非奇非偶函数.? 2? x

?1 ? x 2 ? 0,
2 ?| x ? 2 | ?2 ? 0.

得定义域为(-1,0)∪(0,1).?

这时 f(x)= ∵f(-x)=-

lg(1 ? x 2 ) lg(1 ? x 2 ) .? ? ? ? ( x 2 ? 2) ? 2 x2

lg?1 ? (? x)2 ? lg(1 ? x 2 ) ?? ? f ( x), ∴f(x)为偶函数.? 2 ( ? x) x2

(3)x<-1 时,f(x)=x+2,-x>1,∴f(-x)=-(-x)+2=x+2=f(x).? x>1 时,f(x)=-x+2,-x<-1,f(-x)=x+2=f(x).? -1≤x≤1 时,f(x)=0,-1≤-x≤1,f(-x)=0=f(x).? ∴对定义域内的每个 x 都有 f(-x)=f(x).因此 f(x)是偶函数.? 例 2 已知函数 f(x),当 x,y∈R 时,恒有 f(x+y)=f(x)+f(y).? (1)求证:f(x)是奇函数;? (2)如果 x∈R ,f(x)<0,并且 f(1)=- ,试求 f(x)在区间[-2,6]上的最值.? (1)证明: ∵函数定义域为 R,其定义域关于原点对称.? ∵f(x+y)=f(x)+f(y) ,令 y=-x,∴f(0)=f(x)+f(-x).令 x=y=0,? ∴f(0)=f(0)+f(0),得 f(0)=0.∴f(x)+f(-x)=0,得 f(-x)=-f(x),? ∴f(x)为奇函数.? (2)解:方法一 设 x,y∈R ,∵f(x+y)=f(x)+f(y) ,? ∴f(x+y)-f(x)=f(y).?∵x∈R ,f(x)<0,? ∴f(x+y)-f(x)<0,?∴f(x+y)<f(x).? ∵x+y>x,?∴f(x)在(0,+∞)上是减函数.又∵f(x)为奇函数,f(0)=0,? ∴f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.∴f(-2)为最大值,f(6)为最小值.? ∵f(1)=- ,∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2[f(1)+f(2) ]=-3.? ∴所求 f(x)在区间[-2,6]上的最大值为 1,最小值为-3.?
- 13 1 2
+ + +

1 2

方法二 设 x1<x2,且 x1,x2∈R.? 则 f(x2-x1)=f[x2+(-x1)]=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1).? ∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0.∴f(x2)-f(x1)<0.即 f(x)在 R 上单调递减.? ∴f(-2)为最大值,f(6)为最小值.∵f(1)=- ,? ∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2[f(1)+f(2) ]=-3.? ∴所求 f(x)在区间[-2,6]上的最大值为 1,最小值为-3.? 变式训练 2:已知 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x∈(-∞,0)时,f(x)=-xlg(2-x),求 f(x)的解析式. 解:∵f(x)是奇函数,可得 f(0)=-f(0),∴f(0)=0.? 当 x>0 时,-x<0,由已知 f(-x)=xlg(2+x),∴-f(x)=xlg(2+x) ,? 即 f(x)=-xlg(2+x) (x>0).∴f(x)= ? 即 f(x)=-xlg(2+|x|) (x∈R). 例 3 已知函数 f(x)的定义域为 R,且满足 f(x+2)=-f(x)?.? (1)求证:f(x)是周期函数;? (2)若 f(x)为奇函数,且当 0≤x≤1 时,f(x)= x,求使 f(x)=- 在[0,2 009]上的所有 x 的个 数.? (1)证明: ∵f(x+2)=-f(x) ,? ∴f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x) ]=f(x) , ∴f(x)是以 4 为周期的周期函数. (2)解: 当 0≤x≤1 时,f(x)= x,? 设-1≤x≤0,则 0≤-x≤1,∴f(-x)= (-x)=- x.? ∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),? ∴-f(x)=- x,即 f(x)= 故 f(x)=
1 x(-1≤x≤1) 2 1 2 1 x. 2 1 2 1 2

1 2

?? x lg(2 ? x) ?? x lg(2 ? x)

( x ? 0), ( x ? 0).

1 2

1 2

1 2

又设 1<x<3,则-1<x-2<1,? ∴f(x-2)= (x-2), 又∵f(x-2)=-f(2-x)=-f( (-x)+2)=-[-f(-x) ]=-f(x) ,? ∴-f(x)= (x-2) ,? ∴f(x)=- (x-2) (1<x<3).
1 2 1 2
1 2

- 14 -

?1 ?2 x ∴f(x)= ? ? ?? 1 ( x ? 2) ? ? 2
1 2

(?1 ? x ? 1) (1 ? x ? 3)

由 f(x)=- ,解得 x=-1.? ∵f(x)是以 4 为周期的周期函数.?故 f(x)=- 的所有 x=4n-1 (n∈Z). 令 0≤4n-1≤2 009,则 ≤n≤
1 4 1 005 ,? 2 1 2

又∵n∈Z,∴1≤n≤502 (n∈Z),? ∴在[0,2 009]上共有 502 个 x 使 f(x)=- . 变式训练 3:已知函数 f(x)=x +|x-a|+1,a∈R.? (1)试判断 f(x)的奇偶性;? (2)若- ≤a≤ ,求 f(x)的最小值. 解:(1)当 a=0 时,函数 f(-x)=(-x) +|-x|+1=f(x),? 此时,f(x)为偶函数.当 a≠0 时,f(a)=a +1,f(-a)=a +2|a|+1,? f(a)≠f(-a),f(a)≠-f(-a),此时,f(x) 为非奇非偶函数.? (2)当 x≤a 时,f(x)=x -x+a+1=(x- ) +a+
1 2
2 2 2 2 2

1 2

1 2

1 2

1 2

2

3 ,? 4

∵a≤ ,故函数 f(x)在(-∞,a]上单调递减,? 从而函数 f(x)在(-∞,a]上的最小值为 f(a)=a +1.? 当 x≥a 时,函数 f(x)=x +x-a+1=(x+ ) -a+ ,? ∵a≥- ,故函数 f(x)在[a,+∞)上单调递增,从而函数 f(x)在[a,+∞)上的 最小值为 f(a)=a +1.? 综上得,当- ≤a≤ 时,函数 f(x)的最小值为 a +1. 小结归纳 1.奇偶性是某些函数具有的一种重要性质,对一个函数首先应判断它是否具有这种性质. 判 断函数的奇偶性应首先检验函数的定义域是否关于原点对称, 然后根据奇偶性的定义判断 (或 证明)函数是否具有奇偶性. 如果要证明一个函数不具有奇偶性,可以在定义域内找到一对 非零实数 a 与-a,验证 f(a)±f(-a)≠0. 2.对于具有奇偶性的函数的性质的研究,我们可以重点研究 y 轴一侧的性质,再根据其对称 性得到整个定义域上的性质. 3.函数的周期性:第一应从定义入手,第二应结合图象理解.
- 15 1 2 1 2
2 2 2 2

1 2

2

3 4

1 2

第 5 课时
基础过关 1.根式:
n (1) 定义:若 x ? a ,则 x 称为 a 的 n 次方根

指数函数

① 当 n 为奇数时, a的n 次方根记作__________; ② 当 n 为偶数时,负数 a 没有 n 次方根,而正数 a 有两个 n 次方根且互为相反数,记作 ________(a>0). (2) 性质:
n n ① ( a) ? a ;

② 当 n 为奇数时, n a n ? a ;
a(a ? 0) ③ 当 n 为偶数时, n a n ? _______= ? ? ? ? a(a ? 0)

2.指数: (1) 规定: ① a0= ②a = ③ a ? n a m (a ? 0, m (2) 运算性质:
r s r ?s ① a ? a ? a (a ? 0, r (a>0, r、 s ? Q) r s r?s ② (a ) ? a (a ? 0, r (a>0, r、 s ? Q) r r r ? 0, r ? ③ (a ? b) ? a ? b (a ? 0, b(a>0, r、 s ? Q)
m n

(a≠0); ; .

-p

注:上述性质对 r、 s ? R 均适用. 3.指数函数: ① 定义:函数 域为 称为指数函数,1) 函数的定义域为 ;2) 函数的值

;3) 当________时函数为减函数,当_______时为增函数.

② 函数图像: 1) 过点 向 于 ,图象在 ;2) 指数函数以 为渐近线(当 0 ? a ? 1 时,图象

无限接近 x 轴,当 a ? 1 时,图象向 对称.

x ?x 无限接近 x 轴);3)函数 y ? a 与y ? a 的图象关

- 16 -

③ 函数值的变化特征:
0 ? a ?1
a ?1



x ? 0时



x ? 0时

② x ? 0时 ③ 典型例题 例 1. 已知 a= ,b=9.求: 解: (1)原式= a 2
1 9
7 ? 1 3

② x ? 0时 ③
x ? 0时

x ? 0时

1 9

(1) a 2 a ?3 ?
8 1 ( ? )? 3 2

3

7

3

a ?8 ? a15 ;
7 1 ? 6 2
4 5 ?(? ? ) 3 2 ? 1 2

3

(2)

a ?1 ? b ?1 . (ab) ?1

.a

3 1 ? ? 2 3

÷[a

?a

15 1 ? 3 2

]?= a

=a .?

∵a= ,∴原式=3.? (2)方法一 化去负指数后解.?

1 1 a?b ? 1 82 a ?1 ? b?1 a b ? ? ab ? a ? b. ∵a= , b ? 9, ∴a+b= . ?1 1 1 9 9 (ab) ab ab

方法二 利用运算性质解.?
a ?1 ? b?1 a ?1 b?1 1 1 ? ?1 ?1 ? ?1 ?1 ? ?1 ? ?1 ? b ? a. ?1 (ab) a b a b b a

∵a= , b ? 9, ∴a+b=

1 9

82 . 9

变式训练 1:化简下列各式(其中各字母均为正数): (1)
(a 3 ? b ?1 ) 2 ? a 2 ? b 3
6 2 ? 1 1 1

a ? b5

;

2 1 1 ? 5 13 ?2 ?3 2 3 2 ?1 (2) a ? b ? (?3a b ) ? (4a ? b ) . 6
? 1 1 1 1

解: (1)原式=

a 3b 2 ? a 2b3 a b
5 2
1 6 5 6

?a

1 1 1 ? ? ? 3 2 6

?b2

1 1 5 ? ? 3 6

? a 0 ? b 0 ? 1.
5 4 5 4 1 ab3
x

b ) ? ? a b ? (a b ) ? ? a ? b ? ? ? (2)原式=- a b ? (2a ·
?3 ?3

?

1 6

1 3

?

3 2

5 4

?

1 6

1 3

?

3 2

?

1 2

?

3 2

??

5 ab . 4ab 2

例 2. 函数 f(x)=x -bx+c 满足 f(1+x)=f(1-x)且 f(0)=3,则 f(b )与 f(c )的大小关系是 ( A.f(b )≤f(c )? C.f(b )>f(c ) 解:A
1 2 1 3
x x x x

2

x



B.f(b )≥f(c ) D.大小关系随 x 的不同而不同

x

x

变式训练 2:已知实数 a、b 满足等式 ( ) ? ( ) ,下列五个关系式:?①0<b<a;②a<b<0;③0<a
a b

- 17 -

<b;④b<a<0;⑤a=b.?其中不可能成立的关系式有 A.1 个 解:B ?? 例 3. 求下列函数的定义域、值域及其单调区间:? (1)f(x)=3
x 2 ? 5x ? 4
1 4 1 2



) ? D.4 个?

?

B.2 个

? C.3 个

;?(2)g(x)=-( ) ? 4( ) ? 5 .
x x

解: (1)依题意 x -5x+4≥0,?解得 x≥4 或 x≤1,? ∴f(x)的定义域是(-∞,1]∪[4,+∞).? 令 u= x 2 ? 5x ? 4 ? ( x ? ) 2 ? , ∵x∈(-∞,1]∪[4,+∞) ,? ∴u≥0,即 x ? 5x ? 4 ≥0,而 f(x)=3
2

2

5 2

9 4

x 2 ? 5x ? 4

≥3 =1,?

0

∴函数 f(x)的值域是[1,+∞).? ∵u= ( x ? ) 2 ?
5 2 9 ,∴当 x∈(-∞,1]时,u 是减函数,? 4

当 x∈[4,+∞)时,u 是增函数.而 3>1,∴由复合函数的单调性可知,? f(x)=3
x2 ? 5x ? 4

在(-∞,1]上是减函数,在[4,+∞)上是增函数.?

故 f(x)的增区间是[4,+∞) ,减区间是(-∞,1].? (2)由 g(x)=-( ) ? 4( ) ? 5 ? ?( ) ? 4( ) ? 5, ?
x x 2x x

1 4

1 2

1 2

1 2

∴函数的定义域为 R,令 t=( )
2

1 2

x

(t>0),∴g(t)=-t +4t+5=-(t-2) +9,?

2

2

∵t>0,∴g(t)=-(t-2) +9≤9,等号成立的条件是 t=2,? 即 g(x)≤9,等号成立的条件是( ) =2,即 x=-1,∴g(x)的值域是(-∞,9].?
x

1 2

由 g(t)=-(t-2) +9 (t>0),而 t=( ) 是减函数,∴要求 g(x)的增区间实际上是求 g(t)的减区
x

2

1 2

间,?求 g(x)的减区间实际上是求 g(t)的增区间.? ∵g(t)在(0,2]上递增,在[2,+∞)上递减,? 由 0<t=( ) ≤2,可得 x≥-1,?由 t=( ) ≥2,可得 x≤-1.?
x x

1 2

1 2

∴g(x)在[-1,+∞)上递减,在(-∞,-1]上递增,? 故 g(x)的单调递增区间是(-∞,-1] ,单调递减区间是[-1,+∞).? 变式训练 3:求下列函数的单调递增区间:?(1)y=( ) 解: (1)函数的定义域为 R.? 令 u=6+x-2x ,则 y=( ) .?
u

1 2

6? x ?2 x 2

;(2)y=2

x 2 ? x ?6

.?

2

1 2

- 18 -

∵二次函数 u=6+x-2x 的对称轴为 x= ,? 在区间[ ,+∞)上,u=6+x-2x 是减函数,? 又函数 y=( ) 是减函数,? ∴函数 y=( ) 故 y=( )
1 2
6? x ?2 x 2

2

1 4

1 4

2

1 2

u

1 2

6? x ?2 x 2

在[ ,+∞)上是增函数.?
1 4

1 4

单调递增区间为[ ,+∞).?
u

(2)令 u=x -x-6,则 y=2 ,? ∵二次函数 u=x -x-6 的对称轴是 x= , 在区间[ ,+∞)上 u=x -x-6 是增函数.? 又函数 y=2 为增函数,? ∴函数 y=2 故函数 y=2
x 2 ? x ?6

2

2

1 2

1 2

2

u

在区间[ ,+∞)上是增函数.? 的单调递增区间是[ ,+∞).
ex a ? 是 R 上的偶函数.? a ex 1 2

1 2

x 2 ? x ?6

例 4.设 a>0,f(x)= (1)求 a 的值;?

(2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数.? (1)解: ∵f(x)是 R 上的偶函数,∴f(-x)=f(x) ,?∴ ∴(a- )(e ?
x

e? x a ex a ? ?x ? ? x , a e a e

1 a

1 ) =0 对一切 x 均成立,? ex

∴a-

1 =0,而 a>0,∴a=1. a

(2)证明 在(0,+∞)上任取 x1、x2,且 x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)= e = (e ? e ) (
x2 x1
x1

+

1 1 - ex - x ex e
2

1

2

1 ? 1). ex ?x
1 2

∵x1<x2,∴ e ? e , 有 e ? e ? 0. ??
x1 x2
x2 x1

∵x1>0,x2>0,∴x1+x2>0,∴ e
1 2

x1 ? x2

>1,

1 -1<0.∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), e x ?x

故 f(x)在(0,+∞)上是增函数. 变式训练 4:已知定义在 R 上的奇函数 f(x)有最小正周期 2,且当 x∈(0,1)时,f(x)=
2x . 4x ? 1

- 19 -

(1)求 f(x)在[-1,1]上的解析式;? (2)证明:f(x)在(0,1)上是减函数.? (1)解: 当 x∈(-1,0)时,-x∈(0,1).? ∵f(x)是奇函数,∴f(x)=-f(-x)=2? x 2x ?? x . 4 ?1 4 ?1
?x

由 f(0)=f(-0)=-f(0),且 f(1)=-f(-1)=-f(-1+2)=-f(1),?
? 2x ? 4x ? 1 ? 2x 得 f(0)=f(1)=f(-1)=0.∴在区间[-1,1]上,有? f(x)= ? ?? x ? 4 ?1 ?0 ? ? x ? (0,1) x ? (?1,0) x ? ?? 1,0,1?

(2)证明

当 x∈(0,1)时,f(x)=

2x . 4 ?1
x

设 0<x1<x2<1,? 则 f(x1)-f(x2)=
2x 2x (2x ? 2x )(2x ? x ? 1) ? ? , 4x ? 1 4x ? 1 (4x ? 1)(4x ? 1)
1 2 2 1 1 2 1 2 1 2

∵0<x1<x2<1,∴ 2 2 >0,2
x2 ? x1

x1 ? x 2

-1>0,∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2),?

故 f(x)在(0,1)上单调递减. 小结归纳 1. =a,ab=N,logaN=b(其中 N>0,a>0,a≠1)是同一数量关系的三种不同表示形式,

b

N

因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化,选择最好的形式进行运算.在运算中, 根式常常化为指数式比较方便,而对数式一般应化为同底. 2.处理指数函数的有关问题,要紧密联系函数图象,运用数形结合的思想进行求解. 3.含有参数的指数函数的讨论问题是重点题型,解决这类问题最基本的分类方案是以“底” 大于 1 或小于 1 分类. 4.含有指数的较复杂的函数问题大多数都以综合形式出现,与其它函数(特别是二次函数)形成的 函数问题,与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等,因此要注意知识的相互渗透或 综合.

- 20 -

第 6 课时
基础过关 1.对数: (1) 定义:如果 a b ? N (a ? 0, 且a ? 1) ,那么称 称为对数的底,N 称为真数.

对数函数



,记作

,其中 a

① 以 10 为底的对数称为常用对数, log10 N 记作___________. ② 以无理数 e(e ? 2.71828?) 为底的对数称为自然对数, log e N 记作_________. (2) 基本性质: ① 真数 N 为 (负数和零无对数);② log a 1 ? 0 . ;③ log a a ? 1 ;

④ 对数恒等式: a log a N ? N (3) 运算性质:

① loga(MN)=___________________________; ② loga M =____________________________;
N
n

③ logaM = ④ 换底公式:logaN=
n ⑤ loga b ? m loga b.
m

(n∈R). (a>0,a≠1,m>0,m≠1,N>0) .
n

2.对数函数: ① 定义:函数 值域为 称为对数函数,1) 函数的定义域为( ;2) 函数的

;3) 当______时,函数为减函数,当______时为增函数;
y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 互为反函数.

4) 函数 y ? log a x 与函数 ② 1) 图象经过点(

),图象在

;2) 对数函数以

为渐近线(当 0 ? a ? 1

时,图象向上无限接近 y 轴;当 a ? 1 时,图象向下无限接近 y 轴); 4) 函数 y=logax 与 ③ 函数值的变化特征:
0 ? a ?1
a ?1

的图象关于 x 轴对称.

① x ? 1时 ② ③ 典型例题
x ? 1时

① x ? 1时 ② ③
x ? 1时

0 ? x ? 1时

0 ? x ? 1时

- 21 -

例 1 计算: (1) log
2

2? 3

(2 ? 3 )

(2)2(lg 2 ) +lg 2 ?lg5+ (lg 2 ) ? lg 2 ? 1 ;?
2

(3) lg

1 2

32 4 - lg 8 +lg 245 .?? 49 3

解: (1)方法一 利用对数定义求值? 设 log
2? 3

(2 ? 3 ) =x,?则(2+ 3 ) =2- 3 =

x

1 2? 3

=(2+ 3 ) ,∴x=-1.?

-1

方法二 利用对数的运算性质求解?
log2? 3 (2 ? 3 ) = log 2?
1
3

2? 3

= log

2? 3

(2+ 3 ) =-1.?
2

-1

(2)原式=lg 2 (2lg 2 +lg5)+ (lg 2 ) ? 2 lg 2 ? 1 =lg 2 (lg2+lg5)+|lg 2 -1|? =lg 2 +(1-lg 2 )=1.? (3)原式= (lg32-lg49)- lg8 + lg245 ? =
1 4 3 1 (5lg2-2lg7)- ? lg 2 + (2lg7+lg5)? 2 2 3 2 5 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 3
1 2

1 2

= lg2-lg7-2lg2+lg7+ lg5= lg2+ lg5 ? = lg(2?5)=
1 2 1 1 lg10= .?? 2 2

变式训练 1:化简求值.? (1)log2
1 7 +log212- log242-1;? 2 48
2

(2)(lg2) +lg2?lg50+lg25;? (3)(log32+log92)?(log43+log83).? 解:(1)原式=log2
7 48
7 ?12 48 ? 42 ? 2 1 2 2
3 2

+log212-log2 42 -log22=log2

? log 2

? log 2 2

?

3 ? ? .? 2

(2)原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2.? (3)原式=(
lg 2 lg 2 lg 3 lg 3 3 lg 2 5 lg 3 5 ? )· ( ? )? · ? . lg 3 2 lg 3 2 lg 2 3 lg 2 2 lg 3 6 lg 2 4

例 2 比较下列各组数的大小.? (1)log3 2 与 log5 6 ;?(2)log1.10.7 与 log1.20.7;?
3 5

(3)已知 log b<log a<log c,比较 2 ,2 ,2 的大小关系.?
1 2 1 2 1 2

b

a

c

解: (1)∵log3 2 <log31=0,?而 log5 6 >log51=0,∴log3 2 <log5 6 .?
3 5 3 5

(2)方法一

∵0<0.7<1,1.1<1.2,?∴0> log 0.7 1.1 ? log 0.7 1.2 ,?

- 22 -



1 log 0.7 1.1

?

1 log 0.7 1.2

,?

即由换底公式可得 log1.10.7<log1.20.7.? 方法二 作出 y=log1.1x 与 y=log1.2x 的图象.? 如图所示两图象与 x=0.7 相交可知 log1.10.7<log1.20.7.? (3)∵y= log 1 x 为减函数,且 log b ? log a ? log c ,?
2
1 2 1 2 1 2

∴b>a>c,而 y=2 是增函数,∴2 >2 >2 .? 变式训练 2:已知 0<a<1,b>1,ab>1,则 loga 1 , log b, log 1 的大小关系是
b
a b

x

b

a

c

b





A.loga 1 ? log b ? log 1
b
a b

b

B. log b ? log
a

a

1 1 ? log b b b

C. log b ? log
a

b

1 1 ? log a b b

D. log

b

1 1 ? log a ? log a b b b

解: C 例 3 已知函数 f(x)=logax(a>0,a≠1),如果对于任意 x∈[3,+∞)都有|f(x)|≥1 成立, 试求 a 的取值范围.? 解:当 a>1 时,对于任意 x∈[3,+∞) ,都有 f(x)>0.? 所以,|f(x)|=f(x),而 f(x)=logax 在[3,+∞)上为增函数, ∴对于任意 x∈[3,+∞) ,有 f(x)≥loga3. 因此,要使|f(x)|≥1 对于任意 x∈[3,+∞)都成立.? 只要 loga3≥1=logaa 即可,∴1<a≤3. 当 0<a<1 时,对于 x∈[3,+∞) ,有 f(x)<0,? ∴|f(x)|=-f(x). ∵f(x)=logax 在[3,+∞)上为减函数,? ∴-f(x)在[3,+∞)上为增函数.? ∴对于任意 x∈[3,+∞)都有? |f(x)|=-f(x)≥-loga3. 因此,要使|f(x)|≥1 对于任意 x∈[3,+∞)都成立,? 只要-loga3≥1 成立即可,? ∴loga3≤-1=loga
1 1 1 ,即 ≤3,∴ ≤a<1.? a 3 a 1 3

综上,使|f(x)|≥1 对任意 x∈[3,+∞)都成立的 a 的取值范围是:(1,3]∪[ ,1). 变式训练 3:已知函数 f(x)=log2(x -ax-a)在区间(-∞,? 1- 3 ]上是单调递减函数.求实数 a 的 取值范围.? 解:令 g(x)=x -ax-a,
- 23 2 2

则 g(x)=(x-

a a a2 2 ) -a- ,?由以上知 g(x)的图象关于直线 x= 对称且此抛物线开口向上.? 4 2 2

因为函数 f(x)=log2g(x)的底数 2>1,? 在区间(-∞,1- 3 ]上是减函数,? 所以 g(x)=x -ax-a 在区间(-∞,1- 3 ]上也是单调减函数,且 g(x)>0.? ∴? ?
a ? ? 1? 3 ? ?a ? 2 ? 2 3 2 ,即? 2 ? ? g (1 ? 3 ) ? 0 ?(1 ? 3 ) ? a(1 ? 3 ) ? a ? 0 ?
2

解得 2-2 3 ≤a<2.? 故 a 的取值范围是{a|2-2 3 ≤a<2}. 例 4 已知过原点 O 的一条直线与函数 y=log8x 的图象交于 A、B 两点,分别过 A、B 作 y 轴的平行与函 数 y=log2x 的图象交于 C、D 两点.? (1)证明:点 C、D 和原点 O 在同一直线上;? (2)当 BC 平行于 x 轴时,求点 A 的坐标.? (1)证明 设点 A、B 的横坐标分别为 x1、x2,?
log 8 x1 log 8 x2 ? x1 x2

由题设知 x1>1,x2>1,则点 A、B 的纵坐标分别为 log8x1、log8x2.? 因为 A、B 在过点 O 的直线上,所以

点 C、D 的坐标分别为(x1,log2x1)、(x2,log2x2),? 由于 log2x1=
log 8 x1 =3log8x1,log2x2=3log8x2,? log 8 2

OC 的斜率为 k1= OD 的斜率为 k2 ?

log 2 x1 3 log8 x1 ,? ? x1 x1 log 2 x2 3 log 8 x2 ? , 由此可知 k1=k2,即 O、C、D 在同一直线上.? x2 x2
1 3
3

(2)解: 由于 BC 平行于 x 轴,知 log2x1=log8x2,即得 log2x1= log2x2,x2=x 1,? 代入 x2log8x1=x1log8x2,得 x 1log8x1=3x1log8x1,由于 x1>1,知 log8x1≠0,故 x 1=3x1,? 又因 x1>1,解得 x1= 3 ,于是点 A 的坐标为( 3 ,log8 3 ). 变式训练 4:已知函数 f(x)=log2 (1)求 f(x)的定义域;?
x ?1 +log2(x-1)+log2(p-x).? x ?1
3 3

(2)求 f(x)的值域.?
①, ②, ? ③,

? x ?1 ? x ?1 ? 0 ? ? 解: (1)f(x)有意义时,有 ? x ? 1 ? 0 ?p ? x ? 0 ? ? ?

- 24 -

由①、②得 x>1,由③得 x<p,因为函数的定义域为非空数集,故 p>1,f(x)的定义域是(1,p). (2)f(x)=log2[(x+1)(p-x)]? =log2[-(x①当 1< 0<-(x2 p ?1 2 ( p ? 1) )+ ] (1<x<p),? 2 4

p ?1 <p,即 p>3 时,? 2 p ? 1 2 ( p ? 1) 2 ( p ? 1) 2 ,? ) ? ? 2 4 4
2 2

p ?1 ( p ? 1) ? ∴log2 ? ) ? ?? ( x ? ? ≤2log2(p+1)-2.? ? 2 4 ?

②当

p ?1 ≤1,即 1<p≤3 时,? 2 p ? 1 2 ( p ? 1)2 ) ? ? 2( p ? 1), 2 4
2 2

∵0<-(x-

p ?1 ( p ? 1) ? ∴log2 ? ) ? ?? ( x ? ? <1+log2(p-1).? ? 2 4 ?

综合①②可知:? 当 p>3 时,f(x)的值域是(-∞,2log2(p+1)-2];? 当 1<p≤3 时,函数 f(x)的值域是(-∞,1+log2(p-1)). 小结归纳

1.处理对数函数的有关问题,要紧密联系函数图象,运用数形结合的思想进行求解. 2.对数函数值的变化特点是解决含对数式问题时使用频繁的关键知识,要达到熟练、运用自 如的水平,使用时常常要结合对数的特殊值共同分析. 3 .含有参数的指对数函数的讨论问题是重点题型,解决这类问题最基本的分类方案是以 “底”大于 1 或小于 1 分类. 4.含有指数、对数的较复杂的函数问题大多数都以综合形式出现,与其它函数 (特别是二次 函数)形成的函数问题,与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等,因此要注意 知识的相互渗透或综合.

- 25 -

第 7 课时
基础过关 一、基本函数图象特征(作出草图) 1.一次函数为 2.二次函数为 3.反比例函数为 4.指数函数为 二、函数图象变换 ; ; ; ,对数函数为

函数的图象

.

1.平移变换:①水平变换:y=f(x)→y=f(x-a) (a>0) y=f(x)→y=f(x+a) (a>0) ②竖直变换:y=f(x)→y=f(x)+b (b>0) y=f(x)→y=f(x)-b (b>0) 2.对称变换: ① y=f(-x)与 y=f(x)关于 ② y=-f(x)与 y=f(x)关于 ③ y=-f(-x)与 y=f(x)关于 ④ y=f (x)与 y=f(x)关于
-1

对称 对称 对称 对称

⑤ y=|f(x)|的图象是将 y=f(x)图象的 ⑥ y=f(|x|)的图象是将 y=f(x)图象的 3.伸缩变换: ① y=Af (x) (A>0)的图象是将 y=f(x)的图象的 ② y=f (ax) (a>0)的图象是将 y=f(x)的图象的 . . 对

4.若对于定义域内的任意 x,若 f (a-x)=f (a+x) (或 f (x)=f (2a-x)),则 f (x)关于 称,若 f (a-x)+f (a+x)=2b (或 f (x)+f (2a-x)=2b),则 f (x)关于 典型例题 对称.

例 1 作出下列函数的图象.? (1)y= (lgx+|lgx|);?(2)y= 解: (1)y= ? (2)由 y=
?0 (0 ? x ? 1). ?lg x ( x ? 1).
1 2 2x ?1 1 |x| ;?(3)y= ( ) .? x ?1 2

1 1 1 2x ?1 ,得 y= +2.?作出 y= 的图象,将 y= 的图象向右平移一个单位,再向 x ?1 x ?1 x x 1 +2 的图象.? x ?1

上平移 2 个单位得 y=

- 26 -

(3)作出 y=( ) 的图象,保留 y=( ) 图象中 x≥0 的部分,加上 y=( ) 的图象中 x >0 的部分关于 y 轴的对称部分,即得 y=( ) ?的图象.其图象依次如下:?
1 2
|x|

1 2

x

1 2

x

1 2

x

变式训练 1:作出下列各个函数的图象: (1)y=2-2 ; (2)y=|log (1-x)|;
1 2

x

(3)y=

2x ?1 .? x ?1
x x

解: (1)由函数 y=2 的图象关于 x 轴对称可得到 y=-2 的图象,再将图象向上平移 2 个单位, 可得 y=2-2 的图象.如图甲.? (2)由 y=log x 的图象关于 y 轴对称,可得 y=log (-x)的图象,再将图象向右平移 1 个
1 2 1 2

x

单位,即得到 y=log (1-x).然后把 x 轴下方的部分翻折到 x 轴上方,可得到 y=|log (1-x)
1 2 1 2

|的图象.如图乙.? (3)y=
2x ?1 3 ? 2? .? x ?1 x ?1 3 的图象,如图丙中的虚线部分,然后将图象向左平移 1 个单位,向上平移 2 个单 x

先作出 y=-

位,即得到所求图象.如图丙所示的实线部分.

例 2 函数 y=f(x)与函数 y=g(x)的图象如图,则函数 y=f(x)?g(x)的图象可能是 ( ?



- 27 -

解:? A ?? 变式训练 2: 设 a>1,实数 x,y 满足|x|-loga 1 =0,则 y 关于 x 的函数的图象形状大致是 (
y

)

解:? B ?? 例 3 设函数 f(x)=x -2|x|-1 (-3≤x≤3).? (1)证明:f(x)是偶函数;? (2)画出函数的图象;? (3)指出函数 f(x)的单调区间,并说明在各个单调区间上 f(x)是增函数还是减函数;? (4)求函数的值域.? (1)证明 f(-x)=(-x) -2|-x|-1 ?=x -2|x|-1=f(x),? 即 f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数.? (2)解: 当 x≥0 时,f(x)=x -2x-1=(x-1) -2,? 当 x<0 时,f(x)=x +2x-1=(x+1) -2,? 即 f(x)= ?
?( x ? 1) 2 ? 2
2 ?( x ? 1) ? 2

2

2

2

2

2

2

2

(0 ? x ? 3) ( ?3 ? x ? 0 )

,

根据二次函数的作图方法,可得函数图象如图所示.? (3)解: 函数 f(x)的单调区间为[-3,-1) , [-1,0) , [0,1) , [1,3]. f(x)在区间[-3,-1)和[0,1)上为减函数,在[-1,0) , [1,3]上为增函数.(4)解: 当 x≥0 时,函数 f(x)=(x-1) -2 的最小值为-2,最大值为 f(3)=2;? 当 x<0 时,函数 f(x)=(x+1) -2 的最小值为-2,最大值为 f(-3)=2;? 故函数 f(x)的值域为[-2,2]. 变式训练 3:当 x∈(1,2)时,不等式(x-1) <logax 恒成立,则 a 的取值范围为
2 2 2

.?

解: (1,2]
小结归纳 1.作函数图象的基本方法是: ① 讨论函数的定义域及函数的奇偶性和单调性; ② 考虑是否可由基本初等函数的图象变换作出图象; ③ 准确描出关键的点线(如图象与 x、y 轴的交点,极值点(顶点),对称轴,渐近线,等等). 2.图象对称性证明需归结为任意点的对称性证明.

- 28 -

第 8 课时
基础过关 1. 幂函数的概念: 一般地, 我们把形如 常数; 注意:幂函数与指数函数的区别. 2.幂函数的性质: (1)幂函数的图象都过点 (2)当 ? ? 0 时,幂函数在 [0, ??) 上 (3)当 ? ? ?2, 2 时,幂函数是 3.幂函数的性质: (1)都过点 ; 象限; . ;

幂函数
是自变量, 是

的函数称为幂函数, 其中

;当 ? ? 0 时,幂函数在 (0, ??) 上 ;当 ? ? ?1,1,3, 时,幂函数是

; .

1 3

(2)任何幂函数都不过

(3)当 ? ? 0 时,幂函数的图象过

4.幂函数的图象在第一象限的分布规律: (1)在经过点 (1,1) 平行于 y 轴的直线的右侧,按幂 指数由小到大的关系幂函数的图象从 (2)幂指数的分母为偶数时,图象只在 第二象限关于 关于 典型例题 到 分布; 象限;幂指数的分子为偶数时,图象在第一、

轴对称;幂指数的分子、分母都为奇数时,图象在第一、第三象限 对称.

例 1.写出下列函数的定义域,并指出它们的奇偶性: (1) y ? x
3

(2) y ? x
2 ?2

1 2

(3) y ? x
1 ? 1 2

?2
1 1

(4) y ? x ? x

(5) y ? x 2 ? x

(6) f ( x) ? x 2 ? 3(? x) 4

解: (1)此函数的定义域为 R,

? f (? x) ? (? x)3 ? ? x3 ? ? f ( x)
∴此函数为奇函数. (2) y ? x 2 ?
1

x

∴此函数的定义域为 [0, ??)

? 此函数的定义域不关于原点对称

- 29 -

∴此函数为非奇非偶函数. (3) y ? x
?2

?

1 x2

∴此函数的定义域为 (??,0) ? (0, ??)

? f (? x) ?

1 1 ? 2 ? f ( x) 2 ( ? x) x

∴此函数为偶函数 (4) y ? x ? x
2 ?2

? x2 ?

1 x2

∴此函数的定义域为 (??,0) ? (0, ??)

? f ( ? x) ? ( ? x) 2 ?
1 2 1 2

1 1 ? x 2 ? 2 ? f ( x) 2 (? x) x

∴此函数为偶函数

(5) y ? x ? x

?

? x?

1 x

∴此函数的定义域为 [0, ??)

? 此函数的定义域不关于原点对称
∴此函数为非奇非偶函数 (6) f ( x) ? x ? 3(? x) ?
1 2 1 4

x ? 34 ?x

?x ? 0 ?? ?? x ? 0

?x ? 0

∴此函数的定义域为 {0} ∴此函数既是奇函数又是偶函数 变式训练 1:讨论下列函数的定义域、值域,奇偶性与单调性: (1) y ? x
5
4 3 5 4 3 5 1 2

(2) y ? x

?

(3) y ? x (4) y ? x

?

(5) y ? x

?

分析:要求幂函数的定义域和值域,可先将分数指数式化为根式. 解: (1)定义域 R,值域 R,奇函数,在 R 上单调递增. (2)定义域 (??,0) ? (0, ??) ,值域 (0, ??) ,偶函数,在 ( ??, 0) 上单调递增, 在 (0, ??) 上单调递减. (3)定义域 [0, ??) ,值域 [0, ??) ,偶函数,非奇非偶函数,在 [0, ??) 上单调递增.

- 30 -

(4)定义域 (??,0) ? (0, ??) ,值域 (??,0) ? (0, ??) ,奇函数,在 ( ??, 0) 上单调递减, 在 (0, ??) 上单调递减. (5)定义域 (0, ??) ,值域 (0, ??) ,非奇非偶函数,在 (0, ??) 上单调递减. 例 2 比较大小: (1) 1.5 ,1.7
1 2 1 2

(2) (?1.2)3 ,(?1.25)3

(3) 5.25?1 ,5.26?1,5.26?2 (4) 0.53 ,30.5 ,log3 0.5 解: (1)∵ y ? x 2 在 [0, ??) 上是增函数, 1.5 ? 1.7 ,∴ 1.5 2 ? 1.7 2 (2)∵ y ? x3 在 R 上是增函数,
1
1 1

?1.2 ? ?1.25 ,∴ (?1.2)3 ? (?1.25)3
(3)∵ y ? x ?1 在 (0, ??) 上是减函数,

5.25 ? 5.26 ,∴ 5.25?1 ? 5.26?1 ;
∵ y ? 5.26x 是增函数, ?1 ? ?2 , ∴ 5.26
?1

? 5.26?2 ;
?1

综上, 5.25

? 5.26?1 ? 5.26?2
3 0.5

(4)∵ 0 ? 0.5 ? 1 , 3 ∴ log3 0.5 ? 0.53 ? 30.5

? 1 , log3 0.5 ? 0 ,

变式训练 2:将下列各组数用小于号从小到大排列:
2 2 2

(1) 2.5 3 , (?1.4) 3 , (?3) 3 (2) 0.16 4 ,0.5 2 ,6.258
? 3 ? 3 3

2 ?3 2 1 5 ? 3 (3) ( ) , ( ) 2 , ( ) 3 ,33 , ( ) 3 3 5 3 2
2 2 2

1

1

1

2

解: (1) (?1.4) 3 ? 2.5 3 ? (?3) 3

- 31 -

3

(2) 6.258 ? 0.5 (3) ( ) 2 ? ( )

?

3 2

? 0.16 4 ,
2 ? 3 ? ( ) 3 ? ( ) 3 ? 33 3 2
2

?

3

2 5

1

5 3

?

1 3

1

2

1

例 3 已知幂函数 y ? xm

?2 m?3

( m ? Z )的图象与 x 轴、 y 轴都无交点,且关于原点对称,求

m 的值.
分析:幂函数图象与 x 轴、 y 轴都无交点,则指数小于或等于零;图象关于原点对称,则函 数为奇函数.结合 m ? Z ,便可逐步确定 m 的值. 解:∵幂函数 y ? xm
2
2

?2 m?3

( m ? Z )的图象与 x 轴、 y 轴都无交点,

∴ m ? 2m ? 3 ? 0 ,∴ ?1 ? m ? 3 ; ∵ m ? Z ,∴ (m2 ? 2m ? 3) ? Z ,又函数图象关于原点对称, ∴ m ? 2m ? 3 是奇数,∴ m ? 0 或 m ? 2 .
2

变式训练 3:证明幂函数 f ( x) ? x 2 在 [0, ??) 上是增函数. 分析:直接根据函数单调性的定义来证明. 证明:设 0 ? x1 ? x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 2 ? x2 2 ?
1 1

1

x1 ? x2 ?

x1 ? x2 x1 ? x2

? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 0

? x1 ? x2 ? 0
即 f ( x1 ) ? f ( x2 )

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0

? 此函数在 [0, ??) 上是增函数
小结归纳

1.注意幂函数与指数函数的区别. 2.幂函数的性质要熟练掌握

- 32 -

第 9 课时
基础过关 1.一元二次函数与一元二次方程

函数与方程

一元二次函数与一元二次方程(以后还将学习一元二次不等式)的关系一直是高中数学函数 这部分内容中的重点,也是高考必考的知识点.我们要弄清楚它们之间的对应关系:一元二 次函数的图象与 x 轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解; 反之, 一元二次方程的解也是 对应的一元二次函数的图象与 x 轴的交点的横坐标. 2.函数与方程 两个函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 图象交点的横坐标就是方程 f ( x) ? g ( x) 的解;反之,要求方 程 f ( x) ? g ( x) 的解,也只要求函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 图象交点的横坐标. 3.二分法求方程的近似解 二分法求方程的近似解,首先要找到方程的根所在的区间 (m, n) ,则必有 f (m) ? f (n) ? 0 , 再取区间的中点 p ?

m?n ,再判断 f ( p) ? f (m) 的正负号,若 f ( p) ? f (m) ? 0 ,则根在区 2

间 (m, p) 中;若 f ( p) ? f (m) ? 0 ,则根在 ( p, n) 中;若 f ( p ) ? 0 ,则 p 即为方程的根.按照 以上方法重复进行下去,直到区间的两个端点的近似值相同(且都符合精确度要求) ,即可得 一个近似值. 典型例题

例 1.(1)若 f ( x ) ? A.
1 1 B.- 2 2

x ?1 ,则方程 f (4 x) ? x 的根是( x
C.2 D.-2

)

解:A. (2)设函数 f ( x) 对 x ? R 都满足 f (3 ? x) ? f (3 ? x) ,且方程 f ( x) ? 0 恰有 6 个不同的实数根, 则这 6 个实根的和为( A.0 B.9 ) C.12 D.18

解:由 f (3 ? x) ? f (3 ? x) 知 f ( x) 的图象有对称轴 x ? 3 ,方程 f ( x) ? 0 的 6 个根在 x 轴上对 应的点关于直线 x ? 3 对称,依次设为 3 ? t1 , 3 ? t2 ,3 ? t3 ,3 ? t1 ,3 ? t2 ,3 ? t3 ,故 6 个根的和为 18,答案为 D.
5b ? c ( a 、 b 、 c ∈R) ,则有( ? 1, 5a
- 33 -

(3)已知



A. b 2 ? 4ac

B. b 2 ? 4ac

C. b 2 ? 4ac

D. b 2 ? 4ac

解法一: :依题设有 a ? 5 ? b ? 5 ? c ? 0 ∴ 5 是实系数一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的一个实根; ∴△= b 2 ? 4ac ≥0 ∴ b 2 ? 4ac ,答案为 B. 解法二:去分母,移项,两边平方得: 5b2 ? 25a 2 ? 10ac ? c 2 ? 10 ac + 2 ? 5a ? c =20 ac . ∴ b 2 ? 4ac ,答案为 B. (4)关于 x 的方程 x2 ? (2m ? 8) x ? m2 ? 16 ? 0 的两个实根 数 m 的取值范围 解:设 f ( x) ? x2 ? (2m ? 8) x ? m2 ? 16 ,则 f ( ) ? 即: 4m2 ? 12m ? 7 ? 0 ,解得: ?

x 、 x 满足 x1 ? 3 ? x2 ,则实
1 2

2

3 2

9 ? 3(m ? 4) ? m2 ? 16 ? 0 , 16

1 7 ?m? . 2 2

(5)若对于任意 a ?[?1, 1] ,函数 f ( x) ? x2 ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a 的值恒大于零, 则 x 的取值范 围是 解:设 g (a) ? ( x ? 2)a ? x2 ? 4 x ? 4 ,显然, x ? 2

? g (?1) ? 2 ? x ? x2 ? 4 x ? 4 ? 0 ? x ? 3或x ? 2 ? 则? ,即 ? ,解得: x> 3或x< 1 . 2 ? ? x ? 2或x ? 1 ? g (1) ? x ? 2 ? x ? 4 x ? 4 ? 0
变式训练 1: 当 0 ? x ? 1 时,函数 y ? ax ? a ? 1 的值有正值也有负值,则实数 a 的取值范围是 ( A. a ? 解:D )

1 2

B. a ? 1

C. a ? 或a ? 1

1 2

D.

1 ? a ?1 2

log 1 x ? 2 ? x , 例 2.设 x1 , x2 , x3 依次是方程 log2 ( x ? 2) ? ? x ,
2

2 ? x ? 2 的实数根,试比较 x1 , x2 , x3 的大小 . y ? log 1 x , y ? ?2 x 的图象 解:在同一坐标内作出函数 y ? x ? 2 ,
x

2

从图中可以看出, 0 ? x3 ? x1 又 x2 ? 0 ,故 x2 ? x3 ? x1 变式训练 2: 已知函数 y ? f ( x) ( x ? R) 满足 f ( x ? 3) ? f ( x ? 1) , 且 x ∈[-1,1]时,f ( x) ?| x | , 则 y ? f ( x) 与 y ? log5 x 的图象交点的个数是( A.3 B.4 C.5 D.6 解: 由 f ( x ? 3) ? f ( x ? 1) 知 f ( x ? 2) ? f ( x) 故 )

f ( x) 是周期为 2 的函数, 在同一坐标系中作出 y ? f ( x) 与

y ? log 5 x 的图象,可以看出,交点个数为 4.

- 34 -

例 3. 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx (a, b 为常数,且 a ? 0) 满足条件: f ( x ? 1) ? f (3 ? x) ,且 方程 f ( x) ? 2 x 有等根. (1)求 f ( x) 的解析式; (2)是否存在实数 m 、 n ( m ? n) ,使 f ( x) 定义域和值域分别为[m,n]和[4m,4n] , 如果存在,求出 m、n 的值;如果不存在,说明理由. 解: (1)∵方程 ax 2 ? bx ? 2 x 有等根,∴ ? ? (b ? 2)2 ? 0 ,得 b=2 . 由 f ( x ? 1) ? f (3 ? x) 知此函数图象的对称轴方程为 x ? ? 故 f ( x) ? ? x 2 ? 2 x . (2) f ( x) ? ?( x ? 1)2 ? 1 ? 1 ,∴4n ? 1,即 n ? 而抛物线 y ? ? x2 ? 2 x 的对称轴为 x ? 1 若满足题设条件的 m,n 存在,则 ?

b ? 1,得 a ? ?1 , 2a

1 4 1 时, f ( x) 在[m,n]上为增函数. 4

∴n?

? f (m) ? 4m , ? f ( n) ? 4n

2 ? ?? m ? 2m ? 4m ?m ? 0或m ? ?2 即? 2 ?? ? ?n ? 0或n ? ?2 ?? n ? 2 n ? 4 n

又m?n?

1 , ∴ m ? ?2, n ? 0 ,这时定义域为[–2,0] ,值域为[–8,0]. 4

由以上知满足条件的 m、n 存在, m ? ?2, n ? 0 . 变式训练 3:已知函数 f ( x) ?

1 1 ? ( (a ? 0, x ? 0) . a x

(1)求证: f ( x) 在(0,+∞)上是增函数; (2)若 f ( x) ? 2 x 在(0,+∞)上恒成立,求 a 的取值范围; (3)若 f ( x) 在[m,n]上的值域是[m,n](m≠n),求 a 的取值范围. 解: (1)证明 任取 x1 ? x2 ? 0 1 1 1 1 1 1 x ?x f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? 1 2 a x1 a x2 x2 x1 x1 x2 ∵ x1 ? x2 ? 0 ,∴ x1 ? x2 ? 0 , x1 ? x2 ? 0 , ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,故 f ( x) 在(0,+∞)上是增函数. (2)解: ∵

1 1 ? ? 2 x 在(0,+∞)上恒成立,且 a>0, a x



a?

1 2x ? 1 在(0,+∞)上恒成立, x



g ( x) ?

1 2x ? 1 x

?

1 2 2x ? 1 x

?

2 1 2 时取等号 4 ,当且仅当 2 x ? ( x ? 0) 即 x= x 2

- 35 -

要使

a?

1 2x ?

1 在(0,+∞)上恒成立,则 a ? 4 x

2

故 a 的取值范围是[

2 ,+∞). 4
1 a 1 n ?1 ? 0 a

(3)解: 由(1) f ( x) 在定义域上是增函数. ∴ m ? f (m), n ? f (n) ,即 m2 ? m ? 1 ? 0 , n2 ? 故方程 x2 ?

1 1 x ? 1 ? 0 有两个不相等的正根 m,n,注意到 m ? n ? 1 , m ? n ? ? 0 a a 1 1 故只需要( ? ? ( )2 ? 4 ? 0 ,由于 a ? 0 ,则 0 ? a ? . a 2
例 4.若函数 f ( x) ? 2 A. 0 ? m ? 1
?| x ?1 |

? m 的图象与 x 轴有交点,则实数 m 的取值范围是(
C. m ? 1或m ? 0
x ?1 |



B. 0 ? m ? 1

D. m ? 1或m ? 0

解:令 f ( x) ? 0 ,得: m ? ( )|

1 2

,∵ | x ? 1|? 0 ,∴ 0 ? ( )|

1 2

x ?1 |

? 1 ,即 0 ? m ? 1 .

变式训练 4: 对于函数 f ( x) , 若存在 x 0 ∈R,使 f ( x0 )=x0 成立, 则称 x 0 为 f ( x) 的不动点. 已
2 知函数 f ( x) ? ax ? (b ? 1) x ? b ? 1 (a ? 0)

(1)当 a ? 1, b ? ?2 时,求 f ( x) 的不动点; (2)若对任意实数 b,函数 f ( x) 恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围;
2 解: (1)当 a ? 1, b ? ?2 时, f ( x) ? x ? x ? 3

由题意可知 x ? x 2 ? x ? 3 ,得 x1 ? ?1, x2 ? 3 故当当 a ? 1, b ? ?2 时, f ( x) 的不动点 ?1, 3 .
2 (2)∵ f ( x) ? ax ? (b ? 1) x ? b ? 1 (a ? 0) 恒有两个不动点,

2 ∴ x ? ax ? (b ? 1) x ? b ? 1 ,

即 ax 2 ? bx ? b ? 1 ? 0 恒有两相异实根
2 ∴ ? ? b ? 4ab ? 4a ? 0 (b ? R) 恒成立.

2 于是 ?? ? (4a) ? 16a ? 0 解得

故当 b∈R, f ( x) 恒有两个相异的不动点时, 0 ? a ? 1 . 小结归纳

- 36 -

本节主要注意以下几个问题: 1.利用函数的图象求方程的解的个数; 2.一元二次方程的根的分布; 3.利用函数的最值解决不等式恒成立问题

- 37 -

第 10 课时
基础过关

函数模型及其应用

1.抽象概括:研究实际问题中量,确定变量之间的主、被动关系,并用 x、y 分别表示问题 中的变量; 2.建立函数模型:将变量 y 表示为 x 的函数,在中学数学内,我们建立的函数模型一般都是 函数的解析式; 3.求解函数模型:根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求 得函数模型的解,并还原为实际问题的解. 这些步骤用框图表示是:

实际问题

抽象概括

函数模型

运用函数的性质 实际问题的 解 还原说 明 函数模型的 解

典型例题

例 1. 如图所示,在矩形 ABCD 中,已知 AB=a,BC=b(b<a),在 AB,AD,CD,CB 上分别截取 AE,AH,CG,CF 都等于 x,当 x 为何值时,四边形 EFGH 的面积最大?并求出最大面积.? 解: 设四边形 EFGH 的面积为 S,? 则 S△AEH=S△CFG= x , S△BEF=S△DGH= (a-x) (b-x) ,? ∴S=ab-2[ x + (a-x) (b-x) ]? =-2x +(a+b)x=-2(x2

1 2

2

1 2

1 2

2

1 2

a ? b 2 ( a ? b) 2 ) + ,? 8 4

由图形知函数的定义域为{x|0<x≤b}.? 又 0<b<a,∴0<b< 则当 x= 若
a?b a?b ,若 ≤b,即 a≤3b 时,? 2 4

a?b ( a ? b) 2 时,S 有最大值 ;? 8 4

a?b >b,即 a>3b 时,? 4

S(x)在(0,b]上是增函数,? 此时当 x=b 时,S 有最大值为?
- 38 -

-2(b-

a ? b 2 ( a ? b) 2 2 )+ =ab-b ,? 8 4 a?b 时,? 4

综上可知,当 a≤3b 时,x= 四边形面积 Smax=
( a ? b) 2 ,? 8

当 a>3b 时,x=b 时,四边形面积 Smax=ab-b .? 变式训练 1:某商人将进货单价为 8 元的某种商品按 10 元一个销售时,每天可卖出 100 个, 现在他采用提高售价,减少进货量的办法增加利润,已知这种商品销售单价每涨 1 元,销售 量就减少 10 个, 问他将售价每个定为多少元时, 才能使每天所赚的利润最大?并求出最大值. 解:设每个提价为 x 元(x≥0) ,利润为 y 元,每天销售总额为(10+x) (100-10x)元, 进货总额为 8(100-10x)元,? 显然 100-10x>0,即 x<10,? 则 y=(10+x) (100-10x)-8(100-10x)=(2+x)(100-10x)=-10(x-4) +360 (0≤x<10).? 当 x=4 时,y 取得最大值,此时销售单价应为 14 元,最大利润为 360 元.? 例 2. 据气象中心观察和预测:发生于 M 地的沙尘暴一直向正南方向移动,其移动速度 v(km/h)与时间 t(h)的函数图象如图所示,过线段 OC 上一点 T(t,0)作横轴 的垂线 l,梯形 OABC 在直线 l 左侧部分的面积即为 t(h)内沙尘暴所经过的路程 s(km). (1)当 t=4 时,求 s 的值;? (2)将 s 随 t 变化的规律用数学关系式表示出来;? (3)若 N 城位于 M 地正南方向,且距 M 地 650 km,试判断这 场沙尘暴是否会侵袭到 N 城,如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将 侵袭到 N 城?如果不会,请说明理由.? 解: (1)由图象可知: 当 t=4 时,v=3?4=12,? ∴s= ?4?12=24.? (2)当 0≤t≤10 时,s= ?t?3t= t ,? 当 10<t≤20 时,s= ?10?30+30(t-10)=30t-150;? 当 20<t≤35 时,s= ?10?30+10?30+(t-20)?30- ?(t-20)?2(t-20)=-t +70t-550.
?3 2 t ? ?0,10?, ?2 t , ? ? t ? ?10,20?, 综上可知 s= ?30t ? 150, ?? t 2 ? 70t ? 550, t ? ?20,35? . ? ? ?
2

2

1 2

1 2

3 2

2

1 2 1 2

1 2

2

- 39 -

(3)∵t∈[0,10]时,smax= ?10 =150<650.? t∈(10,20]时,smax=30?20-150=450<650.? ∴当 t∈(20,35]时,令-t +70t-550=650.? 解得 t1=30,t2=40,∵20<t≤35,? ∴t=30,所以沙尘暴发生 30 h 后将侵袭到 N 城.? 变式训练 2:某工厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为 0.5 万元,但每生产 100 台, 需要加可变成本(即另增加投入)0.25 万元.市场对此产品的年需求量为 500 台,销售的收入 函数为 R(x)=5xx2 (万元)(0≤x≤5),其中 x 是产品售出的数量(单位:百台). 2
2

3 2

2

(1)把利润表示为年产量的函数;? (2)年产量是多少时,工厂所得利润最大?? (3)年产量是多少时,工厂才不亏本?? 解: (1)当 x≤5 时,产品能售出 x 百台;? 当 x>5 时,只能售出 5 百台,? 故利润函数为 L(x)=R(x)-C(x)?
x2 ? (5 x ? ) ? (0.5 ? 0.25x) ? 2 =? ? 2 ?(5 ? 5 ? 5 ) ? (0.5 ? 0.25x) ? 2 ? (0 ? x ? 5) ( x ? 5) x2 ? ?4.75 x ? ? 0.5 ?? 2 ?12 ? 0.25x ?
x2 -0.5,? 2

(0 ? x ? 5), ( x ? 5).

(2)当 0≤x≤5 时,L(x)=4.75x-

当 x=4.75 时,L(x)max=10.781 25 万元.? 当 x>5 时,L(x)=12-0.25x 为减函数,? 此时 L(x)<10.75(万元).∴生产 475 台时利润最大.? (3)由 ?
?0 ? x ? 5, ? x ? 5, ? 或? x2 ?4.75 x ? 2 ? 0.5 ? 0, ?12 ? 0.25 x ? 0. ?

得 x≥4.75- 21.562 5 =0.1(百台)或 x<48(百台).? ∴产品年产量在 10 台至 4 800 台时,工厂不亏本.? 例 3. 某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过 4 吨时,每吨为 1.80 元,当用水 超过 4 吨时,超过部分每吨 3.00 元,某月甲、乙两户共交水费 y 元,已知甲、乙两用户该月 用水量分别为 5x,3x 吨.? (1)求 y 关于 x 的函数;? (2)若甲、乙两户该月共交水费 26.4 元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.? 解: (1)当甲的用水量不超过 4 吨时,即 5x≤4,乙的用水量也不超过 4 吨, y=(5x+3x)?1.8=14.4x;?
- 40 -

当甲的用水量超过 4 吨,乙的用水量不超过 4 吨时,? 即 3x≤4 且 5x>4,? y=4?1.8+3x?1.8+3?(5x-4)=20.4x-4.8.? 当乙的用水量超过 4 吨时,? 即 3x>4,y=8?1.8+3(8x-8)=24x-9.6,?
? ?14.4 x ? 所以 y= ? ?20.4 x ? 4.8 ? ? ?24 x ? 9.6 ? 4 (0 ? x ? ) 5 4 4 ( ? x ? ). 5 3 4 (x ? ) 3

(2)由于 y=f(x)在各段区间上均为单调递增,? 当 x∈[0, ]时,y≤f( )<26.4;? 当 x∈( , ]时,y≤f( )<26.4;? 当 x∈( ,+∞)时,令 24x-9.6=26.4,解得 x=1.5,? 所以甲户用水量为 5x=7.5 吨,? 付费 S1=4?1.8+3.5?3=17.70(元);? 乙户用水量为 3x=4.5 吨,? 付费 S2=4?1.8+0.5?3=8.70(元). 变式训练 3:1999 年 10 月 12 日“世界 60 亿人口日” ,提出了“人类对生育的选择将决定世 界未来”的主题,控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前.? (1)世界人口在过去 40 年内翻了一番,问每年人口平均增长率是多少?? (2)我国人口在 1998 年底达到 12.48 亿,若将人口平均增长率控制在 1%以内,我国人口在 2008 年底至多有多少亿?? 以下数据供计算时使用: 数N 对数 lgN 数N 对数 lgN 1.010 0.004 3 3.000 0.477 1 1.015 0.006 5 5.000 0.699 0 1.017 0.007 3 12.48 1.096 2 1.310 0.117 3 13.11 1.117 6 2.000 0.301 0 13.78 1.139 2
4 3 4 5 4 3 4 3 4 5 4 5

解: (1)设每年人口平均增长率为 x,n 年前的人口数为 y,? 则 y?(1+x) =60,则当 n=40 时,y=30,? 即 30(1+x) =60,∴(1+x) =2, 两边取对数,则 40lg(1+x)=lg2,? 则 lg(1+x)=
lg 2 =0.007 525,? 40
40 40 n

- 41 -

∴1+x≈1.017,得 x=1.7%. (2)依题意,y≤12.48(1+1%) ?,? 得 lgy≤lg12.48+10?lg1.01=1.139 2,? ∴y≤13.78,故人口至多有 13.78 亿. 答 每年人口平均增长率为 1.7%,2008 年人口至多有 13.78 亿. 小结归纳 解决函数应用问题应着重注意以下几点: 1.阅读理解、整理数据:通过分析、画图、列表、归类等方法,快速弄清数据之间的关系, 数据的单位等等; 2.建立函数模型:关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数,建立函数模 型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式,不要忘记考察函数的定义域; 3.求解函数模型:主要是计算函数的特殊值,研究函数的单调性,求函数的值域、最大(小) 值等,注意发挥函数图象的作用. 4.还原评价:应用问题不是单纯的数学问题,既要符合数学学科又要符合实际背景,因于解 出的结果要代入原问题进行检验、评判最后作出结论,作出回答.
10

- 42 -

函数单元测试题
一、选择题 1.函数 y= log (3x ? 2) 的定义域是
1 2


2 3

)? D.( ,1]? ( )
2 3

?A.[1,+∞)

B.( ,+∞)?

2 3

C.[ ,1]?

2.(2009· 河南新郑二中模拟)设函数 f(x)=x|x|+bx+c,给出下列四个命题: ①当 b≥0 时,函数 y=f(x)是单调函数 ②当 b=0,c>0 时,方程 f(x)=0 只有一个实根 ③函数 y=f(x)的图象关于点(0,c)对称 ④方程 f(x)=0 至多有 3 个实根,其中正确命题的个数为 ?A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个?

3.(2008· 湛江模拟)下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 (
1

)?

?A.y=x 2 (x∈(0,+∞)) ?C.y=x
1 3

B.y=3 x(x∈R)? D.y=lg|x|(x≠0)?

(x∈R)?

4. (2008· 杭州模拟) 已知偶函数 f(x)满足条件: 当 x∈R 时, 恒有 f(x+2)=f(x),且 0≤x≤1 时, 有 f ?( x) >0,则 f( ?A. f(
98 106 101 ) ,f( ) ,f( ) 的大小关系是 19 17 15





98 106 101 ) >f( ) > f( )? 19 17 15 106 98 101 ) > f( ) >f( )? 19 17 15

B. f( ?C. f( ?D. f(

98 106 101 ) > f( ) > f( ) 17 19 15 106 98 101 ) > f( ) >f( ) , 17 19 15

5.如图为函数 y=m+lognx 的图象,其中 m,n 为常数,则下列结论正确的是 ?A.m<0,n>1 ?C.m>0,0<n<1? ? B.m>0,n>1? ?D.m<0,0<n<1?





6.已知 f(x)是以 2 为周期的偶函数,且当 x∈(0,1)时,f(x)=2x-1,则 f(log212)的值为( B.
4 3

)?A.

1 3

C.2

D.11?
m 的值为 ( M

7. (2008· 重庆理, 4) 已知函数 y= 1 ? x ? x ? 3 的最大值为 M, 最小值为 m, 则 ?A.
1 4



B. ?

1 2

C.

2 2

D.

3 ? 2

8.若方程 2ax2-x-1=0 在(0,1)内恰有一解,则 a 的取值范围是
- 43 -





?A.a<-1?

B.a>1?

C.-1<a<1

D.0≤a<1?

9.f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数,且 f(2)=0,则方程 f(x)=0 在区间(0,6)内解的个数 的最小值是 ?A.5? B.4 C.3 ( ) D.2 ?

10.某农贸市场出售西红柿,当价格上涨时,供给量相应增加,而需求量相应减少,具体调查 结果如下表: 表 1 市场供给表? 单价(元/kg) 供给量 (1 000kg) 2 50 2.4 60 2.8 70 3.2 75 3.6 80 4 90

表 2 市场需求表? 单价(元/kg) 供给量 (1 000kg) 4 50 3.4 60 2.9 65 2.6 70 2.3 75 2 80

根据以上提供的信息,市场供需平衡点(即供给量和需求量相等时的单价)应在区间( ? ?A.(2.3,2.4)内? ?C.(2.6,2.8)内?
2



B.(2.4,2.6)内? D.(2.8,2.9)内? )

11.(2008· 成都模拟)已知函数 f(x)=loga( x ? 1 +bx) (a>0 且 a≠1),则下列叙述正确的是( ?A.若 a= ,b=-1,则函数 f(x)为 R 上的增函数? ?B.若 a= ,b=-1,则函数 f(x)为 R 上的减函数? ?C.若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,则 b=±1? ?D.若函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,则 b=1? 12.设函数 f(x)= ? ? 2 ?A.(-∞,-3) 二、填空题
1 2) = 13.(2009· 广西河池模拟)已知函数 f(x)=log2(x2+1)(x≤0),则 f ?(

1 2

1 2

? 1 x ( ) ?7 ? x ?

( x ? 0) ( x ? 0) ,

若 f(a)<1,则实数 a 的取值范围是





B.(1,+∞)?

C.(-3,1)

D.(-∞,-3) ? (1,+∞)?

.

- 44 -

14.已知函数 f(x)= ? 2

? 1 x ?( ) ? f ( x ? 1) ?

( x ? 4) ( x ? 4)

则 f(log23)的值为

.?

15.(2008· 通州模拟)用二分法求方程 x3-2x-5=0 在区间[2,3]内的实根,取区间中点 x0=2.5, 那么下一个有实根的区间是 答案 (2,2.5)? 16.(2008· 福州模拟)对于函数 f(x)定义域中任意的 x1,x2 (x1≠x2),? 有如下结论:? ①f(x1+x2)=f(x1)f(x2);? ②f(x1· x2)=f(x1)+f(x2);? ③
f ( x1 ) ? f ( x2 ) >0;? x1 ? x2
x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )< 2 2

.?

④f(

当 f(x)=2x 时,上述结论中正确结论的序号是 三、解答题

.?

17. 设直线 x=1 是函数 f(x)的图象的一条对称轴, 对于任意 x∈R, f(x+2)=-f(x),当-1≤x≤1 时, f(x)=x3. (1)证明:f(x)是奇函数;? (2)当 x∈[3,7]时,求函数 f(x)的解析式.?

18.等腰梯形 ABCD 的两底分别为 AB=10,CD=4,两腰 AD=CB=5,动点 P 由 B 点沿折线 BCDA 向 A 运动,设 P 点所经过的路程为 x,三角形 ABP 的面积为 S? (1)求函数 S=f(x)的解析式;? (2)试确定点 P 的位置,使△ABP 的面积 S 最大.?

19.(2008· 深圳模拟)据调查,某地区 100 万从事传统农业的农民,人均收入 3 000 元,为了 增加农民的收入,当地政府积极引进资本,建立各种加工企业,对当地的农产品进行深加工, 同时吸收当地部分农民进入加工企业工作,据估计,如果有 x (x>0)万人进企业工作,那么剩 下从事传统农业的农民的人均收入有望提高 2x%,而进入企业工作的农民的人均收入为 3 000a
- 45 -

元 (a>0).? (1)在建立加工企业后,要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民 的年总收入,试求 x 的取值范围;? (2)在(1)的条件下,当地政府应该如何引导农民(即 x 多大时) ,能使这 100 万农民的人 均年收入达到最大.?

20.设 a,b∈R,且 a≠2,定义在区间(-b,b)内的函数 f(x)= lg (1)求 b 的取值范围;? (2)讨论函数 f(x)的单调性.?

1 ? ax 是奇函数.? 1 ? 2x

21.已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.? (1)若 f(2)=3,求 f(1);又若 f(0)=a,求 f(a);? (2)设有且仅有一个实数 x0,使得 f(x0)=x0,求函数 f(x)解析表达式.?

22.(2008· 南京模拟)已知函数 y=f(x)是定义在区间[- , ]上的偶函数,且 x∈[0, ]时,f(x)=-x2-x+5.? (1)求函数 f(x)的解析式;? (2)若矩形 ABCD 的顶点 A,B 在函数 y=f(x)的图象上,顶点 C,D 在 x 轴上,求矩形 ABCD 面 积的最大值.?
3 2

3 2

3 2

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

- 46 -


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