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全国高中数学联赛江苏赛区2005年初赛试题答案


全国高中数学联赛江苏赛区 2005 年初赛试题答案
班级 __________ 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 姓名 __________

? ? ? 1.函数 y ? f ( x) 的图像按向量 a ? ( , 2) 平移后,得到的图像的解析式为: y ? sin( x ? ) ? 2 , 4 4
那么 y ? f (

x) 的解析式为 ________ A、 y ? sin x B、 y ? cos x C、 y ? sin x ? 2 D、 y ? cos x ? 4

? ? ? 解:按向量 a ? ( , 2) 平移就是向右平移 个单位且向上平移 2 个单位, 4 4
由结果到条件可知: y ? f ( x) ? sin[( x ? ) ? ] ,即 y ? cos x ;故选 B . 4 4 2.如果二次方程 x2 ? px ? q ? 0 ( p、q ? N *) 的正根小于 3,那么这样的二次方程有 ________ A、5 个 B、6 个 C、7 个 D、8 个

?

?

解:由 ? ? p 2 ? 4q ? 0, ? q ? 0 ,可知方程的根为一正一负;

设 f ( x) ? x 2 ? px ? q ,则 f (3) ? 32 ? 3 p ? q ? 0 ,即 3 p ? q ? 9 ; 由于 p, q ? N * ,所以 p ? 1, q ? 5 或 p ? 2, q ? 2 ; 于是共有 7 组 ( p, q) 符合题意.故选 C .
3.设 a ? b ? 0 ,那么 a 2 ? A、2
1 的最小值是 ________ b(a ? b)

B、3

C、4

D、5

解:由 a ? b ? 0 ,可知: 0 ? b(a ? b) ? 所以, a 2 ?

a2 a 1 ? (b ? )2 ? a 2 ; 4 2 4

1 4 ? a 2 ? 2 ? 4 ;故选 C . b( a ? b) a

4.设四棱锥 P ? ABCD 的底面不是平行四边形,用平面 ? 去截此四棱锥,使得截面四边形是平行四 边形,则这样的平面 ? ________ A、不存在 B、只有 1 个 C、恰有 4 个 D、有无数多个

解:设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为 m 、 n , 直线 m 、 n 确定了一个平面 ? ,作与 ? 平行的平面 ? , 与四棱锥的各个侧面相截,则截得的四边形必为平行四边形; 而这样的平面 ? 有无数多个.故选 D .

1

5.设数列 {an } : a0 ? 2, a1 ? 16, an ? 2 ? 16an ?1 ? 63an , n ? N * ,则 a2005 被 64 除的余数为 ________ A、0 B、2 C、16 D、48

解:由 a0 ? 2, a1 ? 16 ,得 a2 mod(64) ? 16 ?16 ? 63 ? 2 mod(64) ? 0 ? 2 mod(64) ? ?2 mod(64) , 于是可知数列 {an } 模 64 周期为 4,循环数为: 2 , 16 , ?2 , ?16 ; 又 2005 被 4 除余 1,故选 C . 6.一条走廊宽 2 m,长 8 m,用 6 种颜色的 1 ? 1 m 2 的整块地砖来铺设(每块地砖都是单色的,每种 颜色的地砖都足够多) ,要求相邻的两块地砖颜色不同,那么所有的不同拼色方法有 ________ A、 308 个 B、 30 ? 257 个 C、 30 ? 207 个 D、 30 ? 217 个

解:铺第一列(两块地砖)有 A62 ? 30 种方法; 其次铺第二列.设第一列的两格铺了 A、B 两色(如图) , 那么,第二列的上格不能铺 A 色; 若铺 B 色,则有 (6 ? 1) 即 5 种铺法;若不铺 B 色,则有 (6 ? 2)2 即 16 种; 于是第二列上共有 21 种铺法;同理,若前一列铺好,则其后一列都有 21 种铺法; 因此,共有 30 ? 217 种铺法;故选 D . 二、填空题(本题满分 36 分,每小题 6 分)
??? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? ? 7.设向量 OA 绕点 O 逆时针旋转 得向量 OB ,且 2OA ? OB ? (7,9) ,则向量 OB ? ________ 2 ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? 解:设 OA ? (m, n) ,则 OB ? (?n, m) ;所以 2OA ? OB ? (2m ? n, 2n ? m) ? (7,9) ;
A B

??? ? ? 2m ? n ? 7 23 11 11 23 即? ,解得: m ? , n ? ;因此, OB ? (? , ) . 5 5 5 5 ? m ? 2n ? 9
8.设无穷数列 {an } 的各项都是正数, S n 是它的前 n 项之和,对于任意正整数 n , a n 与 2 的等差中项 等于 S n 与 2 的等比中项,则该数列的通项公式为 ________ 解:由题意可知:

an ? 2 (a ? 2)2 ,.…① ; ? 2Sn ,即 Sn ? n 2 8 a1 ? 2 ? 2a1 ,从而 a1 ? 2 ; 2

由 a1 ? S1 ,可得:

又由① 式得: Sn?1 ?

(an?1 ? 2)2 ; (n ? 2) ,…② 8
(an ? 2)2 (an?1 ? 2)2 ? (n ? 2) , 8 8

于是有: an ? Sn ? Sn ?1 ?

整理得: (an ? an ?1 )(an ? an ?1 ? 4) ? 0 ;又因 an ? 0, an ?1 ? 0 , 故 an ? an ?1 ? 4 (n ? 2), a1 ? 2 ,所以数列 {an } 是以 2 为首项,4 为公差的等差数列; 其通项公式为: an ? 2 ? 4(n ? 1) ,即 an ? 4n ? 2 ;故填: an ? 4n ? 2 (n ? N *) .
2

9.函数 y ?| cos x | ? | cos 2 x | ( x ? R) 的最小值是 ________ 解:令 t ?| cos x |? [0, 1] ,则 y ? t ? | 2t 2 ? 1| ; 当

2 2 1 9 ? t ? 1 时, y ? 2t 2 ? t ? 1 ? 2(t ? )2 ? ,得 ? y ?2; 2 4 8 2

当0?t ?

2 2 2 9 2 1 9 ? y? ;y取 时, y ? ?2t 2 ? t ? 1 ? ?2(t ? )2 ? ,得 ,故填 . 2 8 2 2 4 8 2

10.在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? 2, AA1 ? AD ? 1 ,点 E 、 F 、 G 分别是棱 AA1 、 C1 D1 与 BC 的中点,那么四面体 B1 ? EFG 的体积是 ________ 解:在 D1 A1 的延长线上取一点 H ,使 A1 H ?

1 ,易证, HE∥B1G , HE∥平面 B1 FG ; 4

所以 VB1 ? EFG ? VE ? B1FG ? VH ? B1FG ? VG ? B1FH ,而 S?B1FH ? 故填 VB1 ? EFG ?

9 ,所以 G 到平面 B1 FH 的距离为 1; 8

3 . 8

11.由三个数字 1、2、3 组成的 5 位数中,1、2、3 都至少出现 1 次,这样的 5 位数共有 ________
1 1 2 3 解:在 5 位数中,若 1 只出现 1 次,有 C5 (C4 ? C4 ? C4 ) ? 70 个; 1 若 1 只出现 2 次,有 C52 (C3 ? C32 ) ? 60 个; 3 1 若 1 只出现 3 次,有 C5 C2 ? 20 个;

则这样的五位数共有 150 个;故填 150 个. 12.已知平面上两个点集: M ? {( x, y) | | x ? y ?1| ? 2( x2 ? y 2 ), x, y ? R} ,
N ? {( x, y) | | x ? a | ? | y ? 1| ? 1, x, y ? R} ,若 M ? N ? ? ,则 a 的取值范围是 ________

解:由题意知 M 是以原点为焦点、直线 x ? y ? 1 ? 0 为 准线的抛物线上及其凹口内侧的点集, N 是以 (a, 1) 为中心的正方形及其内部的点集(如图) ; 考察 M ? N ? ? 时, a 的取值范围: 令 y ? 1 ,代入方程: | x ? y ? 1|? 2( x2 ? y 2 ) , 得 x 2 ? 4 x ? 2 ? 0 ,解出得 x ? 2 ? 6 ;

?当 a ? 2 ? 6 ? 1 ? 1 ? 6 时, M ? N ? ? ,……③;
令 y ? 2 ,代入方程 | x ? y ? 1|? 2( x2 ? y 2 ) ,得 x 2 ? 6 x ? 1 ? 0 ,解之可得: x ? 3 ? 10 ;

?当 a ? 3 ? 10 时, M ? N ? ? ,………④;
因此,综合③ 与④ 可知,当 1 ? 6 ? a ? 3 ? 10 ,即 a ? [1 ? 6, 3 ? 10] 时, M ? N ? ? ;
3

故填 [1 ? 6, 3 ? 10] . 三、解答题(第一题、第二题各 15 分;第三题、第四题各 24 分) 13.已知点 M 是 ?ABC 的中线 AD 上的一点,直线 BM 交边 AC 于点 N ,且 AB 是 ?NBC 的外接圆的 切线,设

BC BM (用 ? 表示) . ? ? ,试求 BN MN
BM NA CD ? ? ?1; MN AC DB
A

证明:在 ?BCN 中,由 Menelaus 定理得: 因为 BD ? DC ,所以

BM AC ;………6 分 ? MN AN
M B D

N

由 ?ABN ? ?ACB ,知 ?ABN ∽?ACB , 则
AB AC CB ; ? ? AN AB BN AB AC CB 2 AC BC 2 ? ?( ) ,即 ?( ) .……12 分 AN AB BN AN BN BM BC 2 ?( ) ; MN BN

C

所以, 因此, 又

BC BM ? ? ,故 ? ? 2 .………………15 分 BN MN
n

14.求所有使得下列命题成立的正整数 n (n ? 2) :对于任意实数 x1 , x2 , ?, xn ,当 ? xi ? 0 时,
i ?1

总有 ? xi xi ?1 ? 0 (其中 xn ?1 ? x1 ) .
i ?1

n

解:当 n ? 2 时,由 x1 ? x2 ? 0 ,可得 x1 x2 ? x2 x1 ? ?2x12 ? 0 ; 所以 n ? 2 时命题成立;…………………………………………………………………3 分 当 n ? 3 时,由 x1 ? x2 ? x3 ? 0 ,可得:

x1 x2 ? x2 x3 ? x3 x1 ?

2 2 2 2 ( x1 ? x2 ? x3 )2 ? ( x12 ? x2 ? x3 ) ?( x12 ? x2 ? x3 ) ? ? 0; 2 2

所以 n ? 3 时命题成立;…………………………………………………………………6 分 当 n ? 4 时,由 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 0 ,可得:
x1 x2 ? x2 x3 ? x3 x4 ? x4 x1 ? ( x1 ? x3 )( x2 ? x4 ) ? ?( x2 ? x4 )2 ? 0 ;

所以 n ? 4 时命题成立;…………………………………………………………………9 分 当 n ? 5 时,令 x1 ? x2 ? 1 , x4 ? ?2 , x3 ? x5 ? ? ? xn ? 0 , 则 ? xi ? 0 ;
i ?1 n

但是, ? xi xi ?1 ? 1 ? 0 ,故对于 n ? 5 命题不成立;
n ?1

n

4

综上可知,使命题成立的自然数是: n ? 2, 3, 4 ..…………………………………15 分 15.设椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) ,线段 PQ 是过左焦点 F 且不与 x 轴垂直的焦点弦;若 a 2 b2
为正三角形, 求椭圆的离心率 e 的取值范围, 并用 e 表示直线 PQ

在左准线上存在点 R , ?PR 使 Q 的斜率.

解:如图,设线段 PQ 的中点为 M ; 过点 P、M 、Q 分别作准线的垂线, 垂足分别为 P '、M '、Q ' ;
R Q

y

M‘ P’ F P

M O

1 则 | MM ' |? (| PP ' | ? | QQ ' |) 2

x

1 | PF | | QF | | PQ | ;………6 分 ? ( ? )? 2 e e 2e
假设存在点 R ,则 | RM |? 所以, e ?

Q'

| PQ | 3 3 ? | PQ | , | PQ | ,且 | MM ' |?| RM | ,即 2e 2 2

3 .………………………………………………………………………………12 分 3

于是, cos ?RMM ' ?

| MM ' | | PQ | 2 1 1 ? ? ? ,故 cot ?RMM ' ? ; | RM | 2e 3 | PQ | 3e 3e 2 ? 1

若 | PF |?| QF | (如图) ,则 k PQ ? tan ?QFx ? tan ?FMM ' ? cot ?RMM ' ?

1 3e 2 ? 1

;……18 分

当e ?

3 1 时,过点 F 作斜率为 的焦点弦 PQ ,它的中垂线交左准线于 R , 3 3e2 ? 1

由上述运算知, | RM |?

3 | PQ | ;故 ?PQR 为正三角形;………………………………20 分 2
1 3e 2 ? 1

若 | PF |?| QF | ,则由对称性得 k PQ ? ?

;…………………………………………22 分

又 e ? 1 ,所以,椭圆 直线 PQ 的斜率为 ?

3 x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率 e 的取值范围是 e ? ( ,1) , 2 3 a b

1 3e 2 ? 1

.………………………………………………………………24 分

16. (1)若 n (n ? N *) 个棱长是正整数的正方体的体积之和为 2005,求 n 的最小值并说明理由. (2)若 n (n ? N *) 个棱长是正整数的正方体的体积之和为 2002 2005 ,求 n 的最小值说明理由. 解: (1)因为 103 ? 1000,113 ? 1331,123 ? 1728,133 ? 2197 , 123 ? 2005 ? 133 ,故 n ? 1 ; 因为 2005 ? 1728 ? 125 ? 125 ? 27 ? 123 ? 53 ? 53 ? 33 ,
5

所以存在 n ? 4 ,使 nmin ? 4 ;…………………………………………………………6 分 若 n ? 2 ,因 103 ? 103 ? 2005 ,则最大的正方体边长只能为 11 或 12; 计算 2005 ? 113 ? 674, 2005 ? 123 ? 277 ,而 674 与 277 均不是完全立方数; 所以 n ? 2 不可能是 n 的最小值;……………………………………………………9 分 若 n ? 3 ,设此三个正方体中最大一个的棱长为 x ,由 3 x 2 ? 2005 ? 3 ? 83 ; 知最大的正方体棱长只能为 9、10、11、或 12; 由于 2005 ? 3 ? 93 , 2005 ? 2 ? 93 ? 547 , 2005 ? 93 ? 2 ? 83 ? 0 ,所以 x ? 9 ; 由于 2005 ? 2 ?103 ? 5 , 2005 ? 103 ? 93 ? 276 , 2005 ? 103 ? 83 ? 493 , 2005 ? 103 ? 2 ? 73 ? 0 , 所以 x ? 10 ; 由于 2005 ? 113 ? 83 ? 162 , 2005 ? 113 ? 73 ? 331 , 2005 ? 113 ? 2 ? 63 ? 0 , 所以 x ? 11 ; 由于 2005 ? 123 ? 63 ? 61 , 2005 ? 123 ? 53 ? 152 ? 53 ,所以 x ? 12 ; 因此 n ? 3 不可能是 n 的最小值; 综上所述, n ? 4 才是 n 的最小值.…………………………………………………12 分 (2)设 n 个正方体的棱长分别是 x1 , x2 , ?, xn ,
3 3 3 则 x1 ? x2 ? ? ? xn ? 20022005 ;……………………⑤

由 2002 ? 4(mod 9) , 43 ? 1(mod 9) , 可得: 20022005 ? 42005 ? 4668?3?1 ? (43 )668 ? 4 ? 4(mod 9) ;……⑥ …………………15 分 又当 x ? N * 时, x3 ? 0, ? 1(mod 9) ,
3 3 3 所以 x13 ≡ 4(mod 9) , x13 ? x2 ≡ 4(mod 9) , x13 ? x2 ? x3 ≡ 4(mod 9) ……⑦ ∕ ∕ ∕ ……………21 分

⑤ 式模 9,由⑥ 、⑦ 可知: n ? 4 ;而 2002 ? 103 ? 103 ? 13 ? 13 , 则 20022005 ? 20022004 ? (103 ? 103 ? 13 ? 13 ) ? (2002668 )3 ? (103 ? 103 ? 13 ? 13 )
? (2002668 ?10)3 ? (2002668 ?10)3 ? (2002668 )3 ? (2002668 ) 3 ;……………24 分

因此 n ? 4 为所求的最小值.

6


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