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江苏省南通中学2016-2017学年高一(上)期中数学试卷(解析版).doc


2016-2017 学年江苏省南通中学高一(上)期中数学试卷 参考答案与试题解析
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 3 分共 42 分.请在答题卡指定区域内直接写出结果. 1.若 A={1,0,3},B={﹣1,1,2,3},则 A∩B= {1,3} 【考点】交集及其运算. 【分析】利用交集的性质求解. 【解答】解:∵A={1,0,3},B={﹣1,1,2,3}, ∴A∩B={1,3}. 故答案为:{1,3}.

2.若幂函数 y=f(x)的图象过点(4,2) ,则 f(16)= 4 . 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 【分析】根据已知求出函数的解析式,将 x=16 代入可得答案. 【解答】解:设幂函数 y=f(x)=x , ∵幂函数 y=f(x)的图象过点(4,2) ,
a ∴4 =2, a

解得:a= , ∴y=f(x)= ∴f(16)=4, 故答案为:4

3.函数 f(x)=

+

的定义域为 [﹣1,2)U(2,+∞) .

【考点】函数的定义域及其求法. 【分析】根据负数不能开偶次方根和分母不能为零来求解,两者求解的结果取交集. 【解答】解:根据题意: 解得:x≥﹣1 且 x≠2 ∴定义域是:[﹣1,2)∪(2,+∞)

故答案为:[﹣1,2)∪(2,+∞)

4.已知指数函数 f(x)=(a﹣1)x 在 R 上单调递减,则实数 a 的取值范围是 (1,2) . 【考点】指数函数的单调性与特殊点. 【分析】对于指数函数 y=a (a>0 且 a≠1) ,当 a>1 时,单调递增;当 0<a<1 时,单调 递减,由此可解. 【解答】解:因为指数函数 f(x)=(a﹣1) 在 R 上单调递减,所以有 0<a﹣1<1,解得 1<a<2. 故答案为: (1,2) .
x x

5.函数 f(2x)=4x2+3x,则 f(x)的解析式是 【考点】函数解析式的求解及常用方法.



【分析】利用换元法,设 t=2x,得到 x= ,代入右边化简得到关于 t 的解析式,得到所求. 【解答】解:设 t=2x,则 x= ,所以 f(t)=4×( )
2 所以 f(x)=x + 2

=t2+



; .

故答案为:

6.设集合 A={x|x2﹣5x﹣6<0},集合 B={x|﹣3<x<2},则 A∪B= 【考点】并集及其运算. 【分析】先求出集合 A 和 B,由此利用并集的定义能求出 A∪B. 【解答】解:∵集合 A={x|x ﹣5x﹣6<0}={x|﹣1<x<6}, 集合 B={x|﹣3<x<2}, ∴A∪B={x|﹣3<x<6}. 故答案为:{x|﹣3<x<6}.
2

{x|﹣3<x<6} .

7.计算:lg4+lg5?lg20+(lg5)2= 2 . 【考点】对数的运算性质. 【分析】根据对数的运算性质化简计算即可.

2 2 【解答】解:lg4+lg5?lg20+(lg5) =2lg2+lg5?(lg4+lg5)+(lg5) =2lg2+lg5(2lg2+2lg5)

=2lg2+2lg5=2, 故答案为:2.

8.设 a=log0.60.8,b=ln0.8,c=20.8,则 a、b、c 由小到大的顺序是 b<a<c . 【考点】对数值大小的比较. 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解. 【解答】解:∵0=log0.61<a=log0.60.8<log0.60.6=1, b=ln0.8<ln1=0, c=20.8>20=1, ∴b<a<c. 故答案为:b<a<c.

9.函数 f(x)=x+ 【考点】函数的值域. 【分析】令 【解答】解:令 则 1﹣2x=t ,x=
2

的值域是 (﹣∞,1] .

=t(t≥0)换元,然后利用配方法求二次函数的最值得答案. =t(t≥0) , ,

∴函数化为 由 当 t≥0 时, ∴函数 f(x)=x+ 故答案为: (﹣∞,1].

(t≥0) , , , 的值域是(﹣∞,1].

10.已知函数 f(x)是奇函数,当 1≤x≤4 时 f(x)=x2﹣4x+5,则当﹣4≤x≤﹣1 时,函 数 f(x)的最大值是 ﹣1 . 【考点】函数奇偶性的性质. 【分析】先求得对称区间上的最值,再利用奇偶性来求得对称区间上的最值.

【解答】解:当 1≤x≤4 时 f(x)=x2﹣4x+5=(x﹣2)2+1 其最小值为 1 又∵函数 f(x)是奇函数 ∴函数 f(x)在区间[﹣4,﹣1]上有最大值﹣1 故答案为:﹣1

11.已知函数 f(x)=ax+loga(x+1) (a>0,且 a≠1)在区间[0,1]上的最大值与最小值的 和为 a,则实数 a= .

【考点】函数单调性的性质. 【分析】由指数函数、对数函数的单调性易判断函数单调,从而可表示函数的最大值、最小 值之和,且为 a,解方程即可. 【解答】解:当 a>0,且 a≠1 时,由指数函数、对数函数的性质知,f(x)在[0,1]上单 调,
x ∴函数 f(x)=a +loga(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为:

[a0+loga(0+1)]+[a1+loga(1+1)]=a,化简得 loga2=﹣1, 解得 a= , 故答案为: .

12.设 f(x)为奇函数,且 f(x)在(﹣∞,0)内是增函数,f(﹣3)=0,则 xf(x)>0 的解集为 (﹣∞,﹣3)∪(3,+∞) . 【考点】奇偶性与单调性的综合. 【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系,将不等式进行转化即可得到结论. 【解答】解:不等式 xf(x)>0 等价为 或 ,

∵f(x)为奇函数且在(﹣∞,0)内是增函数,f(﹣3)=0, ∴f(x)为奇函数且在(0,+∞)内是增函数,f(3)=0, 但当 x>0 时,不等式 f(x)>0 等价为 f(x)>f(3) ,即 x>3, 当 x<0 时,不等式 f(x)<0 等价为 f(x)<f(﹣3) ,即 x<﹣3,

综上 x>3 或 x<﹣3, 故不等式 xf(x)>0 的解集是(﹣∞,﹣3)∪(3,+∞) , 故答案为: (﹣∞,﹣3)∪(3,+∞)

13.已知函数 f(x)= [﹣7,2] . 【考点】函数的值域.

,若函数 f(x)的值域为 R,则实数 t 的取值范围是

【分析】 根据分段函数的值域是 R, 需满足一次函数 y=x+6 的最大值大于等于二次函数的最 小值即可. 【解答】解:函数 f(x)= ,

当 x<t 时,函数 y=x+6 的值域为(﹣∞,6+t) ;
2 当 x≥t 时,函数 y=x +2x,开口向上,对称轴 x=﹣1,

①若 t≤﹣1,其二次函数的最小值为﹣1,要使函数 f(x)的值域为 R,需满足:6+t≥﹣1; 解得:﹣7≤t≤﹣1,
2 ②若 t>﹣1, 6+t≥t2+2t, 其二次函数的最小值为 t +2t, 要使函数 f (x) 的值域为 R, 需满足:

解得:﹣1≤t≤2, 综上所得:实数 t 的取值范围是[﹣7,2].

14.已知函数 f(x)=

,函数 g(x)=f (x)+f(x)+t(t∈R) ,

2

若函数 g(x)有三个零点,则实数 t 的取值范围为 (﹣∞,2] . 【考点】根的存在性及根的个数判断. 【分析】做出 f(x)的图象,判断 f(x)=m 的根的情况,根据 g(x)=0 的零点个数判断 m2+m+t=0 的根的分布,利用二次函数的性质列出不等式组解出 t 的范围. 【解答】解:做出 f(x)的函数图象如图所示:

2 令 f(x)=m,g(x)=0,则 m +m+t=0,

由图象可知当 m≥1 时,f(x)=m 有两解,当 m<1 时,f(x)=m 只有一解, ∵g(x)有三个零点,
2 ∴m +m+t=0 在(﹣∞,1)和[1,+∞)上各有一解,



,解得 t≤﹣2.

故答案为(﹣∞,2].

二、解答题:本大题共 6 小题,共 58 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. 15.计算: (1)log327+lg25+lg4+7 (2) ( ) ﹣ ×π +(﹣9.8)0 + .

【考点】对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 【分析】 (1)利用对数的运算法则即可得出. (2)利用指数幂的运算法则即可得出.
2 【解答】解: (1)运算=3+lg(25×4)+2+1=6+lg10 =6+2=8.

(2)原式=



+π﹣2= ﹣π+π﹣2= .

16.已知集合 A={x|3≤x<10},集合 B={x|2x﹣16≥0}. (1)求 A∪B;

(2)求?R(A∩B) 【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】 (1)求出 B 中不等式的解集确定出 B,找出 A 与 B 的并集即可; (2)求出 A 与 B 的交集,确定出交集的补集即可. 【解答】解: (1)由 B 中不等式变形得:2 ≥2 ,即 x≥4, ∴B={x|x≥4}, ∵A={x|3≤x<10}, ∴A∪B={x|x≥3}; (2)∵A∩B={x|4≤x<10}, ∴?R(A∩B)={x|x<4 或 x≥10}.
x 4

17. (1)判断并证明函数 f(x)=x+ 的奇偶性; (2)证明函数 f(x)=x+ 在 x∈[2,+∞) 上是增函数,并求 f(x)在[4,8]上的值域. 【考点】奇偶性与单调性的综合. 【分析】 (1)求出函数的定义域,利用奇函数的定义进行判断; (2)利用导数法证明,根据函数的单调性求 f(x)在[4,8]上的值域. 【解答】解: (1)函数 f(x)是奇函数. 理由:函数的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞) , f(﹣x)=﹣x﹣ =﹣f(x) ,∴函数 f(x)是奇函数; (2)证明:∵f(x)=x+ ,

∴f′(x)=



∵x>2,∴f′(x)>0, ∴函数 f(x)=x+ 在 x∈[2,+∞) 上是增函数, ∴f(x)在[4,8]上是增函数, ∴函数 f(x)=x+ 在[4,8]上的值域是[5, ].

18.已知函数 f(x)=ax(ax﹣3a+1) ,其中 a>0 且 a≠1,又 f(1)=﹣6

(1)求实数 a 的值; (2)若 x∈[﹣1,3],求函数 f(x)的值域. (3)求函数 f(x)零点. 【考点】函数的零点与方程根的关系;函数的值域. 【分析】 (1)根据 f(1)=a?(1﹣2a)=﹣6,求得 a 的值.
x x (2)若 x∈[﹣1,3],令 t=2 ,则 t=2 ∈[ ,8],f(x)=g(t)=t(t﹣5)=





再利用二次函数的性质求得它的值域.
x (3)令 f(x)=0,求得 2 的值,可得 x 的值. x x 【解答】解: (1)∵函数 f(x)=a (a ﹣3a+1) ,

其中 a>0 且 a≠1,又 f(1)=a?(1﹣2a)=﹣6,求得 a=2,或 a=﹣ (舍去) .
x x x x (2)若 x∈[﹣1,3],f(x)=a (a ﹣3a+1)=2 (2 ﹣5) ,

令 t=2 ,则 t=2 ∈[ ,8],f(x)=g(t)=t(t﹣5)=
x 故当 t=2 = 时,f(x)=g(t)取得最小值为﹣ x 当 t=2 =8 时,f(x)=g(t)取得最大值为 24,

x

x







故函数的值域为[﹣

,24].

x x (3)令 f(x)=g(t)=0,求得 t=0,或 t=5,即 2 =0(舍去)或 2 =5,∴x=log25.

19.已知销售“笔记本电脑”和“台式电脑”所得的利润分别是 P(单位:万元)和 Q(单位: 万元) ,它们与进货资金 t(单位:万元)的关系有经验公式 P= t 和 Q= .某商场决定投

入进货资金 50 万元,全部用来购入这两种电脑,那么该商场应如何分配进货资金,才能使 销售电脑获得的利润 y(单位:万元)最大?最大利润是多少万元? 【考点】函数模型的选择与应用. 【分析】设用于台式电脑的进货资金为 m 万元,则用于笔记本电脑的进货资金为(50﹣m) 万元,通过销售电脑获得的利润为 y=P+Q 列出函数的解析式,利用二次函数的性质求解函 数的最值即可. 【解答】解:设用于台式电脑的进货资金为 m 万元,则用于笔记本电脑的进货资金为(50 ﹣m)万元, …

所以,销售电脑获得的利润为 y=P+Q=161(50﹣m)+21(0≤m≤50) .… 令 u=,则 u∈[0,5], (不写 u 的取值范围,则扣 1 分)
2 2 则 y=﹣161u +21u+825=﹣161(u﹣4) +833.…

当 u=4,即 m=16 时,y 取得最大值为 833. 所以当用于台式机的进货资金为 16 万元, 用于笔记本的进货资金为 34 万元时, 可使销售电 脑的利润最大,最大为 833 万元.…

20.已知函数 f(x)=|x﹣a|,g(x)=ax, (a∈R) . (1)若函数 y=f(x)是偶函数,求出符合条件的实数 a 的值; (2)若方程 f(x)=g(x)有两解,求出实数 a 的取值范围; (3)若 a>0,记 F(x)=g(x)?f(x) ,试求函数 y=F(x)在区间[1,2]上的最大值. 【考点】奇偶性与单调性的综合;二次函数的性质. 【分析】 (1)根据函数为偶函数,f(﹣x)=f(x)对任意实数 x 恒成立,即|﹣x﹣a|=|x﹣a| 任意实数 x 成立,去绝对值然后比较系数,可得 a=0;
2 (2)分三种情况加以讨论:当 a>0 时,将方程 f(x)=g(x)两边平方,得方程(x﹣a) 2 2 2 2 2 ﹣a x =0 在(0,+∞)上有两解,构造新函数 h(x)=(a ﹣1)x +2ax﹣a ,通过讨论 h(x)

图象的对称轴方程和顶点坐标,可得 0<a<﹣1;当 a<0 时,用同样的方法得到﹣1<a<0; 而当 a=0 时代入函数表达式,显然不合题意,舍去.最后综合实数 a 的取值范围; (3)F(x)=f(x)?g(x)=ax|x﹣a|,根据实数 a 与区间[1,2]的位置关系,分 4 种情况加 以讨论: ①当 0<a≤1 时,则 F(x)=a(x2﹣ax) ,根据函数的单调增的性质,可得 y=F(x)的最大 值为 F(2)=4a﹣2a ; ②当 1<a≤2 时,化成两个二次表达式的分段函数表达式,其对称轴为 ,
2

得到所以函数 y=F(x)在(1,a]上是减函数,在[a,2]上是增函数,最大值决定于 F(1) 与 F(2)大小关系.因此再讨论:当 当
2 时,y=F(x)的最大值为 F(2)=4a﹣2a ;

2 时,y=F(x)的最大值为 F(1)=a ﹣a;

③当 2<a≤4 时,F(x)=﹣a(x2﹣ax) ,图象开口向下,对称轴 对称轴处取得最大值: ;

,恰好在

④当 a>4 时,F(x)=﹣a(x2﹣ax) ,图象开口向下,对称轴 2]上函数是增函数,故最大值为 F(2)=2a2﹣4a. 最后综止所述,可得函数 y=F(x)在区间[1,2]上的最大值的结论. 【解答】解: (1)∵函数 f(x)=|x﹣a|为偶函数, ∴对任意的实数 x,f(﹣x)=f(x)成立 即|﹣x﹣a|=|x﹣a|, ∴x+a=x﹣a 恒成立,或 x+a=a﹣x 恒成立 ∵x+a=a﹣x 不能恒成立 ∴x+a=x﹣a 恒成立,得 a=0.… (2)当 a>0 时,|x﹣a|﹣ax=0 有两解,
2 2 2 等价于方程(x﹣a) ﹣a x =0 在(0,+∞)上有两解, 2 2 2 即(a ﹣1)x +2ax﹣a =0 在(0,+∞)上有两解,… 2 2 2 令 h(x)=(a ﹣1)x +2ax﹣a ,

,在区间[1,

因为 h(0)=﹣a <0,所以

2

,故 0<a<1;…

同理,当 a<0 时,得到﹣1<a<0; 当 a=0 时,f(x)=|x|=0=g(x) ,显然不合题意,舍去. 综上可知实数 a 的取值范围是(﹣1,0)∪(0,1) .… (3)令 F(x)=f(x)?g(x) ①当 0<a≤1 时,则 F(x)=a(x2﹣ax) , 对称轴 ,函数在[1,2]上是增函数,

2 所以此时函数 y=F(x)的最大值为 4a﹣2a .

②当 1<a≤2 时,

,对称轴



2 所以函数 y=F(x)在(1,a]上是减函数,在[a,2]上是增函数,F(1)=a ﹣a,F(2)=4a 2 ﹣2a ,

1)若 F(1)<F(2) ,即 2)若 F(1)≥F(2) ,即

,此时函数 y=F(x)的最大值为 4a﹣2a ;
2 ,此时函数 y=F(x)的最大值为 a ﹣a.

2

③当 2<a≤4 时,F(x)=﹣a(x2﹣ax)对称轴 此时 ④当 a>4 时,对称轴 , ,此时





综上可知,函数 y=F(x)在区间[1,2]上的最大值



2016 年 12 月 17 日


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