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圆锥曲线离心率的求法(已整理)


圆锥曲线离心率的求法
学习目标
1、掌握求解椭圆、双曲线离心率及其取值范围的几类方法; 2、培养学生的分析能力、理解能力、知识迁移能力、解决问题的能力;

学习重难点
重点:椭圆、双曲线离心率的求法; 难点:通过回归定义,结合几何图形,建立目标函数以及观察图形、设参数、转化等途径确 定离心率

教学过程: 复习

回顾:圆锥曲线离心率的概念 一、求离心率 探究一:利用定义直接求 a , c 例 1.已知椭圆 E 的短轴长为 6,焦点 F 到长轴的一个端点的距离等于 9,则椭圆 E 的离心
率等于 .

练习 1:在正三角形 ABC 中,点 D、E 分别是 AB、AC 的中点,则以 B、C 为焦点,且过 D、 E 的双曲线的离心率为 A. B. 5 3 B. 3-1 C. 2+1 D. 3+1 ( )

探究二:构造关于 e 的(a,b,c 的齐次)方程
y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的上焦点为 F , 左、 右顶点分别为 B1 , B2 , 下顶点为 A , a 2 b2 ??? ? ???? ? 直线 AB2 与直线 B1 F 交于点 P ,若 AP ? 2 AB2 ,则椭圆的离心率为___________
例 2. 已知椭圆

x2 y2 练习 2、双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是 F1、F2,过 F1 作倾斜角为 30° 的 a b 直线交双曲线右支于 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为 ( A. 6 C. 2 B. 3 D. 3 3 )

探究三:以直线与圆锥曲线的位置关系为背景,设而不求确定 e 的方程

x 例 3.椭圆 2 a

2

y + 2 =1(a>b >0),斜率为 1,且过椭圆右焦 b

2

→ → → 点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点,OA+OB与 a=(3,-1)共线, 求 e?
A(X1,Y1) O

B(X2,Y2)

二、求离心率的范围(构造不等式或函数关系式求离心率的范围) 1、直接根据题意建立 a , c 不等关系求解. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 例 4、已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的半焦距为c,若 b 2 ? 4ac ? 0 , a2 b2
( C.2 ? 5 ? e ? 2 ? 5 ) D. B2 ? e ? 2? 5

则双曲线的离心率范围是 A. 1? e ? 2? 5

3 ?e?2 2

2、借助平面几何关系建立 a , c 不等关系求解 例 5、设 F1,F2 分别是椭圆

x2 y 2 a2 a ? b ? 0 ? ? 1 ( )的左、右焦点,若在直线x = 上存在 P, 使 a 2 b2 c
( )

线段 PF1 的中垂线过点 F2 ,则椭圆离心率的取值范围是 A. (0,

2 ] 2

B. (0, ]

3 3

C. [

2 , 1) 2

D. [

3 , 1) 3

3、利用圆锥曲线相关性质建立 a , c 不等关系求解. x2 y2 例 6、已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0) ,F1 是左焦点,O 为坐标原点,若双曲线上存在点 P,使|PO| a b =|PF1|,则此双曲线的离心率的取值范围是 ( ) A. (1,2] B.(1,+∞) C.(1,3) D.[2,+∞)

4、运用数形结合建立 a , c 不等关系求解

例 7、已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60 ? 的直线与双曲线 a 2 b2
( (D) (2, ??) ) (C) [2, ??)

的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是 (A) (1, 2] (B) (1, 2)

5、运用函数思想求解离心率 例 8、设 a ? 1 ,则双曲线

x2 y2 ? ? 1的离心率 e 的取值范围是 a 2 (a ? 1)2
C. (2,5) D. (2, 5 )

A. ( 2 ,2)

B. ( 2 , 5 )

练习 3、 设 A1、A2 为椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

的左右顶点,若在椭圆上存在异于

A1、A2 的点 P ,使得 PO ? PA2 ? 0 ,其中 O 为坐标原点,则椭圆的离心率 e 的取值范围 是 A、(0, )

1 2

B、 (0,

2 ) 2

C、( , 1)

1 2

D、(

2 , 1) 2

小结:求离心率的关键是列出一个与 a,b,c,e 有关的等式或不等关系

求离心率的关键是列出一个与 a,b,c,e 有关的等式或不等关系.在此,要活用圆锥曲线的特 征三角形.常用方法: 1.利用曲线变量范围。圆锥曲中变量的变化范围对离心率的影响是直接的,充分利用这一点, 可优化解题. 2.利用直线与曲线的位置关系。根据题意找出直线与曲线相对的位置关系,列出相关元素的 不等式,可迅速解题. 3.利用点与曲线的位置关系。根据某点在曲线的内部或外部,列出不等式,再求范围,是一 个重要的解题途径. 4.联立方程组。如果有两曲线相交,将两个方程联立,解出交点,再利用范围,列出不等式 并求其解. 5.三角函数的有界性。用三角知识建立等量关系,再利用三角函数的有界性,列出不等式易 解. 6.用根的判别式根据条件建立与a、b、c相关的一元二次方程,再用根的判别式列出不等 式,可得简解 7.数形结合法:解析几何和平面几何都是研究图形性质的,只不过平面几何只限于研究直线 形和圆。因此,在题设条件中有关圆、直线的问题,或题目中构造出直线形与圆,可以利用 平面几何的性质简化计算。 练习 x2 y 2 1、如图,双曲线 2 ? 2 ? 1 (a, b ? 0) 的两顶点为 A1 , A2 ,虚轴两端点为 B1 , B2 ,两焦 a b 点为 F1 , F2 . 若以 A1 A2 为直径的圆内切于菱形 F1 B1 F2 B2 ,切点分别为 A, B, C , D . 则双曲线 的离心率 e ? ;

y

B A1 F1 A2 O C

B2 A F2 D B1

x

x2 y 2 2 、 设 F1 , F2 是 双 曲 线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 两 个 焦 点 ,P 是 C 上 一 点 , 若 a b

PF 1 ? PF2 ? 6a, 且 ?PF1F2 的最小内角为 30? ,则 C 的离心率为___.

3、 如图, F1 , F2 是椭圆 C1 :

x2 ? y 2 ? 1 与双曲线 C2 的公共焦点, A, B 分别是 C1 , C2 在第二、 4
( )

四象限的公共点.若四边形 AF 1 BF 2 为矩形,则 C2 的离心率是

A. 2

B. 3
A

y

C. B.

3 2

D.

6 2

F1

O B

F2

x

(第 3 题图)

x2 4、设双曲线 C: 2-y2=1(a>0)与直线 l:x+y=1 相交于两个不同的点 A,B. a 求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围


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