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2013高三数学二轮专题三第3讲 推理与证明


高考真题感悟

第3讲

第3讲
【高考真题感悟】 (2011· 陕西)观察下列等式

推理与证明

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1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 ? 照此规律, n 个等式为_______________

________________. 第

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解析

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∵1=12, 2+3+4=9=32, 3+4+5+6+7=25=52?

∴第 n 个等式为 n+(n+1)+?+(3n-2)=(2n-1)2.
答案 n+(n+1)+?+(3n-2)=(2n-1)2
考题分析 本题主要考查合情推理的应用. 突出考查归纳推理 的思路、方法和技巧.体现了对观察问题、分析问题、归纳概 括能力的考查.
易错提醒 (1)找不准归纳的对象.本题归纳对象有两个,即

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等号左边式子的第一个数和最后一个数; 等号右边的数是归纳 对象.(2)找不准变化规律.

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本 1.合情推理 讲 栏 (1)归纳推理 目 开 ①归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征,推出 关

该类事物的所有对象具有这些特征的推理,或者由个别事 实概括出一般结论的推理. ②归纳推理的思维过程如下: 实验、观察 → 概括、推广 → 猜测一般性结论

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(2)类比推理 ①类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象 的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理. ②类比推理的思维过程如下: 观察、比较 → 联想、类推 → 猜测新的结论

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2.演绎推理 (1)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括: ①大前提——已知的一般性原理. ②小前提——所研究的特殊情况.

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③结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断. (2)合情推理与演绎推理的区别 归纳和类比是常用的合情推理,从推理形式上看,归纳是 由部分到整体、个别到一般的推理;类比是由特殊到特殊 的推理;而演绎推理是由一般到特殊的推理.从推理所得 的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待进一步证 明;演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提 下,得到的结论一定正确.

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3.直接证明 (1)综合法

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用 P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q 表示 所要证明的结论,则综合法可用框图表示为 P?Q1 → Q1?Q2 → Q2?Q3 →?→ Qn?Q (2)分析法 用 Q 表示要证明的结论,则分析法可用框图表示为

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4.间接证明 反 证法 的证 明过 程可以 概括 为 “ 否定 —— 推 理 ——否 定”,即从否定结论开始,经过正确的推理,导致逻辑矛 盾,从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程.用反证法 证明命题“若 p 则 q”的过程可以用如图所示的框图表示.

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题型一

归纳推理

本 【例 1】 设数列{an}是首项为 0 的递增数列,n∈N*,fn(x) 讲 栏 ? ? 1 目 =?sin n?x-an??, x∈[an, n+1], a 满足: 对于任意的 b∈[0,1), ? ? 开 关

fn(x)=b 总有两个不同的根, 则{an}的通项公式为________.

可根据条件,先求数列{an}的前几项,观察出规 律,再作猜想.
解析 ∵a1=0,当 n=1 时,f1(x)=|sin(x-a1)|=|sin x|,
x∈[0,a2],又∵对任意的 b∈[0,1),f1(x)=b 总有两个不同 的根,

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∴a2=π;

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∵对任意的 b∈[0,1),f2(x)=b 总有两个不同的根,
∴a3=3π;
? f3(x)=?sin ? ? ? ? ? 1 1 1 ? ? ? ? ? ? x∈[3π, 4], a 3?x-a3??=?sin 3?x-3π??=?sin 3x?,

∵对任意的 b∈[0,1),f3(x)=b 总有两个不同的根,

∴a4=6π.
由此可得 an+1-an=nπ,

n?n-1?π ∴an= . 2

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归纳递推思想在解决问题时,从特殊情况入手,通 过观察、分析、概括,猜想出一般性结论,然后予以证明.这 一数学思想方法在解决探索性问题、 存在性问题或与正整数有 关的命题时有着广泛的应用.其思维模式是“观察——归纳 ——猜想——证明”,解题的关键在于正确的归纳猜想.

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(1)对于集合 N={1,2,3,?,n}及其他的每一个非 空子集,定义一个“交替和”如下:按照递减的次序重新排 列该子集,然后从最大数开始交替地减、加后继的数.例如: 集合{1,2,4,6,9}的交替和是 9-6+4-2+1=6, 集合{5}的交替 和为 5;当集合 N 中的 n=2 时,集合 N={1,2}的所有非空子 集为{1},{2},{1,2},则它的“交替和”的总和 T2=1+2+2 -1=4, 请你尝试对 n=3, n=4 的情况, 计算它的“交替和” 的总和 T3,T4,并根据其结果猜测集合 N={1,2,3,?,n}的 每一个非空子集的“交替和”的总和 Tn=________.(不必给 出证明)

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解析 依题意,知当 n=1 时,N={1},则 T1=1;
当 n=2 时,T2=4;

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当 n=3 时, N={1,2,3}, 所有的非空子集为{1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3},{2,3},{1,2,3},所以 T3=1+2+3+1+2+1+2=12;
当 n=4 时,N={1,2,3,4},所有的非空子集为{1},{2},{3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4},

则 T4=1+2+3+4+1+2+3+1+2+1+2+3+2+3+2=32.
因为 T1=1×1,T2=2×2,T3=3×4,T4=4×8, 所以 Tn=n·n-1.故填 n·n-1,n∈N*. 2 2

答案

n·n-1,n∈N* 2

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(2)(2012· 湖北)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在 沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三 角形数:

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将三角形数 1,3,6,10,?记为数列{an},将可被 5 整除的三 角形按从小到大的顺序组成一个新数列{bn},可以推测: (1)b2 012 是数列{an}中的第________项; (2)b2k-1=________.(用 k 表示)

解析 归纳出{an}的通项是解题关键.
(1)由图可知 an+1=an+(n+1)(n∈N+).

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所以 a2-a1=2,a3-a2=3,?,an-an-1=n.
累加得 an-a1=2+3+?+n,

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n?1+n? 即 an=1+2+3+?+n= 2 .

当 n=4,5,9,10,14,15,19,20,24,25,?时,an 能被 5 整除, 即 b2=a5,b4=a10,b6=a15,b8=a20,?, 所以 b2k=a5k(k∈N+). 所以 b2 012=a5×1 006=a5 030.
5k?5k-1? 1 (2)由(1)可知 b2k-1=a5k-1=2×5k(5k-1)= . 2 答案 (1)5 030 5k?5k-1? (2) 2

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题型二 类比推理

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【例 2】 在平面直角坐标系中, 设△ABC 的顶点分别为 A(0, a),B(b,0),C(c,0),点 P(0,p)在线段 AO 上(异于端点), 设 a,b,c,p 均为非零实数,直线 BP,CP 分别交 AC, ?1 1? AB 于点 E,F,一同学已正确算出 OE 的方程:?b-c ?x+ ? ? ?1 1? ?1 1? ? - ?y=0,请你求 OF 的方程:(________)x+? - ?y=0. ?p a? ?p a?
观察 E、F 两点特征.应该说 E、F 两点的特征 类似,E 在 AC 上,F 在 AB 上,它们的区别在“一点”之 差上.故结论可用类比法.

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解析 方法一 类比法

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1 1 1 1 E 在 AC 上,OE 的方程为(b-c )x+(p-a)y=0.
F 在 AB 上,它们的区别在于 B、C 互换.
1 1 1 1 因而 OF 的方程应为(c-b)x+(p-a)y=0. 1 1 ∴括号内应填:c-b.
方法二 画草图如右,由对称性 1 1 可猜想填 - . c b

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事实上,由截距式可得直线 AB: x y + =1 b a

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x y 直线 CP:c+p=1,
?1 1? ?1 1? 两式相减得? c-b?x+?p-a?y=0, ? ? ? ?

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显然直线 AB 与 CP 的交点 F 满足此方程, 又原点 O 也满足此 方程, 故为所求直线 OF 的方程.
1 1 答案 c -b

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“观察、类比”是解决本题的基本思路,由于直 线 OE、OF 在图形上的“对称性”在其方程上也必然有某种 “对称性”, 观察直线 OE 的方程和题目中给出的直线 OF 的 部分信息, 它们的共性是 y 的系数一样, 那就只有 x 的系数具 备“对称性”,这样就可大胆、合理地进行解答了.

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我们可以运用下面的原理解决一些相关图形的面 积问题:如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭图 形所截得线段的比为定值 k,那么甲的面积是乙的面积的 k 倍,你可以从给出的简单图形①(甲:大矩形 ABCD,乙:小 矩形 EFCB)、②(甲:大直角三角形 ABC,乙:小直角三角形 x2 y2 DBC)中体会这个原理,现在图③中的曲线分别是 2 + 2 =1 a b (a>b>0)与 x2+y2=a2,运用上面的原理,图③中椭圆的面积 为________.

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S椭圆 b 解析 由①②类比推理可得 =a, S圆 b b 2 故 S 椭圆=aS 圆=a·πa =abπ.
答案 abπ

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题型三 【例 3】 直接证明或间接证明

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1 3?1+an+1? 2?1+an? 已知数列{an}满足:a1= , = , 2 1-an 1-an+1

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anan+1<0 (n≥1);数列{bn}满足:bn=a2 +1-a2 (n≥1). n n (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)证明:数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列.
(1)解 3?1+an+1? 2?1+an? 1-a2+1 2 n 已知 = 化为 = , 1-an 1-an+1 1-a2 3 n



3 2 1-a1= , 4
4 3

3 2 2 所以数列{1-an}是首项为 ,公比为 的等比数列,

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则 3 2 n-1 2 1-an= ×? ? ,则 4
?3? ? ?

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3 2 n-1 2 an=1- ×? ? , 4
?3? ? ?

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由 anan+1<0,知数列{an}的项正负相间出现,
因此 an=(-1)
n+1

3 ?2?n-1 1-4×?3? , ? ?
? ? ?3? ? ? ?3? ? ? ?3?

3 2 n 3 2 n-1 1 2 n-1 2 2 bn=an+1-an=- ×? ? + ×? ? = ×? ? . 4 4 4

(2)证明 假设存在某三项成等差数列,不妨设为 bm、bn、bp, 其中 m、n、p 是互不相等的正整数,可设 m<n<p,
1 ?2?n-1 而 bn=4×?3? 随 n 的增大而减小, ? ?

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那么只能有 2bn=bm+bp, 1 ?2?n-1 1 ?2?m-1 1 ?2?p-1 可得 2×4×?3? =4×?3? +4×?3? , ? ? ? ? ? ?

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?2? - ?2? - 本 n m 则 2×?3? =1+?3?p m. 讲 ? ? ? ? 栏 目 开 ?2? - ?2? 8 n m ? ? ? ?2= ,上式不可能成立,则只 关 当 n-m≥2 时,2× ≤2×

?3?

?3?

9

?2? - 4 能有 n-m=1,此时等式为 =1+?3?p m, 3 ? ? 1 ?2?p-m log 2 1 = 1 ,左边为正整数, 即3=?3? ,那么 p-m= 1-log32 ? ? 3 3

右边为无理数,不可能相等.

所以假设不成立, 那么数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列.

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(1)有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个 结论不成立的例子即可. (2)综合法和分析法是直接证明常用的两种方法,我们常用分 析法寻找解决问题的突破口,然后用综合法来写出证明过程, 有时候,分析法和综合法交替使用.

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2 已知数列{an}和{bn}满足: 1=λ, n+1= an+n-4, a a 3 bn=(-1)n(an-3n+21),其中 λ 为实数,n 为正整数. (1)对任意实数 λ,证明:数列{an}不是等比数列; (2)试判断数列{bn}是否为等比数列.
(1)证明 假设存在一个实数 λ,使{an}是等比数列,
则有 a2=a1a3, 2
?2 ? ?4 ? 4 4 2 ? λ-3? =λ? λ-4?? λ2-4λ+9= λ2-4λ?9=0,矛盾. 即3 9 ? ? ?9 ? 9

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所以{an}不是等比数列.

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(2)解 因为 bn+1=(-1)n+1[an+1-3(n+1)+21]
n+1

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=(-1)

?2 ? ? an-2n+14? ?3 ?

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2 2 n =-3(-1) · n-3n+21)=-3bn, (a

又 b1=-(λ+18), 所以当 λ=-18 时,bn=0 (n∈N*),此时{bn}不是等比数列; 当 λ≠-18 时,b1=-(λ+18)≠0,

2 由 bn+1=-3bn,可知 bn≠0, bn+1 2 所以 =- (n∈N*). bn 3

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2 故当 λ≠-18 时,数列{bn}是以-(λ+18)为首项,- 为公比 3 的等比数列;
综上知,当 λ=-18 时,数列{bn}构不成等比数列;

2 当 λ≠-18 时,数列{bn}是以-(λ+18)为首项,- 为公比的 3 等比数列.

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本 合情推理的精髓是“合情”, 即得到的结论符合“情理”, 讲 1. 栏 其中主要是归纳推理与类比推理.归纳推理是由部分得到 目 开 整体的一种推理模式.类比推理是由此及彼的推理模式; 关

演绎推理是一种严格的证明方式. 2.直接证明的最基本的两种证明方法是综合法和分析法,这 两种方法也是解决数学问题时常见的思维方式.在实际解 题时,通常先用分析法寻求解题思路,再用综合法有条理 地表述解题过程.

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1.正整数按图的规律排列,则上起第 2 012 行,左起第 2 013 列的数为 ( )

A.2 0122 C.2 012+2 013

B.2 0132 D.2 012×2 013

押题依据 数阵是近几年高考的热点.本题以数阵为背景, 考查观察分析、 归纳猜想、 推理论证的能力, 题目难度适中, 重点突出,故押此题.

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押题级别
解析

★★★★

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设第 1 行元素组成数列{an},

观察第 1 行, 则有 a2-a1=1, 3-a2=3, 4-a3=5, a a ?, 2 013 a -a2 012=2×2 012-1,

累加,得 a2 013=2 012×2 012+1,
所以上起第 2 012 行,为 a2 013+2 011=2 012×2 013.故选 D.

答案

D

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2.△ABC 内有任意三点都不共线的 2 009 个点,加上 A,B,C 三个顶点,共 2 012 个点,把这 2 012 个点连线形成互不重 叠的小三角形,则一共可以形成小三角形的个数为 ( A.4 010 C.4 017
押题依据

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)

B.4 013 D.4 019
能用归纳和类比进行简单的推理是高考对合情推

理的基本要求.相比较而言,归纳推理是高考的一个热点.本 题体现了归纳推理的思想,即当增加一个点时,三角形个数的 增加量.题目不难,但体现了高考的热点.
押题级别 ★★★★

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解析 三角形内部每增加一个点,可比原来多出 2 个三角形,
则由分析可知 an+1=an+2,

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其中 an 表示三角形内部有 n 个点时形成互不重叠的小三角形 的个数,且 a1=3, 从而 a2 009=3+(2 009-1)×2=4 019.

答案

D


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