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数学:1[1].1《变化率与导数》课件(新人教A版-选修2-2)


新课标人教版课件系列

《高中数学》
选修2-2

1.1. 《变化率与导数》

教学目标
? 了解导数概念的实际背景,体会导数的 思想及其内涵;了解函数的平均变化率; 教学重点: ? 函数的平均变化率;导数概念的实际背景, 导数的思想及其内涵;

一、变化率问题


导数研究的问题

变化率问题

研究某个变量相对于另一个变量变化 的快慢程度.

微积分主要与四类问题的处理相关:
? 一、已知物体运动的路程作为时间的函数, 求物体在任意时刻的速度与加速度等; ? 二、求曲线的切线; ? 三、求已知函数的最大值与最小值; ? 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函 数增减、变化快慢、最大(小)值等问题 最一般、最有效的工具。

变化率问题
? 问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的 过程,可以发现,随着气球内空气容量的增 加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度, 如何描述这种现象呢?
? 气球的体积V(单位:L)与半径r 4 3 (单位:dm)之间的函数关系是 V (r ) ? ? r

3 3V 3 ? 如果将半径r表示为体积V的函数,那么 r (V ) ? 4?

我们来分 析一下:
3V r (V ) ? 4?
3

? 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球 的过程,可以发现,随着气球内空气容 量的增加,气球的半径增加越来越慢. 从数学角度,如何描述这种现象呢?

? 当V从0增加到1时,气球半径增加了 r (1) ? r (0) ? 0.62(dm) 气球的平均膨胀率为 r (1) ? r (0)
1? 0 ? 0.62(dm / L)

? 当V从1增加到2时,气球半径增加了 r (2) ? r (1) ? 0.16(dm) 气球的平均膨胀率为 r (2) ? r (1) 显然
2 ?1 ? 0.16(dm / L)
0.62>0.16

思考?
? 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平 均膨胀率是多少?

r (V2 ) ? r (V1 ) V2 ? V1

问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面 的高度h(单位:米)与起跳后的时间t(单 位:秒)存在函数关系 h 2+6.5t+10. h(t)=-4.9t 如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态?

请计算

o

t

0 ? t ? 0.5和1 ? t ? 2时的平均速度v :

请计 0 ? t ? 0.5和1 ? t ? 2时的平均速度v : 算
h(t)=-4.9t2+6.5t+10
h

o

t

平均变化率定义:
f(x2 ) ? f ( x1 ) 表示 ?上述问题中的变化率可用式子 x2 ? x1
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率

? 若设Δx=x2-x1, Δf=f(x2)-f(x1)
这里Δx看作是对于x1的一个 “增量”可用x1+Δx代替x2 同样Δf=Δy==f(x2)-f(x1)

则平均变化率为

?f ? ?x

f(x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1

思考?
? 观察函数f(x)的图象

?y f(x2 ) ? f ( x1 ) ? 平均变化率 ?x x2 ? x1
y

Y=f(x)

表示什么?

f(x2) f(x2)-f(x1)=△y A f(x1)

B

直线AB 的斜率

x2-x1=△x x x1 x2

O

做两个题吧!
? 1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则 Δy/Δx=( ) D A 3 B 3Δx-(Δx)2 C 3-(Δx)2 D 3-Δx ? 2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。 2x0+Δx

练习:
1.质点运动规律s=t +3,则在时间(3,3+?t)中
2

相应的平均速度为( A ) A. 6+?t C.3+?t 9 B. 6+?t+ ?t D.9+?t

? 2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直 线运动,求在4s附近的平均变化率.

25 ? 3?t

小结:
? f ( x ) f(x2 ) ? f ( x1 ) ? ? 1.函数的平均变化率 x2 ? x1 ?x
? 2.求函数的平均变化率的步骤: (1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);

(2)计算平均变化率

?f ? ?x

f(x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1

练习:
? 过曲线y=f(x)=x3上两点P(1,1)和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线,求出当 Δx=0.1时割线的斜率.

(1 ? ?x )3 ? 13 2 2 k? ? 3 ? 3?x ? ( ?x ) ? 3 ? 3 ? 0.1 ? 0.1 ? 3.31 (1 ? ?x ) ? x

二、导数的概念

问题2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高 度h(单位:米)与起跳后的时间t(单位:秒) 存在函数关系 h h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态?
o t

65 计算运动员在0 ? t ? 这段时间里的平均速度, 49
65 h( ) ? h(0) ? 10 49

?h v? ?0 ?t

思考下面问题; 1)运动员在这段时间里是静止的吗?
2)你认为用平均速度描述运动员的状态有什么问题吗?

瞬时速度.
? 在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映 他在这段时间里运动状态. 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速 度.
又如何求 瞬时速度呢?

如何求(比如,

当Δt趋近于0时,平均 t=2时的)瞬时速度? 速度有什么变化趋势?

通过列表看出平均速度的变化趋势



瞬时速度
? 我们用
?t ? 0

lim h(2 ? ?t ) ? h(2) ? ?13.1
?t

表示 “当t=2, Δ t趋近于0时,平均速度趋于确 定值-13.1”.
局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过 取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

? 那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度?

h(t0 ? ?t ) ? h(t0 ) lim ?t ? 0 ?t

导数的定义:
从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:

问题:
? 求函数y=3x2在x=1处的导数. 分析:先求Δf=Δy=f(1+Δx)-f(1) =6Δx+(Δx)2
再求 再求

?f ? 6 ?? x ?x ?y
? x ?0

lim

?x

?6

应用:
1 2 s 例1 物体作自由落体运动,运动方程为: ? 2 gt 其 2

中位 移单位是m,时间单位是s,g=10m/s .求: (1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度; (2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度; (3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度. 分析:
1 ?s ? s (t0 ? ?t ) ? s (t0 ) ? 2 g ?t ? g (?t ) 2 2 __ ?s s (t0 ? ?t ) ? s (t0 ) 1 v? ? ? 2 g ? g ( ?t ) ?t ?t 2

解:

__

?s 1 v? ? 2 g ? g ( ?t ) ?t 2

O s(2) s(2+?t)

(1)将 Δ t=0.1代入上式,得: __

v ? 2.05g ? 20.5m / s.

?s

(2)将 Δ t=0.01代入上式,得: __

v ? 2.005g ? 20.05m / s.
__

( 3)当?t ? 0,2 ? ?t ? 2, 从而平均速度 的极限为: v __ ?s v ? lim v ? lim ? 2 g ? 20m / s. ?t ? 0 ?t ? 0 ? t

s

应用:
? 例2 将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同 产品,需要对原油进行冷却和加热。如果第 x(h) 时,原油的温度(单位:0C)为 f(x)=x27x+15(0≤x≤8).计算第2(h) 和第6(h)时,原 由温度的瞬时变化率,并说明它们的意义。
关键是求出:? f ? 2 x ?? x ? 7 ? ?x f
? x ?0

再求出lim

?x

? 2x ? 7

它说明在第2(h)附近,原油 温度大约以3 0C/h的速度下降; 在第6(h)附近,原油温度大 约以5 0C/H的速度上升。

应用:
? 例3.质量为10kg的物体,按照s(t)=3t2+t+4的 规律做直线运动, (1)求运动开始后4s时物体的瞬时速度;

1 2 (2)求运动开始后4s时物体的动能。 ( E ? mv ) 2
?s 25?t ? 3?t 2 v ? lim ? lim ? lim (25 ? 3?t ) ? 25 ?x ? 0 ?t ?x ? 0 ?x ? 0 ?t 1 2 1 E ? mv ? ? 10 ? 252 ? 3125( J ) 2 2

小结:
? 1求物体运动的瞬时速度:

(1)求位移增量Δ s=s(t+Δ t)-s(t)

(2)求平均速度 ? ? s ; v ?t ?s (3)求极限 lim ? lim s(t ??t ) ? s(t ) .
? x ?0

?t

? x ?0

?t

? 1由导数的定义可得求导数的一般步骤: (1)求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0)

(2)求平均变化率 (3)求极限 f ' ( x0 ) ? lim ? y
? x ?0

?y ?x

?x

练习:
? (1)求函数y=
? (2)求函数y=

在x=1处的导数.

x

4 的导数. 2 x

三、导数的几何意义

回顾
①平均变化率 函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2∈D,f(x)从x1到x2 平均变化率为:

?f ? ?x

f(x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1
y f(x2) f(x2)-f(x1)=△y

Y=f(x)

②割线的斜率

?f k? ? ?x

f(x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1

B

f(x1)
O

A x2-x1=△x x x1 x2

回顾
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
f ( x 0 ?? x) ? f ( x 0) ?x ? lim
? x ?0

lim
? x ?0

?f , ?x

我们称它为函数y=f(x)

在x=x0处的导数,记作f′ (x0)或y′|x→x0即
f '( x 0) ? lim
? x ?0

f ( x 0 ?? x) ? f ( x 0) ?x

?f ? lim , ? x ?0 ? x

以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限, 从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的 导数的基本方法是:

(1)求函数的增量?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ); 回 (2)求平均变化率 ?y ? f ( x 0 ??x) ? f ( x0 ) ; 顾 ?x ?x
?y (3)取极限,得导数f ?( x0 ) ? lim . ?x ?0 ?x

注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负. 自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择 哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式.

应用:
? 例1 将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同 产品,需要对原油进行冷却和加热。如果第 x(h) 时,原油的温度(单位:0C)为 f(x)=x27x+15(0≤x≤8).计算第2(h) 和第6(h)时,原 由温度的瞬时变化率,并说明它们的意义。
关键是求出:? f ? 2 x ?? x ? 7 ? ?x f
? x ?0

再求出lim

?x

? 2x ? 7

它说明在第2(h)附近,原油 温度大约以3 0C/h的速度下降; 在第6(h)附近,原油温度大 约以5 0C/H的速度上升。

导数的几何意义:
y
y=f(x)

Q

割 线

T 切线

P

?

o

x 我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即 Δ x→0时,割线PQ如果有一个极限位置PT.则我 们把直线PT称为曲线在点P处的切线.

设切线的倾斜角为α ,那 么当Δx→0时,割线PQ的斜 率,称为曲线在点P处的切 线的斜率.
'

y

y= Q f( x) P
?

割 线 T 切 线 x

o

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim 即: k切线 ? f ( x0 ) ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x
这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数. 要注意,曲线在某点处的切线: 1) 与该点的位置有关; 2) 要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在 此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线; 3) 曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点, 可以有多个,甚至可以无穷多个.

例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程. f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) 解 : k ? lim y ?x ? 0 Q ?x (1 ? ?x ) 2 ? 1 ? (1 ? 1) ? lim 2 ?x ? 0 ?x y = x +1 2 ?x ? ( ?x ) 2 ? lim ? 2. ?x ? 0 ?x P 因此,切线方程为y-2=2(x-1), ?x 即y=2x.
1

?y

M

求曲线在某点处的切线方程 的基本步骤: ①求出P点的坐标; ②利用切线斜率的定义求 出切线的斜率; ③利用点斜式求切线方程.

j

x

-1 O

1

1 3 8 y ? x 上 一 点 ( 2, ) P 练习:如图已知曲线 3 3 ,求: (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.
1 1 3 3 ( x ? ?x ) ? x 1 3 ?y 3 解 : ) y ? x ,? y? ? lim (1 ? lim 3 ?x ? 0 ? x ?x ? 0 y 3 ?x 1 y? x 3 4 1 3 x 2 ?x ? 3 x ( ?x ) 2 ? ( ?x ) 3 ? lim 3 3 ?x ? 0 ?x 2 1 2 2 2 ? lim[3 x ? 3 x?x ? ( ?x ) ] ? x . 1 3 ?x ? 0

3

P

? y? |x?2 ? 22 ? 4.

x

-2 -1

即点P处的切线的斜率等于4.

O -1 -2

1

2

(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.

函数导函数
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当 时,f’(x0) 是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) f ?( x) ? y? ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x 在不致发生混淆时,导函数也简称导数.

函数y ? f ( x)在点x0处的导数f ?( x0 ) 等于函数f ( x)的导(函)数f ?( x)在点x0处的 函数值.

如何求函数y=f(x)的导数?

(1)求函数的增量?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x);
(2)求函数的增量与自变量的增量的比值 : ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? ; ?x ?x

?y (3)求极限,得导函数y? ? f ?( x) ? lim . ?x ?0 ?x

看一个例子:
例4.已知y ? x,求y?.
解:?y ? x ? ?x ? x ?
?y ? ?x 1 x ? ?x ?

?x x ? ?x ? x

x

?y 1 1 ? y? ? lim ? lim ? . ?x ?0 ?x ?x ?0 x ? ?x ? x 2 x

下面把前面知识小结:
a.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数 学表达式的一个重要概念,要从它的几何意义和物 理意义认识这一概念的实质,学会用事物在全过 程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。 b.要切实掌握求导数的三个步骤: (1)求函数的增 量; (2)求平均变化率; (3)取极限,得导数。

小结:
c.弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、 “导数” 之间的区别与联系。 (1)函数在一点处的导数,就是在该点的函数的改 变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个 常数,不是变数。 (2)函数的导数,是指某一区间内任意点x而言的, 就是函数f(x)的导函数 f ?( x ) 。 (3)函数f(x)在点x0处的导数 f ?( x0 ) 就是导函数 f ?( x ) 在x=x0处的函数值,即 f ?( x0 ) ? f ?( x) |x? x 。这也是 求函数在点x0处的导数的方法之一。
0

小结:
求切线方程的步骤:
(1)求出函数在点x0处的变化率 f ?( x0 ) ,得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 (2)根据直线方程的点斜式写出切线方程,即

y ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ).
无限逼近的极限思想是建立导数 概念、用导数定义求 函数的导数的 基本思想,丢掉极限思想就无法理解 导 数概念。


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