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河北省邢台一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析


河北省邢台一中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷(文科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 2 2 1. (5 分)双曲线 2x ﹣y =8 的实轴长是() A.2 B. C. 4 2. (5 分)曲线 y=x 在(1,1)处的切线方程是() A.2x+y+3=0 B.2x+y﹣3=0 C.2x+y+1=0
2 2 2

D.

D.2x﹣y﹣1=0

3. (5 分)以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆 x +y ﹣2x+6y+9=0 的圆心的抛物线的方 程是() 2 2 2 A.y=3x 或 y=﹣3x B. y=3x 2 2 2 2 C. y =﹣9x 或 y=3x D.y=﹣3x 或 y =9x 4. (5 分)已知 F 是抛物线 y =x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为() A. B. 1 C. D.
2

5. (5 分)“m= ”是“直线(m+2)x+3my+1=0 与直线(m+2)x+(m﹣2)y﹣3=0 相互垂直” 的() A.充分不必要条件 C. 充要条件
2

B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要

6. (5 分)已知抛物线 y =4x,以(1,1)为中点作抛物线的弦,则这条弦所在直线的方程为 () A.x﹣2y+1=0 B.2x﹣y﹣1=0 C.2x+y﹣3=0 D.x+2y﹣3=0 7. (5 分)已知实数 x∈,执行如图所示的流程图,则输出的 x 不小于 55 的概率为()

A.

B.

C.

D.

8. (5 分)设点 P 是椭圆 I 为△ PF1F2 的内心,若 A. B. + =2 C.

上一点,F1,F2 分别是椭圆的左、右焦点, ,则该椭圆的离心率是() D.

9. (5 分)已知 x,y 的取值如表所示,若 y 与 x 线性相关,且 =0.95x+a,则 a=() x y A.2.2 0 2.2 1 4.3 B.2.6 3 4.8 4 6.7 C.2.8 D.2.9

10. (5 分)已知双曲线

的右焦点为 F,若过点 F 的直线与双曲线的右支有且只有

一个交点,则此直线斜率的取值范围是() A. B. C. D.

11. (5 分)已知 a>b>0,椭圆 C1 的方程为

+

=1,双曲线 C2 的方程为



=1,C1

与 C2 的离心率之积为 A.x± y=0

,则 C2 的渐近线方程为() B. x±y=0 C.x±2y=0 D.2x±y=0

12. (5 分)设 P 是椭圆 积为() A. B.

上的一点,F1、F2 是焦点,若∠F1PF2=30°,则△ PF1F2 的面

C.

D.16

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)若 f′(x0)=﹣3,则 =.

14. (5 分)方程

所表示的曲线为 C,有下列命题:

①若曲线 C 为椭圆,则 2<t<4; ②若曲线 C 为双曲线,则 t>4 或 t<2; ③曲线 C 不可能为圆; ④若曲线 C 表示焦点在 y 上的双曲线,则 t>4; 以上命题正确的是(填上所有正确命题的序号) .

15. (5 分)已知 F 为双曲线 C:

的左焦点,P,Q 为 C 上的点,若 PQ 的长等于虚

轴长的 2 倍,点 A(5,0)在线段 PQ 上,则△ PQF 的周长为. 16. (5 分)若点 A 的坐标为(3,2) ,F 为抛物线 y =2x 的焦点,点 P 在该抛物线上移动,为 使得 PA+PF 取得最小值,则 P 点的坐标为.
2

三、解答题(共 70 分) 17. (10 分)已知双曲线的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,实轴长是虚轴长的 2 倍,且过点 (2 ,1) ,求双曲线的标准方程及离心率. 18. (12 分)已知抛物线:y =4x, (1)直线 l:y=kx+1 与抛物线有且仅有一个公共点,求实数 k 的值; (2)定点 A(2,0) ,P 为抛物线上任意一点,求线段长|PA|的最小值.
2

19. (12 分) 已知命题 p: 方程 表示双曲线,且离心率 e∈( 取值范围. ,

表示焦点在 x 轴上的椭圆; 命题 q: 方程 ) ,若命题 p∧q 为假命题,p ∨q 为真命题,求实数 k 的

20. (12 分)某企业员工 500 人参加“学雷锋”志愿活动,按年龄分组:第 1 组,得到的频率分 布直方图如图所示. (Ⅰ)下表是年龄的频数分布表,求正整数 a,b 的值; 区间 人数 50 50 a 150 b (Ⅱ)现在要从年龄较小的第 1,2,3 组中用分层抽样的方法抽取 6 人,年龄在第 1,2,3 组的人数分别是多少? (Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下,从这 6 人中随机抽取 2 人参加社区宣传交流活动,求至少有 1 人 年龄在第 3 组的概率.

21. (12 分)直线 l:y=kx+1 与双曲线 C:2x ﹣y =1 的右支交于不同的两点 A、B. (Ⅰ)求实数 k 的取值范围; (Ⅱ)是否存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F?若存在,求出 k 的值;若不存在,说明理由.

2

2

22. (12 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰

直角三角形,直线 x+y+1=0 与以椭圆 C 的右焦点为圆心,以 b 为半径的圆相切. (1)求椭圆的方程. (2)若过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 L 交椭圆 C 于 A,B 两点,交 y 轴于 M 点,且 ,求证:λ1+λ2 为定值.

河北省邢台一中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 2 2 1. (5 分)双曲线 2x ﹣y =8 的实轴长是() A.2 B. C. 4 考点: 专题: 分析: 解答: 双曲线的标准方程. 计算题. 将双曲线方程化为标准方程,求出实轴长. 2 2 解:2x ﹣y =8 即为

D.

∴a =4

2

∴a=2 故实轴长为 4 故选 C 点评: 本题考查双曲线的标准方程、由方程求参数值. 2. (5 分)曲线 y=x 在(1,1)处的切线方程是() A.2x+y+3=0 B.2x+y﹣3=0 C.2x+y+1=0
2

D.2x﹣y﹣1=0

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 先求出导数,再把 x=1 代入求出切线的斜率,代入点斜式方程并化为一般式. 解答: 解:由题意知,y′=2x, ∴在(1,1)处的切线的斜率 k=2, 则在(1,1)处的切线方程是:y﹣1=2(x﹣1) , 即 2x﹣y﹣1=0, 故选 D. 点评: 本题考查了导数的几何意义,即在某点处的切线斜率是该点处的导数值,以及直线 方程的点斜式和一般式的应用,属于基础题. 3. (5 分)以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆 x +y ﹣2x+6y+9=0 的圆心的抛物线的方 程是() 2 2 2 A.y=3x 或 y=﹣3x B. y=3x 2 2 2 2 C. y =﹣9x 或 y=3x D.y=﹣3x 或 y =9x 考点: 抛物线的标准方程;圆的标准方程. 分析: 首先将圆方程化成标准形式,求出圆心为(1,﹣3) ;当抛物线焦点在 y 轴上时,设 2 2 x =2py,将圆心代入,求出方程;当抛物线焦点在 x 轴上时,设 y =2px,将圆心代入,求出 方程 解答: 解:根据题意知, 圆心为(1,﹣3) , (1)设 x =2py,p=﹣ ,x =﹣ y; (2)设 y =2px,p= ,y =9x 故选 D. 点评: 本题考查了抛物线和圆的标准方程,但要注意抛物线的位置有在 x 轴和 y 轴两种情 况,属于基础题. 4. (5 分)已知 F 是抛物线 y =x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为() A. B. 1 C. D.
2 2 2 2 2 2 2

考点: 抛物线的简单性质.

专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据抛物线的方程求出准线方程,利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等 于到准线的距离,列出方程求出 A,B 的中点横坐标,求出线段 AB 的中点到 y 轴的距离. 2 解答: 解:∵F 是抛物线 y =x 的焦点, F( )准线方程 x= ,

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 根据抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离|AF|= ∴|AF|+|BF|= 解得 , =3 ,|BF|= ,

∴线段 AB 的中点横坐标为 , ∴线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 . 故选 C. 点评: 本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题,利用抛物线的定义将到焦点的距离 转化为到准线的距离.

5. (5 分)“m= ”是“直线(m+2)x+3my+1=0 与直线(m+2)x+(m﹣2)y﹣3=0 相互垂直” 的() A.充分不必要条件 C. 充要条件

B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据直线垂直的等价条件,集合充分条件和必要条件的定义即可的结论. 解答: 解:若(m+2)x+3my+1=0 与直线(m+2)x+(m﹣2)y﹣3=0 相互垂直, 则(m+2) (m+2)+3m(m﹣2)=0, 2 即 2m ﹣m+2=0,此时方程无解. 所以“m= ”是“直线( m+2)x+3my+1=0 与直线(m+2)x+(m﹣2)y﹣3=0 相互垂直”的既不 充分不必要条件, 故选:D 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判定,利用直线垂直的等价条件是解决本题的 关键. 6. (5 分)已知抛物线 y =4x,以(1,1)为中点作抛物线的弦,则这条弦所在直线的方程为 () A.x﹣2y+1=0 B.2x﹣y﹣1=0 C.2x+y﹣3=0 D.x+2y﹣3=0
2

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设弦所在直线方程为 y﹣1=k(x﹣1) ,代入抛物线的方程,利用一元二次方程根与 系数的关系,求出 k=2,从而得到弦所在直线方程. 解答: 解:由题意可得,弦所在直线斜率存在,设弦所在直线方程为 y﹣1=k(x﹣1) ,代 入抛物线的方程可得 ky ﹣4y﹣4﹣4k=0,由 y1+y2= =2 可得,k=2, 故弦所在直线方程为 2x﹣y﹣1=0, 故选:B. 点评: 本题考查用点斜式求直线方程的方法,一元二次方程根与系数的关系,求出 k=2 是 解题的关键. 7. (5 分)已知实数 x∈,执行如图所示的流程图,则输出的 x 不小于 55 的概率为()
2

A.

B.

C.

D.

考点: 循环结构. 专题: 图表型. 分析: 由程序框图的流程,写出前三项循环得到的结果,得到输出的值与输入的值的关系, 令输出值大于等于 55 得到输入值的范围,利用几何概型的概率公式求出输出的 x 不小于 55 的概率. 解答: 解:设实数 x∈, 经过第一次循环得到 x=2x+1,n=2, 经过第二循环得到 x=2(2x+1)+1,n=3, 经过第三次循环得到 x=2+1,n=4 此时输出 x, 输出的值为 8x+7, 令 8x+7≥55,得 x≥6, 由几何概型得到输出的 x 不小于 55 的概率为 P= = .

故选 B. 点评: 解决程序框图中的循环结构时,一般采用先根据框图的流程写出前几次循环的结果, 根据结果找规律.

8. (5 分)设点 P 是椭圆 I 为△ PF1F2 的内心,若 A. B. + =2 C.

上一点,F1,F2 分别是椭圆的左、右焦点, ,则该椭圆的离心率是() D.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先利用三角形内心的性质,将已知面积关系转化为焦点三角形 PF1F2 的边长间的关 系,再利用椭圆的定义和椭圆离心率定义,即可算得该椭圆的离心率 解答: 解:设△ PF1F2 的内切圆半径为 r, 则由 + =2 ,

得 PF1×r+ PF2×r=2× F1F2×r 即 PF1+PF2=2F1F2 即 2a=2×2c ∴椭圆的离心率 e= = 故选 A 点评: 本题主要考查了椭圆的定义、椭圆的标准方程、椭圆的几何性质,椭圆的离心率的 定义及其计算方法,属基础题

9. (5 分)已知 x,y 的取值如表所示,若 y 与 x 线性相关,且 =0.95x+a,则 a=() x y A.2.2 0 2.2 1 4.3 B.2.6 3 4.8 4 6.7 C.2.8 D.2.9

考点: 线性回归方程. 专题: 概率与统计. 分析: 求出样本中心坐标,代入回归直线方程,求解即可. 解答: 解:由题意 = = =4.5. =2,

因为回归直线方程经过样本中心,所以 4.5=0.95×2+a, 所以 a=2.6. 故选:B. 点评: 本题考查回归直线方程的应用,回归直线方程经过样本中心是解题的关键.

10. (5 分)已知双曲线

的右焦点为 F,若过点 F 的直线与双曲线的右支有且只有

一个交点,则此直线斜率的取值范围是() A. B. C. D.

考点: 直线与圆锥曲线的关系;直线的斜率;双曲线的简单性质. 专题: 综合题. 分析: 双曲线 的渐近线方程是 y= ,过右焦点 F(4,0)分别作两条渐近

线的平行线 l1 和 l2,由图形可知,符合条件的直线的斜率的范围是. 解答: 解:双曲线 右焦点 F(4,0) , 过右焦点 F(4,0)分别作两条渐近线的平行线 l1 和 l2, 由图形可知,符合条件的直线的斜率的范围是. 故选 C. 的渐近线方程是 y= ,

点评: 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,综合性强,是高考的重点,易错点 是直线与双曲线的相交问题,要结合图形分析直线与平行、相切等极端位置.本题具体直线斜 率取值范围的求法,解题时要注意数形结合思想的合理运用.

11. (5 分)已知 a>b>0,椭圆 C1 的方程为

+

=1,双曲线 C2 的方程为



=1,C1

与 C2 的离心率之积为 A.x± y=0

,则 C2 的渐近线方程为() B. x±y=0 C.x±2y=0 D.2x±y=0

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析: 求出椭圆与双曲线的离心率,然后推出 ab 关系,即可求解双曲线的渐近线方程. 解答: 解:a>b>0,椭圆 C1 的方程为 + =1,C1 的离心率为: ,

双曲线 C2 的方程为



=1,C2 的离心率为:



∵C1 与 C2 的离心率之积为









= ,

, ,即 x± y=0.

C2 的渐近线方程为:y=

故选:A. 点评: 本题考查椭圆与双曲线的基本性质,离心率以及渐近线方程的求法,基本知识的考 查.

12. (5 分)设 P 是椭圆 积为() A. B.

上的一点,F1、F2 是焦点,若∠F1PF2=30°,则△ PF1F2 的面

C.

D.16

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据椭圆方程算出椭圆的焦点坐标为 F1(﹣3,0) 、F2(3,0) .由椭圆的定义 2 2 |PF1|+|PF2|=10,△ PF1F2 中用余弦定理得到|PF1| +|PF2| ﹣2|PF1|?|PF2|cos30°=36,两式联解可得 |PF1|?|PF2|=64(2﹣ ) ,最后根据三角形面积公式即可算出△ PF1F2 的面积. 解答: 解:∵椭圆方程为 ∴a =25,b =16,得 a=5 且 b=4,c=
2 2

, =3,

因此,椭圆的焦点坐标为 F1(﹣3,0) 、F2(3,0) . 根据椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=2a=10 ∵△PF1F2 中,∠F1PF2=30°, 2 2 2 2 ∴|F1F2| =|PF1| +|PF2| ﹣2|PF1|?|PF2|cos30°=4c =36, 2 可得(|PF1|+|PF2|) =36+(2+ )|PF1|?|PF2|=100 因此,|PF1|?|PF2|= =64(2﹣ ) ,

可得△ PF1F2 的面积为 S= ?|PF1|?|PF2|sin30°= 故选:B 点评: 本题给出椭圆上一点对两个焦点所张的角为 30 度,求焦点三角形的面积.着重考查 了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识,属于中档题. 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)若 f′(x0)=﹣3,则 =﹣12.

考点: 极限及其运算. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由已知条件推导出 =f′(x0)

+3 解答: 解:∵f′(x0)=﹣3, ∴

=



=

=

+

=f′(x0)+3 = =4×(﹣3) =﹣12. 故答案为:﹣12. 点评: 本题考查极限的求法,是基础题,解题时要注意导数性质的灵活运用.

14. (5 分)方程

所表示的曲线为 C,有下列命题:

①若曲线 C 为椭圆,则 2<t<4; ②若曲线 C 为双曲线,则 t>4 或 t<2;

③曲线 C 不可能为圆; ④若曲线 C 表示焦点在 y 上的双曲线,则 t>4; 以上命题正确的是②④(填上所有正确命题的序号) . 考点: 圆锥曲线的共同特征. 专题: 计算题. 分析: 据椭圆方程的特点列出不等式求出 t 的范围判断出①错,据双曲线方程的特点列出 不等式求出 t 的范围,判断出②对;据圆方程的特点列出方程求出 t 的值,判断出③错;据 双曲线方程的特点列出不等式求出 t 的范围,判断出④对. 解答: 解:①若 C 为椭圆应该满足 即 2<t<4 且 t≠3,故①错;

②若 C 为双曲线应该满足(4﹣t) (t﹣2)<0 即 t>4 或 t<2 故②对; ③当 4﹣t=t﹣2 即 t=3 表示圆,故③错; ④若 C 表示双曲线,且焦点在 y 轴上应该满足 t﹣2>0,t﹣4>0 则 t>4,故④对 综上知②④正确 故答案为②④. 点评: 椭圆方程的形式:焦点在 x 轴时 ,焦点在 y 轴时

;双曲线的方程形式:焦点在 x 轴时

;焦点在 y 轴时

15. (5 分)已知 F 为双曲线 C:

的左焦点,P,Q 为 C 上的点,若 PQ 的长等于虚

轴长的 2 倍,点 A(5,0)在线段 PQ 上,则△ PQF 的周长为 44. 考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据题意画出双曲线图象, 然后根据双曲线的定义“到两定点的距离之差为定值 2a“解 决.求出周长即可. 解答: 解:根据题意,双曲线 C: 双曲线的右焦点, 虚轴长为:8; 双曲线图象如图: |PF|﹣|AP|=2a=6 ① |QF|﹣|QA|=2a=6 ② 的左焦点 F(﹣5,0) ,所以点 A(5,0)是

而|PQ|=16, ①+② 得:|PF|+|QF|﹣|PQ|=12, ∴周长为:|PF|+|QF|+|PQ|=12+2|PQ|=44 故答案为:44.

点评: 本题考查双曲线的定义,通过对定义的考查,求出周长,属于基础题. 16. (5 分)若点 A 的坐标为(3,2) ,F 为抛物线 y =2x 的焦点,点 P 在该抛物线上移动,为 使得 PA+PF 取得最小值,则 P 点的坐标为(2,2) . 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题;转化思想. 分析: 将 PF 的长度转化为 P 到准线 解答: 解:由 P 向准线 的距离.
2

作垂线,垂足为 M,由抛物线的定义,PF=PM,再由定点 A

向准线作垂线,垂足为 N,那么点 P 在该抛物线上移动时,有 PA+PF=PA+PM≥AN,当且仅当 A,P,N 三点共线时取得最小值 AN=3﹣(﹣ )= ,此时 P 的纵坐标为 2,继而求得横坐标 为 2. 故答案为: (2,2) . 点评: 本体着重考查抛物线的定义,即它的几何本质.基于此知识的基础上,进行转化求 的. 三、解答题(共 70 分) 17. (10 分)已知双曲线的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,实轴长是虚轴长的 2 倍,且过点 (2 ,1) ,求双曲线的标准方程及离心率. 考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设出双曲线的标准方程,求出 a、b 的值,即可得出标准方程,从而求出它的离心率. 解答: 解:根据题意,设双曲线的标准方程是 ﹣ =1,

则 2a=4b①, 又双曲线过点(2 ∴ ﹣ =1②;

,1)

由①②联立,解得 2 2 a =4,b =1; ∴双曲线的标准方程是 ∴它的离心率是 e= = ﹣y =1, = .
2

点评: 本题考查了用双曲线的标准方程与几何性质的应用问题,解题时应熟记双曲线的标 准方程以及 a、b、c 与离心率 e 之间的关系,是基础题目. 18. (12 分)已知抛物线:y =4x, (1)直线 l:y=kx+1 与抛物线有且仅有一个公共点,求实数 k 的值; (2)定点 A(2,0) ,P 为抛物线上任意一点,求线段长|PA|的最小值. 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)联立 由△ =0 即可得出. (2)设 P(x,y) ,则|PA|= 用二次函数的单调性即可得出. 解答: 解: (1)联立 ,k x +(2k﹣4)x+1=0,
2 2 2

,k x +(2k﹣4)x+1=0,对 k 分类讨论:当 k=0;当 k≠0 时,

2 2

=

=

,再利



,满足题意;

当 k≠0 时,由△ =0 得 k=1,综上,k=0 或 1. (2)设 P(x,y) ,则|PA|= = = ,

故当 x=0 时,|PA|min=2. 点评: 本题考查了直线与抛物线的位置关系转化为方程联立、两点之间的距离公式、二次 函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

19. (12 分) 已知命题 p: 方程 表示双曲线,且离心率 e∈( 取值范围. ,

表示焦点在 x 轴上的椭圆; 命题 q: 方程 ) ,若命题 p∧q 为假命题,p∨q 为真命题,求实数 k 的

考点: 复合命题的真假. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程;简易逻辑. 分析: 根据题意求出命题 p、q 为真时 m 的范围,由 p∨q 为真,p∧q 为假得:p 真 q 假或 p 假 q 真,进而求出答案即可. 解答: 解:若 p 为真,则 9﹣2k>k>0,解得 0<k<3, 若 q 为真,则 e= = ∈( , ) ,解得 2<k<4,

由题意可知,p,q 一真一假, 当 p 真 q 假时,则 ,则 0<k≤2;

当 q 真 p 假时,则

,则 3≤k<4;

综上所述,k 的取值范围是 (0,2]∪,得到的频率分布直方图如图所示. (Ⅰ)下表是年龄的频数分布表,求正整数 a,b 的值; 区间 人数 50 50 a 150 b (Ⅱ)现在要从年龄较小的第 1,2,3 组中用分层抽样的方法抽取 6 人,年龄在第 1,2,3 组的人数分别是多少? (Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下,从这 6 人中随机抽取 2 人参加社区宣传交流活动,求至少有 1 人 年龄在第 3 组的概率.

考点: 频率分布直方图;用样本的频率分布估计总体分布. 专题: 概率与统计. 分析: (I)由题设中频率分布直方图再结合频率、频数及样本容量之间的关系可得 a、b 的 值; (II)根据分成抽样的定义知:第 1,2,3 组各部分的人数的比例为 1:1:4,则共抽取 6 人 时,所以第 1,2,3 组三个年龄段应分别抽取的人数为 1,1,4. (III)设第 1 组的 1 位同学为 A,第 2 组的 1 位同学为 B,第 3 组的 4 位同学为 C1,C2,C3, C4,列出所有情况,根据古典概型运算公式计算即可. 解答: 解: (Ⅰ)由题设可知,a=0.08×5×500=200,b=0.02×5×500=50. …(2 分) (Ⅱ) 因为第 1,2,3 组共有 50+50+200=300 人,

利用分层抽样在 300 名学生中抽取 6 名学生,每组抽取的人数分别为: 第 1 组的人数为 第 2 组的人数为 第 3 组的人数为 , , ,

所以第 1,2,3 组分别抽取 1 人,1 人,4 人. …(6 分) (Ⅲ)设第 1 组的 1 位同学为 A,第 2 组的 1 位同学为 B,第 3 组的 4 位同学为 C1,C2,C3, C4, 则从六位同学中抽两位同学有: (A,B) , (A,C1) , (A,C2) , (A,C3) , (A,C4) , (B,C1) , (B,C2) , (B,C3) , (B,C4) , (C1,C2) , (C1,C3) , (C1,C4) , (C2,C 3) , (C2,C4) , (C3,C4) , 共 15 种可能. …(10 分) 其中 2 人年龄都不在第 3 组的有: (A,B) ,共 1 种可能,…(12 分) 所以至少有 1 人年龄在第 3 组的概率为 . …(13 分)

点评: 本题考 查等可能事件的概率及分层抽样方法,考查对立事件的概率,在考虑问题时, 若问题从正面考虑比较麻烦,可以从它的对立事件来考虑. 21. (12 分)直线 l:y=kx+1 与双曲线 C:2x ﹣y =1 的右支交于不同的两点 A、B. (Ⅰ)求实数 k 的取值范围; (Ⅱ)是否存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F?若存在,求出 k 的值;若不存在,说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ)将直线 l 的方程 y=kx+1 代入双曲线 C 的方程 2x ﹣y =1 后,由题意知
2 2 2 2

,由此可知实数 k 的取值范围.

(Ⅱ)设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1) 、 (x2,y2) ,由题意得

,由此

入手可求出 k 的值.

解答: 解: (Ⅰ)将直线 l 的方程 y=kx+1 代入双曲线 C 的方程 2x ﹣y =1 后,整理得(k 2 ﹣2)x +2kx+2=0.① 依题意,直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同两点,故

2

2

2

解得 k 的取值范围是﹣2<k<



(Ⅱ)设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1) 、 (x2,y2) ,则由①式得



假设存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F(c,0) . 则由 FA⊥FB 得: (x1﹣c) (x2﹣c)+y1y2=0. 即(x1﹣c) (x2﹣c)+(kx1+1) (kx2+1)=0. 2 2 整理得(k +1)x1x2+(k﹣c) (x1+x2)+c +1=0.③ 把②式及 解得 可知 使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点. 代入③式化简得 .

点评: 本题主要考查直线、双曲线的方程和性质,曲线与方程的关系,及其综合应用能力.

22. (12 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰

直角三角形,直线 x+y+1=0 与以椭圆 C 的右焦点为圆心,以 b 为半径的圆相切. (1)求椭圆的方程. (2)若过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 L 交椭圆 C 于 A,B 两点,交 y 轴于 M 点,且 ,求证:λ1+λ2 为定值.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题 : 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ)由题意:以椭圆 C 的右焦点为圆心,以
2

b 为半径的圆的方程为(x﹣c)

+y =2b ,圆心到直线 x+y+1=0 的距离 d=

2

2

,由此结合已知条件能求出椭圆方程.

(Ⅱ)设直线 L 方程为 y=k(x﹣1) ,代入椭圆方程得: (1+2k )x ﹣4k x+2k ﹣2=0,由此利 用韦达定理结合已知条件能证明 λ1+λ2=﹣4(定值) . 解答: 解: (Ⅰ)由题意:以椭圆 C 的右焦点为圆心,以 b 为半径的圆的方程为(x﹣c) 2 2 2 +y =2b , ∴圆心到直线 x+y+1=0 的距离 d= …*

2

2

2

2

∵椭圆 C: b=c,代入*式得 b=1 ∴a= = , 故所求椭圆方程为

,a>b>0 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,

.…(4 分)

(Ⅱ)由题意:直线 L 的斜率存在, ∴设直线 L 方程为 y=k(x﹣1) , 则 M(0,﹣k) ,F(1,0) 将直线方程代入椭圆方程得: (1+2k )x ﹣4k x+2k ﹣2=0…(6 分) 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) 则 由 ,∴ …①…(8 分) , ,
2 2 2 2

即: ,

…(10 分)

=

=﹣4

∴λ1+λ2=﹣4(定值)…(12 分) 点评: 本题考查椭圆方程的求法,考查两数和为定值的证明,解题时要认真审题,注意函 数与方程思想的合理运用.


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