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江苏省淮安市金湖二中2012-2013学年高一上学期竞赛数学试题


金湖二中高一年级数学竞赛试题
2012.12.15
注意事项: 1.本试题由填空题和解答题两部分组成,满分 160 分,考试时间为 120 分钟. 2.答题前,请务必将自己的班级、姓名、学号书写在答题纸上规定的地方. 3.所有试题的答案均填写在答题纸上,答案写在试卷上的无效. 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题

卷相应位 ...... 置上) .. 1.如果全集 U ? ? ,2,3,4,5,6,7,8?, A ? ?2,5,8? , B ? ?1,3,5,7? ,那么( CU A ) ? B 等 1 于 ▲ . ▲ . ▲ ▲ ▲ .

2.函数 f ( x) ? x ? 1 ? ln(2 ? x) 的定义域是

3. 方程 lg x ? 4 ? 2 x 的根 x ? ? k , k ? 1? , k ? Z ,则 k ? 4.函数 y=

3 1 ? cos( x ? ) ,x ? R 的最小正周期为 5 2 6

5.已知幂函数 y ? (m2 ? 5m ? 5) x2m?1 在 (0,? ?) 上为减函数,则实数 m ? 6.若 sin ? ? log2 x ? 1 ,则 x 的取值范围是 ▲ ▲

7.函数 f ? x ? ? sin ? 2x ? ? ? (常数 ? ?[?? , ? ] )是偶函数,则 ? 的值是

8.已知集合 P ? {x | x2 ? 4} ,集合 M ? {x | ax ? 1} ,若 M ? P ,则 a 的取值集合为▲ 9.若函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数,在 (??,0] 上是减函数,且 f (2) ? 0,则满足

f ( x ) ? 0的 x 的取值范围是



. 4sin θ-2cos θ =________. 5cos θ+3sin θ

10.已知 sin(θ+kπ)=-2cos(θ+kπ),k∈Z.则

11.已知函数 y ? loga ( x ? 3) ? 10 ( a ? 0, a ? 1 )的图像恒过定点 A,若点 A 也在函数

1 f ( x) ? ( ) x ? b 的图像上,则 f (log3 2) = ▲ 3 ? ? 12. 把函数 y=sin(2x+ )的图象向右平移 个单位长度, 再将所得图象上各点的横坐标缩短 4 8 1 到原来的 ,所得图象的解析式是_____▲ ______. 2
1

13.函数 y ? Asin ?? x ?? ? ,(其中 A ? 0, ? ? 0,| ? |?

?
2

)的图象的一条对称轴是 x ?

?
6



一个最高点的纵坐标是 3 ,要使该函数的解析式为 y ? 3sin ? 2 x ? 是 ▲

? ?

??

? ,还应给出一个条件 6?

(只要写出你认为正确的一个条件即可) . ..

14.阅读下列一段材料,然后解答问题:对于任意实数 x ,符号 ? x ? 表示 “不超过 x 的最大 整数” ,在数轴上,当 x 是整数, ? x ? 就是 x ,当 x 不是整数时, ? x ? 是点 x 左侧的第一个 整数点,这个函数叫做“取整函数” ,也叫高斯(Gauss)函数.如 ? ?2? ? ?2 , ? ?1.5? ? ?2 ,

?2.5? ? 2

1 1 1 则 [log2 ] ? [log2 ] ? [log2 ] ? [log2 1] ? [log2 2] ? [log2 3] ? [log2 4] ? [log2 5] ? [log2 6] 的值 4 3 2

为 ▲ 二、解答题 (本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明或演算步骤, 请把答案写在答题纸的区域内) ............. 15. (本题满分 14 分)设 A ? {x 2 x 2 ? ax ? 2 ? 0}, B ? {x x 2 ? 3x ? 2a ? 0} , A ? B ? {2} . (1)求 a 的值及集合 A 、 B ; (2)设全集 U ? A ? B ,求 (CU A) ? (CU B) 的所有子集.

16. (本题满分 14 分) (1)已知 tan ? ? ?2 ,且 ? 是第二象限的角,求 sin ? 和 cos ? ;

? 4? 6 ? ? )的值. (2)已知 cos( - ? )= ,求 sin( 6 3 3

17. (本题满分 14 分)已知函数 (1)当 ? (2)若

f ( x) ? x2 ? 2 x sin ? ? 1, x ?[? 3 , 1 ]
2 2

?

?
6

时,求

f ( x) 的最大值和最小值
3 1 , ] 上是单调函数,且 ? 2 2

f ( x ) 在 x ? [?

? [0, 2? ) ,求 ?

的取值范围

18. (本题满分 16 分)已知指数函数 y = g (x) 满足:g(2)=4,定义域为 R ,
2

函数 f ? x ? ?

?g ? x? ? n 是奇函数. 2g ? x ? ? m

(1)确定 y = g (x) 的解析式; (2)求 m,n 的值; (3)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立,求实数 k 的取值范围.

19.(本题满分 16 分)某厂生产某种零件,每个零件的成本为 40 元,出厂单价定为 60 元, 该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过 100 个时,每多订购一个,订购的全部零件 的出厂单价就降低 0.02 元, 但实际出厂单价不低于 51 元 (1)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰降为 51 元? (2)设一次订购量为 x 个,零件的实际出厂单价为 P 元,写出函数 P=f(x)的表达式 (3) 当销售商一次订购 500 个零件时, 该厂获得的利润是多少元?如果订购 1000 个利润又 是多少元? (工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本)

20. (本题满分 16 分)记函数 f(x)的定义域为 D,若存在 x0 ? D ,使 f ( x0 ) ? x0 成立, 则称以 ( x0 , x0 ) 为坐标的点为函数 f (x) 图象上的不动点。 (1)若函数 f ( x ) ?

3x ? a 的图象上有两个关于原点对称的不动点,求 a, b 应满足的条件; x?b

(2)下述结论“若定义在R上的奇函数 f(x)的图象上存在有限个不动点,则不动点有奇数 个”是否正确?若正确,请给予证明,并举出一例;若不正确,请举出一反例说明。

金湖二中高一年级数学竞赛参考答案
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,把答案填在下面的横线上.)

3

1.

{1 , 3 , 7 }
?1

2.

[1, 2) [1, 4 ]

3.

1

4.

4?
1 1 {0, , ? } 2 2

5.

6.

7.

?

?
2 3 2

8.

9.

(?2, 2)

10.

10

11.

12. y ? sin 4 x

13.

T ? ? (或者其它答案)

14.

3

二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15.(本大题共 14 分) 解: (1)? A ? B ? {2} ,? 2 ? A

? 8 ? 2a ? 2 ? 0 ,求得 a ? ?5
1 ? A ? {2, }, B ? {2, ?5} ??????????7 分 2 1 1 (2) U ? A ? B ? {2, , ?5} ,? CU A ? {?5}, CU B ? { } 2 2 1 ? (CU A) ? (CU B) ? {?5, } 2 1 1 ?(CU A) ? (CU B) 的所有子集是: ?,{?5},{ },{?5, } ??????????14 分 2 2
16.(本大题共 14 分) 解: (1)由 tan ? ? ?2 ,得

sin ? ? ?2 ,又 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 cos ?

? 2 5 ? 2 5 ?sin ? ? ? ?sin ? ? ? 5 或? 5 解得 ? ? ?cos ? ? 5 ?cos ? ? ? 5 ? ? 5 5 ? ? ? 2 5 ?sin ? ? ? 5 ? 是第二象限的角,则 ? ?cos ? ? ? 5 ? 5 ?
(2)sin( = ? sin(

??????????7 分

?

4? ? ? ? )= sin[? ? ( ? ? )] 3 3

? ? ) = ? sin[ ? ( ? ? )] 3 2 6

?

?

4

= ? cos(

?
6

? ? )] = ?

6 3

??????????14 分

17.(本大题共 14 分) 解: (1)当 ? ?

?
6

时, f ( x) ? x 2 ? x ? 1 ? ( x ?

1 2 5 ) ? 2 4

?????????2 分

? f (x) 在 [?
∴ 当x ? ?

1 1 3 1 ,? ] 上单调递减,在 [? , ] 上单调递增 2 2 2 2

????????6 分

1 5 时,函数 f (x) 有最小值 ? 2 4 1 1 当 x ? 时,函数 f (x) 有最大值 ? 2 4

????????????????8 分

(2)要使 f ( x ) 在 x ? [?

3 1 3 , ] 上是单调增函数, 则 -sin? ≤- 2 2 2
解得:? ? [

??11 分

即 sin ? ≥

3 2

又? ? ? [0,2? )

? 2

, ? ] ?????????14 分 3 3

18.(本大题共 16 分) 解: (1)y=g(x)=2x ; (2)由(1)知: f ( x) ? ??????????4 分

?2 x ? n , 2 x ?1 ? m
?1 ? n ? 0 ? n ?1, 2?m

因为 f(x)是奇函数,所以 f(0)=0,即 ∴ f ( x) ?

1 ? 2x , 2 x ?1 ? m

1 1? 1? 2 2 ? m ? 2, 又由 f(1)=-f(-1)知, ? 4 ? m 1? m
∴m=2,n=1。 (3)由(2)知, f ( x) ? ??????????10 分

1 ? 2x 1 1 ?? ? x , x ?1 2 ?2 2 2 ?1

易知 f(x)在(-∞,+∞)上为减函数, 又因 f(x)是奇函数, 从而不等式: f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 等价于 f (t ? 2t ) ? ? f (2t ? k ) ? f (k ? 2t ) ,
2 2 2 2 2

因 f(x)为减函数,由上式推得: t ? 2t ? k ? 2t ,
2 2

5

即对一切 t∈R 有: 3t 2 ? 2t ? k ? 0 , 从而判别式 ? ? 4 ? 12k ? 0 ,得 k ? ? ∴实数 k 的取值范围是(-∞,

1 3
??????????16 分

1 ) 。 3

19.(本大题共 16 分) 解:(1)设每个零件的实际出厂单价恰好降为 51 时,一次订购量为 x? 个。 则 x? =100+

60 ? 51 =550 0.02

??????????4 分

(2)当 0 ? x ? 100 时,P=60; 当 100<x<550 时,P=60-0.002(x-100)=62- 当 x ? 550 时,P=51.

x ; 50

(0 ?60      ? x ? 100) ? x ? ??????????9 分 ? P ? f ( x) ? ?62 ?     ? x ? 550)    x ?N  (100 , 50 ? (x ?51      ? 550) ?
(3)设销售商一次订购量为 x 时,工厂获得的利润 L 元。

(0 ?20x      ? x ? 100) ? 2 则 L=(P-40)x= ?22 x ? x   (100 ? x ? 550)   x ?N  ??????????13 分   , ? 50 ? (x ?11x     ? 550) ?
当 x=500 时,L=600;当 x=1000 时,L=1100. 答: ??????????15 分 ??????????16 分

20.(本大题共 16 分) 解: (1)由 f ( x) ?

3x0 ? a ? x0 , x0 ? b
(*)

????????????????2 分

整理得 x0 ? (b ? 3) x0 ? a ? 0
2

??????????????4 分

由题意知方程(*)有两个互为相反数的根,所以 ?

?b ? 3 ? 0 即 b ? 3, a ? 0 ???6 分 ?? a ? 0

? f ( x) ? 3 ?

a?9 ,? a ? 9 , x?3

????????????????????8 分

6

故 a, b 应满足 b ? 3, a ? 0 且 a ? 9 ????????????????????10 分 (2)结论正确。 ????????????????????12 分

证明:? f (x) 为奇函数,? f (? x) ? ? f ( x) ,取 x ? 0 ,得 f (0) ? 0 ,即(0,0)为函数的 一个不动点,设函数 f (x) 除 0 以外还有不动点 ( x, x)(x ? 0) ,则 f ( x) ? x 又 f (? x) ? ? f ( x) ? ? x ,故 (? x,? x) 也为函数的不动点。 ??????????14 分 综上,若定义在 R 上的奇函数 f (x) 图象上存在有限个不动点,则不动点有奇数个。 例如: f ( x) ? x 3 ? x 。??????????????????????????16 分

7


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