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江西省吉安一中2014-2015学年高二数学上学期第一次段考试卷 理(含解析)


文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

江西省吉安一中 2014-2015 学年高二上学期第一次段考数学试卷 (理 科)
一、选择题:每小题 5 分,共 50 分. 1. (5 分)在直角坐标系中,直线 x+ y﹣3=0 的倾斜角是() A. B. C. D.

2. (5 分)已知点 A(1,2) ,B(3,1) ,则线段 AB 的垂直平分线的方程是() A. 4x+2y=5 B. 4x﹣2y=5 C. x+2y=5 D. x﹣2y=5 3. (5 分)空间直角坐标系中,点 A(﹣3 ,4,0)与点 B(x,﹣1,6)的距离为 x 等于() A. 2 B. ﹣8 C. 2 或﹣8 D. 8 或 2 ,则

4. (5 分)设 m,n 是两条不同的直线,α ,β ,γ 是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m⊥α ,n∥α ,则 m⊥n ②若 α ∥β ,β ∥γ ,m⊥α ,则 m⊥γ ③若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n ④若 α ⊥γ ,β ⊥γ ,则 α ∥β 其中正确命题的序号是() A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④ 5. (5 分)如图,在斜三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面△ABC 中,∠BAC=90°,且 BC1⊥AC,过 C1 作 C1H⊥底面 ABC,垂足为 H,则点 H 在()

A. 直线 AC 上

B. 直线 AB 上

C. 直线 BC 上

D. △ABC 内部

6. (5 分)已知 x,y 满足约束条件

,则 z=2x+4y 的最小值为()

A. 10

B. ﹣10

C. 6

D. ﹣6

7. (5 分)如图所示,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的侧面 ABB1A1 内有一动点 P 到直线 A1B1 和直线 BC 的距离相等,则动点 P 所在曲线形状为()

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A.

B.

C.

D.

8. (5 分)若直线 y=kx﹣1 与曲线 A. (0, ] B. [ , ] C. [0, ]

有公共点,则 k 的取值范围是() D. [0,1]

9. (5 分)某几何体的三视图如图所示,当 a+b 取最大值时,这个几何体的体积为()

A.

B.

C.

D.

10. (5 分)已知直线 m、n 及平面 α ,其中 m∥n,那么在平面 α 内到两条直线 m、n 距离 相等的点的集合可能是: (1)一条直线; (2)一个平面; (3)一个点; (4)空集.其中正确 的是() A. (1) (2) (3) B. (1) (4) C. (1) (2) (4) D. (2) (4)

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11. (5 分)已知直线 3x+4y﹣3=0 与直线 6x+my+11=0 平行,则实数 m 的值是. 12. (5 分)一平面截一球得到直径为 2 球的体积是. cm 的圆面,球心到这个平面的距离是 2cm,则该

13. (5 分)已知点 P 的坐标(x,y)满足 N 两点,那么|MN|的最小值是.

过点 P 的直线 l 与圆 C:x +y =14 交于 M、

2

2

2

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 14. (5 分)正三棱锥 P﹣ABC 的底面边长为 1,E,F,G,H 分别是 PA,AC,BC,PB 的中点, 四边形 EFGH 的面积为 S,则 S 的取值范围是. 15. (5 分)如图,下列五个正方体图形中,I 是正方体的一条对角线,点 M、N、P 分别为其 所在棱的中点,能得出 I 垂直于平面 MNP 的图形的序号是.

三、解答题(共 75 分) 16. (12 分)如图,在平行四边形 ABCD 中,边 AB 所在直线方程为 2x﹣y﹣2=0,点 C(2,0) . (1)求直线 CD 的方程; (2)求 AB 边上的高 CE 所在直线的方程.

17. (12 分)如图,已知四边形 ABCD 和 BCEG 均为直角梯形,AD∥BC,CE∥BG,且 ∠BCD=∠BCE= ,平面 ABCD⊥平面 BCEG,BC=CD=CE=2AD=2BG=2.求证:

(Ⅰ)EC⊥CD; (Ⅱ)求证:AG∥平面 BDE; (Ⅲ)求:几何体 EG﹣ABCD 的体积.

18. (12 分)已知点 M(1,m) ,圆 C:x +y =4. (1)若过点 M 的圆 C 的切线只有一条,求 m 的值及切线方程; (2)若过点 M 且在两坐标轴上的截距相等的直线被圆 C 截得的弦长为 2

2

2

,求 m 的值.

3

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 19. (12 分)如图,△ABC 内接于圆 O,AB 是圆 O 的直径,AB=2,BC=1,DC= 为平行四边形,DC⊥平面 ABC, (1)求三棱锥 C﹣ABE 的体积; (2)证明:平面 ACD⊥平面 ADE; (3)在 CD 上是否存在一点 M,使得 MO∥平面 ADE?证明你的结论. ,四边形 DCBE

20. (13 分)已知点 P(x,y)为圆 C:x +y ﹣4x+3=0 上一点,C 为圆心. 2 2 (1)求 x +y 的取值范围; (2)求 的最大值; (3)求 ? (O 为坐标原点)的取值范围.
2 2

2

2

21. (14 分)已知点 P(2,0)及圆 C:x +y ﹣6x+4y+4=0. (Ⅰ)若直线 l 过点 P 且与圆心 C 的距离为 1,求直线 l 的方程; (Ⅱ)设过 P 直线 l1 与圆 C 交于 M、N 两点,当|MN|=4 时,求以 MN 为直径的圆的方程; (Ⅲ)设直线 ax﹣y+1=0 与圆 C 交于 A,B 两点,是否存在实数 a,使得过点 P(2,0)的直 线 l2 垂直平分弦 AB?若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由.

江西省吉安一中 2014-2015 学年高二上学期第一次段考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题:每小题 5 分,共 50 分. 1. (5 分)在直角坐标系中,直线 x+ y﹣3=0 的倾斜角是() A. B. C. D.

考点: 直线的倾斜角. 专题: 计算题. 分析: 先求出直线的斜率 tanθ 的值,根据倾斜角 θ 的范围求出 θ 的大小. 解答: 解:直线 x+ y﹣3﹣0 的斜率等于﹣ ,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 设此直线的倾斜角为 θ ,则 tanθ =﹣ 又 0≤θ <π ,∴θ = , ,

故选 C. 点评: 本题考查直线的倾斜角和斜率的关系, 以及倾斜角的取值范围, 已知三角函数值求 角的大小,已知三角函数值求角是解题的难点. 2. (5 分)已知点 A(1,2) ,B(3,1) ,则线段 AB 的垂直平分线的方程是() A. 4x+2y=5 B. 4x﹣2y=5 C. x+2y=5 D. x﹣2y=5 考点: 直线的点斜式方程;两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系;中点坐标公式. 专题: 计算题. 分析: 先求出中点的坐标,再求出垂直平分线的斜率,点斜式写出线段 AB 的垂直平分线 的方程,再化为一般式. 解答: 解:线段 AB 的中点为 ,kAB= =﹣ ,

∴垂直平分线的斜率 k=

=2,

∴线段 AB 的垂直平分线的方程是 y﹣ =2(x﹣2)? 4x﹣2y﹣5=0, 故选 B. 点评: 本题考查两直线垂直的性质, 线段的中点坐标公式, 以及用直线方程的点斜式求直 线方程的求法. 3. (5 分)空间直角坐标系中,点 A(﹣3,4,0)与点 B(x,﹣1,6)的距离为 等于() A. 2 B. ﹣8 C. 2 或﹣8 D. 8 或 2 考点: 专题: 分析: 解答: 所以 ,则 x

空间两点间的距离公式. 计算题. 直接利用空间两点间的距离公式求解即可. 解:因为空间直角坐标系中,点 A(﹣3,4,0)与点 B(x,﹣1,6)的距离为 =
2



,所以(x+3) =25.解得 x=2 或﹣8.

故选 C. 点评: 本题考查空间两点间的距离公式的应用,基本知识的考查. 4. (5 分)设 m,n 是两条不同的直线,α ,β ,γ 是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m⊥α ,n∥α ,则 m⊥n ②若 α ∥β ,β ∥γ ,m⊥α ,则 m⊥γ ③若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n ④若 α ⊥γ ,β ⊥γ ,则 α ∥β
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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 其中正确命题的序号是() A. ①和② B. ②和③

C. ③和④

D. ①和④

考点: 空间中直线与平面之间的位置关系; 命题的真假判断与应用; 空间中直线与直线之 间的位置关系;平面与平面之间的位置关系. 专题: 证明题;压轴题;空间位置关系与距离. 分析: 根据线面平行性质定理,结合线面垂直的定义,可得①是真命题;根据面面平行的 性质结合线面垂直的性质,可得②是真命题;在正方体中举出反例,可得平行于同一个平面 的两条直线不一定平行,垂直于同一个平面和两个平面也不一定平行,可得③④不正确.由 此可得本题的答案. 解答: 解:对于①,因为 n∥α ,所以经过 n 作平面 β ,使 β ∩α =l,可得 n∥l, 又因为 m⊥α ,l? α ,所以 m⊥l,结合 n∥l 得 m⊥n.由此可得①是真命题; 对于②,因为 α ∥β 且 β ∥γ ,所以 α ∥γ ,结合 m⊥α ,可得 m⊥γ ,故②是真命题; 对于③,设直线 m、n 是位于正方体上底面所在平面内的相交直线, 而平面 α 是正方体下底面所在的平面, 则有 m∥α 且 n∥α 成立,但不能推出 m∥n,故③不正确; 对于④,设平面 α 、β 、γ 是位于正方体经过同一个顶点的三个面, 则有 α ⊥γ 且 β ⊥γ ,但是 α ⊥β ,推不出 α ∥β ,故④不正确. 综上所述,其中正确命题的序号是①和② 故选:A 点评: 本题给出关于空间线面位置关系的命题, 要我们找出其中的真命题, 着重考查了线 面平行、面面平行的性质和线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识,属于中档题. 5. (5 分)如图,在斜三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面△ABC 中,∠BAC=90°,且 BC1⊥AC,过 C1 作 C1H⊥底面 ABC,垂足为 H,则点 H 在()

A. 直线 AC 上

B. 直线 AB 上

C. 直线 BC 上

D. △ABC 内部

考点: 直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由条件,根据线面垂直的判定定理,AC⊥平面 ABC1,又 AC 在平面 ABC 内,根据面 面垂直的判定定理,平面 ABC⊥平面 ABC1, 则根据面面垂直的性质,在平面 ABC1 内一点 C1 向平面 ABC 作垂线,垂足必落在交线 AB 上. 解答: 解:如图: ∵∠BAC=90°,∴AC⊥AB, ∵BC1⊥AC,∴AC⊥BC1, 而 BC1、AB 为平面 ABC1 的两条相交直线,根据线面垂直的判定定理,AC⊥平面 ABC1, 又 AC 在平面 ABC 内,根据面面垂直的判定定理,平面 ABC⊥平面 ABC1, 则根据面面垂直的性质,在平面 ABC1 内一点 C1 向平面 ABC 作垂线,垂足必落在交线 AB 上.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 故选:B

点评: 本题主要考查空间中线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理,属于中档题.

6. (5 分)已知 x,y 满足约束条件

,则 z=2x+4y 的最小值为()

A. 10

B. ﹣10

C. 6

D. ﹣6

考点: 简单线性规划. 专题: 解题思想. 分析: 根据约束条件,作出平面区域,平移直线 2x+4y=0,推出表达式取得最小值时的点 的坐标,求出最小值.

解答: 解:作出不等式组

,所表示的平面区域

作出直线 2x+4y=0,对该直线进行平移, 可以发现经过点 C(3,﹣3)时 z 取得最小值﹣6; 故选 D.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 点评: 本题主要考查线性规划中的最值问题,属于中档题,考查学生的作图能力,计算能 力,在解决线性规划的小题时,我们常用“角点法”,其步骤为:①由约束条件画出可行域 ? ②求出可行域各个角点的坐标? ③将坐标逐一代入目标函数? ④验证,求出最优解. 7. (5 分)如图所示,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的侧面 ABB1A1 内有一动点 P 到直线 A1B1 和直线 BC 的距离相等,则动点 P 所在曲线形状为()

A.

B.

C.

D.

考点: 轨迹方程. 专题: 转化思想. 分析: 点 P 到 BC 的距离就是当 P 点到 B 的距离,它等于到直线 A1B1 的距离,满足抛物线 的定义,推断出 P 的轨迹是以 B 为焦点,以 A1B1 为准线的过 A 的抛物线的一部分.从而得出 正确选项. 解答: 解:依题意可知点 P 到 BC 的距离就是当 P 点 B 的距离,P 到点 B 的距离等于到直 线 A1B1 的距离, 根据抛物线的定义可知,动点 P 的轨迹是以 B 为焦点,以 A1B1 为准线的过 A 的抛物线的一部 分. A 的图象为直线的图象,排除 A. B 项中 B 不是抛物线的焦点,排除 B. D 项不过 A 点,D 排除. 故选 C. 点评: 本题是基础题, 考查抛物线的定义和考生观察分析的能力, 数形结合的思想的运用, 考查计算能力,转化思想.

8. (5 分)若直线 y=kx﹣1 与曲线 A. (0, ] B. [ , ] C. [0, ]

有公共点,则 k 的取值范围是() D. [0,1]

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 曲线表示圆心为(2,0) ,半径为 1 的 x 轴下方的半圆,直线与曲线有公共点,即 直线与半圆有交点,根据题意画出相应的图形,求出直线的斜率的取值范围.

8

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解答: 解: 曲线 表示圆心为 (2, 0) , 半径为 1 的 x 轴下方的半圆,

直线 y=kx﹣1 为恒过(0,﹣1)点的直线系, 根据题意画出图形,如图所示: 则直线与圆有公共点时,倾斜角的取值范围是[0,1]. 故选:D.

点评: 此题考查了直线与圆的位置关系, 考查转化及数形结合的思想, 其中根据题意画出 相应的图形是解本题的关键. 9. (5 分)某几何体的三视图如图所示,当 a+b 取最大值时,这个几何体的体积为()

A.

B.

C.

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析 : 三视图复原几何体是长方体的 一个角,设出棱长,利用勾股定理,基本不等式, 求出最大值. 解答: 解:如图所示,可知 AC= ,BD=1,BC=b,AB=a.

设 CD=x,AD=y, 2 2 2 2 2 2 则 x +y =6,x +1=b ,y +1=a , 消去 x ,y 得 .
2 2

9

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a +b =8≥

2

2



所 以(a+b)≤4, 当且仅当 a=b=2 时等号成立,此时 x= 所以 V= × ×1× × = .

,y=



故选 D. 点评: 本题考查三视图求体积,考查基本不等式求最值,是基础题. 10. (5 分)已知直线 m、n 及平面 α ,其中 m∥n,那么在平面 α 内到两条直线 m、n 距离 相等的点的集合可能是: (1)一条直线; (2)一个平面; (3)一个点; (4)空集.其中正确 的是() A. (1) (2) (3) B. (1) (4) C. (1) (2) (4) D. (2) (4) 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 分析: 根据题意,对每一选支进行逐一判定,不正确的只需取出反例,正确的证明一下即 可. 解答: 解:如图(1) ,在平面内不可能有符合题意的点; 如图(2) ,直线 a、b 到已知平面的距离相等且所在平面与已知平面垂直,则已知平面为符 合题意的点; 如图(3) ,直线 a、b 所在平面与已知平面平行,则符合题意的点为一条直线, 从而选 C.

点评: 本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系, 考查空间想象能力、 运算能力 和推理论证能力,属于基础题. 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11. (5 分)已知直线 3x+4y﹣3=0 与直线 6x+my+11=0 平行,则实数 m 的值是 8. 考点: 直线的一般式方程与直线的平行关系.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 专题: 计算题. 分析: 由直线 3x+4y﹣3=0 与直线 6x+my+11=0 平行,可得 = ≠ 解答: 解:∵直线 3x+4y﹣3=0 与直线 6x+my+11=0 平行, ∴ = ≠ ,∴m=8, ,解得 m 的值.

故答案为 8. 点评: 本题考查两直线平行的性质,两直线平行,一次项系数之比相等,但不等于常数项 之比. 12. (5 分)一平面截一球得到直径为 2 cm 的圆面,球心到这个平面的距离是 2cm,则该 3 球的体积是 36π cm . 考点: 球的体积和表面积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 设球心为 O,截面圆心为 O1,连结 OO1,由球的截面圆性质和勾股定理,结合题中 数据算出球半径,再利用球的体积公式即可算出答案. 解答: 解: 设球心为 O,截面圆心为 O1,连结 OO1,则 OO1⊥截面圆 O1, ∵平面截一球得到直径为 2 cm 的圆面,球心到这个平面的距离是 2cm, ∴Rt△OO1A 中,O1A= cm,OO1=2cm, ∴球半径 R=OA= 因此球体积 V= 故答案为:36π cm
3

=3cm, =36π cm ,
3

点评: 本题着重考查了球的截面圆性质、球的体积表面积公式等知识,属于基础题

13. (5 分)已知点 P 的坐标(x,y)满足 N 两点,那么|MN|的最小值是 4.

过点 P 的直线 l 与圆 C:x +y =14 交于 M、

2

2

考点: 简单线性规划的应用. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,欲求|MN|的最小值,只需求 出经过可行域的点的直线在圆上所截弦长何时取最大值即可. 解答: 解:先根据约束条件画出可行域, 当直线 l 过点 A(1,3)时,A 点离圆心最远, 此时截得的弦 MN 最小, 最小值是 4,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 故填 4.

点评: 本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题. 14. (5 分)正三棱锥 P﹣ABC 的底面边长为 1,E,F,G,H 分别是 PA,AC,BC,PB 的中点, 四边形 EFGH 的面积为 S,则 S 的取值范围是( ,+∞) .

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由已知中正三棱锥 P﹣ABC 的底面边长为 1,E,F,G,H,分别是 PA,AC,BC,PD 的中点,我们可判断出四边形 EF GH 为一个矩形,一边长为 ,另一边长大于底面的外接圆 的半径的一半,进而得到答案. 解答: 解:∵棱锥 P﹣ABC 为底面边长为 1 的正三棱锥 ∴AB⊥PC 又∵E,F,G,H,分别是 PA,AC,BC,PD 的中点, ∴EH=FG= AB= ,EF=HG= PC 则四边形 EFGH 为一个矩形 又∵PC> ∴EF> , , ,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴四边形 EFGH 的面积 S 的取值范围是( 故答案为: ( ,+∞) ,+∞) ,

点评: 本题考查的知识点是棱锥的结构特征,其中根据正三棱锥的结构特征,判断出 AB⊥PC 这,进而得到四边形 EFGH 为一个矩形是解答本题的关键. 15. (5 分)如图,下列五个正方体图形中,I 是正方体的一条对角线,点 M、N、P 分别为其 所在棱的中点,能得出 I 垂直于平面 MNP 的图形的序号是①④⑤.

考点: 直线与 平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 设定正方体的顶点如图,连结 DB,AC,根据 M,N 分别为中点,判断出 MN∥AC,由 四边形 ABCD 为正方形,判断出 AC⊥BD 进而根据 DD′⊥平面 ABCD,AC? 平面 ABCD,判断出 DD′⊥AC,进而根据线面垂直的判定定理推断出 AC⊥平面 DBB′,根据线面垂直的性质可 知 AC⊥DB′,利用线面垂直的判定定理推断出由 MN∥AC,推断出 DB′⊥MN,同理可证 DB′⊥MF,DB′⊥NF,利用线面垂直的判定定理推断出 DB′⊥平面 MNF.④中由①中证明可 知 I⊥MP,根据 MN∥AC,AC⊥I,推断出 I⊥MN,进而根据线面垂直的判定定理推断出 I⊥平 面 MNP,同理可证明⑤中 I⊥平面 MNP.

解答: 解: ∵M,N 分别为中点, ∴MN∥AC, ∵四边形 ABCD 为正方形, ∴AC⊥BD, ∵BB′⊥平面 ABCD,AC? 平面 ABCD, ∴BB′⊥AC,

设定正方体的顶点如图,连结 DB,AC,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∵BB′∩DB′=B,BB′? 平面 DBB′,AC? 平面 DBB′, ∴AC⊥平面 DBB′, ∵DB′? 平面 DBB′, ∴AC⊥DB′, ∵MN∥AC, ∴DB′⊥MN, 同理可证 DB′⊥MF,DB′⊥NF, ∵MF∩NF=F,MF? 平面 MNF,NF? 平面 MNF, ∴DB′⊥平面 MNF,即 I 垂直于平面 MNP,故①正确. ④中由①中证明可知 I⊥MP, ∵MN∥AC, AC⊥I, ∴I⊥MN, ∴I⊥平面 MNP, 同理可证明⑤中 I⊥平面 MNP. 故答案为:①④⑤ 点评: 本题主要考查了线面垂直的判定定理.考查了学生空间思维能力和观察能力. 三、解答题(共 75 分) 16. (12 分)如图,在平行四边形 ABCD 中,边 AB 所在直线方程为 2x﹣y﹣2=0,点 C(2,0) . (1)求直线 CD 的方程; (2)求 AB 边上的高 CE 所在直线的方程.

考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系;直线的点斜式方程. 专题: 计算题. 分析: (1)利用四边形 ABCD 为平行四边形,边 AB 所在直线方程为 2x﹣y﹣2=0,确定 CD 的斜率,进而我们可以求出直线 CD 的方程; (2)求出 AB 边上的高 CE 的斜率,从而可以求出 AB 边上的高 CE 所在直线的方程. 解答: 解: (1)∵四边形 ABCD 为平行四边形,∴AB∥CD.﹣﹣﹣(1 分) ∴kCD=kAB=2.﹣﹣﹣﹣﹣(3 分) ∵点 C(2,0) ∴直线 CD 的方程为 y=2(x﹣2) ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5 分) 即 2x﹣y﹣4=0.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) (2)∵CE⊥AB,∴ ∵点 C(2,0) .﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8 分)

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴直线 CE 的方程为 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(11 分)

即 x+2y﹣2=0 点评: 本题考查直线方程,考查两直线的平行与垂直,解题的关键在于确定所求直线的 斜率,属于基础题. 17. (12 分)如图,已知四边形 ABCD 和 BCEG 均为直角梯形,AD∥BC,CE∥BG,且 ∠BCD=∠BCE= ,平面 ABCD⊥平面 BCEG,BC=CD=CE=2AD=2BG=2.求证:

(Ⅰ)EC⊥CD; (Ⅱ)求证:AG∥平面 BDE; (Ⅲ)求:几何体 EG﹣ABCD 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ) 利用面面垂直的性质, 证明 EC⊥平面 ABCD, 利用线面垂直的性质证明 EC⊥CD; (Ⅱ)在平面 BCEG 中,过 G 作 GN⊥CE 交 BE 于 M,连 DM,证明四边形 ADMG 为平行四边形, 可得 AG∥DM, 即可证明 AG∥平面 BDE; (Ⅲ)利用分割法即可求出几何体 EG﹣ABCD 的体积. 解答: (Ⅰ)证明:由平面 ABCD⊥平面 BCEG, 平面 ABCD∩平面 BCEG=BC,CE⊥BC,CE? 平面 BCEG, ∴EC⊥平面 ABCD,?(3 分) 又 CD? 平面 BCDA,故 EC⊥CD?(4 分) (Ⅱ)证明:在平面 BCEG 中,过 G 作 GN⊥CE 交 BE 于 M,连 DM, 则由已知知;MG=MN,MN∥BC∥DA,且 ,

∴MG∥AD,MG=AD,故四边形 ADMG 为平行四边形,∴AG∥DM?(6 分) ∵DM? 平面 BDE,AG?平面 BDE,∴AG∥平面 BDE?(8 分) (Ⅲ)解: = ?(12 分) ?(10 分)

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点评: 本题考查面面垂直、线面平行,考查几何体体积的计算,考查学生分析解决问题的 能力,正确运用面面垂直、线面平行的判定定理是关键. 18. (12 分)已知点 M(1,m) ,圆 C:x +y =4. (1)若过点 M 的圆 C 的切线只有一条,求 m 的值及切线方程; (2)若过点 M 且在两坐标轴上的截距相等的直线被圆 C 截得的弦长为 2
2 2

,求 m 的值.

考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 综合题;直线与圆. 分析: (1)根据直线与圆的位置关系,经过圆上一点作圆的切线有且只有一条,因此点 2 2 A 在圆 x +y =4 上,将点 A 坐标代入圆的方程,解出 m.再由点 A 的坐标与直线的斜率公式算 出切线的斜率,利用直线方程的点斜式列式,化简即可得到所求切线的方程; (2)由题意,直线不过原点,设方程为 x+y﹣a=0,利用直线被圆 C 截得的弦长为 2 ,可 得圆心到直线的距离为 1,求出直线的方程,即可求出 m 的值. 2 2 解答: 解: (1)圆 x +y =4 的圆心为 O(0,0) ,半径 r=2. ∵过点 A 的圆的切线只有一条, 2 2 2 2 ∴点 A(1,m)是圆 x +y =4 上的点,可得 1 +m =4,解之得 m=± . 当 m= 时,点 A 坐标为(1, ) ,可得 OA 的斜率 k= . ∴经过点 A 的切线斜率 k'=﹣ , =﹣ (x﹣1) ,化简得 x+ y﹣4=0;

因此可得经过点 A 的切线方程为 y﹣

同理可得当 m=﹣ 时,点 A 坐标为(1,﹣ ) ,经过点 A 的切线方程为 x﹣ y﹣4=0. ∴若过点 A 的圆的切线只有一条, 则 m 的值为± , 相应的切线方程方程为 x± y﹣4=0. (2)由题意,直线不过原点,设方程为 x+y﹣a=0, ∵直线被圆 C 截得的弦长为 2 , ∴圆心到直线的距离为 1, ∴ =1,

∴a=± , ∴所求直线方程为 x+y± =0, ∴m=﹣1± . 点评: 本题给出圆的方程与点 A 的坐标, 求经过点 A 的圆的切线方程. 着重考查了圆的方 程、直线的基本量与基本形式、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识,属于中 档题.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 19. (12 分)如图,△ABC 内接于圆 O,AB 是圆 O 的直径,AB=2,BC=1,DC= 为平行四边形,DC⊥平面 ABC, (1)求三棱锥 C﹣ABE 的体积; (2)证明:平面 ACD⊥平面 ADE; (3)在 CD 上是否存在一点 M,使得 MO∥平面 ADE?证明你的结论. ,四边形 DCBE

考点: 平面与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)根据图形可看出,三棱锥 C﹣ABE 的体积等于三棱锥 E﹣ABC,容易得出 BE⊥ 平面 ABC,即 BE 是三棱锥 E﹣ABC 的高.并且容易知道底面△ABC 是直角三角形,根据已知 的边的长度即可求△ABC 的面积,高 BE= ,所以根据三棱锥的体积公式即可求出三棱锥 E ﹣ABC 的体积,也就求出了三棱锥 C﹣ABE 的体积; (2)根据已知条件容易证明 BC⊥平面 ACD,又 DE∥BC,所以 DE⊥平面 ACD,DE? 平面 ADE, ∴平面 ACD⊥平面 ADE; (3)要找 M 点使 MO∥平面 ADE,只要找 OM 所在平面,使这个平面和平面 ADE 平行,容易发 现这个平面是:分别取 DC,EB 中点 M,N,连接 OM,MN.ON,则平面 MON 便是所找平面,容 易证明该平面与平面 ADE 平行,所以 MO∥平面 ADE. 解答: 解: (1)如图,根据图形知道,三棱锥 C﹣ABE 的体积等于三棱锥 E﹣ABC 的体积; ∵四边形 DCBE 为平行四边形,∴EB∥DC,又 DC⊥平面 ABC,∴EB⊥平面 ABC; AB 是圆 O 的直径,∴∠ACB=90°,AC= ∴ ,BE= = ; ;

(2)DC⊥平面 ABC,BC? 平面 ABC,∴DC⊥BC,⊥即 BC⊥DC,又 BC⊥AC,DC∩AC=C; ∴BC⊥平面 ACD,DE∥BC; ∴DE⊥平面 ACD,DE? 平面 ADE; ∴平面 ADE⊥平面 ACD,即平面 ACD⊥平面 ADE; (3)在 CD 上存在一点 M,是 CD 的中点,使得 MO∥平面 ADE,下面给出证明; 证明: 取 DC 中点 M, EB 中点 N, 连接 OM, MN, ON, ∵O, M, N 三点是中点, ∴MN∥DE, ON∥AE; ∵AE,DE? 平面 ADE,ON,MN?平面 ADE; ∴MN∥平面 ADE,ON∥平面 ADE,MN∩ON=N; ∴平面 MON∥平面 ADE,MO? 平面 MON; ∴MO∥平面 ADE;

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点评: 考查三棱锥的体积公式,线面垂直的性质,线面垂直的判定定理,面面垂直的判定 定理,中位线的性质,线面平行的判定定理,面面平行的判定定理,面面平行的性质. 20. (13 分)已知点 P(x,y)为圆 C:x +y ﹣4x+3=0 上一点,C 为圆心. 2 2 (1)求 x +y 的取值范围; (2)求 的最大值; (3)求 ? (O 为坐标原点)的取值范围.
2 2

考点: 圆方程的综合应用. 专题: 综合题;直线与圆. 分析: (1)将圆 C 化为标准方程,找出圆心与半径,作出相应的图形,所求式子表示圆 2 2 上点到原点距离的平方,从而求 x +y 的取值范围; (2)令 =k,则 y=kx,代入圆的方程,利用△≥0,求 的最大值; (3) ? =(2﹣x,﹣y)?(﹣x,﹣y)=x +y ﹣2x=2x﹣3,即可求
2 2

?

(O 为坐标原

点)的取值范 围. 2 2 解答: 解: (1)圆 C 化为标准方程为(x﹣2) +y =1,圆心为(2,0) ,半径为 1 2 2 2 根据图形得到 P 与 A(3,0)重合时,离原点距离最大,此时 x +y =3 =9,P 与 B(1,0)重 2 2 2 合时,离原点距离最大,此时 x +y =1 =1. 2 2 ∴x +y 的取值范围是[1,9]; (2)令 =k,则 y=kx. 代入圆的方程,整理得(1+k )x ﹣4x+3=0. 依题意有△=16﹣12(1+k )=4﹣12k =4(1﹣3k )≥0,即 k ﹣ ≤0, 解得﹣ ≤k≤ , ;
2 2 2 2 2 2 2 2

故 的最大值是 (3) ?

=(2﹣x,﹣y)?(﹣x,﹣y)=x +y ﹣2x=2x﹣3,

∵1≤x≤3, ∴﹣1≤2x﹣3≤3,

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?

(O 为坐标原点)的取值范围是[﹣1,3].

点评: 本小题主要考查直线和圆相交,相切的有关性质,考查数形结合、化归转化的数学 思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力,属于中档题. 21. (14 分)已知点 P(2,0)及圆 C:x +y ﹣6x+4y+4=0. (Ⅰ)若直线 l 过点 P 且与圆心 C 的距离为 1,求直线 l 的方程; (Ⅱ)设过 P 直线 l1 与圆 C 交于 M、N 两点,当|MN|=4 时,求以 MN 为直径的圆的方程; (Ⅲ)设直线 ax﹣y+1=0 与圆 C 交于 A,B 两点,是否存在实数 a,使得过点 P(2,0)的直 线 l2 垂直平分弦 AB?若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由. 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 综合题. 分析: (Ⅰ)分两种情况:当直线 l 的斜率存在时,设出直线 l 的斜率为 k,由 P 的坐标 和设出的 k 写出直线 l 的方程,利用点到直线的距离公式表示出 P 到直线 l 的距离 d,让 d 等于 1 列出关于 k 的方程,求出方程的解即可得到 k 的值,利用求出的 k 和 P 写出直线 l 的方程即可;当直线 l 的斜率不存在时,得到在线 l 的方程,经过验证符合题意; (Ⅱ)由利用两点间的距离公式求出圆心 C 到 P 的距离,再根据弦长|MN|的一半及半径,利 用勾股定理求出弦心距 d,发现|CP|与 d 相等,所以得到 P 为 MN 的中点,所以以 MN 为直径 的圆的圆心坐标即为 P 的坐标,半径为|MN|的一半,根据圆心和半径写出圆的方程即可; (Ⅲ) 把已知直线的方程代入到圆的方程中消去 y 得到关于 x 的一元二次方程, 因为直线与 圆有两个交点,所以得到△>0,列出关于 a 的不等式,求出不等式的解集即可得到 a 的取 值范围,利用反证法证明:假设符合条件的 a 存在,由直线 l2 垂直平分弦 AB 得到圆心必在 直线 l2 上, 根据 P 与 C 的坐标即可求出 l2 的斜率, 然后根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1, 即可求出直线 ax﹣y+1=0 的斜率, 进而求出 a 的值, 经过判断求出 a 的值不在求出的范围中, 所以假设错误,故这样的 a 不存在. 解答: 解: (Ⅰ)设直线 l 的斜率为 k(k 存在)则方程为 y﹣0=k(x﹣2) . 又圆 C 的圆心为(3,﹣2) ,半径 r=3, 由 ,解得 .
2 2

所以直线方程为

,即 3x+4y﹣6=0;

当 l 的斜率不存在时,l 的方程为 x=2,经验证 x=2 也 满足条件; (Ⅱ)由于 所以 d= ,而弦心距 ,所以 P 为 MN 的中点, ,

所以所求圆的圆心坐标为(2,0) ,半径为 |MN|=2, 故以 MN 为直径的圆 Q 的方程为(x﹣2) +y =4; 2 2 (Ⅲ)把直线 ax﹣y+1=0 即 y=ax+1.代入圆 C 的方程,消去 y,整理得(a +1)x +6(a﹣1) x+9=0. 由于直线 ax﹣y+1=0 交圆 C 于 A,B 两点,
2 2

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 故△=36(a﹣1) ﹣36(a +1)>0,即﹣2a>0,解得 a<0. 则实数 a 的取值范围是(﹣∞,0) . 设符合条件的实数 a 存在, 由于 l2 垂直平分弦 AB,故圆心 C(3,﹣2)必在 l2 上. 所以 l2 的斜率 kPC=﹣2, 而 所以 由于 . , ,
2 2

故不存在实数 a,使得过点 P(2,0)的直线 l2 垂直平分弦 AB. 点评: 此题考查学生掌握直线与圆的位置关系, 灵活运用点到直线的距离公式及两点间的 距离公式化简求值,考查了分类讨论的数学思想,以及会利用反证法进行证明,是一道综合 题.

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