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北京市中国人民大学附属中学2013届高考冲刺数学(理)试卷(九)


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北京市中国人民大学附属中学 2013 届高考冲刺数学(理) 试卷(九)
第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1.在复平面内,复数

i 对应的点位于

1? i
2 1

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 2.等差数列 {a n } 中, a4 ? 2 ,则 S 7 等于 (A)7 (B)3.5 (C)14 (D)28 3.一几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积是 (A) (C)

主视图 1

左视图

2
1? 3 2

(B) (D)

4 3
1? 3 6

1

俯视图

4. a , b 为非零向量,“函数 f ( x) ? (ax ? b) 为偶函数”是“ a ? b ”的 (A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
2

? ?

?

?

?

?

1 x ? ln x( x ? 0) ,则函数 f ( x) 3 (A) 在区间 (0,1),  (1, ??) 内均有零点 (B) 在区间 (0,1),  (1, ??) 内均无零点 (C) 在区间 (0,1) 内有零点,在区间 (1, ??) 内无零点 (D) 在区间 (0,1) 内无零点,在区间 (1, ??) 内有零点 2 2 6.直线 l : y ? k ( x ? 2) ? 2 将圆 C : x ? y ? 2 x ? 2 y ? 0 平分,则直线 l 的方向向量是 (A) (2, ?2) (B) (2, 2) (C) (?3, 2) (D) (2,1)
5.设函数 f ( x) ? 7.一天有语文、数学、英语、物理、化学、生物、体育七节课,体育不在第一节上,数学不 在第六、七节上,这天课表的不同排法种数为 (A) A7 ? A5
7 5

(B) A4 A5

2

5

(C) A5 A6 A5

1

1

5



D



A ?AAA
6 6 1 4 1 5

5 5

8.对于四面体 ABCD ,有如下命题 ①棱 AB 与 CD 所在的直线异面; ②过点 A 作四面体 ABCD 的高,其垂足是 ?BCD 的三条高线的交点; ③若分别作 ?ABC 和 ?ABD 的边 AB 上的高,则这两条高所在直线异面; ④分别作三组相对棱的中点连线,所得的三条线段相交于一点, 其中正确的是 (A) ① (B) ②③ (C) ①④ (D) ①③

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第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.极坐标方程 ? ? 2 化为直角坐标方程是 . 10.把某校高三.5 班甲、乙两名同学自高三以来历次数学考试得分情况绘制成茎叶图(如 下左图) ,由此判断甲的平均分 乙的平均分. (填:>,= 或<) 2 , 4 乙 甲 C , 7 9 6 8 37 50 A 9 248 941 B O D P 10 4 2 11 0

11.如上右图: AB 是 ? O 的直径,点 P 在 AB 的延长线上,且 PB ? OB ? 2 , PC 切 ? O 于点 C , CD ? AB 于点 D ,则 PC ? ; CD ? . 12. 设双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1 的一条渐近线与抛物线 y ? x 2 ? 1 只有一个公共点,则双曲线的 2 a b


离心率等于 13 . 已知函数 f ( x ) ? ?

? ? 2 ? 1, 2 ? ? ? x ? 2 x,
?x

x? 0 x?0

,若 f ( a ? 2) ? f (a ),则实数 a 的取值范围
2

是 . 14.设 S 为非空数集,若 ?x, y ? S ,都有 x ? y, x ? y, xy ? S ,则称 S 为封闭集.下列命 题 ①实数集是封闭集; ②全体虚数组成的集合是封闭集; ③封闭集一定是无限集; ④若 S 为封闭集,则一定有 0 ? S ; ⑤ 若 S,T 为 封 闭 集 , 且 满 足 S ? U ? T , 则 集 合 U 也 是 封 闭 集 , 其 中 真 命 题 是 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中, 角 A 、B 、C 所对的边分别为 a、b、c,a ? 2 3,b ? 2 ,cos A ? ? (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 f ( x) ? cos 2 x ? c sin ( x ? B) ,求函数 f ( x) 的最小正周期和单调递增区间.
2

1 . 2

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16. (本小题满分 14 分) 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 为菱形,且

P

?ABC ? 600 , O.

PB ? PD ? AB ? 2 , PA ? PC , AC 与 BD 相交于点
A O 的值. B C D

(Ⅰ)求证: PO ? 底面 ABCD ; (Ⅱ)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值; (Ⅲ)若 M 是 PB 上的一点,且 CM ? PB ,求

PM MB

17. (本小题满分 14 分) 某商场进行促销活动, 到商场购物消费满 100 元就可转动转盘(转盘为十二等分的圆盘) 一次进行抽奖,满 200 元转两次,以此类推(奖金累加) ;转盘的指针落在 A 区域中一等奖, 奖 10 元,落在 B、C 区域中二等奖,奖 5 元,落在其它区域则不中奖.一位顾客一次购物消 费 268 元, (Ⅰ) 求该顾客中一等奖的概率; (Ⅱ) 记 ? 为该顾客所得的奖金数,求其分布列; (Ⅲ) 求数学期望 E? (精确到 0.01). B A

C

18.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? a ln( x ? 1) ?

1 2 x ? ax ? 1(a ? 0) . 2

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(Ⅰ)求函数 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的单调区间和极值.

19. (本小题满分 13 分) 2 如 图 : 平 行 四 边 形 AMBN的 周 长 为 8 , 点 M , N 的 坐 标 分 别 为 , ? 3,0 , 3,0 . 4 (Ⅰ)求点 A, B 所在的曲线方程; , (Ⅱ)过点 C (?2, 0) 的直线 l 与(Ⅰ )中曲线交于点 D ,与 y 轴交于点 E , ??? ? ??? ? 6

y A

?

??

?

且 l // OA ,求证:

CD ? CE ??? ? 2 为定值. OA

M

O

N

x

B

20. (本小题满分 13 分) 已知 f n ( x) ? (1 ? x) ,
n

(Ⅰ)若 f 2011 ( x) ? a0 ? a1 x ? ? ? a2011 x

2011

,求 a1 ? a3 ? ? ? a 2009 ? a2011 的值;

6 (Ⅱ)若 g ( x) ? f 6 ( x) ? 2 f 7 ( x) ? 3 f 8 ( x) ,求 g ( x) 中含 x 项的系数;

(Ⅲ)证明:

C

m m

m m m ? (m ? 1)n ? 1 ? m?1 ? 2C m?1 ? 3C m? 2 ? ? ? nC m? n ?1 ? ? C m?n ? m?2 ? ?

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中国人民大学附属中学 2013 届高考冲刺数学 (理) 试卷 (九)

参考答案
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1 A 2 C 3 B 4 C 5 D 6 B 7 D 8 C

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,两个空的第一空 2 分,第二空 3 分,共 30 分.

9

10

11

12

13

14

x2 ? y 2 ? 4

<

2 3

3

5

?1 ? a ? 2

①④

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)

sin A ?


3 2

???????????2 分 得 sin B ?

B?

?
6

a b ? sin A sin B

1 2

,

???????????5 分 ???????????6 分

(Ⅱ)

c?2

f ( x) ? cos 2 x ? 2sin 2 ( x ? ) 6
= cos 2 x ? cos(2 x ?

?

?

3

) ?1

1 3 ? cos 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x ? 1 2 2

? sin(2 x ? ) ? 1 6
?10 分 所以,所求函数的最小正周期为 ?

?

??????????

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由 2 k? ? 得 k? ?

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?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

,k ?Z

?
3

? x ? k? ?

?
6

,k ?Z
P ???????????13 分 A O B C D

所以所求函数的单调递增区间为

[ k? ?

?

, k? ? ], k ? Z 3 6

?

16. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:因为 ABCD 为菱形, 所以 O 为 AC , BD 的中点???????????1 分

PA ? PC , 所以 PO ? BD, PO ? AC 所以 PO ? 底面 ABCD ????3 分 (Ⅱ)因为 ABCD 为菱形,所以 AC ? BD
建立如图所示空间直角坐标系 又 ?ABC ? 60 ,
0

因为 PB ? PD,

PB ? AB ? 2
???????????4 分 z

得 OA ? 1, OB ? 3, OP ? 1

??? ? ??? ? ??? ? PB ? (0, ? 3, ?1) , PC ? (1, 0, ?1) , PD ? (0, 3, ?1) ???5 分 ?? 设平面 PCD 的法向量 m ? ( x, y, z ) ?? ??? ? ? ?m?PC ? 0 有 ? ?? ??? ? m ? PD ?0 ? ? ?x ? z ? ? ?x ? z ? 0 所以 ? 解得 ? 3 z ? ? 3y ? z ? 0 ?y ? 3 ? ?? m ? (3, 3,3) ?? ??? ? ?? ??? ? ?? ??? ? m?PB ? m ?PB cos m, PB
所以 ???????????8 分

所以 P(0, 0,1), B(0, ? 3, 0), C (1, 0, 0), D(0, 3, 0)

y

x

?? ??? ? cos m, PB ?

?6 21 ?? 7 21? 4

?????????

??9 分 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为

???? ? ??? ? (Ⅲ)因为点 M 在 PB 上,所以 PM ? ? PB ? ? (0, ? 3, ?1) ???? ? 所以 M (0, ? 3? , ?? ? 1) , CM ? (?1, ? 3? , ?? ? 1) 因为 CM ? PB ???? ? ??? ? 1 所以 CM ?PB ? 0 , 得 3? ? ? ?1 ? 0 解得 ? ? 4
所以

21 7

???????10 分

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PM MB ? 1 3

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???????????14 分

17. (本小题满分 14 分) (Ⅰ) 设事件 A 表示该顾客中一等奖

P( A) ?

1 1 1 11 23 ? ? 2? ? ? 12 12 12 12 144
????4 分 ????

所以该顾客中一等奖的概率是

(Ⅱ) 15, 10, 5, 0 ? 的可能取值为 20, 5分

23 144

1 1 1 1 2 1 , P(? ? 15) ? 2 ? ? , ? ? ? 12 12 144 12 12 36 2 2 1 9 11 P(? ? 10) ? ? ? 2 ? ? ? 12 12 12 12 72 2 9 1 9 9 9 P(? ? 5) ? 2 ? ? ? , P(? ? 0) ? ? ? (每个 1 分)???〦???? 12 12 4 12 12 16 P(? ? 20) ?
10 分 所以 ? 的分布列为

?
P
分 (Ⅲ)数学期望

20

15

10

5

0

1 144

1 36

11 72

1 4

9 16

???????? 10

E? ? 20 ?

1 1 11 1 ? 15 ? ? 10 ? ? 5 ? ? 3.33 144 36 72 4

??????

?14 分 18. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) f (0) ? 1 ,

f / ( x) ?
??2 分

a x( x ? a ? 1) , ? x?a ? x ?1 x ?1

????

f / (0) ? 0 所以函数 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? 1
4分 (Ⅱ)函数的定义域为 (?1, ??) 令 f ?( x) ? 0 ,得 解得:x ? 0, 分 当 a ? 1 时,列表:

??????

x( x ? a ? 1) ?0 x ?1 x ? a ?1
(0, a ? 1)
-

???????5

x f ( x)
/

(-1,0) +

0 0

a ?1
0

(a ?1, ??)
+

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f ( x) ↗ 极大 ↘ 极小 可知 f ( x) 的单调减区间是 (0, a ? 1) ,增区间是(-1,0)和 (a ? 1, ??) ; 极大值为 f (0) ? 1 ,极小值为 1 3 ???????8 分 f (a ? 1) ? a ln a ? a 2 ? 2 2 当 0 ? a ? 1时,列表: (?1, a ? 1) (a ? 1, 0) 0 x a ?1
+ 0 0 f ( x) f ( x) ↗ 极大 ↘ 极小 可知 f ( x) 的单调减区间是 (a ? 1, 0) ,增区间是 (?1, a ? 1) 和 (0, ??) ; 1 3 极大值为 f (a ? 1) ? a ln a ? a 2 ? ,极小值为 2 2 ???????11 分 f (0) ? 1 当 a ? 1 时, f ?( x) ? 0 可知函数 f ( x) 在 (?1, ??) 上单增, 无极
/

(0, ??)
+ ↗

值 ???????13 分 19. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为四边形 AMBN 是平行四边形,周长为 8 所 以 两 点 A, B 到 M , N 的 距 离 之 和 均 为 4, 可 知 所 求 曲 线 为 椭 圆 ???????1 分 由椭圆定义可知, a ? 2, c ? 3 , b ? 1 所求曲线方程为 分 (Ⅱ)由已知可知直线 l 的斜率存在,又直线 l 过点 C (?2, 0) 设 直 线

x2 ? y2 ? 1 4

???????4

y ? k ( x ? 2)

l

的 方 程 ???????5 分





x2 ? y 2 ? 1( y ? 0) ,并整理得 (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 4 ? 0 代入曲线方程 4 点 在 曲 线 上 , 所 以 C (?2, 0)

D(

?8k 2 ? 2 4k , ) 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

???????8 分

??? ? ??? ? 4 4k CE ? (2, 2k ) , ???????9 分 , ) E (0, 2k ) , CD ? ( 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 因为 OA // l , 所 以 设 的 方 程 为 OA ???????10 分 y ? kx 2 2 代入曲线方程,并整理得 (1 ? 4k ) x ? 4
所 以
2

A(?

2 1 ? 4k

,?

2k 1 ? 4k 2

)

???????11 分

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??? ? ??? ? 8 8k 2 ? CD ? CE 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ? 2 ? ??? ?2 4 4k 2 OA ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
所 以 :

??? ? ??? ? CD ? CE ??? ?2 OA
???????13 分





值 20. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 f n ( x) ? (1 ? x) ,
n

所以 f 2011 ( x) ? (1 ? x)

2011

,
2011

又 f 2011 ( x) ? a0 ? a1 x ? ? ? a2011 x

,
2011

所以 f 2011 (1) ? a0 ? a1 ? ? ? a2011 ? 2

(1) (2)
2011

f 2011 (?1) ? a0 ? a1 ? ? ? a2010 ? a2011 ? 0
所 以
2010

(1)-(2)得: 2(a1 ? a3 ? ? ? a2009 ? a2011 ) ? 2

: ???????2 分

a1 ? a3 ? ? ? a2009 ? a2011 ? f 2011 (1) ? 2
6 7

(Ⅱ)因为 g ( x) ? f 6 ( x) ? 2 f 7 ( x) ? 3 f 8 ( x) , 所以 g ( x) ? (1 ? x) ? 2(1 ? x) ? 3(1 ? x) 中 g ( x) 6 1 ? 2 ? C7 ? 3C86 ? 99
m 8


m ?1

x6



的 (1) 项







???????4 分

(Ⅲ)设 h( x) ? (1 ? x) ? 2(1 ? x) 则 函
m m ?1

? ? ? n(1 ? x)m? n ?1




h( x )
m m ? n ?1



x

m









C ? 2?C
m m

? ? ? nC

???????7 分 (2) 得

(1 ? x)h( x) ? (1 ? x)
(1)-(2)
m

m ?1

? 2(1 ? x) m? 2 ? ? ? n(1 ? x) m? n ? (1 ? x)
m? 2

? xh( x) ? (1 ? x) ? (1 ? x)

m ?1

? ? ? (1 ? x)

m ? n ?1

? n(1 ? x)

m? n

? xh( x) ?

(1 ? x) m [1 ? (1 ? x) n ] ? n(1 ? x) m ? n 1 ? (1 ? x) x 2 h( x) ? (1 ? x)m ? (1 ? x)m? n ? nx(1 ? x) m? n

h( x) 中含 x m 项的系数,即是等式左边含 x m ? 2 项的系数,等式右边含 x m ? 2 项的系
数为
m? 2 m ?1 ?Cm ? n ? nCm ? n

???????

11 分

(m ? n)! n(m ? n)! ? (m ? 2)!(n ? 2)! (m ? 1)!(n ? 1)! ?(n ? 1) ? n(m ? 2) ( m ? n)! ? ? m?2 (m ? 1)!(n ? 1)1 (m ? 1)n ? 1 m?1 ? Cm? n m?2 ??

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m m m Cm ? 2 ? Cm ?1 ? ? ? nCm ? n ?1 ?

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???????13 分

(m ? 1)n ? 1 m?1 Cm? n m?2

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