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数学奥林匹克高中训练题(118)


20 09年第 5期

3 9

羧 孥 游 蜃巍鑫 畚 徽遐(l) 9 18
第 一 试


座 新城 堡 . 果 该 城 堡 到 另 3座 城 堡 的交 通 如 距 离 相等 , 新城 堡 的位 置 为— —一 . 则
7.

,
<

br />填空题 ( 每小题 7分 , 5 ) 共 6分

1设 a b C . , , 是不为零的复数 , 满足
a + b+ C=0. + b a +C =0.

【 ) 被除余 是 ( ]7的数一

( ] [ 表示 不超 过 实数 的最 大 整数 ) . 8 已 知关 于 的 方 程 +仳 + +c .
=

称 使得 n +b :0恒成 立 的正 整数 " +C n为 " 好数 "则 不超 过 2O9的正 整数 中好 数 . O
的个数 为— — . 2 已知连 续 2 . n+1 n∈N+ 个 正整数 总 ( )
=


0的三个 非 零实 根成 等 比数 列 . ac—b 则 .
·


和 为 a 且后 n个 数 的平 方 和 与 前 个 数 的 , 平方 和 之 差 为 6 若 = 1 则 n 的 值 为 . a 1
,

二, 解答题 ( 4 分) 共 4 9 (4分 ) .1 已知 E是 棱 长 为 2的正 四 面 体 A D 的棱 B BC C上 的点 . 面体 A D 四 四 B E, 面体 A D 的 内切球 半径 分别 为 r, 2若 CE . r.
r

. =4 6+ √ , +r √ 4 3 则满 足 条件 的点 E有 1.1 分 ) O (5 已知 两条 直线
Z : x+4 一2 l3 y _ 5=0,
Z : 1 x 一4 2 17 4y 一 1 5=0, 7

3 已知 圆心 在 原 点 , 径 为 的 圆 与 . 半 △ A C 的 边 有 公 共 点 , 中, ( , , B 其 A 4 0)

两个 , 分别 设 为 .E , 求 E. 的长 . , 试 E

B(,) C 24 . R 的取值 范 围为— — . 68 , ( ,)则 4 复平 面上 动点 .

l c zo +n, s ) , 点 A到 z, 的射影分别为点 B, . (s s ' +n ( 0 \ i i 0R c e E' o s
≠ c , ∈Z) 7+ k

() 1求使 s 姗 =
迹 曲线 r;
.

成立 的点 A的轨

的轨 迹方 程 为





5将 正 整数 12 … ,0分成 4, 两 组 : . ,, l
A={ a , , , ={ lb , b ) a , 2… a ) J b ,2 …, .

() o : 一 ) +(, ) :/ 与 2若 ( z ,一 z , 2 曲线 r 恰有 7个 交点 r的值 . 求 1.1 1( 5分 ) 否 存 在 一 个 正 整 数 数 列 是
{ }满足 % ,
+ =( + , ) o ( 12 … ) 2 l +2o 9 nW , , , - . -

从 , 中各 取 一 个数 a, ( ∈A, ∈ 曰 ba b

B, )二者相除得到一个数孚, 记为 口 b的 ,
" . 商"则所有商的积 的最大值为


.


6在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 义 点 P( , . 定 . Y )Q( , 之 间 的" 通距 离 " , Y) 交 为
d P, =I — +l l 2 . ( Q) l 2 —Y l Y 1

其 中 ," ) " 的最 大公 约数 , (, 为 , 且数 列 中 至 少有 12 个 不 同 的数 ? 0

第 二 试


某 国有 3座城堡 , 地 图上标 为 A(,) 在 23 , B( ,) C( , )现 该 国 打 算 建 造 一 一6 9 , 一3 一8 .

,

(0分 ) 图 1已知 ④ ,( O 分 别为 5 如 , ,) 三

四边 形 A C 的 内切 圆 , 接 圆 , ,分 别 切 BD 外 o

中 等 数 学
,

c c , D,

于 点 E, G, 作 o , F, H. 0.

代人 a +b +c = , 0 +n +b : . 0得 6 0
设 :∞. 0 +∞+1 0 贝∞ : .
所以, b=o , . , t a c 一( = a+b =( —0) ) 一1 9 a=0 . )a 2

o 2 O 3 o 分 别 切 A B C D 0 , 0, 0 B, C, D, A
于点 E, G, 分 别 切 o 0 于 点 K, , F, H, ,

~. A 若 E≠ B F≠ C C E, F, G≠ D D G, H≠
Al 证 明 : E, F, l, K L MG, 共 点 于 P. 删

故 f n =a +b +c 1 + ) ( ) =a ( + . 若 3 则 f n =3 , l n, ( ) a ≠0 矛盾 . 故 外 n, 此时 , 厂 n =a ( +∞+∞ ) 0 ( ) "1 = . 因此 , 超 过 209的正 整 数 中好 数 的 不 0

个 为 ]226 ×+:3 . 数 【 ×+:6 22l 0 9 4
2. 5.

设第 n+1 个数 为 m. 则
l

二 ,5 (0分 ) 已知 一 个 1 的 正 整 数 可 2位 以被 3 除 , 只包 含 数码 15 9 求 这 个 7整 且 ,,. I 2位数 的各 位数字 之 和的所 有可 能值 . 三 ,5 ) (0分 已知 , ( n M m, ∈N+, n为偶
数) 连 续 正 整 数 排 成 一 列 , 为 A = 个 记

0=( n+1 , 2 )

b ∑ ( + ) ∑ ( = m 一 — )
=

2 ∑ 2= m( + ) m i 2nn 1.
2n + l 1 1
'

取 a

{. a}

.. . A中各 项重 新 排 列 , 到一 将 得
解得 =5 一 ( 去 ) 或 舍 .
3.

个 新排 列 盯 A) b} . . ( ={ : .. 记

( ) { b 0 ' , _ = ∑ …I , } 4 ) i = 瑚一
=

l

[ ] .

g ( )n{ b 0,, n (' = n …I ,, 4 f∑ ) i 1o } o舢一 .
求 证 : if ( ) a g 盯 A) . mn ( A) =m x ( ( )
四 ,5 (0分 ) 一枚 棋 子放 在 一 个 m ×n 将

过原 点 0作 A C的垂线 , 足为 D, 点 垂 则 D在 边 C上 . 易知
fc: 一2 +8 2 +) 一 8:0. A Y x =

( n≥4 的棋 盘上 , ( ,) m, ) 记 i 为从 左 , 上数 第 i 第 列 的 小 方 格 . 所 有 的 四 元 数 组 行 求 (. , , , 得 从 A(. .出 发 , 过 每 i, )使 i, ) 经 个小方 格恰 一次到达 B( )每步为将棋子 i,:( 从一 个小方 格移 到 与之有 公 共边 的 另一个 小
方格 ) .

则 O = D
, + 1 /

=
j

.

又 O 4D A: , 曰:1 , C=2 , 00 故
OD < O < 0C < OB . A

当且 仅 当 O D≤R≤ O 时 , 与△ A C B 圆 B 有 公共 点 .

参 考 答 案
第 一 试


所 [ ' . 以 l 0 】
4. 一 : 1.

,

1. 4 1 3 0.

由 a+b+c , c 一( =0 得 = a+b . )

注 意

2 + S n =1 1

,

=

I + Sn l

.

20 09年第 5期

4 1

则妥 一 = . 1
一 ( ' 4) 1

故 Y . ≤2 贝 ( D) 2 +( 一Y = 一 —Y 0 A, = 一 d 3 ) 5 .

由 d A, =d B, , ( D) ( D) 得

所 有商 之积 为

5一 一 Y= l +6l+9一 Y
=

I + 6l= 一 一4= = 一 5.

s弭弭a I[ = = iI
=

]

贝 ( +6 一 I +3 +1 =0 0 Y= I 1 ) . I
故 D( , ) 一5 0 .
7. 6.

(I口)( I Ⅱ ) ~.

显然 , 为使 S最 大 , ~1 较 大 的数 在 1 0中 A中 , 小 的数在 B 中 . 较
≤ 『n Ln 1, × … × 一 × 1_ J

设 a=






1 <p<0 1 , <a< , 2


=

a+ :1 q , 9= 一1 .

所以, , 口 是 一 一1=0的 两个 不 同
> ,



实根 .

令A =O .U 2 1 . / + 贝 + =A + + A
由 A1 :a+ =1 ,

而4 m<1 <5 故 0 1 m,

_1< ) ,3< ( > ) …> ( ) 厂 ) 2< ( 4 5> /1 . ( ) ) 0
所 一= .

A =a =( ) =3 2 + a+ 一2 ,

知{ 为整数列 , A) 且被 7 除的余数数列为 l ,
3, 0, 4, 5, 4, 0, 3, 2, , 4, , 4, 4, 1, 6, 3, 3, 6, 1 3, …

6 ( ,) . 一5 0 .

设 新城 堡 为 D( Y . , )

此 数 列是 以 1 6为周期 的周期 数列 . 由 209 6×15+9知 20 7除 的 0 =1 2 , 9 0被
J I

若 ≥2 如 图 2 , ,
当 Y≥ 3时 , A, d( D)
<d( D) 当 y<3 C, ;

9 『

余 数 为 6 .

时 , A, <d(B, d( D) D) 矛盾 , .<2 . 故 T . f
-

3

A
-● — —

由 < ) 【 门 ¨ ( 2 ( ( I 9 故
被 7除 的余 数 为 6 .
8. 0.

3

2

类似 , 知


设 这三 个根 分别 为 d 由 , . , 由 由韦达 定
理得

8< Y<9.

故 d A, ( D)
=

f d+由 +由 一a, =
图2



l 一2l J 一 3l + Y

=

2一 + I 一3l ,

{ + dq= , d9 dg+ . 6
【 . 3: 一 c dq
.




d( D) 曰,
=

l +6I4 -l Y一9I l +6l = +9一 Y.

② ÷①得 幽 : 一 .

d C, =l +3 +l ( D) l Y+8 l
=

I +3l4Y+ 8. - -

试 得一) 一故3 60 ③ ( . .一= 告= c 3.
二,. B 9 设 C中点 为 F, F= . E 由勾 股 定
理 知

由 d B, =d C, , ( D) ( D) 得
2 y= I x+6I l +3l l — +

≤I ( +6 一( +3 l =4 ) ) +l .

A E:D ~ +3 . 佃 =/ + . E: / ,△ ^ s / 2

4 2

中 等 数 学

又 V f aE T X Ni R -1 l o i f ¥ -

一 : (- 1

( 易 (,) : 交 为 2 知 了了,, 的 点 ) 32 zz 97
D( , ) 34 .



:

雩1 ( +
(_ 1
:

将o 与曲线 r平移 , 7 1 使点 D平移到原
点 , 以点 D 为 中心作旋 转 变换 , Z, 再 使 .f 的 夹 角平 分 线 与 坐标 轴平 行 , 到 o 及 曲线 得
' , r 即

s 一

一 一

S~ C - s一 ' E- A

( _3 + ( 4 , ) y- ) 则 √(一 2 1 )

+ (一 + 厂 1 ) V
√(+ 2 1 )
+ ( + )+ 1
政 r +r ' '

'
'

【= ( 4 3 Y ) ( ) 2 一 一 一 4
3= ,

【4 y: 一
) : + .

.

: + +

代入式 ①并 整理 得

I ) 一(y)l 4 . ( 3 =1 4 4
因此 , : , 2 6 3 5+ , . / /
则 曲线 J 为 两组 双 曲线 : 1

解 ± 号 得 :√ .

号一 l-- Y— 1 =, : 1 . /q 6 ' z
又 7 ( , )故 o : ~5 '50 , , ( ) +Y =r .

故,= 吾 . E √ = E2
1 . 1设 A( Y . 知 0 () , )易
A : B =

由o 与 曲线 r恰 有 7个 交 点 , o 7 ' 即 与 厂 恰有 7 交 点 , o 与 r 都 关 于 轴 个 又 对称 , . 与 厂 有一 个交点 在 轴上 , 故 必 即
( ,) ( ,) 一在 o 上 . 一3 0 ,3 0 之 因此 ,
j



A ~ C: /

r 2或 8 = . 若 r , =2因 (,) r 的渐 近 线 的距 50 到 离 为


17 1 +4 4l

I 1 f 一3 7 1 )一4 f 4 v一4) I
15 2 '

I

0 : >, _ 4
: 斗 ) r . .

~ +3 / 所以, o 与 r 没有 交点 . o 与 r : 而 至多

设 l,:的 倾 角 分 别 为 O , : 1,:的 .1 / a , 1
夹角 J=a 8 一a . s =2 :则 i n 4
.



有 4个交 点 , 与o 与 厂 有 7个交 点矛 盾 . 这
故 r . =8

s 朋 =l A B
·

ACsn i

易知 r =8时 , 足条件 . 满 1. 在 . 1存 下面构 造一 个满 足题 意且有 足够 多 的不 同项 的数列 . 令 0=20 9 取 0 .
I 0 + 1 2= 3a + 1, = ,

:

詈3 一 一(4 3 一(4 I 3 1y) 3 3 一l 5 )7 一 +( ) ) 1 6 ( 6 y


— 65 . 2

= 3 1 一3 一16 Y一4 + l5 ( ) 7( ) 36 一 ) Y一4 l 0 . 3( 3 ( ) =36 0 ①

+2 =

( 一0 ( + 一口 ( =12 … ) ) l ) ,, .

式① 即为点 A的轨迹 方程 .

由 + :( + 一 ) X+ —0 , 3 l ( 2 ) 知


20 0 9年第 5期


4 3

( 2 +) x+ 一. ( ~0 + —0 +, 3 =(kJ ) , 2 )
=

( l n ( 一Ⅱ ( 一 ) + — ) ) + — ) , 0 ( I n 一Ⅱ
=

且面 : 且 ,

: ( ,,. 别为o , L ,1 另刀 0 , ,分 u 尺,

( + 一0 ( 一口 一n I ) , )

o ,o 0 , 的半 径 ) .

=

( + 一口 ( , ) l ) 口 .
( 一 一, ) l 2口 ,

设线段 O 的内比分点 P满足 =_ 1 R _ 一
.

又 ( , ) ( 一 一. ( 一 —0 , ) 口 =( l ) 2 ) n
:

~1 K 1 翮 O


·

Oi ·P =1 而 E I
.

( , ) 2 口 =i l 口 =( , ) ,
因此 , , ) ( ( 0 =1 k=1 2 … ) ,, .

.

由梅涅 劳斯 定理 的逆 定理 知 K, , 三 P 点共 线 , I 即 C E过点 P. 同理 ,F, L MG, i均过 点 P. Nt
所 以 , E,F, K L MG, i 苣干 P. N l其

矗 ( + , +) + 一口 殳 2 3 = l
=

+ =( + , + ) t I 2 3 +C .

所 以 , =( + , + ) I 2 +口.
由 l =0+1 =3 , 2 a+1 ,
戈 3= 2a + 1> Ⅱ + 1= 戈I ,
4 =

二 , A=n 设 .

满 足

n ∈{ , , } =12 … ,2 , 3 I 15 9 ( ,, i) 7 A.
I 2

( 0+1( a+1 >3 )2 ) a+1 g. :9 2

令S ∑ =
取 B =
{ ,,, . O48 )

戈 + =( + 一 ) + 一日 3 l ( 2 )

( ,: ~ b 1 i一 1∈

>( ~ —n ( 一0 = + , l ) ) l

因此 , .一 { 七 ) { z) 2 与 : 七 各 为严格 1
递增 数 列 .
对 { .… 1一 , ‰) 2 0 令 . 2
2 l +1 . ×0 2 一

则 3I 7 B=A—T, 中 , 其 T:1… 1且 . 1
l 2

∑ b S 1 一2 .
取 C= ( c

则 Y =( … ,k +209 k=12 … , … Y Y ) 0 ( ,,
2×l2 一2 . 0鲫 )

从 而 , Y {k

:




,

0 2 咖为 满足题 意 且 至

7=, t鲁 耋: 且C C
设 ={ I ) =I I7 O l2 ic , ( = ,,) . .
.

少有 l2 个 不 同项 的数列 . ( )

ao+ ol+ a2= 1 i 2,

第 二 试
,


=

( ) 图 3 1如 .

『= a .
=

5 —6 0
~ ,

.2 一 —

c l

【I a=

2 口2.

由3[ = 7i1 知 7C ∑ 2 · , 0
J. 0 ' ∈

31 = 一 7 一 1 7D C 21 ' ∑ 0 0 .


^2

∈ X0

易知 13 1 m H3 ) 0 ( 0 7 . d
图 3

故对任意 后 ∈N ,
1 1 m d3 ) r 0 0 ( o 7 ( ;后 m) 3 , ≤r ( ( )0 ( { ≤

显 然 , 0.K,, 0 0, , ,E, 分别 三点 共 线 ,

中 等 数 学
2 . )
3e一4d = 一 1 . 3一

从 ∑1与 { l+ + = ) 而, 0 = 喀 e i j


由表 1 知 ( , ) 2 一2 .( , ), d e =( , ) ,3 一1: ( , ) ,4 O 3 1 一4 3 ( ,) ,

中之一模 3 同余( = ,) 7 02 .
由 C为 1 2位数 知 d +d ,o 2f + o 2 e +e,o , 都小 于或 等于 4 2 . 令 d=d 一d , :e 一e, f 一 o 2 0e 2 o = 2 f .

其 中 , , 表示 =W时 ( e 的取值 . ( ) d,)
表 1

则 d ef 一 ,]且 , ,E[ 44 ,


d+e f=口 一o :— + 2 t S o


-



6 0
.

4 ~ 3 — 2 一 l O

1

2

3

4

故 3 I 3 l1O 7 D铮 7 (O d+le ) O +,
车 3 I1 e 厂一1 ) 7 (O + 1



4
3 2

4
7

O 一4 —8 一 l l 0 —2 8 2 一 6 —2 4 —2
3 — 1 —5 —9 一 l 1 2 2 3— 7— l一 5 2 —2 —6 — 1 1 1 2 0— 4— 8— 2



~7 e4) 3 ( 一d+ ] 3 1 1 3 .
又 一8 ≤le+ 8 O f一1 d 8 故 1 ≤8 , 3 3 一4 ) S ( e d +—
- —



1 0 6



l O
1

1 9 3

5

1 —3 —7 一 l 1 1 1— 5 — 9 4
7

1 1 8 6 2
1 1 l 9 5 1

0 一d 一8 — 1 1 2— 6
3 — 1 —5 —9 一 l 3

6 0
:

0,±3 7,+7 4.

令 T 0=a 一口 ∈z. S-6 2 . 又 . 1,0 ]故 s ∈[2 18 ,
I∈ { k+l =0, , ,4} s 4 2I 1… 2 .

2 3
4

2 1 1 1 6 2 8 4 0 2 2 l 1 9 5 l 7 3

2 —2 —6 — 1 0 5 1 —3 —7
4 0 —4

2 2 2 1 1 8 8 4 0 6 2

从 而 ,∈ [ 2 1] t 一1 ,2 nz. ( ) t k =0 ±1 … , 4 时 , 1当 =3 ( , , ±)
S=6 0+ 1 2k.

但 厂 3 : k+2一d—e=56 1 ,, 大 于 , ,4 7均
4 矛盾 . ,

若 33 4 ) 3 (e~ d +( +2 = 4贝 ) 7 ,0
3e一4d :2 . 4一

下 面 构 造 数 A :9 5 1 1 足 条 …9 …5 … 满 件. 则
f 口+3 3 +3 7=1 , 2
【7 2 a+1 8+3 5 7=6 0+1 k 2

由表 1 ( e =( ,), 一33 知 d,) 一42 ( ,).

但 厂 3 + 一d—e 0 1 , =k 2 =1 ,1均大于 4 ,
矛盾 . 故 t k+2 =12 3 . ≠3 ( ,,)

『 + =4 a+ ,
曰 , 【 2
a + =4+ .

由对称 性 ,≠ 一(k+ ) =123 . t 3 2( ,,) () 3类似() ,≠ ±(k+ ) 2知 t 3 1( =123 . ,,)
() t 时 ,(e d + ≠03 , 7 . 4 当 =2 33 一4 ) 2 ,7 一 4



若 33 4 ) = 一3 ,4 贝 (e一 d +2 77 ,0
3e一4d : 一 1 2 3. 4.

由表 1 d e =(, 3 , ,)( 34. 知( ,) 1 一 )( 1,一 ,) 4

[ 为高斯 函数 . ]
( ) t k+2 =12 3时 , 2 当 =3 ( ,,)
33 4 ) 3 ( e一 d +( k+2 ≠0 3 , 7 . ) ,7 一 4

则 ( ef d, ,)
=

( , ,) ( , , ) ( , ,) 1 一34 ,4 1 一3 , 一34 1 .

对 ( e f =( , ,) 取 d, ,) 1 一34 ,

若 33 4 ) 3} ) 一3 ,4 (e一 d +( +2 = 7贝 J j

d =1d = ,2 0 e =3 = , = . 2 ,0 0 e = ,o , 4f 0 o

20 年 第 5 09 期

4 5

则 A=99595959满 足 条 件 . 5 1 1 1 S=
6 8.

∑ b+
=l
=

() A)

由对 称性 , = 一2时 , t 取
A =1 91 5 9 515 91 5 1

号 口 口) ,—) ( + ( 1一m 1 0 .
,

满足条 件 . S=5 . 2 () t 时 , 5 当 =1 类似 () 4 知
( , ,) d ef
:

从而 , { i分成 组 : 将 o)
0 +. - '' 2…
,

警.

( , , ) ( , , ) ( , ,) 一3 0 4 ,0 4 一3 ,4 一3 0 .

其 中各 组 之和 均为 o +a , . 故 将 { 0 - ) .… 口, +一 江.1 2
,

对 ( e f =( , , 3 , d, , ) 0 4 一 ) 取 d =0 d =0 e =4 e =0_ = ,o . 2 ,o ,2 ,o ,2 0f =3 厂

nl n

依 次 排成 一

列 , 为 { ,2) 记 b bi

.
,

.

则 A=5551 9 9 满 足条件 . 6 . 9 9 151 5 S= 4 由对称 性 , = 一1时 , t 取
A =5 5 5 9 5 9 5 9 1 1 1 1

则任意连续号

组 ( l个 数 ) 和均 为 即 l , 之

昙(. 0 = ( ). 口+ ) A )
从而 , 只需保 证
i号一 + 1
6 z
. .

满足条 件 . S=5 . 6 综上 , S=18 9 ,4 7 , 8 6 , 0 5 , 0 ,6 8 , 2 6 , 4 6 ,6
5 4 3 2 1 2, 8, 6, 4, 2.

( +6 +b(+ ) - 6 ) 2 暑 一

三 , 任一新 排 列 ( ={ 对 A) b)
有 / ( ) ( A) ≥ b+ ≥g ( ) ( ) ,

.
,

,



≤ ( 口) =,… 2 号 , 号 【 1,, 一 ) i2
i号一 + 1

其 中 , =0 1… , i ,, m一1 . 将 上述 m 个 不等式 相 加得

即 ∑ ( + + 2+)l b 6 6) b i 一— 2 (号
≤ 0+ ) 昙(l 口 .

() A) b ∑ > g () ≥∑ - ( A) ma .
i l = i 1 =

则 b( ) 2
a ≥g ( ) i ( 4) .



t

所 以 , 盯 4) ≥ ( )

( . 号. 1 . ) 2, 一

将 此条 件加 强 为

故要 证 mn i

( ) a ( ) 只 A) =m x g( A) ,

要 找 到两个 排列 盯 A) ( 满 足 ( , A)

>j1 < ) b~≤ . z( ≤ _
得 到 a A) b) ( ={ 七 . 使得
.

() A= ) ∑a g- ) ② i (( ) = O . t
因为 { 为 连 续 , 个 正 整 数 ( 妨 设 a) 勰 不
a <a <… <a , 以 , l 2 ) 所

faA ) 昙( . , (( )= 口+ )
其中
.

b 2
.

1 +~_ _ al( =nii m_ -
,

.

号 口) ( ,
且 a + n Il w +— = a + 口 . l m

类 似 , ( ) 6 ) . 使得 / ={ : 七 4

下 面构造 盯 A) ( . 由式 ②知
t r t n r a n , H一 1

go( ) 昙( n , ( = n+ ) )

其 ' =i( ' , . 中【i 2 ) b 6la 2 ' , _ , …
四, mXn m, ≥4 棋 盘按 国际 象 棋 将 ( 凡 )
方式 黑 白相 间染 色 中 , 1 1 为黑色 . 其 (.)

( A)∑ = b ∑ ∑ b ) ( = ∑
又 由式 ① 知

中 等 数 学

当 , 为 奇数 时 , 两 个 黑 色 的小 方 格 肌 任 满足条 件 ; 删 为 偶数 时 , 两个 异 色 的小 当 任 方格 满足 条件 . 记 结 沦为 [ / . m, ] 1
下 面用数 学 归纳法 证 明 .
先证下 面的 引理 .

×2棋 盘 中 , — 满 足条 件 . 第 三列 中与 A 取

引理 1 [ / 与[, 等价 . m, ] / m] 1 1 ,
显 然成立 .

相邻的方格 ( 与 同色)则由[ n 成 , m, ] : 知 在后 m x1棋 盘 中 , 8满 足 条 件 . , , 1 A一 故 由 一 曰 一A 一 使 [ n+2成 立 . m, ] 由()() [ n+2成立 . 1 ,2 知 m, ] 类 似 可证 : 引理 4 若 [ ] m, 成立 , [ 2 n 成 则 m+ , ]
立 .

引理 2 在 2×n棋 盘中 , 同列 的异色 不
的两 个小方 格满 足条件 .

回到原 题

引理 2的证 明 : A, 同行 , 若 因二 者 异 色 , 其 中间有偶 数列 , 则 由如 图 4方 式 知 A — B满 足 条件 .

图4

若 , 不 同行 , 因二 者 异 色 , 其 中 间 则
有 奇数 列 , 由如 图 5方式 知 A — 满 足条 件 .

由引理 134知 , ,, 为利用 数 学归 纳 法 , 只 需证明[,][ ,][ ,] 44 , 5 , 5成立即可 . 4 5 对 [, ] j=45 , B异色 . 4 n (/ ,)A, r 若 , 相 令 , I j 则 由如 图 7 或 对 称 ( 的) 路知 A 环 一 满 足条件. 圈7 若 A,B 不 相 邻, 当 , B都在 上 ( 两 行 时 , 下) 由引 理 2知 在 2×/棋 盘 中 , 一 满 足 条件 , 似 引理 3 1 , A 类 () 有 / 1知 I 一 的路 径 使 [ , ] 立 ; A, 4 n成 当 B 个 在上两 行 , 另一个 在下 两行 时 , 似 引理 类


圈困

32知有 A+目的路 径使 [ , ] 立 . () 一 4凡成
5

故 [ . ] n:45成 立 . 4n ( ,) 对 [ ,] A, 55 , B同黑 . 先 由图 8

引理 3 特 , ] n 成 , [ r+2 成 则 m,/ ] ,
.

引理 3的证 明 : 对 ×( n+2 棋 盘 , ) 分
两种 情 况 汁沦 :

() , B都不在前( ) 1若 I , 后 两列 , 则在后
( ) 的 m×/棋 盘中 , [ / 成立 , 在 前 面 1 有 m, ] 1 且

知[ ,1 33成立 . 再分 两 种 情 况证 [ , ] 3 5
成立 .

圈 团 圈
图 8

前 ( 第三列中必有两个相邻方格是[ n 后) m, ]
中棋子 走过 的路径 中
一l

若 A 都在前 ( ) , 后 三列 , 由[ ,] 则 33 成
立, 知在 前 ( ) 盘 中 , 一 满 足 条 后 3X3棋

连续的两 个方格 ( 没
为 C , 用 如 图 一 D)可

l
l


- C l— D

件, 类似 引理 3 1知 在 3 () ×5棋 盘 中有 A 日 — 路 径使 [ ,] 35成立 ;

6方式 将 前 ( ) 列 后 两

并 入 棋 子 原 来 的 路 径, [ /成立. 使 m, ] 1 () /, 一 个 在前 两 列 , 2若 iB 另一 个 在 后 两列 . 不妨 设 4在 前 两 列 , 在 第 二 列 有 至 则
少两 个方格 与 / 异色 , 中至少 有 一个 方 格 I 其

若 , B一个在 前两列 , 另一个 在后两 列. 不妨 设 A在 前 两 列 , 由引 理 2知 , 第 2 在 列中存在白方格 C 12 , ( ,)在第 4 列中存在白
方 格 D( , ) 使 得 分 别 在 34 , 前 , 3x2棋 盘 中 , — C, 后 A D— 分 别 满 足条 件 . 图 如 9方式 将 C, D相 连 , A 则 一 图9

( 记为 ) A不 同行 . 与 由引理 12知在 前 m ,

20 09年第 5 期

4 7

=

鸷 数 学 奥替 匹
,










C

高 20 称 圆心 在 正 多边 形 的 中心 的 圆 5 为正 多边 形 的 " 中心 圆" 设 ( 0是 正 凡边 形 . 三 ) A. … 的 中心 圆 , 为 o 0 上 任 一 点 , P P 在 AA ( =12 … ,/A :A1上 的射 影 i , , 1 , , )
为 . 证 : 求

初 29 如 图 I 4 ,

A B是 o 的 直径 , 0 c
是A B的 中 点 , 是

A C的 中点 , H_ B C 』 M ¨
于 . 证 : 求
1

A

0

B

图 l

() 1∑ i 与∑ 商 同向;

OH = - H . 6A -

(} jl 2∑ ) 与 ∑葡 为 值且 f 定 , 均

( 吕建恒

陕西省兴 平市教研 室,110 730 )

初 2 O 在△ A C 中 , B>A 点 在 5 B A C,

j 商 = j 葡 1 } .
( 徐 道 江 苏省 如皋 市教 师进 修 学校 ,
26 0 ) 2 50
上 期 问 题 解 答

~ A 上, / B 二且 4 :

, E 作 边 A 的 过 B

垂线 与边 B C的 垂 直 平 分线 交 于 点 . 汪 : 求

点 F到 直线 A A B,c的距离 相 等 .
( 吴伟朝 广 州 大 学数 学 与 信 息 科 学 学
院 . 00 510 6)

初 2 7 设有 n张 同样 大 小 的 正方形 卡 4 片 , 别写 着 一 个正 整 数 , n个 正 整 数 足 分 这

高 29 求使 不等式 4

连续 的两位数 , 这些两位数 的和等于首末 两

+ 而

+





项 " 成数 "如 1 合 ( +2+… +5:l , 5 4+5+…
+2 9:49 . 果 卡 片 的边 长 是 大 于 1的整 2) 如

对 满足 xz 的任 意 实数 , 恒成 立 y: Y,

数, 这些 卡 片的 面积 的和 为 209那 么 , 片 0 , 卡
上 写 着 的是 哪些 数 ?
解 : 然 , O =4 ×7 . 显 2O 9 1

的正实 数 的取 值 范 围 .
( 明斌 四川 省蓬 安 中学 ,3 8 1 蒋 675 )

c D B使 [ ,] — — 35 成立 .

盘 中有 A B路 径使 [ ,] 立 . — 55成 故 [ ,] 立 . 55成 综 上 , 求 为 { ,, ,: l≤ i,2 所 ( , )1 . ≤ m,≤ , ≤凡, 当 m/ l 2 且 / 为偶数 时 ,i + ) , (l


最后分两种情况证 [,] 55成直 .

若 A, B都在 前( ) 后 j列 , 由[ , ] 则 5 3 成
立, 类似引理 3 1可知在 5 5 () × 棋盘 中, 有


路 径使 [,] 55成 ; 符 , 一 个 在 前 两 列 , 一 个 在 后 两 另

( +J) 1 ) d2 ; , 为 奇 数 时 , i 2 兰 (n ) 当 M o

( I J ) i +J ) ( o ) . + 1 z(2 2 ~O m d2 }
( 宋岐水 编拟 )

列, 类似[ .] 35 中的第 2种情况知在 5 5棋 ×

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