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向量法求异面直线的距离解法探求


向量法求异面直线的距离解法探求
空间异面直线的距离问题是立体几何的重点, 难点, 同时也是历届高考试题的热点问题。 如何很好地利用向量法求解这类问题又是一个值得探讨与研究的问题。 下举例谈谈向量法求 解这类问题的基本方法与策略。 一、 定义法: 0 例 1、如图 1,正方形 ABCD 与 ABEF 成 60 的二面角,且 正大光明方形的边长为,M,N 分别为 BD,EF

的中点,求异 面直线 BD 与 EF 的距离。 解析:选取为 AD, AF , AB, 基向量。显然 AD, AF 的夹 角为 60 , AB, AD 的夹角为 90 , AB, AF 的夹角为 90 , 1 1 1 1 1 ? MN ? MD ? DF ? FN ? BD ? DF ? FE ? ( AD ? AB) ? ( AF ? AD) ? AB ? AF ? AD 2 2 2 2 2
0 0 0

? MN ? BD ? ( AF ?

2 1 1 1 AD)(AD ? AB ? AF ? AD ? AD ? AF ? AB ? AD ? AB ? ? ) 2 2 2 1 1 a 2 cos 600 ? a 2 ? 0 ? 0 ? 0,? MN ? BD, 即MN ? BD.又MN ? FE ? ( AF ? AD) ? AB 2 2 1 ? AF ? AB ? AD ? AB ? 0 ? MN ? EF , 即MN ? EF 2

从而 MN 为异面直线 BD 与 EF 的公垂线。 2 2 2 1 1 1 3 3 ?| MN |2 ? MN ? ( AF ? AD) 2 ? AF ? AF ? AD ? AD ? a 2 ? a 2 cos 60 0 ? a 2 ? a 2 | MN |? a, 2 4 4 4 2 异面直线 BD 与 EF 的距离为

3 a。 2

点评:本题利用向量数量积定义,很好地证明 MN 为异面直线的公垂线。然后利用向量 模与数量积的关系,巧妙进行了模与向量的转化,解法自然,回味无穷。 二、射影法: 分别以这两异面直线上任意两点为起点和终点的向量为 a , 与这两条异面直线都垂直的 法向量为 n ,则两异面直线间的距离是 a 在 n 方向上的正射影向量的模设为 d,从而由公式

d?

| a?n | |n|

求解。

例 2 、 如 图 2 , 四 棱 锥 P-ABCD 的 底 面 是 正 方 形 , PA ? 底面ABCD, PA ? 3 AB ? 3a ,求异面直线 AB 与 PC 的距离。 解析:以 A 为坐标原点,AB 为 x 轴建立如图所示的直角坐标系,则 B (a,0,0),C(a,a,o),P(0,0,3a),则 AB ? (a,0,0), PC ? (a, a,?3a ) , 设 AB, PC 的公垂线的方向向量为 n ? ( x, y, z ) 由

? ? x?0 ? n ? AB ? ax ? 0 ?? ,不妨令 x=0,y=1,z=3 则有 ? ?n ? PC ? ax ? ay ? 3az ? 0 ? y ? 3 z ?

n ? (0,1,3) ,又 AP ? (0,0,3a ) ,∴AB 与 PC 间的距离为: d ?

| n ? AP | |n|

?

9a 9 10 ? a。 10 10

点评:异面直线公垂线难于确定时,可用向量法求异面间的距离。这种方法的关键是利 用待定系数法确定公垂线的方向向量 n 。

三、公式法 设异面直线 AE,BF 所成的角为 ? ,设 d 为异面直线的公垂线,E,F 为直线 AE,BF 上 任 一 点 , 若 能 求 出 | EF | 的 长 , 从 而 有 :
d ? | EF |2 ?( m 2 ? n 2 ? 2mn c o? ) s

例3、如图,已知二面角 ? ? ? ? ? 的大小为 60 , A ,C 分 别为平面 ? , ? 内一点,过A、C分别作棱 ? 的垂线,垂足为B, D,若AC=6,CD=AB=4,求异面直线AB与CD的 距离。 解析:由已知异面直线AB,CD所成的角为60 0 , BD ? AB, BD ? CD BD 从而知BD为异面直线的公垂线。
0

?| AC |2 ? AC ? AC ? ( AB ? BD ? DC ) ? ( AB ? BD ? DC ) ? AB ? BD ? DC ? 2( AB ? BD ? AB ? DC ? ? ? CD BD ) ? AB ? BD ? DC ? 2 AB ? DC ?| AB | ? | BD | ? | DC | ?2 | AB | ? | DC | cos 60
2 2 2 2 2 2 0 2 2 2

即异面直线A

?| BD |2 ?? | AC |2 ?(| AB |2 ? | DC |2 ?2 | AB | ? | DC | cos 60 0 ) ? 20,?| BD |? 2 5
B与CD的距离为 2 5 。 点评:利用异面直线两点的距离公式求异面直线的距离主要是理解公式中的具体涵义, 特别要注意“±”的确定及两异面直线所成的角与二面角的大小关系。 四、转化法 如图 4, 过其中一条异面直线 b 上的一点 A 作与另一条 a 平 行的直线 a1,于是异面直线的距离就可转化为直线 a 到平面 ? 的距离,最后可转化为在直线 a 上取一点到平面 ? 的距离。从 而可借用向量的射影法求解。 例4、如图 5,在底面是菱形的四棱锥 P—ABCD中,∠ ABC=60 ,PA=AB=a,PB=PD= 2 a ,点 E 在 PD 上,且 PE:ED=2:1. 求异面直线 PB 与 CE 的距离。 解析:由 PE:ED=2:1 知,在 BD 上取点 F 使 BF:BD=2:1,易知 PB//EF, 从而 PB//平面 CEF, 于是只需求直线 PB 到平面 CEF 的距离, 即可求点 P 到平面 CEF 的距离。以 A 为坐标原点,AD 为 y 轴,建立 如 图 所 示 的 直 角 坐 标 系 , 由 已 知 , P ( 0,0,a ) C (
0

3 1 3 1 2 1 a, a,0) , F ( a, a,0) , E (0, a, a) 则 2 2 6 2 3 3 2 2 3 1 1 3 PE ? (0, a,? a), CE ? ( a, a,? a), CF ? (? a,0,0) , 3 3 2 6 3 3

? 3 1 1 ax ? ay ? az ? 0 ? x ? 0 ?n ? CE ? ? 2 6 3 设平面 CEF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) 则 ? ,于是 ?? 3 ? y ? 2z ? 0 ? n ? CF ? ? ax ? 0 ? 3 ?

d?

x=0,y= - 2,z=1 , 则 n ? (0,?2,1) ∴ PB
| n ? PE | |n| ? |?

到 平 面

CEF

间 的 距 离 为 :

4a 2a ?? | 2 5 3 3 ? 2 5 a ,从而异面直线 PB 与 CE 的距离为 a。 5 5 5

点评: 本题较好地通过线面平行将异面直线的距离转化为线面距,进而利用平面内任斜 线方向向量到平面一法向量的投影成功求得点面距即为所求的异面直线的距离。转化巧妙, 关键是构造法向量。 五、最值法

在两异面直线 a,b 上分别任取两点 A,B,建立 AB 的模的目标函数,函数的最小值即 为所求。 例5、设正方体 AC1 的棱长为 1,E,F,M 分别为 B1C1, C1 D1, A1B1 的中点,求异面直线 EF 与 AM 的距离。 解析:设 N 为 A1D1 的中点,连 MN, AN,BE,FD,BD,易证平 面 BDEF//平面AMN,于是问题转化成A点到平面BEFD的距 离。如图 6,以C为坐标原点,CB为 x 轴建立直角坐标系。设 P为平面BEFD内任一点。由P、B、D、E四点共面,则有:
1 1 AP ? a AB ? b AD ? c AE ? a(0,?1,0) ? b(?1,0,0) ? c(? ,?1,1) ? (?b ? c,?a ? c, c) 2 2 1 b? c?a?c 1 9 2 4 2 且a ? b ? c ? 1,?| AP |2 ? (b ? c) 2 ? (a ? c) 2 ? c 2 ? 2[ ]2 ? c 2 ? (c ? ) 2 ? 2 2 8 9 9 4 2 2 ? ,?| AP |? .? 异面直线的距离为 . 9 3 3

点评: 本题在利用空间图形间的距离定义的基础上构建图形上任意两点所在方向向量模 的目标函数,转求函数的最小值,匠心独运,值得欣赏。 六、待定系数法 将异面直线通过转化成面面距或线面距,最终转求点面距时,关键是求作垂足点的位置 即平面的垂线。 由空间向量的基本定理方向可采用待定系数法设法求得垂线段所在的方向向 量使问题加以解决。 如例题 5 可作PA⊥平面EFDB于P,由P、B、D、E四点共面,则有:

1 1 AP ? a AB ? b AD ? c AE ? a(0,?1,0) ? b(?1,0,0) ? c(? ,?1,1) ? (?b ? c,?a ? c, c) 2 2 5 且a ? b ? c ? 1......①又由AP ? BE ? 0 ? b ? ? c......② AP ? DF ? 0 ? a ? ?3c......③ 2 2 1 2 2 由①②③得 : c ? ? ,? AP ? (?b ? c,?a ? c, c) ? ? (2,2,1),?| AP |? 9 2 9 3
点评:当异面直线的距离转化为点面距时,垂足点的位置不好确定时,可结合共面向量 定理、向量垂直的充要条件等转化成方程组来求解,往往会起到意想不到的效果。


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