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第8章 第6节 双曲线


2010~2014 年高考真题备选题库 第 8 章 平面解析几何 第6节 双曲线

x2 y2 1. (2014 天津,5 分)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线 l:y= a b 2x+10,双曲线的一个焦点在直线 l 上,则双曲线的方程为( x y A. - =1 5 20 3x2 3y2 C. - =1 25 1

00
2 2

)

x y B. - =1 20 5 D. 3x2 3y2 - =1 100 25

2

2

b 解析:选 A 由题意可知,双曲线的其中一条渐近线 y= x 与直线 y=2x+10 平行,所 a b x2 以 =2 且左焦点为(-5,0),所以 a2+b2=c2=25,解得 a2=5,b2=20,故双曲线方程为 - a 5 y2 =1. 20 答案:A y2 2. (2014 北京,5 分)设双曲线 C 经过点(2,2),且与 -x2=1 具有相同渐近线,则 C 4 的方程为________;渐近线方程为________. y2 y2 解析:∵与双曲线 -x2=1 有相同渐近线的双曲线方程为 -x2=k.将点(2,2)代入,得 k 4 4 =-3, x2 y2 ∴双曲线 C 的方程为 - =1, 3 12 x2 y2 其渐近线方程为 - =0,即 y=± 2x. 3 12 x2 y2 答案: - =1 3 12 y=± 2x

3. (2014 新课标全国卷Ⅰ,5 分)已知 F 是双曲线 C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦点, 则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为( A. 3 C. 3m
2 2

) B.3 D.3m

x y 解析:双曲线方程为 - =1,焦点 F 到一条渐近线的距离为 b= 3.选 A. 3m 3 答案:A

x2 y2 x2 3. (2014 山东,5 分)已知 a>b>0,椭圆 C1 的方程为 2 + 2=1,双曲线 C2 的方程为 2 - a b a y2 3 =1,C1 与 C2 的离心率之积为 ,则 C2 的渐近线方程为( b2 2 A.x± 2y=0 C.x± 2y=0 解析: 椭圆 C1 的离心率为 = B. 2x± y=0 D.2x± y=0 a2-b2 a2+b2 a2-b2 a2+b2 , 双曲线 C2 的离心率为 , 所以 · a a a a )

3 3 1 ,所以 a4-b4= a4,即 a4=4b4,所以 a= 2b,所以双曲线 C2 的渐近线方程是 y=± 2 4 2

x,即 x± 2y=0. 答案:A 4. (2014 广东,5 分)若实数 k 满足 0<k<9,则曲线 的( ) A.离心率相等 B.虚半轴长相等 C.实半轴长相等 D.焦距相等 解析: 由 0<k<9, 易知两曲线均为双曲线且焦点都在 x 轴上, 由 25+9-k= 25-k+9, 得两双曲线的焦距相等. 答案:D x2 y2 5. (2014 重庆,5 分)设 F1,F2 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲 a b 9 线上存在一点 P 使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|· |PF2|= ab,则该双曲线的离心率为( 4 4 A. 3 9 C. 4 5 B. 3 D.3 ) x2 y2 x2 y2 - =1 与曲线 - =1 25 9-k 25-k 9

解析: 选 B 由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=2a, 又|PF1|+|PF2|=3b, 所以(|PF1|+|PF2|)2 -(|PF1|-|PF2|)2=9b2-4a2,即 4|PF1|· |PF2|=9b2-4a2,又 4|PF1|· |PF2|=9ab,因此 9b2-4a2 b?2 9b 1 b 4?b ?3b ??3b ? ? =9ab,即 9? ?a? - a -4=0,则? a +1?? a -4?=0,解得a=3?a=-3舍去?,则双曲线的离 心率 e= b?2 5 1+? ?a? =3.

答案:B

6. (2014 湖北,5 分)已知 F1,F2 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点, π 且∠F1PF2= ,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( 3 4 3 A. 3 C.3
2

)

2 3 B. 3 D.2

解析:假定焦点在 x 轴上,点 P 在第一象限,F1,F2 分别为左、右焦点.设椭圆的方程 x y2 x2 y2 为 2+ 2=1(a>b>0),双曲线的方程为 2- 2=1(m>0,n>0),它们的离心率分别为 e1,e2, a b m n 由|PF1|-|PF2|=2m,|PF1|+|PF2|=2a,得|PF1|=a+m,|PF2|=a-m,在△PF1F2 中,4c2=(a a? 2 π ?m? 2 = 4 ,则 ??a?2+3?m?2? + m)2 + (a - m)2 - 2(a + m)(a - m)cos ? a2 + 3m2 = 4c2 ? ? + 3 ?c? ?c? ??c? ?c? ? 3

?1+1?≥?a+m?2? 1 + 1 =a+m≤4 3,当且仅当 a=3m 时,等号成立,故选 A. ? 3? ?c c ? e1 e2 c c 3
答案:A 3 7. (2013 广东,5 分)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F(3,0),离心率等于 ,则 2 C 的方程是(
2 2

) x2 y2 B. - =1 4 5 x2 y2 D. - =1 2 5 c2-a2

x y A. - =1 4 5 x2 y2 C. - =1 2 5

解析: 本题考查双曲线的方程, 考查考生的运算能力. 由题意可知 c=3, a=2, b= = x2 y2 32-22= 5,故双曲线的方程为 - =1. 4 5 答案:B

π x2 y2 y2 x2 8. (2013 湖北, 5 分) 已知 0<θ< , 则双曲线 C1: 2 - 2 =1 与 C2: 2 - 2 4 cos θ sin θ sin θ sin θtan2θ =1 的( ) B.虚轴长相等 D.离心率相等

A.实轴长相等 C.焦距相等

解析:本题考查三角函数、双曲线等知识,意在考查考生对双曲线知识的掌握情况,会 求实轴、虚轴、焦距和离心率的值,掌握三角函数的重要公式是求解本题的基础.双曲线 C1 c1 的离心率 e1 = = a1
2 a2 2+b2 2 = a2 2 a2 1+b1 2 = a1

cos2θ+sin2θ 1 c2 = ,双曲线 C2 的离心率 e2 = = cos2θ cos θ a2 sin2θ 1 1+ 2 = ,所以 e1=e2,而双曲线 cos θ cos θ
2 a2 1+b1=2,双曲线 C2 的

sin2θ+sin2θtan2θ = 1+tan2θ= sin2θ

C1 的实轴长为 2a1=2cos θ,虚轴长为 2b1=2sin θ,焦距为 2c1=2

实 轴 长 为 2a2 = 2sin θ , 虚 轴 长 为 2b2 = 2sin θsin θ , 焦 距 为 2c2 = 2 sin2θ+sin2θtan2θ=2tan θ,所以 A,B,C 均不对,故选 D. 答案:D x2 9. (2013 福建,5 分)双曲线 -y2=1 的顶点到其渐近线的距离等于( 4 2 A. 5 2 5 C. 5 4 B. 5 4 5 D. 5 )

2 a2 +b2 2=2

解析:本题考查双曲线的图象与性质,点到直线的距离等基础知识,意在考查考生的数 x2 x 形结合能力、转化和化归能力以及运算求解能力.双曲线 -y2=1 的渐近线方程为 y=± , 4 2 即 x± 2y=0,所以双曲线的顶点(± 2,0)到其渐近线距离为 答案:C x2 10. (2013 浙江,5 分)如图,F1,F2 是椭圆 C1: +y2=1 与双曲线 4 C2 的公共焦点,A,B 分别是 C1,C2 在第二、四象限的公共点.若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是( ) 2 2 5 = . 5 5

A. 2 3 C. 2

B. 3 D. 6 2

解析:本题考查椭圆、双曲线的定义,几何图形和标准方程,简单几何性质,考查转化 x2 y2 与化归思想、数形结合思想、函数与方程思想以及运算求解能力.设双曲线方程为 2- 2= a b 1(a>0,b>0)①,点 A 的坐标为(x0,y0). 由题意得 a2+b2=3=c2②,则|OA|=c= 3,
2 2 ? ?x0+y0=3, 1 8 2 1 2 2 2 2 8 所以? 2 解得 x0 = ,y2 0= ,又点 A 在双曲线上,代入①得, b - a =a b 2 3 3 3 3 ?x0+4y0=4, ?

c 6 ③,联立②③解得 a= 2,所以 e= = ,故选 D. a 2 答案:D x2 y2 11. (2013 北京,5 分)若双曲线 2- 2=1 的离心率为 3,则其渐近线方程为( a b A. y=± 2x 1 C. y=± x 2 B.y=± 2x 2 D. y=± x 2 )

解析:本题考查双曲线的方程和简单几何性质,意在考查考生的运算求解能力.在双曲 c 线中离心率 e= = a 答案:B x2 y2 5 12. (2013 陕西,5 分)双曲线 - =1 的离心率为 ,则 m 等于________. 16 m 4 解析:本题考查双曲线的几何性质和方程思想的具体应用. a =16, ? ?b =m, ? 25 ?e =16 ?
2 2 2

b?2 b 1+? = 3 , 可得 = 2, 故所求的双曲线的渐近线方程是 y=± 2x. a ? ? a

25 16+m ? = ?m=9. 16 16

答案:9 x2 y2 13. (2013 江苏,5 分)双曲线 - =1 的两条渐近线的方程为________. 16 9 解析:本题考查双曲线的几何性质,意在考查学生的运算能力. 令 x2 y2 3 - =0,解得 y=± x. 16 9 4

3 答案:y=± x 4 x2 y2 14. (2013 湖南,5 分)设 F1,F2 是双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的两个焦点,P 是 C a b 上一点.若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2 的最小内角为 30° ,则 C 的离心率为________. 解析:本小题主要考查双曲线的定义及其几何性质和余弦定理,考查数形结合思想与运 算求解能力,属中档题.依题意及双曲线的对称性,不妨设 F1,F2 分别为双曲线的左、右焦 点,点 P 在双曲线的右支上,由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|+|PF2|=6a,求得 |PF1|=4a,|PF2|=2a.而|F1F2|=2c,所以在△PF1F2 中由余弦定理,得 |PF2|2= |PF1|2+|F1F2|2 -2|PF1|· |F1F2|· cos∠PF1F2,所以 4a2=16a2+4c2-2· 4a· 2c· cos 30° ,即 3a2-2 3ac+c2=0, 所以 3a-c=0,故双曲线 C 的离心率为 3. 答案: 3 x2 y2 15. (2011 山东,5 分)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆 C:x2+y2 a b -6x+5=0 相切,且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为( x2 y2 A. - =1 5 4 x2 y2 C. - =1 3 6 x2 y2 B. - =1 4 5 x2 y2 D. - =1 6 3 )

解析:圆心的坐标是(3,0),圆的半径是 2,双曲线的渐近线方程是 bx± ay=0,根据已知



3b 3b x2 y2 2 2 2=2,即 3 =2,解得 b=2,则 a =5,故所求的双曲线方程是 5 - 4 =1. a +b 答案:A 16. (2011 安徽,5 分)双曲线 2x2-y2=8 的实轴长是( A.2 C.4
2 2

)

B.2 2 D.4 2

x y 解析:双曲线方程可变形为 - =1,所以 a2=4,a=2,2a=4. 4 8 答案:C 17. (2012 新课标全国,5 分)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物 线 y2=16x 的准线交于 A,B 两点,|AB|=4 3,则 C 的实轴长为( A. 2 C.4 B.2 2 D.8 )

解析:抛物线 y2=16x 的准线方程是 x=-4,所以点 A(-4,2 3)在等轴双曲线 C:x2 -y2=a2(a>0)上,将点 A 的坐标代入得 a=2,所以 C 的实轴长为 4. 答案:C x2 18. (2012 浙江,5 分)如图,F1,F2 分别是双曲线 C: 2 a y2 - 2=1(a,b>0)的左、右焦点,B 是虚轴的端点,直线 F1B b 与 C 的两条渐近线分别交于 P,Q 两点,线段 PQ 的垂直平分 线与 x 轴交于点 M.若|MF2|=|F1F2|,则 C 的离心率是( 2 3 A. 3 C. 2 B. 6 2 )

D. 3

b 解析:不妨设 c=1,则直线 PQ:y=bx+b,两渐近线为 y=± x, a a b a b a2 因此有交点 P(- , ), Q( , ), 设 PQ 的中点为 N, 则点 N 的坐标为( , a+1 a+1 1-a 1-a 1-a2 b ), 1-a2 因为线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M,|MF2|=|F1F2|,所以点 M 的坐标为(3,0), b -0 1-a2 1 因此有 kMN= 2 =- ,所以 3-4a2=b2=1-a2, a b 2-3 1-a 2 6 所以 a2= ,所以 e= . 3 2

答案:B x2 y2 19. (2011 湖南,5 分)设双曲线 2- =1(a>0)的渐近线方程为 3x± 2y=0,则 a 的值为 a 9 ( ) A.4 C.2
2 2

B.3 D.1

x y 解析:双曲线方程 2- =1 的渐近线方程为 3x± ay=0,与已知方程比较系数得 a=2. a 9 答案:C x2 y2 20. (2012 湖北,5 分)如图,双曲线 2- 2=1(a,b>0)的两顶点为 A1,A2,虚轴两端 a b 点为 B1,B2,两焦点为 F1,F2.若以 A1A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2,切点分别为 A,B, C,D.则 (1)双曲线的离心率 e=________; S1 (2)菱形 F1B1F2B2 的面积 S1 与矩形 ABCD 的面积 S2 的比值 =________. S2 3+ 5 解析:由题意可得 a b2+c2=bc,∴a4-3a2c2+c4=0,∴e4-3e2+1=0,∴e2= , 2 1+ 5 ∴e= . 2 设 sin θ= b c , 2,cos θ= 2 b +c b +c2
2

b2+c2 2 1 2+ 5 S1 2bc 2bc = = = =e - = . S2 4a2sin θcos θ bc 2a2 2 2 4a2 2 2 b +c 1+ 5 2+ 5 答案: 2 2 x2 y2 21. (2011 辽宁,5 分)已知点(2,3)在双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)上,C 的焦距为 a b 4,则它的离心率为________. 4 9 解析:根据点(2,3)在双曲线上,可以很容易建立一个关于 a,b 的等式,即 2- 2=1, a b 考虑到焦距为 4,这也是一个关于 c 的等式,2c=4,即 c=2.再有双曲线自身的一个等式 a2 +b2=c2,这样,三个方程,三个未知量,可以解出 a=1,b= 3,c=2,所以,离心率 e= 2. 答案:2


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