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1球的内切与外接问题


一、复习

球体的体积与表面积 ②

4 3 ① V球 ? ? R 3
二、球与多面体的接、切

S球面 ? 4? R

2

定义1:若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上, 则称这个多面体是这个球的内接多面体, 这个球是这个多面体的外接球。 定义2:若一个多面体的各

面都与一个球的球面相切, 则称这个多面体是这个球的外切多面体, 这个球是这个多面体的内切球。

解决“接切”问题的关键是画出正确的截面, 把空间“接切”转化为平面“接切”问题

球与正方体的“接切”问题
典型:有三个球,一球切于正方体的各面,一球切 于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求 这三个球的体积之比.
a r1 ? 2
2 a 2

a

a

r2 ?

a

3 r3 ? a 2

a

2a

2a

?画出正确的截面:(1)中截面;(2)对角面 ?找准数量关系

变题:
1. 已知长方体的长、宽、高分别是 外接球的体积。

3 、 5 、1 ,求长方体的

2. 已知球O的表面上有P、A、B、C四点,且PA、PB、PC两两 互相垂直,若PA=PB=PC=a,求这个球的表面积和体积。 沿对角面截得:
A

C

A O C

? ???O
A1

C1

P

B

半球的半径为R,一正方体的四 个顶点在半球的底面上,另四个 顶点在球面上,求正方体的棱长

小结 (1)球与正方体的六个面均相切,则球的直径等于正方 体的棱长. (2)球与正方体的 12 条棱均相切, 则球的直径是正方体的面对 角线. (3)球与圆柱的底面和侧面均相切, 则球的直径等于圆柱的高, 也等于圆柱底面圆的直径. (4)球与圆台的底面和侧面均相切, 则球的直径等于圆台的高.

四面体与球的“接切”问题
典型:正四面体ABCD的棱长为a,求 其内切球半径r与外接球半径R. 思考:若正四面体变成正三棱锥,方法 是否有变化? 1、内切球球心到多面体各面的距离均相等,外接球 球心到多面体各顶点的距离均相等 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上,但不 重合 4、基本方法:构造三角形利用相似比和勾股定理 5、体积分割是求内切球半径的通用做法

例 、正三棱锥的高为 1,底面边长为 2 6 内有一个球与四个面都相切,求棱锥的全
面积和球的表面积。
A 1 O? B O1 过侧棱AB与球心O作截面( 如图 ) 在正三棱锥中,BE 是正△BCD的高

O1 是正△BCD的中心,且AE 为斜高

? BC ? 2 6 ? O1 E ? 2 且AE ? 3
E S ? 3? 1 ? 2 6 ? 3 ? 3 ? 2 6 全 2 4

? ?

2

3 2

2

?9 6?6 3

例 、正三棱锥的高为 1,底面边长为 2 6 内有一个球与四个面都相切,求棱锥的全
面积和球的表面积。
A 1 O? B O1 作 OF ⊥ AE 于 F 设内切球半径为 r,则 OA = 1 -r

3 ∵ Rt △ AFO ∽ Rt △ AO1E F

? ? E 2
2

r

1? r

S球 ? 8 5 ? 2 6 ?

?

3

?r ? 6 ? 2

?

例 、正三棱锥的高为 1,底面边长为 2 6 内有一个球与四个面都相切,求棱锥的全 面积和球的表面积。
A 1 O? B 在 Rt △ AO1E 中

θ

3 6 sin ? ? cos ? ? 3 3 3 ? 1 ? cos ? tan ? ? 3? 2 2 sin ?
E 在 Rt △ OO E 中 OO ? 1 1

O1

6?2

2

S球 ? 8 5 ? 2 6 ?

?

?

例 、正三棱锥的高为 1,底面边长为 2 6 内有一个球与四个面都相切,求棱锥的全 面积和球的表面积。
A 设球的半径为 r,则 VA- BCD = VO-ABC + VO- ABD + VO-ACD + VO-BCD O
2 1 3 VA ? BCD ? ? ? 2 6 ?1 ? 2 3 3 4 D 1 ? ? r ? S全 ? 3 2 ? 2 3 ? r 3

?

B C

? ? ?

? r ? 6 ? 2 S球 ? 8 5 ? 2 6 ? 1 V多 面 体 ? ? S 全 ? r内 切 球 3

?

?

?

变题

球的表面积与体积

正四棱锥 S—ABCD 的底面边长和各侧棱 长都为 2,点 S、A、B、C、D 都在同一 个球面上,则该球的体积为________.

[ 教师选讲 ] 已知正四棱锥的底面边长为 a,侧棱长为 2a. (1)求它的外接球半径; (2)求它的内切球半径.

作业

球的表面积与体积

正四棱锥 S—ABCD 的底面边长和各侧棱 长都为 2,点 S、A、B、C、D 都在同一 个球面上,则该球的体积为________.

? 【思路点拨】 根据球截面性质找出 球半径与截面圆半径和球心到截面距 离的关系,求出球半径.

【解析】 如图所示,AB=BC=CD= DA=SA=SB=SC=SD= 2, O 为球心,球的半径为 R, SO⊥平面 ABCD 于 M 点, ∵四边形 ABCD 为正方形, ∴BD⊥AC,DM=AM 2 = · 2=1,SM 2 = SA2-AM2= 2-1=1, 在 Rt△AOM 中 AO2=OM2+AM2,即 R2=1+(R-1)2,解得 R=1, 4 4 3 4 【答案】 π 3 ∴球的体积为 πR = π. 3 3

[ 教师选讲 ] 已知正四棱锥的底面边长为 a,侧棱长为 2a. (1)求它的外接球半径; (2)求它的内切球半径.

【解析】 如图.(1)设外接球的半径为 R,球心为 O, 则 OA=OC=OS, 所以 O 为△SAC 的外心,即△SAC 的外接圆的 半径就是球的半径. ∵AB=BC=a,∴AC= 2a. ∵SA=SC=AC= 2a, ∴△SAC 为正三角形. 2 2 3 ∴R= SO= × × 2? 3 3 2 6 = a. 3 6 因此 R= a. 3

(2)设内切球的半径为 r, 作 SE⊥底面于 E, 作 SF⊥BC 于 F, ?a? 7 ? ?2 2 2 2 则有 SF = SB -BF = ( 2a) -?2? = 2 ? ? a, 1 1 7 7 2 S△SBC= BC· SF= a· a= a , 2 2 2 4 S 棱锥全=4S△SBC+S 底=( 7+1)a2. ? ? ?a? 6 7 ? ?2 ? ?2 2 2 又 SE= SF -EF = ? a? -?2? = a, 2 ? ? ? 2 ?

1 1 2 6 6 3 ∴V 棱锥= Sh= a · a= a . 3 3 2 6 1 根据 r· S =V 棱锥,有 3 全 6 3 3V棱锥 3× 6 a 42- 6 r= = a. 3= 12 S全 ( 7+1)a

(12 分)正三棱锥的高为 1, 底 面边长为 2 6,内有一个球 与它的四个面都相切(如 图).求: (1)这个正三棱锥的全面积; (2)这个正三棱锥内切球的表 面积与体积.

? 【思路点拨】 (1)利用特征三角形求 斜高即可; ? (2)抓住球心到正三棱锥四个面的距离 相等求球的半径.

【规范解答】 (1)底面正三角形内中心到一边 的距离为 1 3 × × 2 6= 2, 3 2 则正棱锥侧面积的斜高为 12+( 2)2= 3.2 分 1 ∴S 侧=3× ×2 6× 3=9 2.4 分 2 1 3 ∴S 全=S 侧+S 底=9 2+ × ×(2 6)2 2 2 =9 2+6 3.6 分

(2)设正三棱锥 P—ABC 的内切球球心为 O, 连 结 OP、OA、OB、OC,而 O 点到三棱锥的四 个面的距离都为球的半径 r. ∴VP—ABC = VO—PAB + VO—PBC + VO—PAC + VO—ABC 1 1 = S 侧· r+ S△ABC· r 3 3 1 = S 全· r=(3 2+2 3)r. 3 1 1 3 又 VP—ABC= × × (2 6)2×1=2 3, 3 2 2 ∴(3 2+2 3)r=2 3,

2 3(3 2-2 3) 2 3 得 r= = = 6 - 2.8 18-12 3 2+ 2 3 分 ∴S 内切球=4π( 6-2)2=(40-16 6)π.10 分 4 8 3 V 内切球= π( 6-2) = (9 6-22)π.12 分 3 3


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