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广东省河源市2013届高三质量检测数学理科卷五


广东省河源市 2013 届高三质量检测数学理科卷 5
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1.已知 M ? {x | x ? a ? 0}, N ? {x | ax ? 1 ? 0},若 M ? N ? N ,则实数 a 的值为( A.1 B.-1 C.1 或-1 ) D.? ) D.0

或 1 或-1 )

2.已知为虚数单位,则 A.

1 4

i 的实部与虚部之积等于( 1? i 1 1 B.? C. i 4 4

1 i 4

3.阅读如图所示的算法框图,输出的结果 S 的值为( A.

3 2

B. ?

3 2

C.0

D. 3

4.等比数列{an}中,a3=6,前三项和 S3 ? A.1 B. ?

1 2

4 xdx ,则公比 q 的值为 1 1 C.1 或 ? D. ? 1 或 ? 2 2
0

?

3

5.如图, 水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为 2, 且侧棱 AA1⊥面 A1B1C1, 正视图是边长为 2 的正方形,俯视图为一个等边三角形,该三棱柱的左视图 面积为 A. 2 3 B. 3 C. 2 2 D.4

6.已知 α 、β 是两个不同平面,m、n 是两条不同直线,则下列命题不正确 ... 的是( ) A. ? // ? , m ? ? , 则 m ? ? C.n∥α ,n⊥β ,则 α ⊥β B.m∥n,m⊥α ,则 n⊥α D.m∥β ,m⊥n,则 n⊥β

7.在锐角 ?ABC 中, ?A ? 2?B, ?B、?C 的对边长分别是 b、c ,则

b 的取值范围是( ) b?c 1 1 1 1 A、 ( , ) B、 ( , ) 4 3 3 2

C、 ( , )

1 2 2 3

D、 ( , )

2 3 3 4

8.设 P 是△ABC 内任意一点,S△ABC 表示△ABC 的面积,λ 1=

S ?PBC S S , λ 2= ?PCA ,λ 3= ?PAB , S ?ABc S ?ABC S ?ABC
1 1 1 , , ) ,则( 2 3 6


定义 f(P)=(λ 1, λ , λ 3),若 G 是△ABC 的重心,f(Q)=( A.点 Q 在△GAB 内 C.点 Q 在△GCA 内 B.点 Q 在△GBC 内 D.点 Q 与点 G 重合
·1·

二、填空题: (本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) (一)必做题(9~13 题) 9.在某项测量中,测量结果 ? 服从正态分布 N (1, ? 2 )(? ? 0) .若 ? 在(0,1)内取值的概率为 0.4, 则 ? 在(0,2)内取值的概率为 . 。

n 10.若 ( x ? ) 的展开式的二项式系数之和为 64 ,则展开式的常数项为

1 x

?log 3 x, x ? 0, ? 11.已知函数 f ( x ) ? ?? 1 ? x 那么不等式 f ( x ) ? 1 的解集为 ?? ? , x ? 0, ?? 3 ?



12. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生 不能分到同一个班,则不同分法的种数为_____________________

?x ? y ? 0 ? 13.若目标函数 z ? ax ? by (a ? 0, b ? 0) 在约束条件 ?2 x ? y ? 2 ? 0 下的最大值是 4 , ?x ? 0 ?
则直线 ax ? by ? 1 ? 0 截圆 x ? y ? 1 所得的弦长的范围是______________.
2 2

(二)选做题:请在 14、15 题中选做一题,如果两题都做,以第一题的得分为最后得分. 14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,直线 ? (cos? ? sin ? ) ? 2 ? 0 被曲线 C : ? ? 2 所 截得弦的中点的极坐标为 . 15. (几何证明选讲选做题)如图所示, AB 是半径等于 3 的⊙ O 的直径,CD 是⊙ O 的弦,BA,DC 的 延长线交于点 P,若 PA=4,PC=5,则 ?CBD ? ___________. D

C B O

三、解答题(共 80 分) 16. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中 , A 、 B 、 C 所 对 边 的 长 分 别 为

a 、 b 、 c , 已 知 向 量 m ? (1, 2sin A) ,

??

?? ? ? n ? (sin A,1 ? cos A) .满足 m ∥ n , b ? c ? 3a .
·2·

(1)求 A 的大小; (2)求 sin( B ?

?
6

) 的值.

17. (本题满分 12 分)某学校共有高一、高二、高三学生 2000 名,各年级男、女生人数如下图:
女生人数 x 373 y 男生人数

377

370 z

高一

高二 高三

年级

高一

高二

高三

年级

已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到高二年级女生的概率是 0.19. (1)求 x 的值; (2)现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,问应在高三年级抽取多少名? (3)已知 y ? 245, z ? 245,以(y,z)为坐标构成平面直角坐标系的点,从这些点中任取 3 个, 求满足 y ? z ? 0 的点的个数 ? 的分布列和数学期望. 18. (本题满分 12 分)如图,在直角梯形 ABCD 中,AD//BC, ?ABC ? 90? ,当 E、F 分别在线段 AD、 BC 上,且 EF ? BC ,AD=4,CB=6,AE=2,现将梯形 ABCD 沿 EF 折叠,使平面 ABFE 与平面 EFCD 垂直。 (1)判断直线 AD 与 BC 是否共面,并证明你的结论; (2)当直线 AC 与平面 EFCD 所成角的正切值为多少时,二面角 A—DC—E 的大小是 60°。

19. (本题满分 14 分)设曲线 Cn : f ( x) ? xn?1 (n ? N * ) 在点 P ? ?

1 ? ? 1 , f (? ) ? 处的切线与 y 轴交于点 2 ? ? 2

Qn (0, yn ) .
(1)求数列 { yn } 的通项公式; (2)设数列 { yn } 的前 n 项和为 Sn ,猜测 Sn 的最大值并证明你的结论. 20. (本题满分 14 分) → → 2 已知抛物线 x =4y 的焦点为 F,A、B 是抛物线上的两动点,且 AF =λ FB (λ >0) .过 A、B 两点分别作抛物线的切线,设其交点为M.
·3·

→ → (Ⅰ)证明 FM · AB 为定值; (Ⅱ)设△ABM 的面积为 S,并求 S 的最小值.

21.(本题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? 2 ln x ? 1)求函数 f ?x ? 的单调区间; 2) 利用 1)的结论求解不等式 2 ln x ? (1 ? 的大小. 3)若不等式 ?n ? a ? ln(1 ?

1? x2 x

x2 1 ) ? x ? 1 . 并利用不等式结论比较 ln 2 (1 ? x) 与 x 1? x

1 ) ? 1 对任意 n ? N * 都成立,求 a 的最大值. n

·4·

参考答案 选择题答案:DAAC,ADBA 填空题答案:9:0.8 12:30 10:-20 13 [ 2 , 3) 11: {x x ? 0或x ? 3} 14: ( 2 ,

16.解析: (1)由 m ∥ n 得 2sin 2 A ? 1 ? cos A ? 0 ,即 2 cos2 A ? cos A ? 1? 0,? cos A ?

??

?

3 ?) 4

15:

? 6 1 或 2

cos A ? ?1 .
? A 是 ?ABC 的内角, cos A ? ?1 舍去,? A ?

?
3

.........6 分

(2)? b ? c ? 3a ,由正弦定理得, sin B ? sin C ? 3 sin A ?

2 2? 3 ? B ? C ? ? ,? sin B ? sin( ? B) ? , 3 3 2

3 , 2

?

3 3 3 ? 3 ............12 分 cos B ? sin B ? ,即 sin( B ? ) ? 2 2 2 6 2

17.解: (1)由已知有

x ? 0.19,? x ? 380 ; ????????????3 分 2000 (2)由(1)知高二男女生一起 750 人,又高一学生 750 人,所以高三男女生一起 500 人, 48 ? 500 ? 12 人; ????????6 分 按分层抽样,高三年级应抽取 2000 (3)因为 y ? z ? 500, y ? 245 z ? 245,所以基本事件有: , y ? 246, z ? 254; y ? 247, z ? 253 y ? 248, z ? 252; y ? 249, z ? 251 ; y ? 250, z ? 250 y ? 251 z ? 249, y ? 252, z ? 248 y ? 253 z ? 247; y ? 254, z ? 246 ; , ; , 一共 11 个基本事件. ??????????8 分 y ? 255, z ? 245 y ? z 的基本事件有: 其中女生比男生多,即 y ? 251 z ? 249, y ? 252, z ? 248 y ? 253 z ? 247; y ? 254, z ? 246 y ? 255, z ? 245 , ; , ;

????????????9 分 共 5 个基本事件, 分 布 列 ( 略 ) ............................................................................ ......................11 分
E? =

3 ............................................................................ 2

....................................12 分 18.解: (1) AD 、 BC 是异面直线, (1 分) 法一(反证法)假设 AD 、 BC 共面为 ? . ? EF ? BC , ?ABC ? 90? , , EF ? ? , AB ? ? .AB//EF,则 AB// ?
·5·

,又 EFCD ? ? ? CD .EF//CD,CD//AB 这与 ABCD 为梯形矛盾.故假设不成立.即 AD 、 BC 是异面直线........6 分 (2)法一:延长 CD, EF ,相交于 N,AE=2,AD=4,BC=6,

? ED ? 2, CF ? 4, 设 AB ? x, 则△NDE 中, NE ? x ,
? AE ? EF ,平面 ABFE ? 平面 EFCD , ? AE ? 平面 EFCD .过 E 作 EH ? DN 于 H,连结 AH, 则 AH ? DN .? ? AHE 是二面角 A ? DC ? E 的平面角,
则 ?AHE ? 60? . ? NE ? x, DE ? 2,? HE ?

2x x ?4
2

, AE ? 2 ,

? tan ?AHE ?

AE x2 ? 4 ? ? 3, ? x2 ? 2, x ? 2 , EH x

此时在△EFC 中, EF ? 2, FC ? 4, ? EC ? 3 2 .又 AE ? 平面 EFCD ,

??ACE 是直线 AC 与平面 EFCD 所成的角,

? tan ?ACE ?
19

AE 2 2 . ..........................................14 分 ? ? EC 3 2 3
n *

解: (1)? f ( x) ? (n ? 1) x (n ? N ) ,
/

………………………… 1 分 ………………………… 2 分
n

∴点 P 处的切线斜率 kn ? (n ? 1) ? ? ? ,

? 1? ? 2?

n

? 1? ∴切线方程为: y ? ? ? ? ? 2? ? 1? 令 x ? 0 得: yn ? ? ? ? ? 2?

n ?1

1 ? 1? ? (n ? 1) ? ? ? ( x ? ) , 2 ? 2?
n

………………………… 4 分

n ?1

n ?1 ? 1 ? ? ?? ? ? , 2 ? 2? n ? 1? ?? ? ? . 2 ? 2?
3
n

故数列 { yn } 的通项公式为: yn ?
2

………………………………… 6 分
n

(2) Sn ?

1 ? 1? 2 ? 1? 3 ? 1? n ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ------① 2 ? 2? 2 ? 2? 2 ? 2? 2 ? 2?
2 3 4 n ?1

1 1 1 ? 1? 2 ? 1? 3 ? 1? n ? 1? 两边同乘 ? 得: ? ? Sn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 ? 2? 2 ? 2? 2 ? 2? 2 ? 2?
2 3 n

------②
n ?1

3 1 ? 1? 1 ? 1? 1 ? 1? 1 ? 1? n ? 1? ① ? ②得: ? sn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 ? 2? 2 ? 2? 2 ? 2? 2 ? 2? 2 ? 2?

………8 分

? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ?3Sn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n ? ? ? ? ? 2? ? 2? ? 2? ? 2? ? 2?
·6·

2

3

n

n ?1

1 ? 1? ? 1? ? ??? ? 1? ? ? ? n ?1 n ?1 2 ? 2? ? 1? ? 2 ? ? n?? ? 1 ? ? ? n ?? ? ? ? ? ? ? 1 3 ? 2? ? 2? 1? 2 n ? 1 ? 2 ? 3n ? 1 ? ∴ Sn ? ? ……………………10 分 ? ? ? ? ? 1? 9? 2 ? 2? ? ? ? 1 3 1 其中 S1 ? y1 ? ? , S2 ? y1 ? y2 ? 0 , S3 ? ? , S4 ? ? 4 16 16 猜测 Sn 的最大值为 S2 ? 0 .证明如下: ………………… 11 分
n ? 1 ? 2 ? 3n ? 1 ? ? ? ? ? 1? ? 0 ; ………………… 12 分 ? 9? 2 ?2? ? ? ? 2 ? 3n 8 ? 3n 1 ? 2 ? 3n ? (ii)当 n 为偶数时, Sn ? ? ? n ?1 ? 1? ,设 h( n) ? n ?1 ,则 h(n ? 2) ? n ?3 . 2 2 9 ? 2 ? 8 ? 3n 2 ? 3n 9n h(n ? 2) ? h(n) ? n ?3 ? n ?1 ? ? n ?3 ? 0 , ∴ h(n ? 2) ? h(n) . ………… 13 分 2 2 2 2 ? 3n 故 h( n) ? n ?1 的最大值为 h(2) ? 1 ,即 Sn 的最大值为 S2 ? 0 . ……………… 14 分 2

n ?1

n

(i)当 n 为奇数时, S n ? ?

20. (本题满分 14 分) 解:(Ⅰ)由已知条件,得 F(0,1),λ >0. → → 设 A(x1,y1),B(x2,y2).由 AF =λ FB , 即得 (-x1,1-y)=λ (x2,y2-1),

?-x1=λ x2 ① ? ? ............................................................ ? ?1-y1=λ (y2-1) ②

.........2 分 1 2 1 2 将①式两边平方并把 y1= x1 ,y2= x2 代入得 4 4

y1=λ 2y2

③ 1 2 ,且有 x1x2=-λ x2 =-4λ y2=-4,.........4 分 λ

解②、③式得 y1=λ ,y2=

1 2 1 抛物线方程为 y= x ,求导得 y′= x. 4 2 所以过抛物线上 A、B 两点的切线方程分别是 1 2 1 2

y= x1(x-x1)+y1,y= x2(x-x2)+y2,
1 1 2 1 1 2 即 y= x1x- x1 ,y= x2x- x2 . 2 4 2 4
·7·

解出两条切线的交点 M 的坐标为(

x1+x2 x1x2
2 , 4

)=(

x1+x2
2

→ → x1+x2 , -1). 所以 FM · AB =( , 2

→ → 1 2 1 2 1 2 2 - 2)·(x2 - x1 , y2 - y1) = (x2 - x1 ) - 2( x2 - x1 ) = 0 所 以 FM · AB 为 定 值 , 其 值 为 2 4 4 0. ……(7 分) 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM 中,FM⊥AB,因而 S= |AB||FM|. 2 |FM|= (

x1+x2
2

)2+(-2)2=

1 2 1 2 1 x + x + x x +4 4 1 4 2 2 1 2 1 2



y1+y2+ ×(-4)+4
1 1 λ + +2= λ + . λ λ



因为|AF|、|BF|分别等于 A、B 到抛物线准线 y=-1 的距离,所以 1 1 2 |AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=λ + +2=( λ + ). λ λ 于是 由 λ +

S= |AB||FM|= ( λ +
1 λ

1 2

1 2

1 λ

), ………(14 分)

3

≥2 知 S≥4,且当 λ =1 时,S 取得最小值 4.

1? x2 ,定义域 {x | x ? 0} x 2 ?2 x ? x ? (1 ? x 2 ) ( x ? 1) 2 f '? x? ? ? ?? ?0 x x2 x2 ? f ( x) 在 (0, ??) 上是减函数………………..4 分 1 (2)对 2 ln x ? (1 ? ) ? x ? 1 x 1 x2 ?1 1 ?○ 当 x ? 1 时,原不等式变为 2 ln x ? (1 ? ) ? ( x ? 1) ? x x 1 ? x2 1 x ? 1 时, f ( x) ? f (1) ? 0 , 2 ln x ? ? 0 即○成立 由(1)结论, x x2 ?1 1 2 当 0 ? x ? 1 时,原不等式变为 ?2 ln x ? (1 ? ) ? (1 ? x) ,即 2 ln x ? ○ x x 1 ? x2 2 ? 0 即○成立 由(1)结论 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? f (1) ? 0 , 2 ln x ? x 综上得,所求不等式的解集是 {x | x ? 0} ………………..8 分
21.解:(1) f ? x ? ? 2 ln x ?

( x 2 ? 1) 2 x2 ?1 1 2 2 ? x ? 0 时, 2 ln x ? (1 ? ) ? x ? 1 ,即 ln x 2 ? ,? ln x ? x x2 x
·8·

用 x ? 1 (其中 x ? ?1 )代入上式中的 x ,可得 ln ( x ? 1) ?
2

x2 ………………..10 分 x ?1

1 ?1 ln 2 1 * 分析:? n ? N ,? ln(1 ? ) ? 0 n 1 1 ? ? n ? a ? ln(1 ? ) ? 1,? a ? ?n 1 n ln(1 ? ) n 1 1 1 取 x ? ,则 x ? (0,1] ,? a ? ? n ln(1 ? x) x
(3)结论: a 的最大值为

x2 1 1 x ?1 ? 0 设 g ( x) ? ? , g '( x) ? x 2 ln 2 (1 ? x) ln(1 ? x) x 1 1 ? 1 ………………..14 分 ? 1 ? a 的最大值为 g ( x) 递减,? x ? 1 时 g最小 ? g (1) ? ln 2 ln 2 ln 2 ( x ? 1) ?

·9·


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