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定积分在几何中的应用


定积分在几何中的应用 一、复习引入 1.定积分的几何意义: 如果在区间[a,b]上函数 f(x) 连续且恒有 f(x)≥0 ,那么定积分 ?a
b

f ( x) d x

表示:

2.微积分基本定理: 如果 f(x)是区间[a,b]上的连续函数,且 F?(x)=f(x),那么

二、新课讲解 例 1. 计算由两条抛物线

y 2 ? x 和 y ? x 2 围成图形的面积.

练习 1. 求抛物线 y=x2-1,直线 x=2,y=0 所围成的图形的面积

例 2.计算由曲线

y?

2x

,直线 y=x-4 以及 x 轴围成图形的面积.

思考:如图,将例 2 曲线沿 x 轴旋转,与直线相交于一点 B,求曲线与直线围成 的面积。

三、课堂练习 1.如图所示,阴影部分的面积为(

)

A.?bf(x)dx ?a

B.?bg(x)dx ?a

C.?b[f(x)-g(x)]dx ?a )

D.?b[g(x)-f(x)]dx ?a

2.如图所示,阴影部分的面积是(

A.2 3 32 C. 3

B.2- 3 35 D. 3

3. 求抛物线 y=x2+2 与直线 y=3x 和 x=0 所围成的图形的面积。 4. 设 y=f(x)是二次函数,方 程 f(x)=0 有两个相等的实根,且 f′(x)=2x+2. (1 )求 y=f(x)的表达式;[来源:学&科&网] (2)若直线 x=-t(0<t<1)把 y=f(x)的 图象与两坐标轴所围成图形的面积二 等分,求 t 的值

四、课堂小结 1.几种典型的平面图形的面积的计算 类型 1:求由一条曲线 y=f(x)和直线 x=a,x=b(a<b)及 x 轴所围成平面图形的面积 S

类型 2:由两条曲线 y=f(x)和 y=g(x),直线 x=a,x=b(a<b)所围成平面图形的面积 S

2.求由两条曲线围成的平面图形面积的解题步骤

3.要注意定积分和用定积分计算面积两概念的区别



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