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2015-2016学年江苏省泰兴中学高二下学期期中考试数学(文)试题


江苏省泰兴中学高二年级数学(文科)期中考试试题
一、填空题(本题包括 14 个小题,每题 5 分,共 70 分)
1.已知集合 M ? ?1,2,3,4,5,6?, N ? {x | ?2 ? x ? 5, x ?Z},则集合 M ? N = 2.命题“ ? x∈R,有 x2+1≥x”的否定是 ▲ . ▲ . 赛上某一位选手的部分得分的茎叶统计 ▲ . ▲ .



? x ? 5x 2 , x ? 5 3.已知函数 f ( x) ? ? ,则 f (8) 的值为 ? f ( x ? 2), x ? 5

4.如图是 2015 年“隆力奇”杯第 19 届 CCTV 青年歌手电视大奖 图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的方差为

5.超速行驶已成为马路上最大杀手之一,已知某中段属于限速路段, 规定通过该路段的汽车时速不超过 80 km/h,否则视为违规.某天, 有 1000 辆汽车经过了该路段,经过雷达测速得到这些汽车运行时 速的频率分布直方图,则违规的汽车大约为 6.如图所示,程序框图输出的值为 ▲ . ▲ .辆.

7 9 8 44467 9 136 第 4 题图 第 5 题图 第 6 题图

7.如果函数 f ( x) ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? 1减区间为 (??,2) ,则实数 a 的值



. ▲ .

S 8.在面积为 S 的△ ABC 的内部任取一点 P,则△ PBC 的面积小于 的概率为 2

9.设偶函数 f ( x) 在区间[0,+∞)单调递增,则使得 f(x)>f(2x?1)成立的 x 的取值范围是 ▲ . ▲ .

10.求函数 y ? x ? 1 ? x 的值域

5 a?3 11.已知 f(x)定义在(?∞,0)∪(0,+∞)上奇函数,且 f ( x ? ) f ( x) ? 1 ,若 f (?1) ? 1 , f (2016) ? ,则 a 2 a ?3
的范围 ▲ . (x+1)2+sinx 的最大值为 M,最小值为 m,则 M+m= x2+1 ▲ .

12.设函数 f(x) =



1第

13.若关于 x 的方程 (5 x ? ) ? | 4 x ? ▲ .

5 x

4 |? m 在 (0, ?∞) 内恰有四个相异实根,则实数 m 的取值范围为 x

14. 已知函数 f ( x) ? (2 x ? a ? 1) ln(x ? a ? 1) 的定义域为 (?a ? 1,??) , 若 f ( x) ? 0 恒成立, 则 a 的值是



.

二、解答题(本题包含 6 大题,共 90 分)
15.(本题 14 分)为了解社会对学校办学质量的满意程度,某学校决定用分层抽样的方法从高中三个年级的 家长委员会中共抽取 6 人进行问卷调查,已知高一、高二、高三的家长委员会分别有 54 人,18 人,36 人. (1)求从三个年级的家长委员会中分别应抽的家长人数; (2)若从抽到的 6 人中随机抽取 2 人进行调查结果的对比,求这 2 人中至少有一人是高三学生家长的概 率.

16.(本题 14 分) 设集合 A ? {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0} , B ? {x | x 2 ? 2(a ? 1) x ? (a 2 ? 5) ? 0} (1)若 A∩B={2},求实数 a 的值;. (2) 若 A∪B=A,求实数 a 的取值范围;



2第

2 17.(本题 15 分) 已知 p: ?x ? R , 2x ? m( x2 ? 1) ,q: ?x0 ? R , x0 ? 2x0 ? m ? 1 ? 0 ,

(1)若 q 是真命题,求 m 的范围; (2)若 p ? (?q) 为真,求实数 m 的取值范围.

18.(本题 15 分)市场上有一种新型的强力洗衣液,特点是去污速度快.已知每投放 a(1≤a≤4,且 a∈R)个单 位的洗衣液在一定量水的洗衣机中,它在水中释放的浓度 y(克/升)随着时间 x(分钟)变化的函数关系式
? 16 ? 1(0 ? x ? 4) ? ?8 ? x 近似为 y ? a ? f ( x) ,其中 f ( x) ? ? ,若多次投放,则某一时刻水中的洗衣液浓度为每 ?5 ? 1 x(4 ? x ? 10) ? ? 2

次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和,根据经验,当水中洗衣液的浓度不低于 4(克/升)时, 它才能起到有效去污的作用. (1)若只投放一次 4 个单位的洗衣液,则有效去污时间可能达几分钟? (2)若第一次投放个 2 单位的洗衣液,6 分钟后再投放 2 个单位的洗衣液,问能否使接下来的 4 分钟内 持续有效去污?说明理由.

19.(本题 16 分)方程 x2+(k?2)x+2k?1=0, (1)一根在 0 和 1 之间,另一根在 1 和 2 之间,求实数 k 的取值范围. (2)两根都在(0,1)之间,求 k 的范围. (3)在(0,1)之间有一个零点,求 k 的范围.



3第

20.(本题 16 分)已知函数 f ( x) ? x x ? a ? 2 x . (1)当 a=3 时,方程 f ( x) ? m 的解的个数; (2) 对任意 x ? [1, 2] 时,函数 f ( x) 的图象恒在函数 g ( x) ? 2 x ? 1 图象的下方,求 a 的取值范围; (3) f ( x) 在 (?4,2) 上单调递增,求 a 的范围;



4第

江苏省泰兴中学高二年级数学(文科)期中考试试题

参考答案
一、填空题(本题包括 14 个小题,每题 5 分,共 70 分)
1. {1,2,3,4}; 5. 280 2. ?x∈R,x2+1<x; 3. ?76; 6. 12 7. ?1 11.0<a<3
80 7 3 8. 4

4.

1 9.( ,1 ) 3
13.(6,10)

5 10. (??, ] 4
14. a ?

12.2

1 3

二、解答题(本题包含 6 大题,共 90 分)
15.解 (1)家长委员会人员总数为 54+18+36=108, 样本容量与总体中的个体数的比为 6 1 = , 108 18

故从三个年级的家长委员会中分别抽取的人数为 3,1,2.-------------------- ---------------6 分 (2)得 A1,A2,A3 为从高一抽得的 3 个家长,B1 为从高二抽得的 1 个家长,C1,C2 为从高三抽得的 2 个家 长. 则抽取的全部结果有: (A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,C1),(A1,C2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,C1),(A2,C2),(A3,B1), (A3,C1),(A3,C2),(B1,C1),(B1,C2),(C1,C2),共 15 种. 令 X=“至少有一人是高三学生家长”,结果有: (A1,C1),(A1,C2),(A2,C1),(A2,C2),(A3,C1),(A3,C2),(B1,C1),(B1,C2),(C1,C2),共 9 种, 所以这 2 人中至少有 1 人是高三学生家长的概率是 P(X)= 9 3 = .------14 分 15 5

16.解 A={1,2} (1)∵A∩B={2},∴2∈B,即 4+4(a+1)+a -5=0,a +4a+3=0,即 a=-1 或 a=-3------4 分 若 a=-1 时,x -4=0,x=±2,满足题意 若 a=-3 时,x -4x+4=0,x=2,满足题意 综上 a=-1 或 a=-3.---- --------------------------------------------------6 分 (2) (2)A∪B=A,∴B?A----------------------------------------------------7 分 ①B=? ,△=[2(a+1)]2-4(a2-5)<0,即 a<-3 ②B 为单元集,△=0,即 a=-3,若 a=-3 时,x -4x+4=0,x=2,满足题意
?2(a ? 1) ? ?3 ① B 为双元集,B={1,2}, ? 2 ,a∈? ----------------------------13 分 ?a ? 5 ? 2
页 5第
2 2 2 2 2

综上 a≤-3--------------------------- -----------------------------------14 分
2 17、解:(1) 若 q:?x0∈R,x2 0+2x0-m-1=0 为真,则方程 x +2x-m-1=0 有实根,

∴4+4(m+1)≥0,∴m≥-2.-----------------------------------------------------------------------4 分 (2)2x>m(x2+1)可化为 mx2-2x+m<0. 若 p:?x∈R, 2x>m(x2+1)为真. 则 mx2-2x+m<0 对任意的 x∈R 恒成立. 当 m=0 时,不等式可化为-2x<0,显然不恒成立;
?m<0, ? 当 m≠0 时,有? ∴m<-1.-------------------------------------------------------12 分 2 ? ?4-4m <0,

?q :m<-2
? m ? ?1 又 p ? ?q 为真,故 p、?q 均为真命题. ? ∴m<-2.---------------------15 分 ? m ? ?2

18、解:(1) y ? 4 f ( x)

16 ? 1) ? 4 ,得 x≥0; 8? x 1 当 4<x≤10, 4(5 ? x) ? 4 ,得 4<x≤8,∴有效去污时间可能达 8 分钟. 2
当 0≤x≤4, 4( 答:有效去污时间可能达 8 分钟。----------------------------------------------------------------7 分 (2)能在接下来的 4 分钟内持续有效去污,设 6 分钟后水中洗衣液的浓度为 g(x)
g ( x) ? 2(5 ? 1 16 x ) ? 2( ? 1) , 6 ? x ? 10 2 8 ? ( x ? 6)

g ( x) ? 8 ?
y ?t?

32 ? x ,令 t ? 14 ? x , t ? [4,8] 14 ? x

32 ? 6 ? 8 2 ? 6 当且仅当 t ? 4 2 即 x ? 14 ? 4 2 ∈[6,10]时,洗衣液的浓度最小为 8 2 ? 6 克/升,大 t

于 4 克/升,所以能在接下来的 4 分钟持续去污. 答:能在接下来的 4 分钟持续去污.-----------------------------------------------------------15 分

19. 令 f ( x) ? x 2 ? (k ? 2) x ? 2k ? 1
? ?k ? ? f (0) ? 0 ? ? ? (1) ? f (1) ? 0 , ?k ? ? f ( 2) ? 0 ? ? ? ?k ? ? 1 2 1 2 2 , ? k ? -------------------------------------------------------------4 分 3 2 3 1 4



6第

?k ? 6 ? 2 7或k ? 6 ? 2 7 ?? ? 0 ? ? ?0 ? k ? 2 ?0 ? ? k ? 2 ? 1 ? 2 ? (2) ? , ?k ? 1 , ? k ? 6 ? 2 7 ------------------------9 分 2 3 2 ? ? f ( 0) ? 0 ? ? 2 ? ?k ? ? f (1) ? 0 3 ?

1 3 3 ,代入检验 x 2 ? x ? 0 ,x=0, x ? ,不满足题意. 2 2 2 2 4 1 1 ②当 f(1)=0, k ? ,代入检验 x 2 ? x ? ? 0 ,x=1,或 x ? ,满足题意. 3 3 3 3 1 2 ③ f (0) f (1) ? 0 , ? k ? 2 3
(3)法一:①当 f(0)=0 时, k ?
?? ? 0 ? k ?2 ? ?1 ?0 ? ? ④? ,k ?6?2 7 2 ? f ( 0) ? 0 ? ? ? f (1) ? 0

综上:

1 2 ? k ? 或 k ? 6 ? 2 7 -------------------------------------------------------------16 分 2 3
? x2 ? 2x ? 1 ,令 t=x+2,t∈(2,3) x?2

法二: k ?

k?

? t 2 ? 6t ? 7 7 7 = ? t ? ? 6 ,令 g(t)= ? t ? ? 6 , t ? (2, 7 ) 时函数单调递增, t ? ( 7 ,3) 时函数单调递减, t t t

f(x)只有一个零点,即 y=k 与 y= ? t ? ∴

7 ? 6 两个函数图象有一个交点 t

1 2 ? k ? 或k ?6?2 7 2 3

2 ? ? x ? x, x ? 3 20.(1)当 a=3 时, f ( x) ? ? , 2 ? ?5x ? x , x ? 3

25 时,方程有两个解; 4 25 当m ? 6或m? 时,方程一个解; 4 25 当6?m? 时,方程有三个解.----------------- ---------------------------------------------3 分 4 1 (2) 由题意知 f ( x) ? g ( x) 恒成立,即 x | x ? a |? 1 在 x∈[1,2]上恒成立, | x ? a |? 在 x∈[1,2]上恒成立 x 1 1 3 x ? ? a ? x ? 在 x∈[1,2]上恒成立,∴ ? a ? 2 -----------------------------------------9 分 2 x x
当m ? 6或
2 ? ?x ? (2 ? a) x, x ? a (3) f ( x) ? ? 2 ? ?? x ? (a ? 2) x, x ? a




a?2 a?2 ?a且 ? a ,即 ?2 ? a ? 2 ,f(x)在 R 单调递增,满足题意; 2 2
7第



a?2 a?2 a?2 ,+∞)单调递增, ? a且 ? a ,即 a ? ?2 ,f(x)在(?∞,a)和( 2 2 2

∵f(x)在(-4,2)上单调递增,∴a≥2 或-4,∴ a ? ?6 ;

a?2 a?2 ? a且 ? a ,即 a ? ?2 且 a ? 2 ,舍去; 2 2 a?2 a?2 a?2 ④ )和(a,+∞)上单调递增, ?a且 ? a ,即 a ? 2 ,f(x)在(?∞, 2 2 2 a?2 ∵f(x)在(-4,2)上单调递增,∴ ? 2 或 a≤-4,∴a>2 2
③ 综上: a ? ?6或a ? ?2 -----------------------------------------------------16 分



8第


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